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3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式


3.1.3

二倍角的正弦、余弦、 正切公式

1.理解二倍角公式的推导;

2.灵活掌握二倍角公式及其变形公式; (重点)
3.能综合运用二倍角公式进行化简、计算及证明. (重、

难点)

sin ?? ? ? ? ? sin ? ? cos ? ? cos ?

? sin ?

cos ?? ? ? ? ? cos ? ? cos ? ? sin ? ? sin ?
tan ?? ? ? ? ?
tan ? ? tan ? 1 ? tan ? ? tan ?

探究:你能用以上公式推导出 sin 2?, cos 2?, tan 2? 的公式吗? 分析:令 ?=? ,代入上述三式可得.

二倍角正弦、余弦、正切公式的推导

sin (? +?) ? 2sin ? cos ?
即sin 2? ? 2sin ? cos ? .
二倍角的正弦公式. 简记为 S2? .

cos 2? ? cos (? ? ? ) ? cos2 ? ? sin 2 ?
? 2cos2 ? ? 1

? 1 ? 2sin 2 ? .

二倍角的余弦公式.

简记为 C2? .

2 tan ? tan 2? ? tan (? ? ? ) ? 1 ? tan 2 ?

二倍角的正切公式. 简记为 T2? .

倍角公式

S2? sin 2? ?2sin ? ? cos ?

C2?
T2?

cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? =1-2sin 2 ? =2cos2 ? -1 2 tan ? tan 2? ? 1 ? tan 2 ?
这里的“倍角”专指“二倍角”,遇到 “三倍角”等名词时,“三”字等不能省 去.

公式说明 1.角的倍半关系是相对而言的, 2? 是? 的二倍,
? ? 4? 是 2? 的二倍, 是 的二倍等等; 4 2 2.当 ? =k? ? ? (k ? Z ) 时,tan ? 的值不存在, 2

求 tan 2? 的值可利用诱导公式.

二倍角公式的应用 1.公式的直接应用
5 ? ? 例1. 已知 sin 2? ? , ??? , 13 4 2 求 sin 4?, cos 4?, tan 4?的值.

分析:先求 sin 2? ,cos 2?的值,再利用公式求值. ? ? ? 解:由 ? ? ? , 得 ? 2? ? ?. 注意 2? 的范围 4 2 2 5 又 Q sin 2? ? , 13 5 12 ? cos 2? ? ? 1 ? sin 2 2? ? ? 1 ? ( ) 2 ? ? . 13 13

? sin 4? ? 2sin 2? cos 2? 5 12 120 ? 2 ? ? (? ) ? ? ; 13 13 169

cos 4? ? 1 ? 2sin 2 2? 5 2 119 ? 1? 2? ( ) ? ; 13 169
tan 4? ? sin 4? 120 169 120 ? (? )? ?? . cos 4? 169 119 119

4 例2.在△ABC中, cos A ? , tan B ? 2, 5 求 tan (2A ? 2B)的值.
解法1 在△ABC中, 4 由 cos A ? , 0 ? A ? ?, 得 5 4 3 sin A ? 1 ? cos 2 A ? 1 ? ( ) 2 ? . 5 5 sin A 3 5 3 ? tan A ? ? ? ? . cos A 5 4 4 3 2? 2 tan A 4 ? 24 . tan 2A ? ? 1 ? tan 2 A 1 ? ( 3 ) 2 7 4

tan B ? 2, 2 tan B 2? 2 4 ? tan 2B ? ? ?? . 2 2 1 ? tan B 1 ? 2 3 tan 2A ? tan 2B ? tan(2A ? 2B) ? 1 ? tan 2A tan 2B 24 4 ? 44 7 3 ? ? . 24 4 还可以把 2A ? 2B 1 ? ? (? ) 117 7 3

看作

2(A ? B)

解法 2

4 , 0 ? A ? ?, 得 5 4 3 sin A ? 1 ? cos 2 A ? 1 ? ( ) 2 ? . 5 5 sin A 3 5 3 ? tan A ? ? ? ? . cos A 5 4 4 在?ABC中,由 cos A ?
tan B ? 2,

3 ?2 tan A ? tan B 11 4 ? tan( A ? B) ? ? ?? . 3 1 ? tan A tan B 1 ? ? 2 2 4 11 2 ? (? ) 2 tan( A ? B) 2 ? 44 . ? tan(2 A ? 2 B) ? ? 1 ? tan 2 ( A ? B) 1 ? (? 11) 2 117 2

2.公式的逆用 例3.求下列各式的值:

(1)sin15 cos15 ;(2) cos

2

?
8

? sin

2

?
8

;

tan 22.5° 2 (3) ;(4)2 cos 22.5° ? 1. 2 1 ? tan 22.5°
1 1 1 解:(1)sin15°cos15°= ? 2sin15°cos15°= sin 30° ? ; 2 2 4 ? ? ? ? 2 (2) cos 2 ? sin 2 = cos(2 ? ) ? cos ? ; 8 8 8 4 2 1 ? 2 tan 22.5° tan 22.5° 1 1 2 (3) ? ? tan 45 ° ? ; 2 2 1 ? tan 22.5° 1 ? tan 22.5° 2 2
(4)2cos 2 22.5° ? 1 ? cos 45° ? 2 . 2

3.公式的活用
例4.求8sin

?

48 48 24 12 ? ? ? ? 解: 8sin cos cos cos 48 48 24 12 ? ? ? ? =4 ? (2 sin cos ) cos cos 48 48 24 12 ? ? ? =4sin cos cos 24 24 12 ? ? ? ? 2 ? (2sin cos ) cos 24 24 12
? 2sin ? sin

cos

?

cos

?

cos

?

的值.

?

?

12

cos

?

12

1 ? . 6 2

1.(2012 ? 聊城高一检测)若?为锐角,且 sin ? : sin 则 cos ?的值为( B ) . 4 A. 5
由sin ? : sin

? ? 8 : 5, 2

7 B. 25
?
2

12 C. 25
?
4 ? , 2 5

8 D. 25

? 8 : 5得, cos

cos ? ? 2 cos 2

?
2

?1 ?

7 . 25

2.已知 cos

? 4 ? ? ? ? ? ,8? ? ? ? 12?, 求 sin , cos , tan 的值. 8 5 4 4 4 ? 3 ? 4 ? 3 解:由? ? ? ?, cos ? ? , 得sin = ? , 8 2 8 5 8 5 ? ? ? 3 4 24 sin =2sin cos =2 ? (? )( ? ? ) = , 4 8 8 5 5 25
? 4 2 7 2 ? cos =2 cos ? 1 ? 2 ? (? ) ? 1 ? , 4 8 5 25 ? 24 sin ? 4 = 25 = 24 . tan = 4 cos ? 7 7 4 25

3.求下列各式的值.
(1) sin 22.5°cos 22.5°; (2) cos 2 (3) tan15° ; 2 1 ? tan 15°

?
3

? sin 2

?
3

;

(4)1 ? 2sin 2 22.5° .

1 1 2 解: (1)原式= ? 2sin 22.5°cos 22.5° ? sin 45° ? ; 2 2 4 2? 1 (2)原式 ? cos ?? ; 3 2 1 3 (3)原式 ? tan 30° ? ; 2 6

2 (4)原式=cos45° ? . 2

1 4.已知tan2? = , 求 tan ?的值. 3
2tan? 1 解:tan2? = ? 2 1-tan ? 3 ? tan 2 ? ? 6 tan ? ? 1 ? 0, ? tan ? ? ?3 ? 10.

1 1 5.已知tan? ? , tan? ? , 求 tan (? +2?)的值. 7 3

3 提示:先求出tan2? = , 4
1 3 ? tan? +tan2? 再利用 tan (? +2?) = ? 7 4 ? 1. 1-tan? tan2? 1 ? 1 ? 3 7 4

1.二倍角正弦、余弦、正切公式的推导
sin 2? ? 2sin ? cos ?

cos 2? ? cos 2 ? ? sin 2 ? ? 2 cos 2 ? ? 1 ? 1 ? 2 sin 2 ?
tan 2? ? 2 tan ? 1 ? tan 2 ?

2.公式的正用 、逆用、灵活应用

不用相当的独立功夫,不论在哪个严重的
问题上都不能找出真理;谁怕用功夫,谁

就无法找到真理。

——列宁


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