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高三数学第一轮复习单元讲座 第04讲 基本初等函数教案 新人教版


普通高中课程标准实验教科书—数学 [人教版] 高三新数学第一轮复习教案(讲座 4)—基本初等函数
一.课标要求 1.指数函数 14 (1)通过具体实例(如细胞的分裂,考古中所用的 C 的衰减,药物在人体内残留 量的变化等) ,了解指数函数模型的实际背景; (2) 理解有理指数幂的含义, 通过具体实例了解实数指数幂的意义, 掌握幂的运算。 (3) 理解指数函数的概念和意义

, 能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象, 探索并理解指数函数的单调性与特殊点; (4)在解决简单实际问题的过程中,体会指数函数是一类重要的函数模型。 2.对数函数 (1)理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数 或常用对数;通过阅读材料,了解对数的发现历史以及对简化运算的作用; (2)通过具体实例,直观了解对数函数模型所刻画的数量关系,初步理解对数函数 的概念,体会对数函数是一类重要的函数模型;能借助计算器或计算机画出具体对数函 数的图象,探索并了解对数函数的单调性与特殊点; 3.知道指数函数 y ? a x 与对数函数 y ? loga x 互为反函数(a>0,a≠1) 。 二.命题走向 指数函数、对数函数、幂函数是三类常见的重要函数,在历年的高考题中都占据着 重要的地位。从近几年的高考形势来看,对指数函数、对数函数、幂函数的考查,大多 以基本函数的性质为依托,结合运算推理,能运用它们的性质解决具体问题。为此,我 们要熟练掌握指数、对数运算法则,明确算理,能对常见的指数型函数、对数型函数进 行变形处理。 预测 2007 年对本节的考察是: 1.题型有两个选择题和一个解答题; 2. 题目形式多以指数函数、 对数函数、 幂函数为载体的复合函数来考察函数的性质。 同时它们与其它知识点交汇命题,则难度会加大。 三.要点精讲 1.指数与对数运算 (1)根式的概念: ①定义:若一个数的 n 次方等于 a(n ? 1, 且n ? N ) ,则这个数称 a 的 n 次方根。即
? 若 x ? a ,则 x 称 a 的 n 次方根 n ? 1且n ? N ) ,
n

?

1)当 n 为奇数时, a的n 次方根记作 n a ;
专心 爱心 用心 1

2)当 n 为偶数时,负数 a 没有 n 次方根,而正数 a 有两个 n 次方根且互为相反数, 记作 ? n a (a ? 0) 。 ②性质:1) (n a ) n ? a ;2)当 n 为奇数时, n a n ? a ; 3)当 n 为偶数时, n a ?| a |? ? (2) .幂的有关概念 ①规定:1) a n ? a ? a ? ?? a(n ? N ;2) a 0 ? 1(a ? 0) ;
*

?a(a ? 0) 。 ?? a(a ? 0)

n个 3) a
?p

1 ? p ( p ?Q,4) a n ? n a m (a ? 0, m 、 n ?N* 且 n ? 1) 。 a

m

②性质:1) a r ? a s ? a r ?s (a ? 0, r 、 s ?Q) ; 2) (a r ) s ? a r?s (a ? 0, r 、 s ? Q) ; 3) (a ? b) r ? a r ? b r (a ? 0, b ? 0, r ? Q) 。 (注)上述性质对 r、 s ?R 均适用。 (3) .对数的概念 ①定义:如果 a(a ? 0, 且a ? 1) 的 b 次幂等于 N,就是 a ? N ,那么数 b 称以 a 为
b

底 N 的对数,记作 loga N ? b, 其中 a 称对数的底,N 称真数。 1)以 10 为底的对数称常用对数, log10 N 记作 lg N ;

? 2)以无理数 e(e ? 2.71828 ) 为底的对数称自然对数, loge N ,记作 ln N ;
②基本性质: 1)真数 N 为正数(负数和零无对数) ;2) loga 1 ? 0 ; 3) loga a ? 1 ;4)对数恒等式: a
loga N

?N。

③运算性质:如果 a ? 0, a ? 0, M ? 0, N ? 0, 则

专心

爱心

用心

2

1) loga (MN ) ? loga M ? loga N ; 2) log a

M ? log a M ? log a N ; N

3) loga M n ? n loga M (n ?R) 。 ④换底公式: loga N ?

logm N (a ? 0, a ? 0, m ? 0, m ? 1, N ? 0), logm a
n

1) loga b ? logb a ? 1 ;2) log a m b ? 2.指数函数与对数函数 (1)指数函数:

n log a b 。 m

①定义:函数 y ? a x (a ? 0, 且a ? 1) 称指数函数, 1)函数的定义域为 R;2)函数的值域为 (0,??) ; 3)当 0 ? a ? 1 时函数为减函数,当 a ? 1 时函数为增函数。 ②函数图像:

1)指数函数的图象都经过点(0,1) ,且图象都在第一、二象限; 2) 指数函数都以 x 轴为渐近线 (当 0 ? a ? 1 时, 图象向左无限接近 x 轴, a ? 1 时, 当 图象向右无限接近 x 轴) ; 3)对于相同的 a(a ? 0, 且a ? 1) ,函数 y ? a 与y ? a
x ?x

的图象关于 y 轴对称。

③函数值的变化特征:

0 ? a ?1
① x ? 0时0 ? y ? 1 , ② x ? 0时y ? 1 , ③ x ? 0时y ? 1
专心 爱心

a ?1
① x ? 0时y ? 1 , ② x ? 0时y ? 1 ,
用心

③ x ? 0时0 ? y ? 1 ,

3

(2)对数函数: ①定义:函数 y ? loga x(a ? 0, 且a ? 1) 称对数函数, 1)函数的定义域为 (0,??) ;2)函数的值域为 R; 3)当 0 ? a ? 1 时函数为减函数,当 a ? 1 时函数为增函数; 4)对数函数 y ? loga x 与指数函数 y ? a x (a ? 0, 且a ? 1) 互为反函数。 ②函数图像:

1)对数函数的图象都经过点(0,1) ,且图象都在第一、四象限; 2)对数函数都以 y 轴为渐近线(当 0 ? a ? 1 时,图象向上无限接近 y 轴;当 a ? 1 时,图象向下无限接近 y 轴) ; 4)对于相同的 a(a ? 0, 且a ? 1) ,函数 y ? loga x与y ? log1 x 的图象关于 x 轴对
a

称。 ③函数值的变化特征:

0 ? a ?1
① x ? 1时y ? 0 , ② x ?1 y ? 0, 时 ③ 0 ? x ? 1 y ? 0. 时

a ?1
① x ?1 y ? 0, 时 ② x ?1 y ? 0, 时 ③ x ? 0时0 ? y ? 1 .

专心

爱心

用心

4

四.典例解析 题型 1:指数运算

例 1. (1)计算: [(3 )
4 3

3 8

?

2 3

? ? 4 (5 ) 0.5 ? (0.008) 3 ? (0.02) 2 ? (0.32) 2 ] ? 0.06250.25 ; 9

2

1

1

(2)化简:

a ? 8a b 4b ? 2 ab ? a
3
2

1 3

2 3

2 3

? (a

?

2 3

23 b a ? 3 a2 ? )? 。 5 a a ?3 a
2 1

8 49 1000 3 4 2 625 4 解: (1)原式= [( ) 3 ? ( ) 2 ? ( ) ? 50 ? ]?( ) 27 9 8 10 10000

1

4 7 1 4 2 1 17 2 ? [ ? ? 25? ? ] ? ? (? ? 2) ? 2 ? ; 9 3 2 9 9 5 2 10
a ? 2b (a ? a ) 2 (2)原式= 1 ? ? 1 1 1 1 1 1 a (a 3 ) 2 ? a 3 ? (2b 3 ) ? (2b 3 ) 2 (a 2 ? a 3 ) 5
5

a [(a ) ? (2b ) ]

1 3

1 3 3

1 3 3

1 3

1 3

2 3

1

? a (a ? 2b ) ?

1 3

1 3

1 3

a a ? 2b
1 3 1 3

?

a6 a
1 6

? a ? a ? a ? a2 。

1 3

2 3

点评:根式的化简求值问题就是将根式化成分数指数幂的形式,然后利用分数指数 幂的运算性质求解,对化简求值的结果,一般用分数指数幂的形式保留;一般的进行指 数幂运算时,化负指数为正指数,化根式为分数指数幂,化小数为分数运算,同时兼顾 运算的顺序。 例 2.已知 x ? x
1 2 ? 1 2

? 3 ,求

x 2 ? x ?2 ? 2 x ?x
3 2 ? 3 2

的值。

?3

解:∵ x ? x
1 ? 1

1 2

?

1 2

? 3,

∴ (x2 ? x 2 ) ? 9 ,
2

∴ x?2? x ∴x? x
?1

?1

? 9,

? 7,
专心 爱心 用心 5

∴ ( x ? x?1 )2 ? 49 , ∴x ?x
2 ?2

? 47 ,
? 3 2

又∵ x 2 ? x ∴

3

? ( x 2 ? x 2 ) ? ( x ? 1 ? x ?1 ) ? 3 ? (7 ? 1) ? 18 ,
? 47 ? 2 ? 3。 18 ? 3

1

?

1

x 2 ? x ?2 ? 2 x ?x
3 2 3 ? 2

?3

点评:本题直接代入条件求解繁琐,故应先化简变形,创造条件简化运算。 题型 2:对数运算 例 3.计算 (1) (lg 2)2 ? lg 2 ? lg50 ? lg 25 ; (2) (log3 2 ? log9 2) ? (log4 3 ? log8 3) ;

(3)

lg 5 ? lg 8000? (lg 2 3 ) 2 。 1 1 lg 600 ? lg 0.036 ? lg 0.1 2 2

解: (1)原式 ? (lg 2)2 ? (1 ? lg5)lg 2 ? lg52 ? (lg 2 ? lg5 ? 1)lg 2 ? 2lg5

? (1 ? 1) lg 2 ? 2lg 5 ? 2(lg 2 ? lg 5) ? 2 ;
(2)原式 ? (

lg 2 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 lg 2 lg 3 lg 3 ? )?( ? )?( ? )?( ? ) lg 3 lg 9 lg 4 lg8 lg 3 2lg 3 2lg 2 3lg 2 3lg 2 5lg 3 5 ? ? ; 2lg 3 6lg 2 4
2

?

(3)分子= lg 5(3 ? 3 lg 2) ? 3(lg 2) ? 3 lg 5 ? 3 lg 2(lg 5 ? lg 2) ? 3; 分母= (lg 6 ? 2) ? lg

36 1 6 ? ? lg 6 ? 2 ? lg ? 4; 1000 10 100

3 ? 原式= 。 4
点评:这是一组很基本的对数运算的练习题,虽然在考试中这些运算要求并不高, 但是数式运算是学习数学的基本功,通过这样的运算练习熟练掌握运算公式、法则,以 及学习数式变换的各种技巧。
专心 爱心 用心 6

例 4.设 a 、 b 、 c 为正数,且满足 a ? b ? c
2 2

2

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

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b?c a?c ) ? log 2 (1 ? ) ? 1; a b b?c 2 ) ? 1 , log8 (a ? b ? c) ? ,求 a 、 b 、 c 的值。 (2)若 log 4 (1 ? a 3 a?b?c a?b?c a?b?c a?b?c ? log 2 ? log 2 ( ? ) 证明: (1)左边 ? log 2 a b a b
(1)求证: log 2 (1 ?

? log 2

( a ? b) 2 ? c 2 a 2 ? 2ab ? b2 ? c 2 2ab ? c 2 ? c 2 ? log 2 ? log 2 ? log 2 2 ? 1 ; ab ab ab
b?c b?c ) ? 1 得1 ? ? 4, a a

解: (2)由 log 4 (1 ?

∴ ?3a ? b ? c ? 0 ?????① 由 log8 (a ? b ? c) ?
2 2 得 a ? b ? c ? 8 3 ? 4 ???? ?????② 3

由① ? ②得 b ? a ? 2 ??????????????③ 由①得 c ? 3a ? b ,代入 a ? b ? c 得 2a(4a ? 3b) ? 0 ,
2 2 2

∵ a ? 0 , ∴ 4a ? 3b ? 0 ????????????④ 由③、④解得 a ? 6 , b ? 8 ,从而 c ? 10 。 点评:对于含对数因式的证明和求值问题,还是以对数运算法则为主,将代数式化 简到最见形式再来处理即可。 题型 3:指数、对数方程 例 5.设关于 x 的方程 4 x ? 2 x?1 ? b ? 0(b ?R) , (1)若方程有实数解,求实数 b 的取值范围; (2)当方程有实数解时,讨论方程实根的个数,并求出方程的解。 解: (1)原方程为 b ? 4 ? 2
x x ?1



? 4 x ? 2 x?1 ? (2 x ) 2 ? 2 ? 2 x ? (2 x ? 1) 2 ? 1 ? ?1,
?当b ? [?1,??) 时方程有实数解;
x (2)①当 b ? ?1 时, 2 ? 1 ,∴方程有唯一解 x ? 0 ;

②当 b ? ?1 时,? (2 x ? 1) 2 ? 1 ? b ? 2 x ? 1 ? 1 ? b .
专心 爱心 用心 7

? 2 x ? 0,1 ? 1 ? b ? 0,? 2 x ? 1 ? 1 ? b 的解为 x ? log2 (1 ? 1 ? b ) ;
令 1 ? 1 ? b ? 0 ? 1 ? b ? 1 ? ?1 ? b ? 0,

?当 ? 1 ? b ? 0时,2 x ? 1 ? 1 ? b 的解为 x ? log2 (1 ? 1 ? b ) ;
综合①、②,得 1)当 ? 1 ? b ? 0 时原方程有两解: x ? log2 (1 ? 1 ? b ) ; 2)当 b ? 0或b ? ?1 时,原方程有唯一解 x ? log2 (1 ? 1 ? b ) ; 3)当 b ? ?1 时,原方程无解。 点评:具有一些综合性的指数、对数问题,问题的解答涉及指数、对数函数,二次 函数、参数讨论、方程讨论等各种基本能力,这也是指数、对数问题的特点,题型非常 广泛,应通过解题学习不断积累经验。 例 6. (2006 辽宁 文 13)方程 log2 ( x ?1) ? 2 ? log 2 ( x ? 1) 的解为 。

解:考察对数运算。原方程变形为 log2 ( x ? 1) ? log2 ( x ? 1) ? log2 ( x 2 ? 1) ? 2 ,即

?x ? 1 ? 0 x 2 ? 1 ? 4 ,得 x ? ? 5 。且 ? 有 x ? 1 。从而结果为 5 。 ?x ? 1 ? 0
点评:上面两例是关于含指数式、对数式等式的形式,解题思路是转化为不含指数、 对数因式的普通等式或方程的形式,再来求解。 题型 4:指数函数的概念与性质

?2e x ?1 , x<2, ? 则f ( f (2))的值为 ( 例 7.设 f ( x) ? ? 2 ?log 3 ( x ? 1),x ? 2. ?
A.0 B.1 C.2
0 ?1



D.3

2 解:C; f (2) ? log3 (2 ? 1) ? 1, f ( f (2)) ? 2e

?

2 。 e

点评:利用指数函数、对数函数的概念,求解函数的值。 例 8.已知 f (loga x) ? x ? x (a ? 0, 且a ? 1) 试求函数 f(x)的单调区间。 解:令
?1

loga x ? t ,则 x= a t ,t∈R。
?t x ?x

所以 f (t ) ? a? ? a 即 f ( x) ? a ? a

, x∈R) ( 。

因为 f(-x)=f(x),所以 f(x)为偶函数,故只需讨论 f(x)在[0,+∞)上的单调性。
专心 爱心 用心 8

任取 x1 , x2 ,且使 0 ? x1 ? x2 ,则

f ( x2 ) ? f ( x1 )
? (a x2 ? a ? x2 ) ? (a x1 ? a ? x1 )
? (a x1 ? a x2 )(1 ? a x1 ? x2 ) a x1 ? x2

x1 x2 x1 ?x2 ?1 , 所 以 ( 1 ) 当 a>1 时 , 由 0 ? x1 ? x2 , 有 0 ? a ? a , a

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 ,即 f(x)在[0,+∞]上单调递增。
x1 x2 x1 ?x2 ?1 , 所 以 ( 2 ) 当 0<a<1 时 , 由 0 ? x1 ? x2 , 有 0 ? a ? a , a

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 ,即 f(x)在[0,+∞]上单调递增。
综合所述,[0,+∞]是 f(x)的单调增区间, (-∞,0)是 f(x)的单调区间。 点评:求解含指数式的函数的定义域、值域,甚至是证明函数的性质都需要借助指 数函数的性质来处理。特别是分 a ? 1,0 ? a ? 1 两种情况来处理。 题型 5:指数函数的图像与应用 例 9.若函数 y ? ( )

1 2

|1? x|

? m 的图象与 x 轴有公共点,则 m 的取值范围是(
C.m≥1




A.m≤-1

B.-1≤m<0

D.0<m≤1

? 1 x ?1 1 |1? x| ?( 2 ) 解:? y ? ( ) ?? 2 ?2 x ?1 ?

( x ? 1) ( x ? 1)

画图象可知-1≤m<0。 答案为 B。 点评:本题考察了复杂形式的指数函数的图像特征,解题的出发点仍然是

a ? 1,0, a ? 1两种情况下函数 y ? a x 的图像特征。
例 10.设函数 f ( x) ? 2| x?1|?| x?1| , 求使f ( x) ? 2 2x 的取值范围。 解:由于 y ? 2 是增函数, f ( x) ? 2 2 等价于 | x ? 1| ? | x ? 1|?
x

3 2



1)当 x ? 1 时, | x ? 1| ? | x ? 1|? 2 ,? ①式恒成立; 2)当 ?1 ? x ? 1 时, | x ? 1| ? | x ? 1|? 2 x ,①式化为 2 x ? 3)当 x ? ?1 时, | x ? 1| ? | x ? 1|? ?2 ,①式无解;
专心 爱心 用心 9

3 3 ,即 ? x ? 1 ; 2 4

综上 x 的取值范围是 ? , ?? ? 。 点评:处理含有指数式的不等式问题,借助指数函数的性质将含有指数式的不等式 转化为普通不等式问题(一元一次、一元二次不等式)来处理。 题型 6:对数函数的概念与性质 例 11. (1)函数 y ?

?3 ?4

? ?

log2 x ? 2 的定义域是(
B. [3,??)



A. (3,??)

C. (4,??)

D. [4,??)


(2) (2006 湖北)设 f(x)= lg

(-4, ? 0, 0)( 4) A. C.(-2,-1) ? (1,2) 解: (1)D(2)B。

2? x x 2 ,则 f ( ) ? f ( ) 的定义域为( 2? x 2 x B.(-4,-1) ? (1,4) D.(-4,-2) ? (2,4)

点评:求函数定义域就是使得解析是有意义的自变量的取值范围,在对数函数中只 有真数大于零时才有意义。对于抽象函数的处理要注意对应法则的对应关系。 例 12.对于 f ( x) ? log 1 ( x ? 2ax ? 3) ,
2 2

(1)函数的“定义域为 R”和“值域为 R”是否是一回事; (2)结合“实数 a 的取何值时 f (x) 在 [?1,??) 上有意义”与“实数 a 的取何值时 函数的定义域为 (??,1) ? (3,??) ”说明求“有意义”问题与求“定义域”问题的区别; (3)结合(1) (2)两问,说明实数 a 的取何值时 f (x) 的值域为 (??,?1] (4)实数 a 的取何值时 f (x) 在 (??,1] 内是增函数。 解:记 ? ? g ( x) ? ( x ? a) ? 3 ? a ,则 f ( x) ? log1
2 2

?;

2

(1)不一样; 定义域为 R ? g ( x) ? 0 恒成立。 得: ? ? 4(a ? 3) ? 0 ,解得实数 a 的取值范围为 (? 3, 3) 。
2

值域为 R: log 1
2

? 值域为 R ? ? 至少取遍所有的正实数,

专心

爱心

用心

10

则 ? ? 4(a 2 ? 3) ? 0 ,解得实数 a 的取值范围为 (??,? 3] ? [ 3,??) 。 (2)实数 a 的取何值时 f (x) 在 [?1,??) 上有意义: 命题等价于 ? ? g ( x) ? 0 对于任意 x ? [?1,??) 恒成立,

则?

? a ? ?1 ?a ? ?1 或? , 2 ? g (?1) ? 0 ?3 ? a ? 0

解得实数 a 得取值范围为 (?2, 3) 。 实数 a 的取何值时函数的定义域为 (??,1) ? (3,??) : 由已知得二次不等式 x ? 2ax ? 3 ? 0 的解集为 (??,1) ? (3,??) 可得 1 ? 3 ? 2a ,则
2

a=2。故 a 的取值范围为{2}。
区别: “有意义问题”正好转化成“恒成立问题”来处理,而“定义域问题”刚好转化成 “取遍所有问题”来解决(这里转化成了解集问题,即取遍解集内所有的数值) (3)易知 g (x) 得值域是 [2,??) ,又 g (x) 得值域是 [3 ? a 2 ,??) , 得 3 ? a ? 2 ? a ? ?1 ,故 a 得取值范围为{-1,1}。
2

(4)命题等价于 g (x) 在 (??,1] 上为减函数,且 g ( x) ? 0 对任意的 x ? (??,1] 恒成

立,则 ?

?a ? 1 ,解得 a 得取值范围为 [1,2) 。 ? g (1) ? 0

点评:该题主要考察复合对数函数的定义域、值域以及单调性问题。解题过程中遇 到了恒成立问题, “恒为正”与“取遍所有大于零的数”不等价,同时又考察了一元二次 函数函数值的分布情况,解题过程中结合三个“二次”的重要结论来进行处理。 题型 7:对数函数的图像及应用 例 13.当 a>1 时,函数 y=logax 和 y=(1-a)x 的图象只可能是( )

y
o
1

y
x A
o
1

y

y
o
1

x B
专心

x C

o

1

x D
11

解:当 a>1 时,函数 y=logax 的图象只能在 A 和 C 中选,
爱心 用心

又 a>1 时,y=(1-a)x 为减函数。 答案:B 点评:要正确识别函数图像,一是熟悉各种基本函数的图像,二是把握图像的性质, 根据图像的性质去判断,如过定点、定义域、值域、单调性、奇偶性。 例 14. A、 是函数 y= log2x 图象上两点, 其横坐标分别为 a 和 a+4, 直线 l: x=a+2 设 B 与函数 y= log2x 图象交于点 C, 与直线 AB 交于点 D。 (1)求点 D 的坐标; (2)当△ABC 的面积大于 1 时, 求实数 a 的取值范围。 解: (1)易知 D 为线段 AB 的中点, 因 A(a, log2a ), B(a+4, log2(a+4)), 所以由中点公式得 D(a+2, log2 a(a ? 4) )。 (2)S△ABC=S 梯形 AA′CC′+S 梯形 CC′B′B- S 梯形 AA′B′B=?= log2 其中 A′,B′,C′为 A,B,C 在 x 轴上的射影。 由 S△ABC= log2

(a ? 2) 2 , a(a ? 4)

(a ? 2) 2 >1, 得 0< a<2 2 -2。 a(a ? 4)

点评:解题过程中用到了对数函数性质,注意底数分类来处理,根据函数的性质来 处理复杂问题。 题型 8:指数函数、对数函数综合问题 例 15.在 xOy 平面上有一点列 P1(a1,b1),P2(a2,b2),?,Pn(an,bn)?,对每个自然数 n 点 Pn 位于函数 y=2000(

a x ) (0<a<1)的图象上,且点 Pn,点(n,0)与点(n+1,0)构成一个以 10

Pn 为顶点的等腰三角形。 (1)求点 Pn 的纵坐标 bn 的表达式; (2)若对于每个自然数 n,以 bn,bn+1,bn+2 为边长能构成一个三角形,求 a 的取值范围; * (3)设 Cn=lg(bn)(n∈N ),若 a 取(2)中确定的范围内的最小整数, 问数列{Cn}前多少项
的和最大?试说明理由。 解:(1)由题意知:an=n+

1 a n? ,∴bn=2000( ) 2 。 2 10

1

a x ) (0<a<10)递减, 10 ∴对每个自然数 n,有 bn>bn+1>bn+2。 则以 bn,bn+1,bn+2 为边长能构成一个三角形的充要条件是 bn+2+bn+1>bn, a 2 a 即( ) +( )-1>0, 10 10
(2)∵函数 y=2000( 解得 a<-5(1+ 2 )或 a>5( 5 -1)。
专心 爱心 用心 12

∴5( 5 -1)<a<10。 (3)∵5( 5 -1)<a<10,∴a=7

∴bn=2000(

7 n? 2 ) 。数列{bn}是一个递减的正数数列, 10

1

对每个自然数 n≥2,Bn=bnBn-1。 于是当 bn≥1 时,Bn<Bn-1,当 bn<1 时,Bn≤Bn-1, 因此数列{Bn}的最大项的项数 n 满足不等式 bn≥1 且 bn+1<1,

7 n? 由 bn=2000( ) 2 ≥1 得:n≤20。 10
∴n=20。 点评:本题题设从函数图像入手,体现数形结合的优越性,最终还是根据函数性质 结合数列知识,以及三角形的面积解决了实际问题。 例 16.已知函数 f ( x) ? loga (ax ? x )(a ? 0, a ? 1为常数) (1)求函数 f(x)的定义域; (2)若 a=2,试根据单调性定义确定函数 f(x)的单调性。 (3)若函数 y=f(x)是增函数,求 a 的取值范围。 解: (1)由 ax ? ∵a>0,x≥0
?x ? 0 1 ?? ?x? 2 2 2 a ?x ? a x

1

x ?0

得 x ? ax

∴f(x)的定义域是 x ? (

1 ,?? ) 。 a2

(2)若 a=2,则 f ( x) ? log2 (2x ? x ) 设 x1 ? x 2 ?

1 , 则 4

(2x1 ? x1 ) ? (2x2 ? x2 ) ? 2( x1 ? x2 ) ? ( x1 ? x2 ) ? ( x1 ? x2 )[2( x1 ? x2 ) ? 1] ? 0

? f ( x1 ) ? f ( x2 )
故 f(x)为增函数。
专心 爱心 用心 13

(3)设 x1 ? x 2 ?

1 a2

则a x1 ? a x 2 ? 1

?(ax1 ? x1 ) ? (ax2 ? x2 ) ? a( x1 ? x2 ) ? ( x1 ? x2 ) ? ( x1 ? x2 )[a( x1 ? x2 ) ? 1] ? 0

? ax1 ? x1 ? ax2 ? x2
∵f(x)是增函数, ∴f(x1)>f(x2)



即 loga (ax1 ? x1 ) ? loga (ax2 ? x2 ) 联立①、②知 a>1,



∴a∈(1,+∞)。 点评:该题属于纯粹的研究复合对函数性质的问题,我们抓住对数函数的特点,结 合一般函数求定义域、单调性的解题思路,对“路”处理即可。 题型 9:课标创新题 均有 f ( x) ? g ( x) ? 1,则称 f(x)与 g(x)在 ?m, n ? 上是接近的,否则称 f(x)与 g(x)在

例 17. 对于在区间 ?m, n ? 上有意义的两个函数 f(x)与 g(x), 如果对任意的 x ? ?m, n ? ,

?m, n?上是非接近的,现有两个函数 f1 ( x) ? loga ( x ? 3a) 与
f 2( x) ? log a 1 (a ? 0, a ? 1) ,给定区间 ?a ? 2, a ? 3? 。 x?a
(1)若 f 1 ( x ) 与 f 2 ( x) 在给定区间 ?a ? 2, a ? 3? 上都有意义,求 a 的取值范围; (2)讨论 f 1 ( x ) 与 f 2 ( x) 在给定区间 ?a ? 2, a ? 3? 上是否是接近的。 解: (1)两个函数 f1 ( x) ? loga ( x ? 3a) 与 f 2( x) ? log a

1 (a ? 0, a ? 1) 在给 x?a

定区间 ?a ? 2, a ? 3? 有意义,因为函数 y ? x ? 3a 给定区间 ?a ? 2, a ? 3? 上单调递增,函 数在 y ?

1 给定区间 ?a ? 2, a ? 3? 上恒为正数, x?a

?a ? 0 ? ? 0 ? a ? 1; 故有意义当且仅当 ?a ? 1 ?(a ? 2) ? 3a ? 0 ?
(2)构造函数 F ( x) ? f1 ( x) ? f 2 ( x) ? loga ( x ? a)(x ? 3a) ,
专心 爱心 用心 14

对于函数 t ? ( x ? a)(x ? 3a) 来讲, 显然其在 (??,2a] 上单调递减,在 [2a,??) 上单调递增。 且 y ? loga t 在其定义域内一定是减函数。 由于 0 ? a ? 1 ,得 0 ? 2a ? 2 ? a ? 2 所以原函数在区间 [a ? 2, a ? 3] 内单调递减,只需保证

?| F (a ? 2) |?| loga 4(1 ? a) |? 1 ? ?| F (a ? 3) |?| loga 3(3 ? 2a) |? 1
1 ? ?a ? 4(1 ? a ) ? a ? ?? ?3(3 ? 2a ) ? 1 ? a ?
当0 ? a ?

9 ? 57 时, f 1 ( x ) 与 f 2 ( x) 在区间 ?a ? 2, a ? 3? 上是接近的; 12
时, f 1 ( x ) 与 f 2 ( x) 在区间 ?a ? 2, a ? 3? 上是非接近的。

当a ?

9 ? 57 12

点评:该题属于信息给予的题目,考生首先理解“接近”与“非接近”的含义,再 对含有对数式的函数的是否“接近”进行研究,转化成含有对数因式的不等式问题,解 不等式即可。 例 18.设 x ? 1 , y ? 1 ,且 2log x y ? 2log y x ? 3 ? 0 ,求 T ? x 2 ? 4 y 2 的最小值。 解:令 t ? log x y , ∵ x ? 1 , y ? 1 ,∴ t ? 0 。 由 2log x y ? 2log y x ? 3 ? 0 得 2t ?

2 ? 3 ? 0 ,∴ 2t 2 ? 3t ? 2 ? 0 , t
1 1 1 ,即 log x y ? ,∴ y ? x 2 , 2 2

∴ (2t ? 1)(t ? 2) ? 0 ,∵ t ? 0 ,∴ t ?
2 2 2 2

∴ T ? x ? 4 y ? x ? 4x ? ( x ? 2) ? 4 ,
专心 爱心 用心 15

∵ x ? 1 ,∴当 x ? 2 时, Tmin ? ?4 。 点评:对数函数结合不等式知识处理最值问题,这是出题的一个亮点。同时考察了 学生的变形能力。 五.思维总结 1. n N ? a, a b ? N , loga N ? b (其中 N ? 0, a ? 0, a ? 1 )是同一数量关系的三 种不同表示形式,因此在许多问题中需要熟练进行它们之间的相互转化,选择最好的形 式进行运算.在运算中,根式常常化为指数式比较方便,而对数式一般应化为同应化为同 底; 2.要熟练运用初中学习的多项式各种乘法公式;进行数式运算的难点是运用各种变 换技巧,如配方、因式分解、有理化(分子或分母) 、拆项、添项、换元等等,这些都是 经常使用的变换技巧,必须通过各种题型的训练逐渐积累经验; 3. 解决含指数式或对数式的各种问题, 要熟练运用指数、 对数运算法则及运算性质, 更关键是熟练运用指数与对数函数的性质,其中单调性是使用率比较高的知识; 4.指数、对数函数值的变化特点(上面知识结构表中的 12 个小点)是解决含指数、 对数式的问题时使用频繁的关键知识,要达到滚瓜烂熟,运用自如的水平,在使用时常 常还要结合指数、对数的特殊值共同分析; 5.含有参数的指数、对数函数的讨论问题是重点题型,解决这类问题的最基本的分 类方案是以“底”大于 1 或小于 1 分类; 6.在学习中含有指数、对数的复合函数问题大多数都是以综合形式出现,如与其它 函数(特别是二次函数)形成的复合函数问题,与方程、不等式、数列等内容形成的各 类综合问题等等,因此要努力提高综合能力。

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爱心

用心

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