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【高优指导】2017版高考数学一轮复习 第九章 解析几何单元质检 文 北师大版


单元质检九

解析几何
单元质检卷第 18 页

(时间:100 分钟 满分:150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 6 分,共 72 分) 1.到直线 3x-4y+1=0 的距离为 3,且与此直线平行的直线方程是(

)

A.3x-4y+4=0 B.3x-4y+4=0 或 3x-4y-2=0 C.3x-4y+16=0 D.3x-4y+16=0 或 3x-4y-14=0 答案:D 解析:设所求直线方程为 3x-4y+m=0, 由=3,解得 m=16 或 m=-14. 即所求直线方程为 3x-4y+16=0 或 3x-4y-14=0. 2 2.抛物线 y =8x 的焦点到双曲线=1 的渐近线的距离为( ) A.1 B. C. D. 答案:A 2 解析:抛物线 y =8x 的焦点坐标为(2,0),其到双曲线=1 的渐近线 x±y=0 的距离 d==1. 2 2 2 3.(2015 石家庄高三质检二)若圆(x-5) +(y-1) =r (r>0)上有且仅有两点到直线 4x+3y+2=0 的距离 等于 1,则实数 r 的取值范围为( ) A.[4,6] B.(4,6) C.[5,7] D.(5,7)?导学号 32470633? 答案:B 解析:利用圆的几何性质求解,因为圆心(5,1)到直线 4x+3y+2=0 的距离为=5,又圆上有且仅有两点 到直线 4x+3y+2=0 的距离为 1,则 4<r<6,故选 B. 4.已知椭圆=1(a>b>0)的短轴端点分别是 B1,B2,左,右焦点分别是 F1,F2,右顶点为 A,若=0,则椭圆离 心率为( ) A. B. C. D.?导学号 32470634? 答案:D 解析:由椭圆对称性可知,, 则=0. 因此||=||,即 2c=a-c.故 e=. 5.已知椭圆=1(a>b>0)与双曲线=1(m>0,n>0)有相同的焦点(-c,0)和(c,0),若 c 是 a,m 的等比中 2 2 2 项,n 是 2m 与 c 的等差中项,则椭圆的离心率是( ) A. B. C. D.?导学号 32470635? 答案:D 2 2 2 解析:由题意可知 2n =2m +c , 2 2 2 又 m +n =c ,所以 m=. 因为 c 是 a,m 的等比中项, 2 所以 c =am,代入 m=,解得 e=. 6.(2015 江西南昌一模)已知过定点 P(2,0)的直线 l 与曲线 y=相交于 A,B 两点,O 为坐标原点,当 △AOB 的面积取到最大值时,直线 l 的倾斜角为( ) A.150° B.135° C.120° D.不存在?导学号 32470636? 答案:A 解析:结合图形求解.曲线 y=是半圆(如图),当△AOB 的面积最大时,∠AOB=90°,此时圆心 O 到直线 AB 的距离 OC=1,又 OP=2,易得∠CPO=30°,所以直线 l 的倾斜角为 150°,故选 A.

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7.若直线 x-y+2=0 与圆 C:(x-3) +(y-3) =4 相交于 A,B 两点,则的值为( ) A.-1 B.0 C.1 D.10 答案:B 解析:依题意,圆心 C(3,3)到直线 x-y+2=0 的距离等于,cos=45°,∠ACB=90°,=0,故选 B. 8.(2015 湖北,文 9)将离心率为 e1 的双曲线 C1 的实半轴长 a 和虚半轴长 b(a≠b)同时增加 m(m>0)个 单位长度,得到离心率为 e2 的双曲线 C2,则( ) A.对任意的 a,b,e1>e2 B.当 a>b 时,e1>e2;当 a<b 时,e1<e2 C.对任意的 a,b,e1<e2 D.当 a>b 时,e1<e2;当 a<b 时,e1>e2?导学号 32470637? 答案:D 解析:由条件知=1+=1+, 当 a>b 时,,∴.∴e1<e2. 当 a<b 时,,∴.∴e1>e2. 所以,当 a>b 时,e1<e2;当 a<b 时,e1>e2. 9.(2015 河北邯郸二模)双曲线 C:=1(a>0,b>0)的右焦点为 F,若 F 关于直线 y=x 的对称点 P 在双曲 线上,则 C 的离心率为( ) A.2 B. C. D.+1 答案:D 解析:双曲线=1 的右焦点 F(c,0), 设 F(c,0)关于直线 y=x 的对称点为 P(x0,y0), 则解得 即 P. 2 2 代入双曲线=1 得 e =4-2(舍),或 e =4+2. ∴e=+1. 2 2 10.已知抛物线 y =2px(p>0)上一点 M(1,m)(m>0)到其焦点的距离为 5,双曲线-y =1 的左顶点为 A,若 双曲线一条渐近线与直线 AM 平行,则实数 a=( ) A. B. C.3 D.9 答案:A 2 解析:由题意可知,抛物线 y =2px(p>0)的准线方程为 x=-4,则 p=8,所以点 M(1,4). 2 又双曲线-y =1 的左顶点为 A(-,0), 所以直线 AM 的斜率为. 由题意得,解得 a=. 11.在平面直角坐标系中,O 为原点,A(-1,0),B(0,),C(3,0),动点 D 满足||=1,则||的取值范围是 ( ) A.[4,6] B.[-1,+1] C.[2,2] D.[-1,+1]?导学号 32470638? 答案:D 2 2 解析:设动点 D 的坐标为(x,y),则由||=1 得(x-3) +y =1,所以 D 点的轨迹是以(3,0)为圆心,1 为半 径的圆. 又=(x-1,y+),所以||=,故||的最大值为(3,0)与(1,-)两点间的距离加 1,即+1,最小值为(3,0) 与(1,-)两点间的距离减 1,即-1.故选 D. 12.(2015 福建,文 11)已知椭圆 E:=1(a>b>0)的右焦点为 F,短轴的一个端点为 M,直线 l:3x-4y=0 交 椭圆 E 于 A,B 两点.若|AF|+|BF|=4,点 M 到直线 l 的距离不小于,则椭圆 E 的离心率的取值范围是 ( ) A. B. C. D.?导学号 32470639? 答案:A 解析:

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2

如图,取椭圆的左焦点 F1,连接 AF1,BF1. 由椭圆的对称性知四边形 AF1BF 是平行四边形, ∴|AF|+|BF|=|AF1|+|AF|=2a=4.∴a=2. 不妨设 M(0,b),则, ∴b≥1.∴e=. 又 0<e<1,∴0<e≤.故选 A. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.若椭圆=1 的离心率 e=,则 k 的值为 . 答案:4 或解析:若焦点在 x 轴上,即 k+8>9, 2 2 2 则 a =k+8,b =9,e =,解得 k=4. 若焦点在 y 轴上,即 0<k+8<9, 2 2 2 则 a =9,b =k+8,e =, 解得 k=-. 综上,k=4 或 k=-. 2 14.(2015 辽宁丹东一模)已知抛物线 C:y =2px(p>0)的焦点是 F,点 M(0,2),线段 MF 与 C 的交点是 N, 过 N 作 C 的准线的垂线,垂足是 Q,若∠MQF=90°,则 p= .?导学号 32470640? 答案: 解析:

如图所示, ∵∠MQF=90°,|NF|=|NQ|,∴点 N 是 Rt△MQF 的边 MF 的中点, ∴N,|NQ|=|MF|. ∴, ∴p2=2.解得 p=. 15.如图,椭圆的中心在坐标原点 O,顶点分别是 A1,A2,B1,B2,焦点分别是 F1,F2,延长 B1F2 与 A2B2 交于 P 点,若∠B1PA2 为钝角,则此椭圆的离心率的取值范围为 .

?导学号 32470641? 答案: 解析:设椭圆的方程为=1(a>b>0),∠B1PA2 为钝角可转化为所夹的角为钝角,则(a,-b)?(-c,-b)<0, 2 2 2 2 得 b <ac,即 a -c <ac,故-1>0,即 e +e-1>0,解得 e>或 e<.又 0<e<1,∴<e<1. 2 16.(2015 课标全国Ⅰ,文 16)已知 F 是双曲线 C:x -=1 的右焦点,P 是 C 的左支上一点,A(0,6).当 △APF 周长最小时,该三角形的面积为 .?导学号 32470642? 答案:12

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解析:设双曲线的左焦点为 F1,如图. 由双曲线的定义知|PF|=2a+|PF1|, ∴△APF 的周长为|PA|+|PF|+|AF|=|PA|+(2a+|PF1|)+|AF|=|PA|+|PF1|+(2a+|AF|). 由于 2a+|AF|是定值,要使△APF 的周长最小,则应使|PA|+|PF1|最小,即 P,A,F1 三点共线. ∵A(0,6),F1(-3,0), ∴直线 AF1 的方程为=1,即 x=-3. 2 2 将其代入 x -=1 得 y +6y-96=0, 解得 y=2 或 y=-8(舍去), 因此点 P 的纵坐标为 2.

∴S△APF= =?|F1F|?yA-?|F1F|?yP =?6?6?6?2=12.
三、解答题(本大题共 4 小题,共 58 分) 2 2 17.(14 分)已知直线 l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4(m∈R),圆 C:(x-1) +(y-2) =25. (1)证明:m 为任意实数时 l 与圆 C 必相交; (2)求直线 l 被圆 C 截得的弦长的最小值及此时 m 的值. (1)证明:直线 l 方程变形为(2x+y-7)m+(x+y-4)=0. 对任意实数 m 方程成立. ∴解得 ∴对任意实数 m,直线 l 恒过定点 P(3,1). 又|PC|=<5,∴P 点在圆 C 内.∴直线 l 与圆 C 必相交. (2)解:kPC=-,当 l⊥PC 时,其弦长最短. l 的斜率 k=-,由 k?kPC=-1,得 m=-. 此时最短弦长为 4. 18.(14 分)

如图,在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(0,3),直线 l:y=2x-4.设圆 C 的半径为 1,圆心在 l 上. (1)若圆心 C 也在直线 y=x-1 上,过点 A 作圆 C 的切线,求切线的方程; (2)若圆 C 上存在点 M,使 MA=2MO,求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围. 解:(1)由题设,圆心 C 是直线 y=2x-4 和 y=x-1 的交点,解得点 C(3,2),于是切线的斜率必存在. 设过 A(0,3)的圆 C 的切线方程为 y=kx+3, 由题意,=1,解得 k=0 或-, 故所求切线方程为 y=3 或 3x+4y-12=0. (2)因为圆心在直线 y=2x-4 上, 2 2 所以圆 C 的方程为(x-a) +[y-2(a-2)] =1. 设点 M(x,y),因为 MA=2MO, 2 2 2 2 所以=2,化简得 x +y +2y-3=0,即 x +(y+1) =4,所以点 M 在以 D(0,-1)为圆心,2 为半径的圆上. 由题意,点 M(x,y)在圆 C 上,所以圆 C 与圆 D 有公共点,则|2-1|≤CD≤2+1, 即 1≤≤3. 4

由 5a -12a+8≥0,得 a∈R; 2 由 5a -12a≤0,得 0≤a≤. 所以点 C 的横坐标 a 的取值范围为. 19.(15 分)(2015 河北保定一模)

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已知椭圆=1(a>b>0)的短轴长为 2,离心率为,过右焦点 F 的直线 l 交椭圆于 P,Q 两点. (1)求椭圆的方程; (2)在线段 OF 上是否存在点 M(m,0),使得()?()=0?若存在,求出 m 的取值范围;若不存在,请说明理 由. 解:(1)由椭圆短轴长为 2 得 b=1, 又 e=,∴a=, 2 所求椭圆方程为+y =1. (2)假设在线段 OF 上存在点 M(m,0)(0≤m≤1), 使得()?()=0 成立. 2 2 即|| -|| =0 或||=||. ①当 l⊥x 轴时,显然线段 OF 上的点都满足条件,此时 0≤m≤1; ②当 l 与 x 轴重合时,显然只有原点满足条件,此时 m=0; ③当 l 的斜率存在且不为零时,设直线 l 的方程为 y=k(x-1)(k≠0),点 P(x1,y1),Q(x2,y2). 2 2 2 2 由得(1+2k )x -4k x+2k -2=0, ∴x1+x2=,x1x2=. =(x1-m,y1),=(x2-m,y2),其中 x2-x1≠0, ∴(x1+x2-2m,y1+y2)?(x1-x2,y1-y2)=0, ∴(x1+x2-2m)(x1-x2)+(y1+y2)?(y1-y2)=0, ∴(x1+x2-2m)+k(y1+y2)=0, ∴+k2=0, ∴2k2-(2+4k2)m=0, ∴m=(k≠0). ∴0<m<. 综上所述,当 l⊥x 轴时,存在 0≤m≤1 适合题意; 当 l 与 x 轴重合时,存在 m=0 适合题意; 当 l 的斜率存在且不为零时,存在 0<m<适合题意.?导学号 32470643? 20.(15 分)

如图,设椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,点 D 在椭圆上,DF1⊥F1F2,=2,△DF1F2 的面积为. (1)求该椭圆的标准方程; (2)是否存在圆心在 y 轴上的圆,使圆在 x 轴的上方与椭圆有两个交点,且圆在这两个交点处的两条 切线相互垂直并分别过不同的焦点?若存在,求出圆的方程;若不存在,请说明理由. 2 2 2 解:(1)设 F1(-c,0),F2(c,0),其中 c =a -b . 由=2,得|DF1|=c. 2 从而|DF1||F1F2|=c =,故 c=1. 从而|DF1|=. 2 2 2 由 DF1⊥F1F2,得|DF2| =|DF1| +|F1F2| =, 因此|DF2|=. 5

所以 2a=|DF1|+|DF2|=2, 2 2 2 故 a=,b =a -c =1. 2 因此,所求椭圆的标准方程为+y =1. (2)

如图,设圆心在 y 轴上的圆 C 与椭圆+y =1 相交,P1(x1,y1),P2(x2,y2)是两个交 点,y1>0,y2>0,F1P1,F2P2 是圆 C 的切线,且 F1P1⊥F2P2. 由圆和椭圆的对称性,易知,x2=-x1,y1=y2. 由(1)知 F1(-1,0),F2(1,0),所以=(x1+1,y1),=(-x1-1,y1). 2 再由 F1P1⊥F2P2,得-(x1+1) +=0, 2 由椭圆方程得,1-=(x1+1) , 即 3+4x1=0,解得 x1=-或 x1=0. 当 x1=0 时,P1,P2 重合,题设要求的圆不存在. 当 x1=-时,又点 P1 在椭圆上,且 P1 在 x 轴上方,所以 y1=. 过 P1,P2 分别与 F1P1,F2P2 垂直的直线的交点即为圆心 C. 设 C(0,y0),由 CP1⊥F1P1,得=-1.故 y0=.圆 C 的半径|CP1|=. 2 综上,存在满足题设条件的圆,其方程为 x +.?导学号 32470644?

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