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命题与证明的知识点总结


命题与证明的知识点总结(湘教版)
一、 知识结构梳理 1.定义: (1)概念 ① (2)分类 2.命题 ② 假命题(可通过 (3)形式:命题都可写成 来说明) 的形式。 ;

命题与证明

(4)互逆命题 (1)公理: 3. 公理与定理 (2)定理: (1)概念: 4. 证明 (2)证明命题的一般步骤 (3)反证法 ①理解题意,画出 ②写出已知, ③写出

二、知识点归类 知识点 定义的概念 对于一个概念特征性质的描述叫做这个概念的定义。如: “两点之 间线段的长度,叫做这两点之间的距离”是“两点之间的距离”的定义。 注意:定义必须严密的,一般避免使用含糊不清的语言,例如“一些”“大概”“差不多” 、 、 等不能在定义中出现。 例 1 在下列横线上,填写适当的概念: (1)连结三角形两边中点的线段叫作三角形的 ; (2)能够完全重合的两个图形叫做 ; (3)两组对边分别平行的四边形叫做 ; 例 2 叙述概念的定义 (1)数轴; (2)等腰三角形

知识点

命题

知识点一 命题的概念 叙述一件事情的句子(陈述句) ,要么是真的,要么是假的,那么称这个陈述句是一个命 如“你是一个学生”“我们所使用是教科书是湘教版的”等。 、 注意: (1)命题必须是一个完整的句子。 (2)这个句子必须对某事情作出肯定或者否定的判断,二者缺一不可。 例 下列句子中不是命题的是( ) A 明天可能下雨 B 台湾是中国不可分割的部分

C 直角都相等 D 中国是 2008 年奥运会的举办国 知识点二 真命题与假命题 如果一个命题叙述的事情是真的, 那么称它是真命题; 如果一个命题叙述的事情是假的, 那么称它是假命题 注意:真、假命题的区别就在于其是否是正确的,在判断命题的真假时,要注意把握这点。 例 下列命题中的真命题是( ) A 锐角大于它的余角 B 锐角大于它的补角 C 钝角大于它的补角 D 锐角与钝角等于平角 知识点三 命题的结构 每个命题都有条件和结论两部分组成。条件是已知的事项,结论是由已知事项推断出的 事项。一般地,命题都可以写出“如果------,那么-------”的形式。有的命题表面上看不具 有“如果------,那么-------”的形式,但可以写成这种形式。如: “对顶角相等” ,改写成“如 果两个角是对顶角,那么这两个角相等” 。 例 把下列命题改写成“如果------,那么-------”的形式,并指出条件与结论。 1、同角的余角相等 2、两点确定一条直线 知识点四 证明及互逆命题的定义 1、 从一个命题的条件出发,通过讲道理(推理) ,得出它的结论成立,这个过程叫作证明。 注意:证明一个命题是假命题的方法是举反例,即找出一个例子,它符合命题条件,但它不 满足命题的结论,从而判断这个命题是假命题。 2、 一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,这两个命题称为互逆的命题, 其中的一个命题叫作另一个命题的逆命题。 注意:一个命题为真不能保证它的逆命题为真,逆命题是否为真,需要具体问题具体分析。 例 说出下列命题的逆命题,并指出它们的真假。 (1)直角三角形的两锐角互余; (2)全等三角形的对应角相等。

公理与定理
知识点一 公理与定理 数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的, 并把它们作为判断其它命题 真假的原始依据,这样的真命题叫做公理。 以基本定义和公理作为推理的出发点, 去判断其他命题的真假, 已经判断为真的命题称 为定理。 注意: (1)公理是不需要证明的,它是判断其他命题真假的依据,定理是需要证明; (2 ) 定理都是真命题,但真命题不一定都是定理。 例 填空: (1)同位角相等,则两直线 ; (2)平面内两条不重合的直线的位置 关系是 ; (3) 四边形是平行四边形。 知识点二 互逆定理 如果一个定理的逆命题也是定理,那么称它是原来定理的逆定理,这两个定理称为互逆 定理。 注意:每个命题都有逆命题,但并非所有的定理都有逆定理。如: “对顶角相等”就没逆定 理。

证明
知识点一 证明的含义 从一个命题的条件出发,通过讲道理(推理) ,得出它的结论成立,从而判定该命题为 真,这个过程叫做证明。 注意: (1)证明一个命题时,首先要分清命题条件和结论,其次要从已知条件出发,运用定 义、公理、定理进行推理,得出结论。 (2)证明的过程必须做到步步有据。 例. 已知:如图正方形 ABCD 中,E 为 CD 边上一点,F 为 BC 延长线上一点,且 CE= CF (1)求证:Δ BCE≌Δ DCF (2)若∠FDC=30°,求∠BEF 的度数。
A D

E

B

C

F

知识点二 反证法 从命题结论的反面出发,引出矛盾,从而证明原命题成立,这样的证明方法叫做反证 法。 反证法的关键在于反设所证命题的结论。适用范围:证明一些命题,且正面证明有困 难,情况多或复杂,而否定则比较简单。 反证法证题步骤: (1)假设命题的结论不成立,即假设命题结论的反面成立; (2)从 假设出发,经过推理,得出矛盾; (3)由矛盾判断假设不正确,从而肯定命题的结论成立。 例 在 △ABC 中,∠A 、∠B 、∠C 是它的三个内角。 求证:在∠A 、∠B、 ∠C 中不可能有两个直角。

三、巩固训练
一、填空 1.把命题“三边对应相等的两个三角形全等”写成“如果??,那么??”的形式是 ________________________________________________________________________. 2.命题“如果 a ? b
2 2

,那么 a ? b ”的逆命题是________________________________.

3.命题“三个角对应相等的两个三角形全等”是一个______命题(填“真”或“假”). 4.如图,已知梯形 ABCD 中, AD∥BC, AD=3, AB=CD=4, BC=7,则∠B=_______. 5.用反证法证明“b1∥b2”时,应先假设_________.

二、选择题 1.下列语句中,不是命题的是( A.直角都等于 90° C.互补的两个角不相等 2.下列命题是真命题的是( A.两个等腰三角形全等 C.同位角相等 3.下列条件中能得到平行线的是( ) B.等腰三角形底边中点到两腰距离相等 D.两边和一角对应相等的两个三角形全等 ) ) B.面积相等的两个三角形全等 D.作线段 AB

①邻补角的角平分线;②平行线内错角的角平分线;③平行线同位角的平分线; ④平行线同旁内角的角平分线. A. ①② B. ②④ ) C. ②③ D. ④

4.下列命题的逆命题是真命题的是( A.两直线平行同位角相等 C.若 a ? b ,则 a ? b
2 2

B.对顶角相等 D.若 ( a ? 1) x ? a ? 1 ,则 x ? 1 )

5.三角形中,到三边距离相等的点是( A.三条高的交点 C.三条角平分线的交点

B.三边的中垂线的交点 D.三条中线的交点 )

6.下列条件中,不能判定两个直角三角形全等的是( A.两条直角边对应相等 C.斜边和一条直角边对应相等

B.斜边和一锐角对应相等 D.面积相等 )

7.△ABC 的三边长 a , b , c 满足关系式 ( a ? b )( b ? c )( c ? a ) ? 0 ,则这个三角形一定是( A.等腰三角形 C.等腰直角三角形 B.等边三角形 D.无法确定

8.如图,点 E 在正方形 ABCD 的边 AB 上,若 EB 的长为 1, EC 的长为 2,那么正方形 ABCD 的面积是( A. 3 B. 5 C.3 ) D.5

三、判断下列命题是真命题还是假命题,若是假命题,请举一个反例说明. (1)有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形. (2)有两个角是锐角的三角形是锐角三角形.


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