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江苏省无锡市2016-2017学年高二(上)期末数学试卷(解析版)


2016-2017 学年江苏省无锡市高二(上)期末数学试卷
一、填空题:本大题共 15 小题,每小题 5 分,共 70 分). 1.若直线(a﹣2)x﹣y+3=0 的倾斜角为 45°,则实数 a 的值为 .

2.设一辆汽车在公路上做加速直线运动,假设 t 秒时的速度为 v(t)=3t2﹣1 米 /秒,则在 2 秒是加速度为 米/秒 2. .

3.圆 x2+y2+4x﹣4y﹣8=0 与圆 x2+y2﹣2x+4y+1=0 的位置关系是

4.在正四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中,若 AA1=2AB,则异面直线 BD1 与 CC1 所成角 的正切值为 .

5.设两条直线 x+y﹣2=0,3x﹣y﹣2=0 的交点为 M,若点 M 在圆(x﹣m)2+y2=5 内,则实数 m 的取值范围为 . .

6. y) F 为抛物线的焦点, 若点 A (﹣6, 在抛物线 y2=﹣8x 上, 则 AF 的长度为

7.已知一个圆锥的侧面积是 50πcm2,若母线与底面所成角为 60°,则此圆锥的 底面半径为 .

8.如果正方体、球与等边圆柱(圆柱底面圆的直径与高相等)的体积相等,设 它们的表面积依次为 S1,S2,S3,则 S1,S2,S3 大小关系为 9.给出下列三个命题: ①若命题 p:2 是实数,命题 q:2 是奇数,则 p 或 q 为真命题; ②记函数 f(x)是导函数为 f′(x),若 f′(x0)=0,则 f(x0)是 f(x)的极值; ③“a=3”是“直线 l1::x+ay﹣3=0,l2:(a﹣1)x+2ay+1=0 平行“的充要条件. 则真命题的序号是 . )= . .

10.设 f(x)=sinx﹣2cosx+1 的导函数为 f′(x),则 f′(

11.(理)设向量 =(2,2s﹣2,t+2), =(4,2s+1,3t﹣2),且 ∥ ,则 实数 s+t= .

12.如图是正四面体的平面展开图,G,H,M,N 分别为 DE,BE,EF,EC 的中 点,在这个正四面体中,有以下结论: ①GH 与 EF 平行; ②BE 与 MN 为异面直线; ③GH 与 AF 成 60°角;

④MN∥平面 ADF; 其中正确结论的序号是 .

13.过双曲线



=1(a>0,b>0)的左焦点 F 作圆 x2+y2=a2 的切线,切点 .

为 M, 延长 FM 交双曲线右支于点 P, 若 M 为 FP 的中点, 则双曲线的离心率是

14.已知 f(x)=ax+ ,g(x)=ex﹣3ax,a>0,若对? x1∈(0,1),存在 x2 ∈(1,+∞),使得方程 f(x1)=g(x2)总有解,则实数 a 的取值范围为 .

15.已知直线 ax+by+c=0 始终平分圆 C:x2+y2﹣2x+4y﹣4=0(C 为圆心)的周长, 设直线 l:(2a﹣b)x+(2b﹣c)y+(2c﹣a)=0,过点 P(6,9)作 l 的垂线, 垂足为 H,则线段 CH 长度的取值范围是 .

二、解答题:本大题共 7 小题,共 90 分.解答写出文字说明、证明过程或演算 过程. 16.(14 分)设直线 l1:mx﹣2my﹣6=0 与 l2:(3﹣m)x+my+m2﹣3m=0. (1)若 l1∥l2,求 l1,l2 之间的距离; (2)若直线 l2 与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积最大,求直线 l2 的方程. 17. (14 分)如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,ABCD 是梯形,AD∥BC,∠ABC=90°, 平面 PAB⊥平面 ABCD,PB⊥AB 且 AD=AB=BP= BC. (1)求证:CD⊥平面 PBD; (2)已知点 Q 在 PC 上,若 AC 与 BD 交于点 O,且 AP∥平面 BDQ,求证:OQ ∥平面 APD.

18. (14 分)已知直线 l:y=2x+n,n∈R,圆 M 的圆心在 y 轴,且过点(1,1). (1)当 n=﹣2 时,若圆 M 与直线 l 相切,求该圆的方程; x2=6y 是否相切? (2) 设直线 l 关于 y 轴对称的直线为 l′, 试问直线 l′与抛物线 N: 如果相切,求出切点坐标;如果不想切,请说明理由.

19.(16 分)(文科)已知 m∈R,集合 A={m|m2﹣am<12a2(a≠0)};集合 B={m|方程 + =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆},若“m∈A”是“m∈B”的充分

不必要条件,求 a 的取值范围. 20.(理科)如图,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1,O 是 AC 的中点,E 是线段 D1O 上一点,且 =λ.

(1)若 λ= ,求异面直线 DE 与 CD1 所成角的余弦值; (2)若二面角 D1﹣CE﹣D 为 π,求 λ 的值.

21.(16 分)已知函数 f(x)=lnx+ ﹣2,a∈R. (1)若曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为 2x+y﹣3=0,求 a 的值; (2)求函数 y=f(x)的单调区间; (3)若曲线 y=f(x)都在直线(a+1)x+y﹣2(a﹣1)=0 的上方,求正实数 a 的取值范围.

22. (16 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C: b>0)的离心率为 线段长为 1. (1)求椭圆 C 的方程;

+

=1(a>0,

,过 C 的左焦点 F1,且垂直于 x 轴的直线被椭圆 C 截得的

(2)设椭圆 C 的左、右顶点分别为 A,B,直线 l 经过点 B 且垂直于 x 轴,点 P 是点 C 上异于 A,B 的任意一点,直线 AP 交直线 l 于点 Q. ①设直线 OQ,BP 的斜率分别为 k1,k2,求证:k1?k2 为定值; ②当点 P 运动时, 试判断点 Q 与以 BP 为直径的圆的位置关系?并证明你的结论.

2016-2017 学年江苏省无锡市高二(上)期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、填空题:本大题共 15 小题,每小题 5 分,共 70 分). 1.若直线(a﹣2)x﹣y+3=0 的倾斜角为 45°,则实数 a 的值为 【考点】直线的倾斜角. 【分析】由题中线的倾斜角和斜率的关系得到 a. 【解答】解:因为直线(a﹣2)x﹣y+3=0 的倾斜角为 45°,所以直线的斜率为 tan45°=a﹣2=1,所以 a=3; 故答案为:3. 【点评】本题考查了直线的倾斜角.直线的倾斜角为 α,那么它的斜率为 tanα (α≠90°). 3 .

2.设一辆汽车在公路上做加速直线运动,假设 t 秒时的速度为 v(t)=3t2﹣1 米 /秒,则在 2 秒是加速度为 12 米/秒 2.

【考点】变化的快慢与变化率. 【分析】利用导数的物理意义,可知 t=2 时物体的加速度为即为 v'(2),然后 利用导数求解即可. 【解答】解:∵v(t)=3t2﹣1, ∴v'(t)=6t, 根据导数的物理意义,可知 t=2 时物体的加速度为即为 v'(2), ∴v'(2)=6×2=12, 故答案为:12. 【点评】本题主要考查导数的物理意义,以及导数的基本运算,比较基础.

3.圆 x2+y2+4x﹣4y﹣8=0 与圆 x2+y2﹣2x+4y+1=0 的位置关系是 【考点】圆与圆的位置关系及其判定.

相交



【分析】把两个圆的方程化为标准方程,分别求出圆心和半径,再根据两个圆的

圆心距为 5,大于两圆的半径之差而小于半径之和,可得两个圆的位置关系为相 交. 【解答】解:圆 x2+y2+4x﹣4y﹣8=0,即(x+2)2+(y﹣2)2 =16,表示以(﹣2, 2)为圆心、半径等于 4 的圆. 圆 x2+y2﹣2x+4y+1=0,即(x﹣1)2+(y+2)2=4,表示以(1,﹣2)为圆心、半 径等于 2 的圆. 两个圆的圆心距为 d= 之和, 故两个圆的位置关系为相交, 故答案为:相交. 【点评】本题主要考查圆的标准方程,圆和圆的位置关系的判定方法,属于基础 题. =5,大于两圆的半径之差而小于半径

4.在正四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中,若 AA1=2AB,则异面直线 BD1 与 CC1 所成角 的正切值为 .

【考点】异面直线及其所成的角. 【分析】由 CC1∥BB1,知∠B1BD1 是异面直线 BD1 与 CC1 所成角,由此能求出异 面直线 BD1 与 CC1 所成角的正切值. 【解答】解:∵在正四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中, CC1∥BB1, ∴∠B1BD1 是异面直线 BD1 与 CC1 所成角, 设 AA1=2AB=2,则 B1D1= ∴tan∠B1BD1= = . . ,BB1=2,

∴异面直线 BD1 与 CC1 所成角的正切值为 故答案为: .

【点评】本题考查异面直线所成角的正切值的求法,是基础题,解题时要 认真 审题,注意空间思维能力的培养.

5.设两条直线 x+y﹣2=0,3x﹣y﹣2=0 的交点为 M,若点 M 在圆(x﹣m)2+y2=5 内,则实数 m 的取值范围为 【考点】点与圆的位置关系. 【分析】求出两条直线的交点坐标,以及圆的圆心的距离小于半径,求解即可得 答案. 【解答】解:由题意可知: 交点 M 在圆(x﹣m)2+y2=5 的内部, 可得(1﹣m)2+1<5, 解得﹣1<m<3. ∴实数 m 的取值范围为:(﹣1,3). 故答案为:(﹣1,3). 【点评】本题考查点与圆的位置关系的应用,考查计算能力,是基础题. ,解得 ,交点(1,1), (﹣1,3) .

6.若点 A(﹣6,y)在抛物线 y2=﹣8x 上,F 为抛物线的焦点,则 AF 的长度为 8 .

【考点】抛物线的简单性质. 【分析】由于抛物线 y2=﹣8x 的准线方程为 x=2,该抛物线的一点 A 到 y 轴距离 为 6,则点 A 到准线的距离为 6+2=8,再由抛物线的定义可得|AF|的值. 【解答】解:由于抛物线 y2=﹣8x 的焦点 F(﹣2,0),其准线方程为 x=2,该 抛物线的一点 A 到 y 轴距离为 6,则点 A 到准线的距离为 6+2=8, 再由抛物线的定义可得|AF|=8,

故答案为:8. 【点评】本题主要考查抛物线的定义、标准方程,以及简单性质的应用,属于中 档题.

7.已知一个圆锥的侧面积是 50πcm2,若母线与底面所成角为 60°,则此圆锥的 底面半径为 5 .

【考点】旋转体(圆柱、圆锥、圆台). 【分析】设圆锥的底面半径为 R,则母线长为 2R,利用圆锥的侧面积是 50πcm2, 求出此圆锥的底面半径. 【解答】解:设圆锥的底面半径为 R,则母线长为 2R, ∵圆锥的侧面积是 50πcm2, ∴50π=π×R×2R, 解得 R=5cm. 故答案为 5. 【点评】本题考查圆锥侧面积公式的灵活运用,掌握公式是关键.

8.如果正方体、球与等边圆柱(圆柱底面圆的直径与高相等)的体积相等,设 它们的表面积依次为 S1,S2,S3,则 S1,S2,S3 大小关系为 【考点】旋转体(圆柱、圆锥、圆台). 【分析】设球的半径为 R,正方体的棱长为 a,等边圆柱的底面半径为 r,且它 们的体积都为 V,则 V= ,由此能比较 S1,S2,S3 大小. S2<S3<S1 .

【解答】解:设球的半径为 R,正方体的棱长为 a,等边圆柱的底面半径为 r, 且它们的体积都为 V, 则 V= 解得 ,a= , ,r= )2=6 )2= = , , ,

∴S1=6×a2=6( S2=4πR2=4π(

S3=2π ∴S2<S3<S1. 故答案为:S2<S3<S1.

=



【点评】本题考查正方体、球与等边圆柱的表面积的大小的比较,是中档题,解 题时要认真审题, 注意正方体、 球与等边圆柱的体积和表面积的性质的合理运用.

9.给出下列三个命题: ①若命题 p:2 是实数,命题 q:2 是奇数,则 p 或 q 为真命题; ②记函数 f(x)是导函数为 f′(x),若 f′(x0)=0,则 f(x0)是 f(x)的极值; ③“a=3”是“直线 l1::x+ay﹣3=0,l2:(a﹣1)x+2ay+1=0 平行“的充要条件. 则真命题的序号是 ① .

【考点】命题的真假判断与应用. 【分析】①,由命题 p 为真,得 p 或 q 为真命题; ②,例如函数 f(x)=x3 满足 f′(0)=0,但 f(0)不是 f(x)的极值; ③,当 a=0 时,直线 l1::x+ay﹣3=0,l2:(a﹣1)x+2ay+1=0 平行; 【解答】解:对于①,因为命题 p 为真,∴p 或 q 为真命题,故正确; 对于②,例如函数 f(x)=x3 满足 f′(0)=0,但 f(0)不是 f(x)的极值,故错; 对于③,当 a=0 时,直线 l1::x+ay﹣3=0,l2:(a﹣1)x+2ay+1=0 平行,故错; 故答案为:① 【点评】本题考查了命题真假的判定,属于基础题.

10.(文)设 f(x)=sinx﹣2cosx+1 的导函数为 f′(x),则 f′( 【考点】导数的运算. 【分析】先求导,再代值计算即可.

)=



【解答】解:f(x)=sinx﹣2cosx+1 的导函数为 f′(x)=cosx+2sinx, ∴f′( )=cos +2sin =﹣ +2× = ,

故答案为: 【点评】本题考查了导数的运算法则和导数值得求法,属于基础题.

11.(2016 秋?无锡期末)(理)设向量 =(2,2s﹣2,t+2), =(4,2s+1, 3t﹣2),且 ∥ ,则实数 s+t= .

【考点】平面向量共线(平行)的坐标表示. 【分析】利用向量共线定理即可得出. 【解答】解:∵ ∥ ,∴存在实数 k,使得 =k , 则 ,解得 k= ,s= ,t=6.

∴s+t=

. .

故答案为:

【点评】本题考查了向量共线定理,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.

12.如图是正四面体的平面展开图,G,H,M,N 分别为 DE,BE,EF,EC 的中 点,在这个正四面体中,有以下结论: ①GH 与 EF 平行; ②BE 与 MN 为异面直线; ③GH 与 AF 成 60°角; ④MN∥平面 ADF; 其中正确结论的序号是 ③④ .

【考点】棱柱的结构特征. 【分析】 正四面体的平面展开图还原成正四面体, 利用数形结合思想能求出结果. 【解答】解:正四面体的平面展开图还原成正四面体,如图: 在①中,GH 与 EF 是异面直线,故①错误; 在②中,BE 与 MN 相交于点 N,故②错误;

在③中,∵GH∥AD,∴GH 与 AF 成 60°角,故③正确; 在④中,∵MN∥AF,∴MN∥平面 ADF,故④正确. 故答案为:③④.

【点评】本题考查命题真假的判断,是中档题,解题时要认真审题,注意空间思 维能力的培养.

13.过双曲线



=1(a>0,b>0)的左焦点 F 作圆 x2+y2=a2 的切线,切点

为 M,延长 FM 交双曲线右支于点 P,若 M 为 FP 的中点,则双曲线的离心率是 . 【考点】双曲线的简单性质. 【分析】作出简图,由图中可得线段的长,从而得到 b=2a,进而求双曲线的离 心率. 【解答】解:如图|OF|=c,|OM|=a,|FG|=2c; ∴|F|=b,又∵M 为 PF 的中点, |PG|=2|OM|=2a, |PF|=2b, ∴|PF|﹣|PG|=2b﹣2a=2a; ∴b=2a, ∴c= a, . .

∴e= = 故答案为

【点评】 本题考查了学生的作图能力及分析转化的能力,考查了学生数形结合的 思想应用,同时考查了双曲线的定义,属于中档题.

14.已知 f(x)=ax+ ,g(x)=ex﹣3ax,a>0,若对? x1∈(0,1),存在 x2 ∈(1,+∞),使得方程 f(x1)=g(x2)总有解,则实数 a 的取值范围为 +∞) . [ ,

【考点】利用导数求闭区间上函数的最值. 【分析】对任意的 x∈(0,1),f(x)的值域为(2a,+∞),要使? x2∈R, 使 f(x1)=g(x2),则 g(x)的值域 B 应满足(2a,+∞)? B,对 a 进行分类 讨论,得出 a 的范围. 【解答】解:当 x∈(0,1)时,f(x)=ax+ 为减函数, 由 f(1)=2a 得:f(x)的值域为(2a,+∞), 若若对? x1∈(0,1),存在 x2∈(1,+∞),使得方程 f(x1)=g(x2)总有解, 则 g(x)的值域 B 应满足(2a,+∞)? B, 令 g′(x)=ex﹣3a=0,则 ex=3a,即 x=ln3a, 若 ln3a≤1,即 3a≤e, 此时 g(x)>g(1)=e﹣3a, 此时由 e﹣3a≤2a 得: ≤a≤ , 若 ln3a>1,即 3a>e, g(x)=(1,ln3a)上为减函数,在(ln3a,+∞)上为增函数,

此时当 x=ln3a 时,函数取最小值 3a(1﹣ln3a)<0<2a 满足条件; 综上可得:实数 a 的取值范围为[ ,+∞) 故答案为:[ ,+∞). 【点评】本题考查了全称命题,对数函数的图象和性质,利用导数研究函数的最 值,难度中档.

15.已知直线 ax+by+c=0 始终平分圆 C:x2+y2﹣2x+4y﹣4=0(C 为圆心)的周长, 设直线 l:(2a﹣b)x+(2b﹣c)y+(2c﹣a)=0,过点 P(6,9)作 l 的垂线, 垂足为 H,则线段 CH 长度的取值范围是 【考点】直线与圆的位置关系. 【分析】确定直线过定点 M(4,﹣5),由题意,H 在以 PM 为直径的圆上,圆 心为 A(5,2),方程为(x﹣5)2+(y﹣2)2=50,即可求出线段 CH 长度的取值 范围. 【解答】解:由题意,圆心 C(1,﹣2)在直线 ax+by+c=0 上,可得 a﹣2b+c=0, 即 c=2b﹣a. 直线 l:(2a﹣b)x+(2b﹣c)y+(2c﹣a)=0,即 a(2x+y﹣3)+b(4﹣x)=0, 由 ,可得 x=4,y=﹣5,即直线过定点 M(4,﹣5), [ ] .

由题意,H 在以 PM 为直径的圆上,圆心为 A(5,2),方程为(x﹣5)2+(y﹣ 2)2=50, ∵|CA|=4 ∴CH 最小为 5 = ,CH 最大为 4 ]. ,

∴线段 CH 长度的取值范围是[ 故答案为[ ].

【点评】本题考查直线过定点,考查线段 CH 长度的取值范围,考查学生分析解 决问题的能力,属于中档题.

二、解答题:本大题共 7 小题,共 90 分.解答写出文字说明、证明过程或演算 过程.

16.(14 分)(2016 秋?无锡期末)设直线 l1:mx﹣2my﹣6=0 与 l2:(3﹣m) x+my+m2﹣3m=0. (1)若 l1∥l2,求 l1,l2 之间的距离; (2)若直线 l2 与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积最大,求直线 l2 的方程. 【考点】待定系数法求直线方程;两条平行直线间的距离. 【分析】(1)若 l1∥l2,求出 m 的值,即可求 l1,l2 之间的距离; (2)表示直线 l2 与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积,配方法求出最大, 即可求直线 l2 的方程. 【解答】解:(1)若 l1∥l2,则 ∴l1:x﹣2y﹣1=0,l2:x﹣2y﹣6=0 ∴l1,l2 之间的距离 d= (2)由题意, = ; ,∴m=6,

,∴0<m<3,

直线 l2 与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积 S= m(3﹣m)= + , ∴m= 时,S 最大为 ,此时直线 l2 的方程为 2x+2y﹣3=0. 【点评】本题考查直线方程,考查直线与直线的位置关系,考查学生分析解决问 题的能力,属于中档题.

17. (14 分) (2016 秋?无锡期末)如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,ABCD 是梯形, AD∥BC,∠ABC=90°,平面 PAB⊥平面 ABCD,PB⊥AB 且 AD=AB=BP= BC. (1)求证:CD⊥平面 PBD; (2)已知点 Q 在 PC 上,若 AC 与 BD 交于点 O,且 AP∥平面 BDQ,求证:OQ ∥平面 APD.

【考点】直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的判定. 【分析】(1)证明 CD⊥PB,CD⊥BD,即可证明 CD⊥平面 PBD; (2)证明 AP∥OQ,即可证明 OQ∥平面 APD. PB⊥AB, 【解答】 证明: (1) ∵平面 PAB⊥平面 ABCD, 平面 PAB∩平面 ABCD=AB, ∴PB⊥平面 ABCD, ∵CD? 平面 ABCD, ∴CD⊥PB, ∵AD=AB= BC,∠BAD=90°, ∴BD= AD,BC=2AD,∠DBC=45°,

∴∠BDC=90°, ∴CD⊥BD, ∵PB∩BD=B, ∴CD⊥平面 PBD; (2)∵AP∥平面 BDQ, ∴AP∥OQ, ∵OQ?平面 APD,AP? 平面 APD, ∴OQ∥平面 APD.

【点评】本题考查空间线面平行、垂直的证明,考查学生分析解决问题的能力, 属于中档题.

18.(14 分)(2016 秋?无锡期末)已知直线 l:y=2x+n,n∈R,圆 M 的圆心在

y 轴,且过点(1,1). (1)当 n=﹣2 时,若圆 M 与直线 l 相切,求该圆的方程; x2=6y 是否相切? (2) 设直线 l 关于 y 轴对称的直线为 l′, 试问直线 l′与抛物线 N: 如果相切,求出切点坐标;如果不想切,请说明理由.

【考点】直线和圆的方程的应用. 【分析】(1)利用待定系数法,求出圆的圆心与半径即可得到圆的标准方程. (2)求出对称直线的方程与抛物线联立方程组,利用相切求解即可. 【解答】解:(1)设 M 的方程为 x2+(y﹣b)2=r2, (1,1)代入,可得 1+(1﹣b)2=r2,① ∵直线 l 与圆 M 相切,∴ 由①②可得 b=3 或 , ∴M 的方程为 x2+(y﹣3)2=5,或 x2+(y﹣ )2= , (2)因为直线 l 的方程为 y=2x+n 所以直线 l′的方程为 y=﹣2x+n. 与抛物线联立得 x2+12x﹣6n=0. △=144+24n ①当 n=﹣6,即△=0 时,直线 l′与抛物线 C 相切;,切点坐标为(﹣6,6) ②当 n≠﹣6,即△≠0 时,直线 l′与抛物线 C 不相切. 【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系,圆的方程的求法,以及对称知识的 应用,考查分析问题解决问题的能力. =r,②

19.(16 分)(2016 秋?无锡期末)(文科)已知 m∈R,集合 A={m|m2﹣am

<12a2(a≠0)};集合 B={m|方程

+

=1 表示焦点在 y 轴上的椭圆},若

“m∈A”是“m∈B”的充分不必要条件,求 a 的取值范围. 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【分析】通过讨论 a 的范围,分别求出关于 A、B 的不等式的解集,结合集合的 包含关系,得到关于 a 的不等式组,解出即可. 【解答】解:对于集合 A,由 m2﹣am<12a2,故(m﹣4a)(m+3a)<0, 对于集合 B,解 ,解得:﹣4<m<2;

①a>0 时,集合 A:﹣3a<m<4a, 若“m∈A”是“m∈B”的充分不必要条件, 则 ,解得:0<a< ;

②a<0 时,集合 A:a<m<﹣3a, 若“m∈A”是“m∈B”的充分不必要条件, 则 ,解得:﹣ <a<0,

综上:a∈(﹣ ,0)∪(0, ). 【点评】本题考查了充分必要条件,考查集合的运算以及不等式问题,是一道中 档题.

20.(2016 秋?无锡期末)(理科)如图,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1,O 是 AC 的中点,E 是线段 D1O 上一点,且 =λ.

(1)若 λ= ,求异面直线 DE 与 CD1 所成角的余弦值; (2)若二面角 D1﹣CE﹣D 为 π,求 λ 的值.

【考点】二面角的平面角及求法. 【分析】(1)设正方体的棱长为 1,分别以 DA、DC、DD1 为 x,y,z 轴,建立 空间直角坐标系,利用向量法能求出异面直线 DE 与 CD1 所成角的余弦值. (2)求出平面 CD1E 的法向量和平面 CDE 的法向量,利用向量法能求出结果. 【解答】解:(1)设正方体的棱长为 1, 分别以 DA、DC、DD1 为 x,y,z 轴,建立空间直角坐标系, 则 A(1,0,0),O( D(0,0,0), 设 E(x0,y0,z0),∵ ∴(x0,y0,z0﹣1)= ( 解得 x0= E( ∴ , =( ,y0= , , , ,z0= ), , >= ),CD1=(0,﹣1,1), = , . , = ,∴ , = , ,﹣x0), ,0),C(0,1,0),D1(0,0,1),

∴cos<

∴异面直线 DE 与 CD1 所成角的余弦值为

(2)设平面 CD1E 的法向量为 =(x,y,z), =( ,0), =(0,﹣1,1), =(0,1,0),



,取 z=1,得 =(1,1,1),





,得 E(





),

=(





), 设平面 CDE 的法向量 =(x,y,z), 则 ∵二面角 D1﹣CE﹣D 为 π, ∴|cos |= = . , ,取 x=﹣2,得 =(﹣2,0,λ),

∵λ<2,解得 λ=8﹣2

【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法,考查实数值的求法,是中档 题,解题时要 认真审题,注意向量法的合理运用.

21.(16 分)(2016 秋?无锡期末)已知函数 f(x)=lnx+ ﹣2,a∈R. (1)若曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为 2x+y﹣3=0,求 a 的值; (2)求函数 y=f(x)的单调区间; (3)若曲线 y=f(x)都在直线(a+1)x+y﹣2(a﹣1)=0 的上方,求正实数 a 的取值范围. 【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值. 【分析】(1)求出函数的导数,根据切线方程求出 a 的值即可; (2)求出函数的导数,通过讨论 a 的范围,求出函数的单调区间即可; (3)令 g(x)=f(x)﹣[﹣(a+1)x+2(a﹣1)],求出函数的导数,得到函数 g(x)的单调区间,从而求出 g(x)的最小值,求出 a 的范围即可. 【解答】解:(1)函数的定义域是(0,+∞), f′(x)= ﹣ ,f′(1)=1﹣a,f(1)=a﹣2,

故曲线 y=f(x)在(1,f(1))处的曲线方程是: y﹣(a﹣2)=(1﹣a)(x﹣1),即(a﹣1)x+y﹣2a+3=0, 又曲线 y=f(x)在(1,f(1))处的切线为:2x+y﹣3=0, 故 a=3; (2)由于 f′(x)= ,

①若 a≤0,对于 x∈(0,+∞),f′(x)>0 恒成立, 即 f(x)在(0,+∞)递增, 故函数的递增区间是(0,+∞); ②若 a>0,当 x∈(0,a)时,f′(x)<0,f(x)递减, x∈(a,+∞)时,f′(x)>0,f(x)递增, 故 f(x)在(0,a)递减,在(a,+∞)递增; (3)a>0 时,直线即 y=﹣(a+1)x+2(a﹣1), 令 g(x)=f(x)﹣[﹣(a+1)x+2(a﹣1)]=lnx+ +(a+1)x﹣2a, g′(x)= , ∈(0,1), )递减,

∵a>0,x>0,∴a+1>0,x+1>0,且 当 0<x< x> 故 x=

时,g′(x)<0,g(x)在(0,

时,g′(x)>0,g(x)在( 时,g(x)取得最小值 ln

,+∞)递增, +a+1+a﹣2a=1+ln ,

∵曲线 y=f(x)都在直线(a+1)x+y﹣2(a﹣1)=0 的上方, 故 g(x)≥0, 故 g(x)min=1+ln 故 a 的范围是( >0, > ,a> ,

,+∞).

【点评】本题考查了切线方程问题,考查函数的单调性、最值问题,考查导数的 应用以及分类讨论思想,是一道综合题.

22.(16 分)(2016 秋?无锡期末)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C: + =1(a>0,b>0)的离心率为 ,过 C 的左焦点 F1,且垂直于 x 轴

的直线被椭圆 C 截得的线段长为 1. (1)求椭圆 C 的方程; (2)设椭圆 C 的左、右顶点分别为 A,B,直线 l 经过点 B 且垂直于 x 轴,点 P 是点 C 上异于 A,B 的任意一点,直线 AP 交直线 l 于点 Q. ①设直线 OQ,BP 的斜率分别为 k1,k2,求证:k1?k2 为定值; ②当点 P 运动时, 试判断点 Q 与以 BP 为直径的圆的位置关系?并证明你的结论.

【考点】椭圆的简单性质. 【分析】(1)由离心率 e,可得 a2=4b2,由过点 F 垂直于 x 轴的直线被椭圆所 截得弦长为 1,可得 =1,解出即可得出.

(2)①由椭圆方程求出两个顶点 A 的坐标,设出 P 点坐标,写出斜率 k1,k2, 结合 P 的坐标适合椭圆方程可证结论; ②以 BP 为直径的圆的方程为(x﹣2)(x﹣x0)+y(y﹣y0)=0,把点 Q 代入得到 方程左边大于 0,即可判断 Q 与以 BP 为直径的圆外. 【解答】解(1):由离心率 e= = = ,可得 a2=4b2, =1,

∵过点 F 垂直于 x 轴的直线被椭圆所截得弦长为 1,∴ 解得 b=1,a=2, ∴椭圆 C 方程为 +y2=1.

y0) 0) (2) ①证明: 令P (x0, , 点A (﹣2, 则直线 PA 的方程为 y=

(x+2) ,

令 x=2,得 y=

,则 Q 点的坐标为(2,



∴k1=

,k2=



∴k1?k2=



∵P(x0,y0)满足 ∴k1?k2=﹣ ,

+y2=1,则

=0, ②以 BP 为直径的圆的方程为 (x﹣2) (x﹣x0) +y (y﹣y0) 把Q点 (2,



代入方程左边,得



﹣ y0 ) =4

=4?

=4? ∵x0∈(﹣2,2), ∴x0+2>0, ∴(*)>0,

.(*),

∴Q 与以 BP 为直径的圆外, 【点评】本题考查了直线的斜率,考查了直线与圆锥曲线的关系,考查了圆系方 程,考查了学生的计算能力,是有一定难度题目.


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