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2018年上海市普通高等学校春季招生统一文化考试数学试卷


2018 年上海市普通高等学校春季招生统一文化考试 数学试卷
一、填空题(本大题共有 12 题,满分 54 分,第 1~6 题每题 4 分,第 7~12 题每 题 5 分)
1.不等式 | x |? 1 的解集为__________. 2.计算: lim

3n ? 1 ? __________. n ?? n ? 2

3.设集合 A ? {x | 0 ? x ? 2} , B ? {x | ?1 ? x ? 1} ,则 A ? B ? __________. 4.若复数 z ? i ? i ( i 是虚数单位) ,则 z ?

2 ? __________. z

5.已知 {an } 是等差数列,若 a2 ? a8 ? 10 ,则 a3 ? a5 ? a7 ? __________. 6 .已知平面上动点 P 到两个定点 (1,0) 和 ( ?1,0) 的距离之和等于 4 ,则动点 P 的轨迹为 __________. 7.如图,在长方形 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, AB ? 3 , BC ? 4 , AA 1 ? 5 , O 是 AC 1 1的 中点,则三棱锥 A ? AOB 1 1 的体积为__________.

第 7 题图

第 12 题图

8.某校组队参加辩论赛,从 6 名学生中选出 4 人分别担任一、二、三、 四辩. 若其中学生 甲必须参赛且不担任四辩,则不同的安排方法种数为__________.

2? ? a ? ? 9. 设a?R , 若 ? x 2 ? ? 与 ? x ? 2 ? 的二项展开式中的常数项相等, 则 a ? __________. x? ? x ? ?
10.设 m ? R ,若 z 是关于 x 的方程 x ? mx ? m ? 1 ? 0 的一个虚根,则 | z | 的取值范围
2 2

9

9

是__________.
1/5

11. 设a ? 0, 函数 f ( x ) ? x ? 2(1 ? x)sin(ax) ,x ? (0,1) , 若函数 y ? 2 x ? 1 与 y ? f ( x) 的图象有且仅有两个不同的公共点,则 a 的取值范围是__________. 12. 如图, 正方形 ABCD 的边长为 20 米, 圆 O 的半径为 1 米, 圆心是正方形的中心, 点P、

Q 分别在线段 AD 、 CB 上,若线段 PQ 与圆 O 有公共点,则称点 Q 在点 P 的“盲
中.已知点 P 以 1.5 米/秒的速度从 A 出发向 D 移动,同时,点 Q 以 1 米/秒的速度从

区”

C 出发向 B 移动,则在点 P 从 A 移动到 D 的过程中,点 Q 在点 P 的盲区中的时长约为
__________秒(精确到 0.1)

二、选择题(本大题共有 4 题,满分 20 分,每题 5 分)
13.下列函数中,为偶函数的是( (A) y ? x (C) y ? x
?2
1 2

) (B) y ? x (D) y ? x
1 3

?

3

14.如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 的棱虽在的直线中,与直线 BC1 异面的直线条数为( (A)1 (C)3 ) (B)2 (D)4 )

15.记 Sn 为数列 {an } 的前 n 项和.“ {an } 是递增数列”是“ Sn 为递增数列”的( (A)充分非必要条件 (C)充要条件 (B)必要非充分条件 (D)既非充分也非必要条件

16. 已知 A 、B 为平面上的两个定点, 且 | AB ? 2 | . 该平面上的动线段 PQ 的端点 P 、Q , 满足 | AP |? 5 ,AP ? AB ? 6 , 则动线段 PQ 所形成图形的面积为 ( AQ ? ?2 AP , (A)36 (B)60 (C)81 (D)108

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

????

??? ?



三、 解答题 (本大题共有 5 题, 满分 76 分, 第 17~19 题每题 14 分, 20 题 16 分, 21 题 18 分)
17. (本题满分 14 分,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分)

2/5

已知 y ? cos x . (1)若 f (? ) ?

1 ? ,且 ? ? [0, ? ] ,求 f (? ? ) 的值; 3 3

(2)求函数 y ? f (2 x ) ? 2 f ( x) 的最小值.

18. (本题满分 14 分,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分) 已知 a ? R ,双曲线 ? :

x2 ? y 2 ? 1. 2 a

(1)若点 (2,1) 在 ? 上,求 ? 的焦点坐标; (2) 若a ? 1, 直线 y ? kx ? 1 与 ? 相交于 A 、B 两点, 且线段 AB 中点的横坐标为 1, 求实数 k 的值.

19. (本题满分 14 分,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分) 利用“平行于圆锥曲线的母线截圆锥面,所得截线是抛物线”的几何原理,某快餐店用两 个射灯(射出的光锥视为圆锥)在广告牌上投影出其标识,如图 1 所示,图 2 是投影出的抛

OC 物线的平面图, 图 3 是一个射灯的直观图, 在图 2 与图 3 中, 点 O 、A 、B 在抛物线上,
是抛物线的对称轴, OC ? AB 于 C , AB ? 3 米, OC ? 4.5 米. (1)求抛物线的焦点到准线的距离; (2)在图 3 中,已知 OC 平行于圆锥的母线 SD , AB 、 DE 是圆锥底面的直径,求 圆锥的母线与轴的夹角的大小(精确到 0.01° ) .

图1

图2

图3

20. (本题满分 16 分,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分)
3/5

设 a ? 0 ,函数 f ( x ) ?

1 . 1 ? a ? 2x
?1

(1)若 a ? 1 ,求 f ( x ) 的反函数 f

( x) ;

(2)求函数 y ? f ( x) ? f ( ? x ) 的最大值(用 a 表示) ;

1 ) (3)设 g (x ) ? f (x ) ?f (x ?
取值范围.

.若对任意 x ? (??,0] ,g ( x ) ? g (0) 恒成立,求 a 的

21. (本题满分 18 分,第 1 小题满分 3 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 9 分) 若 {cn } 是递增数列, 数列 {an } 满足: 对任意 n ? N , 存在 m ? N , 使得
* *

am ? cn ?0, am ? cn?1

则称 {an } 是 {cn } 的“分隔数列”. (1)设 cn ? 2n , an ? n ? 1 ,证明:数列 {an } 是 {cn } 的“分隔数列”; (2) 设 cn ? n ? 4 ,Sn 是 {cn } 的前 n 项和,dn ? c3n?1 , 判断数列 {Sn } 是否是数列 {d n } 的分隔数列,并说明理由; (3)设 cn ? aq
n?1

, Tn {cn } 的前 n 项和,若数列 {Tn } 是 {cn } 的分隔数列,求实数 a 、

q 的取值范围.

4/5

参考答案
一、填空题
1. ( ??, ?1) ? (1, ??) 2.3 3. (0,1) 4.2 5.15

6.

x2 y2 ? ?1 4 3
11? 19? , ] 6 6

7.5

8.180

9.4

10. (

3 , ??) 3

11. (

12. 4.4

二、选择题
13.A 14.C 15.D 16.B

三、解答题
17. (1)

3 1? 2 2 ; (2) ? 2 6

18. (1) (1,0) , ( ?1,0) ; (2)

5 ?1 . 2

19. (1)

1 ; (2) 9.59 ? . 4
?1

20. (1) f

( x ) ? log 2

1? x 1 (0 ? x ? 1) ; (2) ymax ? ( x ? 0 时取最值) ; x 1 ? 2a ? a 2

(3) (0, 2] 21. (1)证明略; (2)不是.反例: n ? 4 时, m 无解; (3) ?

?a ? 0 . ?q ? 2

5/5


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