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第九章直线平面简单几何体(B)(第33课)球(3)


9 高中数学教案

第九章直线平面简单几何体(B)(第 33 课时)

王新敞



题:9.11

球(三)

教学目的: 1.了解球的表面积公式的推导过程,体会其基本思想; 2.会用球的表面积公式 S ? 4? R 解决有关问题
2
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教学重点:球的表面积公式及其应用 教学难点:球的表面积公式及其应用 授课类型:新授课 课时安排:1 课时 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、复习引入:1 球的概念: 与定点距离等于或小于定长的点的集合,叫做球体, 简称球 定点叫球心, 定长叫球的半径 与定点距离等于定长 的点的集合叫做球面 一个球或球面用表示它的球心的字 母表示,例如球 O . 2.球的截面: 用一平面 ? 去截一个球 O ,设 OO? 是平面 ? 的垂线段,
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A

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R O

C

B

O? 为垂足, 且 OO? ? d , 所得的截面是以球心在截面内的射影为圆心,
以r ?

R2 ? d 2 为半径的一个圆,截面是一个圆面

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球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆, 被不经过球心的平面 截得的圆叫做小圆 3.经度、纬度: ? 经线:球面上从北极到南极的半个大圆; 纬线:与赤道平面平行的平面截球面所得的小圆;
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O R P d r O'

经度:某地的经度就是经过这点的经线与地轴确定的半平面与 0 经线及轴确定 的半平面所成的二面角的度数; 纬度:某地的纬度就是指过这点的球半径与赤道平面所成角的度数

?

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B
O

A R

? R O

O1

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4.两点的球面距离: 球面上两点之间的最短距离,就是经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长 度,我们把这个弧长叫做两点的球面距离 5 半球的底面: 已知半径为 R 的球 O ,用过球心的平面去截球 O ,球被截面 分成大小相等的两个半球,截面圆 O (包含它内部的点) ,叫 做所得半球的底面
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6.球的体积公式: V ?

4 ? R3 3

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O

二、讲解新课: 1 球的表面积: 设球 O 的半径为 R ,我们把球面任意分割为一些“小球面片” ,它们的面
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积分别用 ?S1 , ?S2 ,?, ?Si ,? 表示,则球的表面积:

S ? ?S1 ? ?S2 ??? ?Si ??
以这些“小球面片”为底,球心为顶点的“小锥体”的体积和等于求的体积, 这些“小锥体”可近似地看成棱锥, “小锥体”的底面积 ?Si 可近似地等于“小 锥体”的底面积,球的半径 R 近似地等于小棱锥的高 hi ,因此,第 i 个小棱锥 的体积 Vi ?

1 hi ? ?Si ,当“小锥体”的底面非常小时, “小锥体”的底面几乎是 3

“平的” ,于是球的体积:

1 V ? (h1 ? ?S1 ? h2 ? ?S 2 ? ? ? hi ? ?Si ? ?) , 3
又∵ hi ? R ,且 S ? ?S1 ? ?S2 ??? ?Si ?? ∴可得 V ? 又∵ V ?

1 R?S , 3

4 1 4 ? R 3 ,∴ R ? S ? ? R 3 , 3 3 3
2
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∴ S ? 4? R 即为球的表面积公式 三、讲解范例:

例 1 已知过球面上 A, B, C 三点的截面和球心的距离为球半径的一半,且
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AB ? BC ? CA ? 2 ,求球的表面积
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解:设截面圆心为 O? ,连结 O?A ,设球半径为 R , 则 O?A ?

2 3 2 3 , ? ?2 ? 3 2 3
2 2 2

在 Rt ?O?OA 中, OA ? O?A ? O?O ,

C
4 2 3 2 1 2 ∴R ?( ) ? R ,∴ R ? , 3 3 4
2

O O'

B

A

∴ S ? 4? R ?
2

64 ?. 9

例 2.半球内有一个内接正方体,正方体的一个面在半球的底面圆内,若正方 体棱长为 6 ,求球的表面积和体积 解:作轴截面如图所示,
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D' A' D A O B' B C C'

CC? ? 6 , AC ? 2 ? 6 ? 2 3 ,
设球半径为 R , 则 R ? OC ? CC?
2 2 2

A'

C' R

? ( 6)2 ? ( 3)2 ? 9
∴ R ? 3,
2 ∴ S球 ? 4? R ? 36? , V球 ?

A

O

C

例 3.表面积为 324? 的球,其内接正四棱柱的高是 14 ,求这 个正四棱柱的表面积 解:设球半径为 R ,正四棱柱底面边长为 a ,
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4 ? R 3 ? 36? . 3

D' A' B' D A B O C C'

则作轴截面如图, AA? ? 14 , AC ?
2 又∵ 4? R ? 324? ,∴ R ? 9 ,

2a ,

A' O A

C'

∴ AC ?

AC?2 ? CC?2 ? 8 2 ,∴ a ? 8 ,

C

∴ S表 ? 64 ? 2 ? 32 ?14 ? 576 . 例 4 正四面体 ABCD 的棱长为 a,球 O 是内切球,球 O1 是与正四面体的三个面 和球 O 都相切的一个小球,求球 O1 的体积.

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分析:正四面体的内切球与各面的切点是面的中心,球心到各面的距离相等. 解:如图,设球 O 半径为 R,球 O1 的半径为 r,E 为 CD 中点,球 O 与平面 ACD、 BCD 切于点 F、G,球 O1 与平面 ACD 切于点 H. 由题设

AG ?

AE 2 ? GE 2 ?

6 a. 3
6 a?R 6 ? 3 , 得R ? a. 12 3 3 a a 6 2 R 6 a ? 2R ? r r 6 3 ? ,得 r ? a. R 24 6 a?R 3
3

∵ △AOF∽△AEG



∵ △AO1H∽△AOF





V球O1

4 4 ? 6 ? 6 3 ? ?r 3 ? ? ? a? ? a . ? ? 3 3 ? 24 ? 1728

四、课堂练习: 1 ?球 O1、O2、分别与正方体的各面、各条棱相切,正方体的各顶点都在球 O3 的表面上,求三个球的表面积之比. 分析:球的表面积之比事实上就是半径之比的平方,故只需找到球半径之间的 关系即可.
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解:设正方体棱长为 a,则三个球的半径依次为

a 2 3 、 a, a 2 2 2

∴ 三个球的表面积之比是 S1 : S 2 : S3 ? 1 : 2 : 3 . 五、小结 :球的表面积公式的推导及应用;球的内接正方体、长方体及外切正 方体的有关计算 “分割 ? 求近似和 ? 化为准确和”的方法,是一种重要的数
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学思想方法——极限思想,它是今后要学习的微积分部分“定积分”内容的一 个应用;球的体积公式和表面积公式要熟练掌握. 六、课后作业: 七、板书设计(略) 八、课后记:
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