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【解析版】浙江省浙北名校联盟2014届高三上期中联考试题(数学理)


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浙江省浙北名校联盟 2014 届高三上学期期中联考数学理试题 第Ⅰ卷(共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的.
1? i 1.复数 1 ? 2i (为虚数单位)

=( ) 3 1 3 1 1 1 ? i ? i ? ? i (A) 5 5 (B) 5 5 (C) 5 5

(D)

?

1 3 ? i 5 5

x 2.已知全集 U ? R ,集合 A ? ?x | lg x ? 0?, B ? x | 2 ? 2 ,则 A ? B =(

?

?

)

(A) ?? ?,1?

(B) ?? ?,1?

(C) ?1, ?? ?

(D) ?

3.设实数 x , y 满足约束条件 (A)-1

? x ? y ? 1 ? 0, ? , ?x?2 ? 3 x ? y ? 1 ? 0. ?

则 z ? 5 x ? y 的最大值为( (D)11

)

(B) 3

(C)5

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4.已知 a ? R ,则“ a ? 2 ”是“ (A)充分不必要条件 (C)充要条件

aa ? 1

”成立的(

)

(B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

5.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( (A)4 (B)8 (C) 4 3

) (D) 8 3

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2 3

2 3

2 1

2 3

第 题

5

6. 已 知 函 数 y ? f ( x ? 1) 为 偶 函 数 , 且 f ( x) 在 ?1, ?? ? 上 递 减 , 设 a ? f (log 2 10) , b ? f (log 3 10) ,
c ? f ( 0.10.2 ) ,则 a, b, c 的大小关系正确的是(

) (D) c ? a ? b

(A) a ? b ? c

(B) b ? a ? c

(C) c ? b ? a

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 b 7.过双曲线 a 上任意一点 P ,作与实轴平行的直线,交两渐近线于 M 、 N 两点,

???? ? ???? PM ? PN ? 2b 2 ,则该双曲线的离心率为( 若
6 (A) 3

)

(B) 3

6 (C) 2

(D) 2

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10

8.在等腰△ ABC 中, D 是腰 AC 的中点,若
8

sin ?CBD ?

1 4 ,则 sin ?ABD ? (

)

10 (A) 8

6 (B) 4

10 (C) 4
6 4 2

6 (D) 8

【答案】A
20

【解析】

15

10

5

5

10

15

20

2

A D

4

6

8

10

B

C

12

14

试题分析:因为若

sin ?CBD ?

1 cos ?CBD ? 4 ,所以

15 4 , 如 图 所 示 , 设 CD ? 1 , 则

AB ? 2CD ? 2 AD ? 2 ,设 BD ? x ,由余弦定理可得, BC 2 ? BD 2 ? DC 2 ? 2 BD ? DC cos ?BDC ,
2 2 AB 2 ? BD 2 ? DA2 ? 2 BD ? DA cos ?BDC ,将上面的值代入两式相加可得, BC ? 2( x ? 1) ,再由余弦

定理可得, CD ? BD ? BC ? 2 BD ? BC cos ?DBC ,即 1 ? x ? BC ? 2 x ? BC cos ?DBC
2 2 2 2 2 2

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考点:将 BC ? 2( x ? 1) ,可解得 x ?
2 2

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6 ,在三角形 ABD 中,利用余弦定理可得

cos ?ABD ?

3 6 8 ,

sin ?ABD ?
从而得 考点:解三角形.

10 8

9.已知

a ? 1, b ? 2

, a ? b ? 1 ,若 a ? c 与 b ? c 的夹角为 60 ,则
?

c

的最大值为

7 ?1 (A) 2

(B) 3

(C) 7 ? 1

(D) 3 ? 1

10.已知

A ? x x 2 ? mx ? m ? 1

?

?,若 ?? 1,1? ? A ,则实数 m 的取值范围为(
?
(C) ?? ?, ?2?

)

(A) ?? ?,0?

(B) 2 ? 2 2 ,0

?

(D) 2 ? 2 2 , 2 ? 2 2

?

?

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第Ⅱ卷(共100 分) 二、填空题(每题 4 分,满分 28 分,将答案填在答题纸上)

?log 0.5 x f ( x) ? ? x ?2 11.已知函数

( x ? 1) ( x ? 1)

,则 f ( f ( 4)) ?

.

3? ? ? x? ? x ? 的展开式中各项二项式系数的和为 64,则该展开式中的常数项为 12. ?

n

.

【答案】135 【解析】

3? ? ? x? ? n 6 x? 展开式的通项为 试 题 分 析 : 各 项 二 项 式 系 数 的 和 为 2 ? 64 ? 2 , 所 以 n ? 6 , ? Tr ?1 ? C x
r 6 6? r 2 6 ?3 r r ? 3? 6 ? 3r r 2 ? ? ? 3 C x ? ? ?0 6 ? ? x ? ? ,求展开式中的常数项,令 2 ,则 r ? 2 ,故展开式中的常 r

6

? ?3? 数项为

r

C6r ? 135



考点:二项式定理.

13.某程序框图如图所示,则输出的结果为
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.
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开 始
n ? 1, s ? 1

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n ? 5?




s ? ns ? 2

输 出 s 结 束

n ? n ?1

第 13 题

14.已知等差数列 ?an ? 的前 n 项的和为 S n ,且 a1 ? 0 , S7 ? S10 ,则使 S n 取到最大值的 n 为 【答案】8 或 9 【解析】

.

a ? a9 ? a10 ? 0 ,即 a9 ? 0 ,故 S n 取到最大值的 n 为 8 或 9. 试题分析:因为 a1 ? 0 , S7 ? S10 ,所以 8
考点:等差数列的性质.

2 2 AB 15.已知直线与圆 O : x ? y ? 1 在第一象限内相切于点 C ,并且分别与 x , y 轴相交于 A、B 两点,则

的最小值为

.

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16.一袋中装有分别标记着 1,2,3 数字的 3 个小球,每次从袋中取出一个球(每只小球被取到的可能性相 同) ,现连续取 3 次球,若每次取出一个球后放回袋中,记 3 次取出的球中标号最小的数字与最大的数字 分别为 X , Y ,设 ? ? Y ? X ,则 E (? ) ? .

17. 已 知 关 于 x 的不等式
ex x ?a ? x

在 x ? R 上恒成立,则实数 a 的取值范围为

.

【答案】 a ? 0

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三、解答题 (本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 18.(本题满分 14 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , S n ? 2an ? 2 . (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? an ? log 2 an?1 ,求数列 ?bn ?的前 n 项和 Tn .

1分

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19.(本题满分 14 分)
tan B 2a ? c ? a , b , c ABC A 、 B 、 C tan C c . 在△ 中,角 的对边分别为 ,

(Ⅰ)求角 B 的大小;
? ?? ( x ? ? 0, ? ) ? 2 ? 的值域. (Ⅱ)求函数 f ( x ) ? cos x ? cos( x ? B )

三角恒等变

f ( x) ?
形,把它转化为一个角的一个三角函数来解,本题通过三角恒等变形得

1 ? 1 cos(2 x ? ) ? 2 3 4 ,利用

? ?? x ? ?0, ? ? 2 ? ,从而求出值域.
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20.(本题满分 14 分) 已知在长方体 ABCD ? A?B ?C ?D ? 中,点 E 为棱 CC ? 上任意一点,
AB ? BC ? 2 , CC ? ? 1 .

(Ⅰ)求证:平面 ACC ?A? ? 平面 BDE ; (Ⅱ)若点 P 为棱 C ?D ? 的中点,点 E 为棱 CC ? 的中点,求二面角 P ? BD ? E 的余弦值.

D?

P

C?

A?
D

B?

E
C

A

B

6 【答案】 (Ⅰ)详见解析; (Ⅱ)二面角 P ? BD ? E 的余弦值为 3 .

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(Ⅱ)建立以
DA 为 x 轴,以 DC 为 y 轴,以 DD ? 为 z 轴的空间直角坐标系 ????????7 分

设平面 BDE 的法向量为 m ? ( x , y , z ) ,?

1 DB ? ( 2,2,0), DE ? (0,2, ) 2

21.(本题满分 15 分)
C: x 2 y2 3 ? 2 ? 1( a ? b ? 0) P (1, ) 2 ( ? 1 , 0 ) ( 1 , 0 ) F F a b 2 . 的焦点为 1 , 2 ,且经过点

已知椭圆

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(Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

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(Ⅱ)设过 F1 的直线与椭圆 C 交于 A 、 B 两点,问在椭圆 C 上是否存在一点 M ,使四边形 AMBF2 为平 行四边形,若存在,求出直线的方程,若不存在,请说明理由.

试题解析:
? c ? 1, b2 3 2 ? , a ? b2 ? c2 a 2

(Ⅰ)

????????????3 分 ????????????5 分

? a ? 2, b ? 3 ,
y2 x2 ? ?1 3 ? 椭圆 C 的方程为 4

????????????7 分

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22.(本题满分 15 分)
2 已知函数 f ( x ) ? x ? ax ? 2 ln x (其中 a 是实数).

(Ⅰ)求 f ( x ) 的单调区间;
2( e ? 1 e )?a?5

(Ⅱ)若

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ,且 f ( x ) 有两个极值点 x 1 , x 2 ( x 1 ? x 2 ) ,求 的取值范围.

(其中 e 是自然对数的底数)

【解析】

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试题解析: (Ⅰ)
f ?( x ) ? 2 x ? a ? 2 ?4?a x

????????????1 分 ???????????3 分

? 当 4 ? a ? 0 ,即 a ? 4 时, f ( x ) ? 0 ? f ( x ) 的增区间为 ?0,?? ?
f ?( x ) ?

②当 a ? 4 时,

2 x 2 ? ax ? 2 a ? ? ? a 2 ? 16 ? 0, x 1 ? x 2 ? ? 0, x 1 x 2 ? 1 ? 0 ? 0 ? x1 ? x 2 x 2

??5 分

? a ? a 2 ? 16 ? ? a ? a 2 ? 16 ? ? a ? a 2 ? 16 a ? a 2 ? 16 ? ? 0, ?, ? ? ? ,?? ? , ? ?? ? ? ? 4 4 4 4 ? f ( x ) 的增区间为 ? ?? ? ,减区间为 ? ?

?7



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