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高二双曲线练习题(必考)


高二数学双曲线同步练习
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.到两定点 F1 ?? 3,0? 、F2 ?3,0? 的距离之差的绝对值等于 6 的点 M 的轨迹 ( A.椭圆 B.线段 C.双曲线 D.两条射线 2 2 x y 2.方程 ? ? 1 表示双曲线,则 k 的取值范围是 1? k 1? k ( ) A. ?1 ? k ? 1 B. k ? 0 C. k ? 0 D. k ? 1 或 k ? ?1 2 2 x y 3. 双曲线 2 ? ? 1 的焦距是 m ? 12 4 ? m2 ( ) )

A.4 B. 2 2 C .8 D.与 m 有关 4.已知 m,n 为两个不相等的非零实数,则方程 mx-y+n=0 与 nx2+my2=mn 所表示的曲线可 能是 ( ) y o y o y o y o

x

x

x

x

B C D x2 6.焦点为 ?0,6? ,且与双曲线 ) ? y 2 ? 1 有相同的渐近线的双曲线方程是( 2 x2 y2 y2 x2 y2 x2 x2 y2 A. B. C. D. ? ?1 ? ?1 ? ?1 ? ?1 12 24 12 24 24 12 24 12 x2 y2 x2 y2 7.若 0 ? k ? a ,双曲线 2 ? 2 ? 1 与双曲线 2 ? 2 ? 1 有 a ?k b ?k a b ( ) A.相同的虚轴 B.相同的实轴 C.相同的渐近线 D. 相同的焦点

A

x2 y2 ? ? 1 左焦点 F1 的弦 AB 长为 6,则 ?ABF2 (F2 为右焦点)的周长是 8.过双曲线 16 9
( ) A.28 B.22 C.14 D.12
2 9.已知双曲线方程为 x 2 ? y ? 1 ,过 P(1,0)的直线 L 与双曲线只有一个公共点,则 L 4

条数共有 A.4 条

( B.3 条 C.2 条 D.1 条



10.给出下列曲线:①4x+2y-1=0; ②x2+y2=3; ③ y=-2x-3 有交点的所有曲线是 A.①③ B.②④
1

x2 x2 ? y2 ?1 ④ ? y 2 ? 1 ,其中与直线 2 2 ( ) C.①②③ D.②③④

二、填空题(本题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分) x2 y2 13.直线 y ? x ? 1 与双曲线 ? ? 1 相交于 A, B 两点,则 AB =__________________. 2 3 x2 14. 过点 M (3,?1) 且被点M平分的双曲线 . ? y 2 ? 1 的弦所在直线方程为 4 三、解答题(本大题共 6 题,共 76 分) 15.求一条渐近线方程是 3x ? 4 y ? 0 ,一个焦点是 ?4,0? 的双曲线标准方程

16.双曲线 x 2 ? y 2 ? a 2 ?a ? 0? 的两个焦点分别为 F1 , F2 , P 为双曲线上任意一点,求证:
PF PO、 PF2 1、

成等比数列( O 为坐标原点) . (12 分)

17.已知动点 P 与双曲线 x2-y2=1 的两个焦点 F1,F2 的距离之和为定值,且 cos∠F1PF2 1 的最小值为- . 3 (1)求动点 P 的轨迹方程; (2)设 M(0,-1),若斜率为 k(k≠0)的直线 l 与 P 点的轨迹交于不同的两点 A、B, 若要使|MA|=|MB|,试求 k 的取值范围. (12 分)

2

18.已知不论 b 取何实数,直线 y=kx+b 与双曲线 x 2 ? 2 y 2 ? 1 总有公共点,试求实数 k 的取值范围.(12 分)

20.某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告:正西、正北两个观测点同时 听到了一声巨响,正东观测点听到的时间比其他两观测点晚 4s. 已知各观测点到该中 心的距离都是 1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为 340m/ s : 相关各点均在同一平面上).(14 分)

3

参考答案 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D D C C B B D A B D 答案 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分) y2 x2 7 ? ?1 11. 12. 13. 4 6 14. 3 x ? 4 y ? 5 ? 0 5 4 4 三、解答题(本大题共 6 题,共 76 分) 15. (12 分)[解析]:设双曲线方程为: 9x 2 ? 16y 2 ? ? ,∵双曲线有一个焦点为(4,0) , ?? ? 0
2 2 2 双曲线方程化为: x ? y ? 1 ? ? ? ? ? 16 ? ? ? 48 ,

?

?

9

16

25

9 16 2 2 ∴双曲线方程为: x ? y ? 1 256 144 25 25

16. (12 分)[解析]:易知 b ? a, c ? 2a, e ? 2 ,准线方程: x ? ? a ,设 P?x, y ?, 2 则
PF 1 ? 2(x ? a 2 )

∴e ? 4 ? 5 . 16 4 5



PF2 ?

2 (x ?

a 2

)



PO ?

x2 ? y2



2 ? PF 1 ? PF 2 ? 2( x ?

a2 ) ? 2 x2 ? a2 2
2

? x2 ? ( x2 ? a2 ) ? x2 ? y2 ? PO

? PF PO、 PF2 1、

成等比数列.

17. (12 分) [解析]:(1)∵x2-y2=1,∴c= 2.设|PF1|+|PF2|=2a(常数 a>0),2a>2c=2 2,∴a > 2 |PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2 (|PF1|+|PF2|)2-2|PF1||PF2|-|F1F2|2 由余弦定理有 cos∠F1PF2= = 2|PF1||PF2| 2|PF1||PF2| 2 2a -4 = -1 |PF1||PF2| |PF1|+|PF2| 2 ∵|PF1||PF2|≤( ) =a2,∴当且仅当|PF1|=|PF2|时,|PF1||PF2|取得最大值 a2. 2 2a2-4 2a2-4 1 此时 cos∠F1PF2 取得最小值 - 1 ,由题意 - 1 =- ,解得 a2 = 3 , a2 a2 3 x2 ∴P 点的轨迹方程为 +y2=1. 3 ① ? x2 ? y2 ? 1 (2)设 l:y=kx+m(k≠0),则由, ? 将②代入①得:(1+3k2)x2+6kmx+ ?3 ? y ? kx ? m ② ? 2 3(m -1)=0 (*) 设 A(x1 , y1) , B(x2 , y2) , 则 AB 中 点 Q(x0 , y0) 的 坐 标 满 足 : x0 = x1+x2 -3km m = ,y =kx0+m= 2 1+3k2 0 1+3k2
4

?b 2 ? a 2 ? c 2 ? 3 ? 2 ? 1

3km m 即 Q(- , ) ∵|MA|=|MB|,∴M 在 AB 的中垂线上, 1+3k2 1+3k2 m +1 1+3k2 1+3k2 ∴klkAB=k· =-1 ,解得 m= …③ 又由于(*)式有两个实数根,知 3km 2 - 1+3k2 △>0, 即 (6km)2-4(1+3k2)[3(m2-1)]=12(1+3k2-m2)>0 ④ ,将③代入④得 1+3k2 2 12[1+3k2-( ) ]>0, 解得-1<k<1, 由 k≠0, ∴k 的取值范围是 k∈(-1, 0)∪(0, 2 1). 18. (12 分)[解析]:联立方程组 消去 y 得(2k2-1)x2+4kbx+(2b2+1)=0, 2 当 1 ? 2k 2 ? 0, 即k ? ? 2 时, 若 b=0,则 k ? ? ;若 b ? 0 ? x ? ? 2b ? 1 ,不合题意. 2 2 2b
? 2k 2 ? 2b 2 ? 1 对 当 1 ? 2k 2 ? 0, 即k ? ? 2 时, 依题意有△=(4kb)2-4(2k2-1)(2b2+1)>0,
2
? y ? kx ? b ? 2 2 ?x ? 2 y ? 1

2 2 ?k? . 2 2 20. (14 分)[解析]:以接报中心为原点 O,正东、正北方向为 x 轴、y 轴正向,建立直角 坐标系.设 A、B、C 分别是西、东、北观测点,则 A(-1020,0) ,B(1020,0) ,C (0,1020) 设 P(x,y)为巨响为生点,由 A、C 同时听到巨响声,得|PA|=|PB|,故 P 在 AC 的垂直 平分线 PO 上, PO 的方程为 y=-x, 因 B 点比 A 点晚 4s 听到爆炸声, 故|PB|- |PA|=340 ×4=1360

所有实数 b 恒成立,?2k 2 ? (2b 2 ? 1) min ∴2k2<1,得 ?

2 2 由双曲线定义知 P 点在以 A、B 为焦点的双曲线 x ? y ? 1 上, 依题意得 a=680, 2 2

a

b

c=1020,
2 ? b 2 ? c 2 ? a 2 ? 10202 ? 6802 ? 5 ? 3402 , 故双曲线方程为 : x 2 ?

y2 5 ? 3402

680

?1

用 y=-x 代入上式,得 x ? ?680 5 ,∵|PB|>|PA|, ? x ? ?680 5 , y ? 680 5 , 即P(?680 5,680 5 ), 故PO ? 680 10 , 答 : 巨 响 发 生 在 接 报 中 心 的 西 偏 北 45 ° 距 中 心
680 10m 处.

Q

5


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