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高二数学选修2-2模块综合测试题


高二数学选修 2-2 模块综合测试题
(本科考试时间为 120 分钟,满分为 100 分) 说明:本试题分有试卷Ⅰ和试卷Ⅱ,试卷Ⅰ分值为 30 分,试卷Ⅱ分值为 70 分。

第I卷
一.选择题(本大题有 10 小题,每小题 3 分,共 30 分) 1.在“近似替代”中,函数 f (x ) 在区间 [ xi , xi?1 ] 上的近似值(

(A)只能是左端点的函数值 f ( xi ) )

(B)只能是右端点的函数值 f ( xi ?1 )

(C)可以是该区间内的任一函数值 f ??i ?(?i ? [ xi , xi?1 ] ) (D)以上答案均正确 2.已知 z1 ? m2 ? 3m ? m2i,z2 ? 4 ? (5m ? 6)i ,其中 m 为实数,i 为虚数单位,若 z1 ? z2 ? 0 ,则 m 的 值为 (A) 4 (B) ?1 ( ) (C) 6 ( (C) x ? y ? 1 (D) 0 ) (D) xy ? 1 ? x ? y

3.已知 x ? 1, y ? 1 ,下列各式成立的是 (A) x ? y ? x ? y ? 2 (B) x 2 ? y 2 ? 1 4.设 f (x)为可导函数,且满足 lim
x ?0

f (1) ? f (1 ? x) =-1,则曲线 y=f (x)在点(1, f(1))处的切线的斜率是 2x 1 2



) (B)-1 (C) (D)-2

(A)2

5.若 a、b、c 是常数,则“a>0 且 b2-4ac<0”是“对任意 x∈R,有 ax2+bx+c>0” 的 ( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充要条件 (D)必要条件
3 2 2 6.函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? a 在 x ? 1 处有极值 10, 则点 ( a, b) 为





(A) (3,?3)

(B) (?4,11)
2 2 2

(C) (3,?3) 或 (?4,11) (

(D)不存在 ) (D)

7. x ? y ? z ? 1 ,则 2 x ? 3 y ? z 的最小值为 (A)1 8. 曲线 y ? e , y ? e
x ?x

(B)

3 4

(C)

6 11
( ) (D)

5 8

和直线 x ? 1 围成的图形面积是
?1

(A) e ? e

?1

(B) e ? e

(C) e ? e ? 2
第 1 页

?1

e ? e?1 ? 2

9.点 P 是曲线 y ? x 2 ? ln x 上任意一点, 则点 P 到直线 y ? x ? 2 的距离的最小值是( (A) 1 (B)



2

(C)



(D)

2 2

10 . 设 f ( x) ? x2 ? ax ? b ( a, b ? R ) 当 x? ?1,1 时 , f ( x) 的 最 大 值 为 m , 则 m 的 最 小 值 为 , ( (A) )

?

?

1 2

(B) 1

(C)

3 2

(D) 2

第I卷
二.填空题(本大题有 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 11.定义运算

a b 1 ?1 ? ad ? bc ,若复数 z 满足 ? 2 ,其中 i 为虚数单位,则复数 c d z zi


z?

12.如图,数表满足:⑴第 n 行首尾两数均为 n ;⑵表中递推关系类似杨辉三角, 记第 n(n ? 1) 行第 2 个数为 f ( n) .根据表中上下两行数据关系, 1 可以求得当 n …2 时, f (n) ? . 2 2 3 4 3 4 7 7 4 ? ? ? .

13.设函数 f(x)=n2x2(1-x)n(n 为正整数),则 f(x)在[0,1]上的最大值为

2 2 2 2 2 14.设 ai ? R? , xi ? R? , i ? 1, 2,? n ,且 a1 ? a2 ? ?a2 ? 1 , x1 ? x2 ? ? xn ? 1,则 n

a a1 a2 , ,? , n 的 x1 x2 xn

值中,现给出以下结论,其中你认为正确的是 . ①都大于 1②都小于 1③至少有一个不大于 1④至多有一个不小于 1⑤至少有一个不小于 1 三 解答题(本大题共 5 小题,共 54 分) 15(本小题满分 10 分) (1) 求定积分

?

1

?2

x2 ? 2 dx 的值;

(2)若复数 z1 ? a ? 2i(a ? R) , z2 ? 3 ? 4i , 且

z1 为纯虚数,求 z1 z2

第 2 页

16(本小题满分 10 分) 现要制作一个圆锥形漏斗,其母线长为 l ,要使其体积最大,求高为多少?

17(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? ln( x ? 1) ? (1)求 f ( x ) 的单调区间; (2)求曲线 y ? f ( x ) 在点(1, f (1) )处的切线方程; (3)求证:对任意的正数 a 与 b ,恒有 ln a ? ln b ? 1 ?

x x ?1

b . a

第 3 页

18(本小题满分 10 分) (提示:请从以下两个不等式选择其中一个证明即可,若两题都答以第一题为准) (1) 设 ai ? R? , bi ? R? , i ? 1, 2,? n ,且 a1 ? a2 ? ?an ? b1 ? b2 ? ?bn ? 2 求证:
2 2 an a12 a2 ? ??? ?1 a1 ? b1 a2 ? b2 an ? bn

(a1 ? a2 ? ? an )2 an a1 a2 (2)设 ai ? R? ( i ? 1, 2,? n )求证: ? ? ??? 2 2 2 2(a1 ? a2 ? ?an ) a2 ? a3 a3 ? a4 a1 ? a2

19(本小题满分 12 分)
2 设数列 ?an ? 满足 an?1 ? an ? nan ? 1, n ? 1, 2, 3,?,

(1) 当 a1 ? 2 时,求 a2 , a3 , a4 ,并由此猜想出 ?an ? 的一个通项公式; (2) 当 a1 ? 3 时,证明对所有 n ? 1 ,有 ① an ? n ? 2 ②

1 1 1 1 ? ?? ? 1 ? a1 1 ? a2 1 ? an 2

第 4 页

新课改高二数学选修 2-2 模块综合测试题参考答案
一 选择题 1 C 2B
二 填空题 11 1-i 三 解答题 15 (1) 12

3D

4D

5A

6B

7C

8D

9B

10 A

n2 ? n ? 2 2

13 4(

n n?2 ) n?2

14 ③⑤

1? 8 2 3

(2)

10 3

16

当高 h ?

3 2 3? 3 l 时, Vmax ? l 3 27

17 (1)单调增区间 (0, ??) ,单调减区间 ( ?1, 0) (2)切线方程为 x ? 4 y ? 4 ln 2 ? 3 ? 0 (3)所证不等式等价为 ln 而 f ( x ) ? ln(1 ? x ) ?

a b ? ?1 ? 0 b a

1 1 ? 1 , 设 t ? x ? 1, 则 F (t ) ? ln t ? ? 1 , 由 ( 1 ) 结 论 可 得 , x ?1 t

F (t )在(0,1)单调递减,在(1, ??)单调递增,由 此 F (t )min ? F (1) ? 0 , 所 以 F (t ) ? F (1) ? 0 即
1 a F (t ) ? ln t ? ? 1 ? 0 ,记 t ? 代入得证。 t b
18 (选做题:从两个不等式任选一个证明,当两个同时证明的以第一个为准) (1)证:左式= (
2 2 a1 ? a2 ? ? an +b1 ? b2 ? ?bn an a12 a2 )( ? ?? ) 4 a1 ? b1 a2 ? b2 an ? bn

=

a2 a2 a2 1 ?(a1 ? b1 ) ? (a2 ? b2 ) ? ? ? (an ? bn )?( 1 ? 2 ? ? n ) 4 a1 ? b1 a2 ? b2 an ? bn
a1 a1 ? b1 ? a2 ? b2 a2 a2 ? b2 ? ? ? an ? bn ? ? an ? bn ? ? an
2

1? ? ? a1 ? b1 4? ?
=

1 ( a1 ? a2 ? ? an )2 ? 1 4

(2)证:由排序不等式,得:
2 2 2 2 a12 ? a2 ??? an ? a1a2 ? a2a3 ? ?? ana1 , a12 ? a2 ??? an ? a1a3 ? a2a4 ? ?? ana2

两式相加: 2(a1 ? a2 ? ?? an ) ? a1(a2 ? a3 ) ? a2 (a3 ? a4 )?? an (a1 ? a2 ) ,从而
2 2 2

第 5 页

2 2 2( a12 ? a2 ? ? ? an )(

an a1 a2 ? ??? )? a2 ? a3 a3 ? a4 a1 ? a2 an a1 a2 ? ??? ) a2 ? a3 a3 ? a4 a1 ? a2

?

a1 ( a2 ? a3 ) ? a2 ( a3 ? a4 )? ? an (a1 ? a2 ) ? (

? (a1 ? a2 ??an )2 ,即证。
19

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