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2014届高三数学一轮复习 (基础知识+小题全取+考点通关+课时检测)9.2排列与组合课件 新人教A版


[知识能否忆起]

一、排列与排列数
1.排列 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,_________ 按照一定 的顺序排成一列 ,叫做从n个不同元素中取出m个元素 的一个排列.

2.排列数 所有不同排 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的___________

列的个数 ________,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,
记为Am. n

二、组合与组合数 1.组合

从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组 ,叫做
从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. 2.组合数 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的 所有不同组合 的个数 _____________
Cm ,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数, n

用符号

表示.

三、排列数、组合数公式及性质
Am n m 组合数公式 Cn = m Am 排列数公式 n(n-1)?(n-m+1) 公 Am=___________________ = n?n-1???n-m+1? n n! m! 式 n! ?n-m?! = =________ m!?n-m?! 性 (1)An= n!; n 质 (2)0!= 1 备 注 (1)C0 = 1 ; n n-m (2)Cm=Cn ; n m m -1 Cm+1 (3)Cn +Cn = n m≤n

[小题能否全取]

1.(教材习题改编)A、B、C、D、E五人并排站成一排,
如果B必须在A的右边(A、B可以不相邻),那么不同 的排法共有 A.24种 C.90种 B.60种 D.120种 ( )

解析:可先排C、D、E三人,共有A 3 种,剩余A、B 5 两人只有一种排法.故满足条件的排法共有A 3 ×1= 5 60(种). 答案:B

2.如图,M,N,P,Q为海上四个小岛,现要建造三座 桥,将这四个小岛连接起来,则不同的建桥方法有

(
A.8种 C.16种 B.12种 D.20种

)

解析:把四个小岛看作四个点,可以两两之间连成 C2 4 =6 条线段,任选三条,共有 C3种情形,但有 4 种情 6 形不满足题意,∴不同的建桥方法有 C3-4=16 种. 6

答案:C

3.某市汽车牌照号码可以上网自编,但规定从左到右第 二个号码只能从字母B、C、D中选择,其他四个号码

可以从0~9这十个数字中选择(数字可以重复),某车
主第一个号码(从左到右)只想在数字3、5、6、8、9中 选择,其他号码只想在1、3、6、9中选择,则他的车 牌号码可选的所有可能情况有 A.180种 B.360种 ( )

C.720种

D.960种

解析:按照车主的要求,从左到右第一个号码有5种选 法,第二个号码有3种选法,其余三个各有4种选法,因 此该车主的车牌号码可选的所有可能情况共有
1 A5· 1· 4· 1· 4=960(种). A3 A1 A4 A1

答案:D

4.(2012· 上海模拟)上海某区政府召集5家企业的负责人开
年终总结经验交流会,其中甲企业有2人到会,其余4家 企业各有1人到会,会上推选3人发言,则这3人来自3家 不同企业的可能情况的种数为________.
1 解析:若3人中有一人来自甲企业,则共有C 2 C 2 种情 4

况;若3人中没有甲企业的,则共有C

3 4

种情况.由分

类加法原理可得,这3人来自3家不同企业的可能情况
3 共有C1C2+C4=16(种). 2 4

答案:16

5.(2012· 本溪模拟)5名乒乓球队员中,有2名老队员和3名

新队员.现从中选出3名队员排成1,2,3号参加团体比
赛,则入选的3名队员中至少有1名老队员,且1、2号 中至少有1名新队员的排法有________种.(以数字作答) 解析: ①只有 1 名老队员的排法有 C1· 2· 3=36(种); 2 C3 A3
2 ②有 2 名老队员的排法有 C2· 1· 2· 2=12(种), C3 C1 A2

所以共 48 种.

答案:48

1.解决排列组合问题可遵循“先组合后排列”的原则,
区分排列组合问题主要是判断“有序”和“无序”. 2.对于限制条件较复杂的排列组合应用题,要周密 分析,设计出合理的方案,把复杂问题分解成若干简单 的基本问题后用两个计数原理来解决.

排列问题

[例1] (2012· 上海长宁一模)由数字0,1,2,3,4,5组成没
有重复数字的六位数,其中个位数字小于十位数字的共 有 A.210个 C.464个 B.300个 D.600个 ( )

[自主解答] 首位数字有 C1种选法, 个位、 十位数字 5 有 C2种排法,中间三位有 A3种排法.根据分步乘法计数 5 3
1 原理知共有 C5· 2· 3=300(个)满足条件的 6 位数. C5 A3

[答案] B

本例所求的6位数中,有多少个偶数?
解:若个位排0,则有A
5 5

个偶数;若个位排
3 3

1 2,则十位可从3,4,5中任选1个,有C 1 C 3 A 3 个偶 3 3

数;若个位排4,则十位只能排5,有C 1 A 3
1 C3A3+C1A3=192. 3 3 3

个偶

5 数,由分类加法计数原理得偶数的个数为A 5 +C 1 3

求排列应用题的主要方法 (1)对无限制条件的问题——直接法; (2)对有限制条件的问题,对于不同题型可采取直接

法或间接法,具体如下:
①每个元素都有附加条件——列表法或树图法;

②有特殊元素或特殊位置——优先排列法;
③有相邻元素(相邻排列)——捆绑法; ④有不相邻元素(间隔排列)——插空法.

1.(2012· 抚州模拟)从集合{0,1,2,3,5,7,11}中任取3个元素 分别作为直线方程Ax+By+C=0中的A、B、C,所得 的经过坐标原点的直线有________条(用数字表示).
(2)(2012· 福建厦门质检)上海世博会期间某国将展出5件艺术
作品,其中不同书法作品2件、不同绘画作品2件、标志性 建筑设计1件,在展台上将这5件作品排成一排,要求2件书 法作品必须相邻,2件绘画作品不能相邻,则该国展出这5 件作品不同的方案有________种.(用数字作答)

解析:(1)因为直线过原点,所以 C=0,从 1,2,3,5,7,11 这 6 个数中任取 2 个作为 A、B,两数的顺序不同,表示的直线 不同,所以直线的条数为 A2=30. 6 (2)将 2 件必须相邻的书法作品看作一个整体, 1 件建筑设 同 计展品全排列,再将 2 件不能相邻的绘画作品插空,故共有
2 2 A2A2A3=24 种不同的展出方案. 2

答案:(1)30

(2)24

组合问题

[例2] (1)(2012· 陕西高考)两人进行乒乓球比赛,先 赢3局者获胜,决出胜负为止,则所有可能出现的情形 (各人输赢局次的不同视为不同情形)共有 A.10种 B.15种 ( )

C.20种

D.30种

(2)甲、乙、丙3个同学在课余时间负责一个计算机
房的周一至周六的值班工作,每天1人值班,每人值班2 天,如果甲同学不值周一的班,则可以排出的不同值班

表有
A.90种 B.89种

(

)

C.60种 D.59种 [自主解答] (1)分三种情况:恰好打 3 局,有 2 种
情形;恰好打 4 局(一人前 3 局中赢 2 局,输 1 局,第 4 局赢),共有 2C2=6 种情形;恰好打 5 局(一人前 4 局中 3 赢 2 局,输 2 局,第 5 局赢),共有 2C2=12 种情形.所 4 有可能出现的情形共有 2+6+12=20(种).

(2)特殊元素优先考虑,甲同学不值周一的班,则先考 虑甲, 分步完成: ①从除周一外的 5 天中任取 2 天安排甲, 有 C2种;②从剩下的 4 天中选 2 天安排乙,有 C2种;③ 5 4 仅剩 2 天安排丙,有 C2种.由分步乘法计数原理,可得一 2 共有 C2· 2· 2=60(种). 5 C4 C2

[答案] (1)C

(2)C

组合问题的两种主要类型 (1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型:“含”, 则先将这些元素取出,再由另外元素补足;“不含”,则先 将这些元素剔除,再从剩下的元素中去选取. (2)“至少”或“最多”含有几个元素的题型.考虑逆向

思维,用间接法处理.

2.(2012· 济南模拟)如图所示,使电路接通,开关不同的 开闭方式有 ( )

A.11种
C.21种

B.20种
D.12种

1 解析: 当第一组开关有一个接通时, 电路接通为 C1(C3+ 2 2 C3+C3)=14 种方式;当第一组有两个接通时,电路接 3

通有 C2(C1+C2+C3)=7 种方式.所以共有 14+7=21 2 3 3 3 种方式.

答案:

C

排列组合的综合应用

[例3] (1)三位数中,如果十位上的数字比百位上 的数字和个位上的数字都小,则称这个数为凹数,如

524,746等都是凹数,那么,各个数位上无重复数字的三
位凹数有 A.72个 C.240个 B.120个 D.360个 ( )

(2)(2012· 泉州五校质检)现有4位教师参加说题比赛,

共有4道备选题目,若每位选手从中有放回地随机选出1
道题进行说题,则恰有1道题没有被这4位选中的情况有 ( A.288种 C.72种
[自主解答]

)

B.144种 D.36种
(1)从 0~9 这 10 个数字中任选 3 个,

3 有 C3 种,这三个数字组成的凹数有 A2个,故共有 C10 10 2 2 A2=240(个).

(2)首先选择题目,从 4 道题目中选出 3 道,选法为
3 C4, 而后再将获得同一道题目的 2 位老师选出, 选法为 C2, 4

最后将 3 道题目分配给 3 组老师,分配方式为 A3,即满足 3 题意的情况共有 C3C2A3=144(种). 4 4 3

[答案] (1)C

(2)B

解决排列组合应用问题的关键是要分析问题中有
无限制条件.对于有限制条件的排列组合问题要注意 考虑限制条件的元素或位置.对较复杂的排列组合问 题,要采用先选后排的原则.

3.(1)某班班会准备从含甲、乙的7名学生中选取4人发
言,要求甲、乙两人至少有一人参加,且若甲、乙同时 参加,则他们发言时顺序不能相邻,那么不同的发言顺 序种类为 A.720 B.520 ( )

C.600

D.360

(2)(2012· 北京海淀区期末)世博会期间,某班有四名学生参
加了志愿者工作.将这四名学生分到A、B、C三个不同的

展馆服务,每个展馆至少分配一人.若甲要求不到A馆,
则不同的分配方案有 A.36种 C.24种 B.30种 D.20种 ( )

解析:分两类:第一类,甲、乙两人只有一人参加,则不
3 同的发言顺序种类为 C1C5A4;第二类,甲、乙同时参加, 2 4

则不同的发言顺序种类为 C2C2A2A2.依加法计数原理,所 2 5 2 3
2 2 求的不同的发言顺序种类为 C1C3A4+C2C5A2A3=600. 2 5 4 2 2

(2)甲有两种选择,剩下的 3 个人可以每个展馆都分一人, 也可以在其他两个展馆中一个展馆分两人,一个展馆分一
1 人,所以不同的分配方案有 C1(A3+C2C2)=24 种. 2 3 3

答案:(1) C

(2) C

解决排列组合应用问题时,一是要明确问题中是排 列还是组合或排列组合混合问题;二是要讲究一些基本

策略和方法技巧.常用的有:元素位置分析法、捆绑法
或插空法、先整体后局部法、定序问题相除法、正难则 反排除法、分组分配法等.下面就常见的特殊元素、位 置优先法,捆绑或插空法及正难则反排除法举例说明.

1.特殊元素、位置优先法

[典例1] (2012· 郑州模拟)1名老师和5位同学站成一
排照相,老师不站在两端的排法共有 A.450种 ( B.460种 )

C.480种 D.500种 [解析] 法一:(元素分析法)先排老师有A 1 种方法, 4
再排学生有A5种方法,共有A1· 5=480种排法. 5 4 A5
法二:(位置分析法)先排两端有A
2 5

种排法,再排其

余位置有A4种排法,共有A2· 4=480种排法. 4 5 A4

[答案] C

[题后悟道]

解决排列组合问题最基本的方法是位

置分析法和元素分析法,若以位置为主,需首先满足特 殊位置的要求,再处理其他位置;若以元素为主,需先 满足特殊元素的要求,再处理其他元素.

2.捆绑法、插空法

[典例2] (2012· 绥化一模)有5盆各不相同的菊花,其
中黄菊花2盆、白菊花2盆、红菊花1盆,现把它们摆放成 一排,要求2盆黄菊花必须相邻,2盆白菊花不能相邻,则 这5盆花的不同摆放种数是 A.12 C.36 B.24 D.48 ( )

[解析]

2盆黄菊花捆绑作为一个元素与一盆红菊花

排列,2盆白菊花采用插空法,所以这5盆花的不同摆放 共有A2A2A2=24种. 2 2 3

[答案] B [题后悟道] 插空法一般是先排没有限制条件的

元素,再按要求将不相邻的元素插入排好的元素之间; 对于捆绑法,一般是将必须相邻的元素看作一个“大元 素”,然后再与其余“普通元素”全排列,但不要忘记对

“大元素”内的元素进行排列.

3.正难则反排除法 [典例3] (2012· 北京崇文一模)从6名男生和2名女生 中选出3名志愿者,其中至少有1名女生的选法共有( A.36种 C.42种 B.30种 D.60种 )

[解析] 法一:(直接法)选出3名志愿者中含有1名女
2 生2名男生或2名女生1名男生,故共有C 1 C 2 +C 2 C 1 =2× 15 2 6 6

+6=36种选法.
法二:(间接法)从8名学生中选出3名,减去全部是男
3 3 生的情况,故共有C8-C6=56-20=36种选法.

[答案] A
[题后悟道] 对于“至少”“至多”型排列组合问题,

若分类求解时,情况较多,则可从所有方法中减去不满 足条件的方法.

?针对训练

1.现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志

愿者服务者活动,每人从事翻译、导游、礼仪、司机
四项工作之一,每项工作至少有一人参加.甲、乙不 会开车但能从事其他三项工作,丙、丁、戊都能胜任 四项工作,则不同安排方案的种数是 A.152 C.90 B.126 D.54 ( )

解析: 依题意得, 这四项工作中必有一项工作有 2 人参与, 就司机这项工作的实际参与人数进行分类: 第一类,司机这项工作的实际参与人数恰有 1 人,满足题
1 意的方法有 C3· 1· 4· 1=108(种)(注:C1表示从除甲、乙 C3 C2 C2 3

外的 3 人中任选 1 人从事司机工作的方法数;C1· 2表示 3 C4 从除司机工作外的其余 3 项工作中任选定 1 项, 让该项工 作有 2 人从事的方法数; 2表示从余下的 2 人中选 1 人从 C1 事余下的两项工作之一的方法数);

第二类,司机这项工作的实际参与人数恰有 2 个,满足题
2 意的方法有 C3· 3=18(种)(注:C2表示从除甲、乙外的 3 A3 3

人中任选 2 人从事司机工作的方法数;A3表示余下的 3 人 3 分别从事另外 3 项不同工作的方法数). 因此,满足题意的方法有 108+18=126(种).

答案:

B

2.(2011· 浙江高考)有5本不同的书,其中语文书2本,数 学书2本,物理书1本.若将其随机地并排摆放到书架

的同一层上,则同一科目的书都不相邻的概率是
(
1 A. 5 3 C. 5 2 B. 5 4 D. 5

)

解析:基本事件共有 A5=120 种,同一科目的书都不相邻 5
2 3 的情况可用间接法求解,即 A5-A2A2A2×2-A2A2A3=48, 5 2 3 2 2

2 因此同一科目的书都不相邻的概率是 . 5

答案:B

教师备选题(给有能力的学生加餐)
1.2012年某校获得校长实名推荐制的资格,该 校高三奥赛班有5名同学获得甲、乙、丙三

所高校的推荐资格,且每人限推荐一所高
校.若这三所高校中每个学校都至少有1名 同学获得推荐,那么这5名同学不同的推荐

方案共有
A.144种 C.196种

(

)
解题训练要高效 见“课时跟踪检 测(五十九)”

B.150种 D.256种

解析:依题意这三所高校的名额分配方式为2,2,1或 3,1,1.因此共有C 2 · 3 · C 2 3+C 3 · 1 · 5 5 C 2 3=150种不同的推荐 方案.

答案:

B

2.用6种不同的颜色给如图所示的4个格 子涂色,每个格子涂1种颜色,要求最 多使用3种颜色且相邻的2个格子不同 色,不同的涂色方法共有________种.
解析:若用2种颜色涂,有C
2 6

种选法,满足相邻格异
2 2

色、1个格子1种颜色的涂法有A

种,共有C

2 6

A

2 2



30(种);若用3种颜色涂,有C 3 种选法,任选两个不相邻 6 的格子,有3种选法,再与另两格一起涂3种颜色,则有 3×A3种,共有C3×A3×3=360(种),综上,所求涂色方 3 6 3 法总共有390种.答案:390

3.有6本不同的书按下列分配方式分配,问共有多少种 不同的分配方式?

(1)分成1本、2本、3本三组;
(2)分给甲、乙、丙三人,其中一人1本,一人2本, 一人3本; (3)分成每组都是2本的三组; (4)分给甲、乙、丙三人,每人2本.

解:(1)分三步:先选一本有C

1 6

种选法;再从余下的5本中

2 3 选2本有C 5 种选法;对于余下的三本全选有C 3 种选法,由

分步乘法计数原理知有C1C2C3=60种选法. 6 5 3
(2)由于甲、乙、丙是不同的三人,在(1)的基础上,还应
1 3 考虑再分配的问题,因此共有C6C2C3A3=360种选法. 5 3

2 (3)先分三步,则应是C 2 C 4 C 2 种选法,但是这里面出现了 6 2

重复,不妨记6本书为分别A、B、C、D、E、F,若第一
2 2 步取了(AB、CD、EF),则C 6 C 2 C 2 种分法中还有(AB、 4

EF、CD),(CD、AB、EF)、(CD、EF、AB)、(EF、
3 CD、AB)、(EF、AB、CD)共有A 3 种情况,而且这A 3 种 3

情况仅是AB、CD、EF的顺序不同,因此,只算作一种
2 C2C4C2 6 2 情况,故分配方式有 =15(种). A3 3 C2C2C2 3 6 4 2 (4)在问题(3)的基础上再分配,故分配方式有 · 3 A A3 3

=C2C2C2=90(种). 6 4 2


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