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2013年浙江省镇海中学自主招生数学试卷及答案


2013 镇海中学跨区招生数学试题卷
满分:120 分 一、选择题(每题 4 分,共 40 分) 时间:90 分钟

1、把 26 个英文字母依照轴对称性和中心对称性分成 5 组,现在还有 5 个字母 D、M、Q、X、Z 请你按 原规律补上,其顺序依次为 -------------------------------------------------------------------( ) ①FRPJLG ②HIO ③NS ④BCKE ⑤VATYWU (A)QXZMD (B)DMQZX (C)ZXMDQ (D)QXZDM 2、若 ?

1 ? x ? 1 ,则式子 x 2 ? 2x ? 1 ? x 2 ? 6x ? 9 ? 4x 2 ? 4x ? 1 等于------( 2
(B)5 (C)2x+3 (D)4x+3



(A)-4x+3

2kx ? a x ? bk ? ? 1 (a、b 是常数)的根总是 x=1,则 3、若不论 k 取什么实数,关于 x 的方程 3 6
a+b=---------------------------------------------------------------------------------------------------------( )

1 (A) 2

3 (B) 2

1 (C) ? 2
2

3 (D) ? 2


4、若 2007? m ? m ? 2008 ? m ,则 m ? 2007 ? ---------------------------------------( (A)2007 (B)2008 (C)20082 (D)-20082

5、方程 6 xy ? 4 x ? 9 y ? 7 ? 0 的整数解的个数为 -------------------------------------------(



(A)1 (B)2 (C)3 (D)4 6、在平面直角坐标系中有两点 A(–2,2),B(3,2),C 是坐标轴上的一点,若△ABC 是直角三角形,则 满足条件的点 C 有----------------------------------------------------------------------------( ) (A)1 个 (B)2 个 (C)4 个 (D)6 个 7、一个各面分别标有数字 1、2、3、4、5、6 的骰子,连续投掷二次,分别出现数字 m、n,得到一个 点 P(m ,n ),则点 P 既在直线 y ? ? x ? 6 上,又在双曲线 y ? (A)

8 上的概率为-----y( x

)

1 6

(B)

1 9

(C)

1 18

(D)

1 36

8、二次函数 y=ax2+bx+c 的图像如图所示,下列结论:① b ? 0 , 2 ② c ? 0 ,③ b ? 4ac ? 0 ,④ a ? b ? c ? 0 ,⑤ 4a ? 2b ? c ? 0 . x ?1 其中正确的有---------------------------------------------------------------( ) (A)2 个 (B)3 个 (C)4 个 (D)5 个 第 8 题图 9 、如图,若将左边正方形剪成四块,恰能拼成右边的矩形,设 a = 1 ,则这个正方形的面积为 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ( (A) (1 ? 2 ) 2 (B) )

o

x

1? 5 2 7?3 5 2

(C)

3? 5 2

(D)

第 9 题图

2 2 10.二次函数 y ? ? x ? 6 x ? 7 ,当 x 取值为 t ? x ? t ? 2 时有最大值 y ? ?(t ? 3) ? 2 ,则 t 的取值范

围为( ) (A) t ≤0

(B)0≤ t ≤3

(C) t ≥3
1

(D)以上都不对.

二、填空题(每题 6 分,共 30 分)
11、已知关于 x 的不等式 mx-2≤0 的负整数解只有-1,-2,则 m 的取值范围是 _____ .

12、用三种边长相等的正多边形地砖铺地,其顶点拼在一起,刚好能完全铺满地面.已知正 多边形的边数为 x、y、z,则

1 1 1 ? ? 的值为_______________. x y z
4 ( x ? 0) 上,直角顶点 x

13、如图,△ OAP 、△ ABQ 是等腰直角三角形,点 P 、 Q 在双曲线 y ? A 、 B 均在 x 轴上,则点 Q 的坐标为 _______________.

第 11 题图 14、若关于 x、y 的方程组 ? 解为____________.

第 13 题图

?a1 x ? b1 y ? c1 ?5a1 x ? 3b1 y ? 4c1 ?x ? 5 的解为 ? ,则方程组 ? 的 ?a 2 x ? b2 y ? c2 ?5a 2 x ? 3b2 y ? 4c 2 ?y ? 6

15、如图,墙角处有若干大小相同的小正方体堆成如图所示的立体图形,如果你搬走其中部分小正方 体,但希望搬完后从正面、从上面、从右面用平行光线照射时,在墙面及地面上的影子不变,那么你最多 可以搬走 __ ____ 个小正方体.

三、解答题(共 50 分)
16 、 (本题满分 6 分) 如图, ABCD 是矩形纸片, E 是 AB 上一点, 且 BE: EA=5: 3, EC=15 5 , 把△BCE 沿折痕 EC 向上翻折, 若点 B 恰好落在 AD 边上, 设这个点为 F, 求 AB、BC 的长.

A E

F

D

B

C

17、(本题满分 8 分) 如图, 已知四边形 ABCD 内接于一圆, AB=BD, BM⊥AC 于 M, 求证: AM=DC+CM

B C M

A

D

2

18、(本题满分 13 分) 某种电缆在空中架设时,两端挂起的电缆下垂都近似成抛物线 y ?

1 2 x 的形状,现按操作要求,电 100

缆最低点离水平地面不得小于 6 米. ⑴ 如图 1,若水平距离间隔 80 米建造一个电缆塔柱,求此电缆塔柱用于固定电缆的位置离地面至少应 有多少米的高度? ⑵ 如图 2,若在一个坡度为 1:5 的斜坡上,按水平距离间隔 50 米架设两固定电缆的位置离地面高度为 20 米的塔柱。 ①求这种情况下在竖直方向上,下垂的电缆与坡面的最近距离为多少米? ②这种情况下,直接写出下垂的电缆与坡面的最近距离为多少米?

Q

N A O

M B E

P

F

H

19、(本题满分 13 分) 如图,直线 AD 对应的函数关系式为 y ? ? x ? 1 ,与抛物线交于点 A(在 x 轴上)、点 D,抛物线与 x 轴 另一交点为 B(3,0), 抛物线与 y 轴交点 C(0,-3),; (1)求抛物线的解析式; (2)P 是线段 AD 上的一个动点,过 P 点作 y 轴的平行线交抛物线于 E 点,求线段 PE 长度的最大值; (3)若点 F 是抛物线的顶点,点 G 是直线 AD 与抛物线对称轴的交点,在线段 AD 上是否存在一点 P, 使得四边形 GFEP 为平行四边形; (4)点 H 抛物线上的动点,在 x 轴上是否存在点 Q,使 A、D、H、Q 这四个点为顶点的四边形是平行四 边形?如果存在,直接写出所有满足条件的 Q 点坐标;如果不存在,请说明理由.

(图1 )

K

D

(图2 )

C

y

A

o
P

B

x

G C
E
F
20、(本题满分 10 分) 一幢 33 层的大楼里有一部电梯停在第一层,? 它一次最多能容纳 32 人,而且只能在第 2 层至第 33 层 中某一层停一次. 对于每个人来说, 他往下走一层楼梯感到 1 分不满意, 往上走一层楼梯感到 3 分不满意. 现 在有 32? 人在第一层,并且他们分别住在第 2 层至第 33 层的每一层.问:电梯停在哪一层,? 可以使得这 32 个人满意的总分达到最小?最小值是多少?(? 有些人可以不乘电梯而直接从梯梯上楼).
3

D

答案 1.D;2.B;3.C;4.B;5.A;6.D;7.C;8. C;9.B;10.C; 11. 首先解不等式 mx-2≤O,不等式的解可以利用 m 表示,根据不等式的负整数解只有-1,-2,即可得到关 于 m 的不等式组,即可求得 m 的范围. 解不等式 mx-2≤0 移项得:mx≤2 根据不等式只有两个负整数解-1,-2.则 m<0 一定成立. 2 则不等式的解集是:x≥ m 2 根据题意得:-3< ≤-2,且 m<0 m 2 解得:-1≤m<- . 3 12. 由题意知,这 3 种多边形的 3 个内角之和为 360 度,
已知正多边形的边数为 x、y、z, 那么这三个多边形的内角和可表示为: (x-2)×180 (y-2)×180 (z-2)×180 + + =360, x y z

2 2 2 两边都除以 180 得:1- +1- +1- =2, x y z

两边都除以 2 得,

1 1 1 1 ? ? =. x y z 2

13. ∵△OAP 是等腰直角三角形, ∴PA=OA, ∴设 P 点的坐标是(a,a), 把(a,a)代入解析式得到 a=2, ∴P 的坐标是(2,2), ∴OA=2, ∵△ABQ 是等腰直角三角形, ∴BQ=AB, ∴可以设 Q 的纵坐标是 b, ∴横坐标是 b+2, 4 把 Q 的坐标代入解析式 y= , x 4 得到 b= , b+2 ∴b=-1+ 5,(b=-1- 5舍去) ∴点 B 的坐标为( 5+1,0). 故答案为:( 5+1,0).
?5a1x+3b1y=4c1, 14. 解:? 变形为 ?5a2x+3b2y=4c2 ?a1x+b1y=c1, ?x=5, ? 的解是? , ?a2x+b2y=c2 ?y=6

?a × 4 +b × 4 =c , ? 5x 3y ? a × 4 +b × 4 =c
1 1 1 2 2 2

5x

3y

? 4 =5, ?x=4, 比较发现? 3y 解得? ?y=8 = 6 ? 4
4

5x

15. 解:第 1 列最多可以搬走 9 个小正方体; 第 2 列最多可以搬走 8 个小正方体; 第 3 列最多可以搬走 3 个小正方体; 第 4 列最多可以搬走 5 个小正方体; 第 5 列最多可以搬走 2 个小正方体. 9+8+3+5+2=27 个. 故最多可以搬走 27 个小正方体. 故答案为:27. 16. ∵△BCE 沿折痕 EC 向上翻折,点 F 恰好落在 AD 边上, ∴EF=EB,CF=CB, 设 BE=5x,则 AE=3x,AB=CD=8x, 2 在 Rt△AEF 中,AF= (5x)2-(3x) =4x, 设 BC=t,则 CF=AD=t, ∴DF=t-4x, 在 Rt△DFC 中,t2=(t-4x)2+(8x)2,解得 t=10x, 在 Rt△BCE 中,(5x)2+(10x)2=(155)2,解得 x=3, ∴AB=8x=24,BC=10x=30.

17. 证明:在 MA 上截取 ME=MC,连接 BE,如图,
∵BM⊥AC,而 ME=MC, ∴BE=BC, ∴∠BEC=∠BCE, ∵ AB?= BD?, ∴∠ADB=∠BAD, 而∠ADB=∠BCE, ∴∠BEC=∠BAD, 又∵∠BCD+∠BAD=180° ,∠BEA+∠BCE=180° , ∴∠BEA=∠BCD, 而∠BAE=∠BDC, 所以△ABE≌△DBC, ∴AE=CD, ∴AM=DC+CM. 18. 解:(1)以 H 为坐标原点,HK 方向为 x 轴正方向建立直角坐标系。 当电缆最低点离水平地面距离为 6 米时,抛物线的顶点坐标为(40,6) 1 此时,抛物线的解析式为 y= (x-40) 2+6 100 令 x=0 则 y=22 ∴电缆塔柱用于固定电缆的位置离地面至少应有 22 米的高度。 (2)①以 D 为坐标原点,DC 方向为 x 轴正方向建立直角坐标系。 1 设此时抛物线解析式为 y= x2+bx+c 100 3 易知:E(0,20)F(50,30),代入解析式可求得 b=- ,c=20. 10 ∴ y= 1 2 3 x - x+20 100 10
5

1 易求得斜坡所在直线的解析式为:y= x 5 设一条与 x 轴垂直的直线 x=m 与抛物线交于 M,与斜坡交于 N。 1 3 1 1 则:MN= m2- m+20- m= (m-25) 2+13.75 100 10 5 100 ∴ 当 m=25 时,MN 的最小值为 13.75 即在竖直方向上,下垂的电缆与地面的最近距离为 13.75 米。 ②22 米 19.解:(1)令 y=0,则-x-1=0,解得 x=-1, 所以,点 A 的坐标为(-1,0), 设抛物线解析式为 y=ax2+bx+c, ∵B(3,0),C(0,-3)在抛物线上,

? ? ?a-b+c=0, ?a=1, ∴?9a+3b+c=0,,解得?b=-2,, ? ? ?c=-3; ?c=-3;
所以,抛物线解析式为 y=x2-2x-3; (2)∵P 是线段 AD 上的一个动点,过 P 点作 y 轴的平行线交抛物线于 E 点, ∴设点 P(x,-x-1),则点 E 的坐标为(x,x2-2x-3), 1 9 PE=(-x-1)-(x2-2x-3)=-x-1-x2+2x+3=-x2+x+2,=-(x- )2+ , 2 4
?y=-x-1, ?x1=-1, ?x2=2, 联立? ,解得? ,? , 2 ?y=x -2x-3 ?y1=0 ?y2=-3

所以,点 D 的坐标为(2,-3), ∵P 是线段 AD 上的一个动点,∴-1<x<2, 1 9 ∴当 x= 时,PE 有最大值,最大值为 ; 2 4 (3)∵y=x2-2x-3=(x-1)2-4, ∴点 F 的坐标为(1,-4),点 G 的横坐标为 1,y=-1-1=-2, ∴点 G 的坐标为(-1,-2),∴GF=-2-(-4)=-2+4=2, ∵四边形 GFEP 为平行四边形,∴PE=GF, ∴-x2+x+2=2,解得 x1=0,x2=1(舍去), 此时,y=-1,∴点 P 的坐标为(0,-1), 故,存在点 P(0,-1),使得四边形 GFEP 为平行四边形; (4)存在.理由如下: ①当点 H 在 x 轴下方时,∵点 Q 在 x 轴上, ∴HD∥AQ, ∴点 H 的纵坐标与点 D 相同,是-3, 此时,x2-2x-3=-3, 整理得,x2-2x=0, 解得 x1=0,x2=2(舍去), ∴HD=2-0=2, ∵点 A 的坐标为(-1,0), -1-2=-3,-1+2=1, ∴点 Q 的坐标为(-3,0)或(1,0); ②当点 H 在 x 轴上方时,根据平行四边形的对称性,点 H 到 AQ 的距离等于点 D 到 AQ 的距离, ∵点 D 的纵坐标为-3,
6

∴点 H 的纵坐标为 3, ∴x2-2x-3=3, 整理得,x2-2x-6=0, 解得 x1=1- 7,x2=1+ 7, ∵点 A 的横坐标为-1,点 D 的横坐标为 2, 2-(-1)=2+1=3, 根据平行四边形的性质,1- 7+3=4- 7,1+ 7+3=4+ 7, ∴点 Q 的坐标为(4- 7,0)或(4+ 7,0), 综上所述,存在点 Q(-3,0)或(1,0)或(4- 7,0)或(4+ 7,0),使 A、D、H、Q 这四个点为顶点 的四边形是平行四边形. 20.解:由题意易知,这 32 个人恰好是第 2 层至第 33 层各住 1 人,对于每个乘电梯上、下楼的人,他所住 的层数一定不小于直接上楼的人所住的层数.事实上,设住 s 层的人乘电梯,而住在 t 层的人直接上楼,s <t,交换两人的上楼方式,其余的人不变,则不满意的总分减少. 设电梯停在第 x 层,在第 1 层有 y 人没有乘电梯即直接上楼,那么不满意的总分为: s=3[1+2+3+…+(33-x)]+3(1+2+…+y)+[1+2+…+(x-y-2)], 3×(33-x)(34-x) 3y×(y+1) (x-y-2)×(x-y-1) = + + , 2 2 2 =2x2-(y+102)x+2y2+3y+1684, y+102 2 1 =2(x) + (15y2-180y+3068), 4 8 y+102 2 15 =2(x) + (y-6)2+316≥316. 4 8 又当 x=27,y=6 时,s=316, 故当电梯停在第 27 层时,不满意的总分最小,最小值为 316.

7


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