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11.2直线的倾斜角和斜率(每日五题)


d、 k的互化 n、
直线方程 x ? x0 y ? y0 ? u v
a( x ? x0 ) ? b( y ? y0 ) ? 0
方向向量d 法向量n

(u, v) (b,?a) (1, k ) (b,?a)

(v,?u ) ( a, b) (k ,?1) ( a, b)

斜率k v

k? u a k?? b

y ? y 0 ? k ( x ? x0 )

k
a k?? b

ax ? by ? c ? 0

y2 ? y1 已知两点求斜率 ? k ? x2 ? x1

1、已知A(3, 2)、B(?4,1)、C(0, ?1)三点,求 直线AB、BC 、CA的斜率,并判断这些 直线的倾斜角是锐角还是钝角? 2、求下列方程所表示的直线的斜率.
x ? 2 y ?1 (2)  x ? 1) ? 5( y ? 2) ? 0 3( (1)   ? 3 4 3、求过A(?3, 4)且平行于直线l0:x ? 4 y ? 29 ? 0 3

  的直线的方程. 4、求过P(1, 2)且垂直于直线l0:x ? 3 y ? 5 ? 0   的直线的方程.
5、已知直线l:x ? 3 y ? 6 ? 0,求l 的点法向式 2   方程和点方向式方程.

1、已知A(3, 2)、B(?4,1)、C(0, ?1)三点,求 直线AB、BC 、CA的斜率,并判断这些 直线的倾斜角是锐角还是钝角?
解: ? (?7, 1) ? k AB AB ?

? 直线AB的倾斜角是锐角
BC ? (4, 2) ? k BC ?

1 ? ?0 7

? 直线BC 的倾斜角是钝角
CA ? (3,3) ? k CA ? 1 ? 0

1 ?? ?0 2

? 直线CA的倾斜角是锐角

2求下列方程所表示的直线的斜率. x ? 2 y ?1 (2)  x ? 1) ? 5( y ? 2) ? 0 3( (1)   ?
3 4

解法一:)直线的一个方向向量d ? (3,4) v 4 (1 ?k ? ? u 3 (2)直线的法向量n ? (3,?5) v 3 ? 方向向量d ? (?5,?3)? k ? ? u 5 x ? 2 y ?1 4 4 解法二:  (1) ? ? y ? 1 ? ( x ? 2) ? k ? 3 3 4 3 (2)  x ? 1) ? 5( y ? 2) ? 0 3( 3 3 ? ( y ? 2) ? ( x ? 1) ? k ? 5 5

3、求过A(?3, 4)且平行于直线l0:x ? 4 y ? 29 ? 0 3   的直线的方程. 解:方法一:直线l0的一个法向量n0 ? (3,?4) n ? 所求直线的法向量? (3,?4) ? 所求直线方程为3( x ? 3) ? 4( y ? 4) ? 0 即3x ? 4 y ? 25 ? 0 方法二:设所求直线方程为3x ? 4 y ? c ? 0
? 直线过A(?3,4), ? ?9 ? 16 ? c ? 0 ? c ? 25 ? 所求直线方程为3x ? 4 y ? 25 ? 0

4、求过P(1, 2)且垂直于直线l0:x ? 3 y ? 5 ? 0   的直线的方程. 解:方法一:直线l0的一个方向向量d ? (3,1) ? 所求直线的法向量 ? (3,1) n ? 所求直线方程为3( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 0 即3x ? y ? 5 ? 0 方法二:设所求直线方程为3x ? y ? c ? 0
? 直线过P(1,2) ? 3 ? 2 ? c ? 0 ? c ? ?5 ? 所求直线方程为3x ? y ? 5 ? 0

5、已知直线l:x ? 3 y ? 6 ? 0,求l 的点法向式 2   方程和点方向式方程. 令 解:在直线l:x ? 3 y ? 6 ? 0中, x ? 0 ? y ? 2 2 即(0, 是直线 l上的一点的坐标 2) 由直线l:x ? 3 y ? 6 ? 0知 法向量n ? (2,3) 2 方向向量d ? (3,?2) 2x ? 直线 l 的点法向式方程为:? 3( y ? 2) ? 0 x y?2 直线 l 的点方向式方程为: ? 3 ?2 或令y ? 0 ? x ? 3 即(3, 是直线 l上的一点的坐标 0)


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