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点到直线距离公式的两种推导方法


1 9 8 3 布 第

五 期
:

行 星 运行 的 天 使 模型 过 相 当 复 杂 的 逻辑 推 理 早被人们 遗忘 了
由此可 见
, 。 。

中 世 纪时


,

人们 认 为行
,

星 运

行 是 由 一 名 天 使 在推 动

对此

,

人们 也 曾 进 行

这 类研 究成 果

今 天 当然

“ ” 在许 多 重 复 型 的 活 动 中 人 类 已经 可被 某 种 机 器 代 替 在 经 济 上 可 能 时 这 样 的 事 当 , 然 多多 益 善 实 际 上 计 算 机 现 在 能 做 的 事 也 正 在 越

今天

,

,



,

一 种 模型 或 者 一 种 公理 体 系 应 该 非
,


常 确 切 地 来 公 理 化 否则 不 知 道会推 出 什 么 来 这 要 求 数 学家 逻 辑 学 家 在做 这 一 步时 要 非 常 精 细 并 且 为 了 避 免 所 有 人 为的 错 误 多 少 要 夸 大 一 下 数 学 基 础 的 作 用 把 它搞 得 非 常 形 式 化 逻 辑 的 实 际 发
, , ,


因 此 人 类 应 该 发展 他 来越多 (例 如 下 棋 等 ) 的 最 珍贵的 最不 能代替 的 创 造 才 能 用 来 指 引 为 得 到 他 所 感 兴 趣 的 结 论 的 (计 算 机 能 做 的 ) 演 绎推


,



,



到二 十 一 世 纪 人 们 将 无 疑 会 看 到 在 诗 人 术 家 的 领 域 中 在 所有 显 示 人 类成 就 的 领 域 中
,



,





,



学 和 计 算 机 都有一 定的 作 用



展 及 其 对 数 学 的 应 用 指 出 这 种 夸 大 还是有 用的





我 已 经 给 出 许 多 物 理 学 的 数学模 型 的 历 史 上 的 “ ” 倒 予 这 些 都 是 伟 弋的 模 型 但是 在 实 验 科
,

数 学 在 科 学 技 术 甲 是 一 种 什么 样 的 地 位 呢 ? 它
既 是 仆人
,

又 是 王后



它是王 后

,

是 因 为没 有 它
,

.

学中

,

人 们 也常 常 用 一 些
,
.



局 部 幻 模型



,

它们仅

现 代 的 科 学 技 术 将 会 崩溃 , 它 是 仆 人
须 为 科学 技 术服 务 (计 算 或 模 型 化 )

是 因 为它 必
但 作 为王 后

仅 是 一 种 部 分泊 数 学 化

粗 糙 的 近似
有 用的

, ,

或者 甚 至 只 是实 际 情况 的 种 局 模 这 部 型 的 建 立 基于 一 种 相 当 好
,



也 因 为 它使 人 类 精 神 能 够 通 过 数 学 研 究 的 模 型 的 中

的 物 理 数学 直 观 (否 则 那 将 是一 种 灾难 ) 但 不太 强
:


它们 是



,

来 了 解 这 个 确定 的 世 界
因此
,

,

以 求得 其 真 正 的 解


次样 的 例 子

伏 尔 退 拉 的 生存 竞 争 模 型 就 是 池 子 里 有 两种 鱼 一 种 是 食 肉 的 大
,
_







数学 和 科 学 技术 应 该 合 作
,


有些数学家

一 种 是 食草灼 小 鱼
.

,

大 鱼 靠 吃小 鱼 为生
,
.



当大

认 为 数学 是 个 非 常丰 富 灼 智力 世 界
以 与 外 界毫 不 相 干 而 独 立 发展

它 现 在 完全 可

鱼吃 小 鱼 吃 得 太 多

小 鱼 濒 于 灭 种时
??

大 鱼本 身 也

这 种 想 法 是十 分 危


繁殖 不 下 去 大 鱼 又 有 了 食物



,

于 是小 道 又 得 到 繁殖 机会
,

这样一来 它们的 繁

险的

,

也是 十 分 自私 的
,

,

说 明这些数学家不愿为 科 这些年来发
,

矛 … 最后 又 繁殖 起 到

,

学技术服务

而 只 愿 为他 们 自 己 服务

植 达 到 某 种平 衡



伏 尔 退 拉 由 此 导 出某 个 微 分 方

展 起 来 的 各 种 模 型 都说 明 外 部 世 界 (物 质 的 和 人 类 的 ) 始 终 是 数 学 发展 的 丰 富 的 源 泉


点 到 直 线距离 公 式 的 两种推 导方法
任 解 析 几何 课 本 中
,

关 于 求 一 已知 点 到 一 条 已
:

4。: b

:



、(1

+

m

:

) (、:

一 r :

)



。 推



:



~

如 直 线 的 距 离 的 方 法 步骤 是 法线 式
d

?

首 先 把直 线 方 程 写 成
,


然 后 把 已 知 点 的坐 标 代 人 法 线 式 的 左 边
,

取 所得 的 值 的 绝 对 值
士 (工
c o s

就 是所 求 灼 距 离


也就 是


其 中双 重 符 号 须 根 据 点 和 原 点 在 直 线 的 同侧 或 异 侧 来 判 断 正 负 公 式 的 使 用 并 不 困 难 但在 推 导 ( 或 称 法 化 ) 公 式 时 却
,

o

+

y

ls

in o

P)

,

了1 + m r 因 为过 切 点 的 圆 的 半 径 必 垂 直于 切 线 这 样 即 为 二 x + b的 原 点 到直 线 y m 距离 这 里 的 b 和 m 就 是 直 线 在 y 轴上 的 截 距 和 斜 率 但 是 大 量 的 题 目 中 要 求 的 是 任 意一 点 ( z ) 到 任 意 一 条 直 线 的 距离 问 y
Z


华上

,





.

,

是 相 当麻 烦 的 种推导 方法




下 面 提 洪 点到 直 线 的 距 离 公 式 的两

y ) 当作 新 x 不 妨 平 移 坐 标 轴 有 意 识地把 ( 原 点 而 利 用 上 述 方 法 求 出点 到直线 的 距 离 公 式



,

,

,

,

,





圆半 径 法



例 解
yZ
x
Z

.

到 直线 y 二 2 : + 3 的 距 离 1 ) 成 为新坐 平 移 坐 标轴 使 ( 5 标系 下
求点 (
,

5

i

)



,

,

x

=

i
,



+
,

5

-

考虑圆心在原 点的 圆 扩


二 r



与 直线 y
=
二2



m

l

的 圆心

,

其 平移 公 式 为
+

l

相 应 的 直线 方


+



2

y

=

y
.



i

b

的位置关 系

,

从 方 程组 弓
=

解得 圆
m
l +
x

b
Z

程 将 为y




1

=

2 (1



+

5 ) + 3

整 理后 即 y
d
=



=

2

1 ,

与 直线的 交点是 将y =
即有
(1
+
1 之 +

m

x



b代人

方程
=

+

y:

=

r Z

,

, “

.

再 运 用 上 述 方 法 很 容 易求 得



(m

x
Z


+

) h



=

r 里,

经过 整 理化简 为
一 r :

月 些 ] m

+
:

m

,

)x
=

Z m bx +

(b Z

)

0

.

令该方程 的
,

12

判 别式 A



,

即说 明这 时 圆 与 直 线 相 切





6

(如 图 1 )

.

~~

~~~. .

. . . . .

. ,


y





三 角函 数 法

推 导 点 到 直线 的 距
离公 式 d


士 么
-

一 一一



一]

亿1
除 圆 半 径 法外
.

」且
+
,

~

,

}





.

还可 以 利 用 直角三 角 形和 三 角 函数 求 出 同 样 的 公式 1 当进 > 0 ( O < 9 0 ) 时 (如 图 二 2 ) 令 b 0 为 直线 的倾 斜 角 l }




:

d

=
s e e

(1 8 0
b
l

}石 {


.



0)
_

平方 后亦 得
bl
l+



,

_

,

dl 二
_

b,
1 + tg
Z

~

为y
9 0


轴上 的截 距
一 =



因<
B
,

B

=
,


b
t

于丁雨 而 石感
?



(



t

9 0) 2



O

,

而在 八 A O

.



乙B

‘O =

匕 A O B 所以 匕 A O B 在 直 角 三角
B巾
.

90

形A o

d

=

~

」互 」
s o e

-








了1 + m 以 上 两 种方 法在 推 导 点 到直 线 距 离公式 中 不 仅 简明 而 且 在运 用 上 也很 容 易 可 以 免 去 考 虑 点和 原 点在 直 线 同 侧 和 异 侧 的 分辨 仅是 用 到平移公式
,
,
, ,

1 + 口,



d



1b l

方后 可得 、 】 落 狡
J

:

d

:

=
8

bZ

_

b:
.

而吻

_


u

1b l




豆 下咭 两



b

2

而 已 运算 中也 只 是 用 到 直线 的斜 率和 截距 两 个 已 知数 值 但 在 较 复杂 的题 目 中是 否 采 用 这样 的 公 式




1+ m

Z

-

则 值得研 究



(柳 书 语



张 津 生 编 译 自美 国 《数 学教 师 》
一 九 七 九年 三 月 号 )

/

l+



,

自 编 根 式 方 程 的 一 个 简 单 方 法
自 编 根式方 程 的 练 习 题 和 试 题 比 较 困 难 随 便 写 出 的 根 式 方 程 通 常 很 不 好解 下 面 介绍 一 种设 计


,

厄 玉 不 了百 万=

4

.

例2

.

这 类 问 题的方法
1
.



先 写 出召 百 =
的 一种 方 法是

3

.



:



6

,

那 么 改写

只 用 常数 写 出 含一 个 或 多 个 根 号 的 等式
v




亿百 一

3


2
.

i石二 了 百 +
x

1

,
,

令 等 于某 个 任 意 常数 程 的一 个 解 ( 可 能还 有 其 它解 )
3
.



取定 的 值 即 为 方 如x 二 5,


例3

.

了玉 而

二 ,



3




先 写 出 了百 了 6玉丁 I
,

了万 =
=

5

.



x



2

,

可将

等 式改 写 为
+

利 用 改 写第一 步 写 出 灼 等 式 于被 开 方 数 1 6 和 9 可 用 不 同 形 式 由 x 表 出
出 许 多不 同 的 根式 方 程
J

x

注意

,



亿斤

x 3



1
,

.

,

所以 可 写
舍去

解 方程 时 例 2 似乎有 两 个解 但 其 中一 个 要 x = b 此 例 说 明 : = b 的 解 集 不一 定 与 的解


Z






云 不1 夕百 了在 而

二 二

二压 玄 侧乞



1

,

集相 同



召石 刁



l


.

上 式 可化 简 为
2

干4 + 了 云丁 i 二 召三
:

1

但连续 尽 管 我 们 已 经 知 道 例 3 的 一个 解是 2 两 次 平方 将 产 生 一 个 四 次方程 解 起 来 可 能 相 当 麻 烦
,
,


下面 再举 几 例

1
x
.

用 这 种 方法 可 简单 而 迅速 地编 出 根 式 方 程
x

,



先 写 出了 而 =


4

.



=





,

那么 1 6

最 好 自 己 试 解 一 下再交 给 学 生 去 做
(天



可写作3

+

1 4

.

等 式了 厉



变为

津教 育 学 院

刘 伯 钓根 据 美 国

《 数 学教 师 》 1 9 8 1 年 4 月 号 编 译 )


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