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2004-2014北大清华等自主招生考试数学试题汇编(word)(无答案)


2004-2013 北大清华等自主招生考试数学试题
2004 年名牌大学自主招生考试试题(l) 适用高校:复旦大学 一、填空题(每题 8 分,共 80 分) 1.设 x8 ? 1 ? ( x4 ? 2x2 ? 1)( x4 ? ax2 ? 1) ,则 a= 2.已知|5x+3|+|5x?4|=7,则 x 的取值范围是 . . 种取法. . .

x2 y 2 3.椭圆 ? ? 1 内接矩形的周长最大值是 16 9

4.12 只手套(左右有区别)形成 6 双不同的搭配,要从中取出 6 只正好能形成 2 双,有 5.已知等比数列 ?an ? 中 a1=3, ,且第 l 项至第 8 项的几何平均数为 9,则第 3 项为 6.若 x2 ? (a ? 1) x ? a ? 0 的所有整数解之和为 27,则实数 a 的取值范围是 .

( x ? 4)2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 ,则 ? 的最大值为 7.己知 4 9 4 9
3 5 3 5

.

2 8.设 x1、x2 是方程 x ?xsin ? +cos ? =0 的两个实数解,那么 arctanx1+ arctanx2=

.

9.方程 z ? z 的非零解是
3

. .

10.方程 y ? 21? x 的值域是 二、解答题(每题 15 分,共 120 分) 1.解方程: log5 ( x ? x ? 3) ? 1 .

1? x

2.已知 sin(? ? ? ) ?

12 4 ? , sin(? ? ? ) ? ? , 且 ? ? 0, ? ? 0, ? ? ? ? , 求 tan 2? . 13 5 2

3.已知过两抛物线 C1:x+1=(y?1)2,及 C2: (y?1)2=?4x?a+11 的一个交点的两条切线互相垂直, 求 a 的值.

4.若存在 M,使任意 x∈D(D 为函数 f(x)的定义域),都有|f(x)|≤M.则称函数 f(x)有
1 1 ? 1? 界,函数 f(x)= sin 在 x ? ? 0, ? 上是否有界? x x ? 2?
5.求证: 1 ?

1 2
3

?

1 3
3

?

?

1 n3

?3.

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6.已知 E 是棱长为 a 的正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的棱 AB 的中点,求点 B 到平面 A 1 EC 的距离. 7.比较 log24 25 与 log25 26 的大小,并说明理由. 8.已知数列 ?an ? ,?bn ? 满足 an?1 ? ?an ? 2bn , 且 bn?1 ? 6an ? 6bn ,又 a1 ? 2 , b1 ? 4 , 求:(1) an , bn , ;(2)1im lim

an . n ?? b n

2004 年名牌大学自主招生考试试题(2) 适用高校:上海交通大学 一、填空题(每题 4 分,共 40 分) 1.已知 x、y、z 是作负整数,且 x+y+z=10,x+2y+3z=30,则 x+5y+3z 的取值范围是 2.长为 1 的钢丝折成三段与另一墙面围成封闭矩形,则矩形面积的最大值是 . 3.函数 y ? sin x ? cos x ? 0 ? x ?



? ?

??

? 的值域是 2?

.

4.已知三角形又边的长 a、b、c 均为正整数,且 a≤b≤c,b=n,则满足条件的三角形 r 的个数为 5.设 x2+ax+b 和 x2+bx+c 的最大公因式为 x+1,最小公倍式为 x3+(c?1)x2+(b+3)x+d,则(a,b.c,d)= 6.已知 1 ? a ? 7.整数 7

2 ,则方程 a 2 ? x 2 ? 2 ? | x | 的相异实根的个数是
818

.

?

2004

? 36 ?

的个位数是

. .

8.已知数列{an}满足 a1=l,a2=2,且 an?2 ? 3an?1 ? 2an ,则 a2004 =

9. 在 n×n 的正方格中,任意取得的长方形(长方形的边与正方格的边平行或重合)是正方 形的概率是 . 10.已知 6xyzabc ? 7abcxyz ,则 xyzabc ? .

二、解答题(本大题共 60 分) 1.已知矩形的长、宽分别为 a、b,现在把矩形翻折,使矩形的对顶点重合,求所得折痕的长. 2.某二项式展开式中,相邻 a(a≥3,a∈N+)项的二项式系数之比为 1:2:3:?:a,求二项式的次数与 a 的值,以 及各项的二项式系数. 3.已知 f(x)= ax ? x ? (5 ? 8a) x ? 6 x ? 9a ,证明:
4 3 2

(1)恒有实数 x,使 f(x)=0, (2)存在实数 x,使 f(x)的值恒不为 0. 1? x 4.已知 f1(x)= ,对于一切正整数 n,都有 f n?1 ( x) ? f1[ f n ( x)], 且 f36 ( x) ? f6 ( x) ,求 1? x

f 28 ( x) .
5.对于两条垂直直线和一个椭圆,已知椭圆无论如何滑动都与两条直线相切,求椭圆中心的轨迹.
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6.已知{ an }是公差为 6 的等差数列, bn?1 ? an?1 ? an (n∈N+). (l)用 a1、b1、n 表示数{ an }的通项公式; (2)若 a1=b1=a,a∈[27,33],求 an 的最小值及取最小值时 n 的值. 2005 年名牌大学自主招生考试试题(l) 适用高校:复旦大学 一、填空题(每题 5 分,共 50 分) 1.已知集合 A= {x | log2 ( x2 ? x ? 1) ? 0, x ? R},B= {x | 2x ? 21? x ? 1, x ? R} ,则 A ?R B= 2.设数 x 满足 x+ .

1 1 300 =?1,则 x ? 300 = x x

. ,其中 ? ? [0, 2? ) . .

3.圆 ? = 5 3 sin ? ?5 cos ? 的圆心的极坐标为

4.设抛物线 y=2x2+2ax+a2 与直线 y=x+1 交于 A,B 两点, 当|AB|最大时,a= 5.计算: lim( n ? n ? 1 ? n ? n ? 1) =
2 2 n??

. . .

6.化简:l+3+6+…+

n(n ? 1) = 2

7. 一个班有 20 个学生, 其中有 3 个女生, 抽 4 个人去参观展览馆, 恰好抽到 l 个女生的概率为 8.写出 3
1000

在十进制中的最后 4 位

.

9.设定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)+2 f ?

? x ? 2002 ? ? =4015?x(x≠1), 则 f(2004)= ? x ?1 ?
.

.

1 ? sin x 的最大值是 2 ? cos x 二、解答(本大题共 70 分)
10.函数 y=

x2 y 2 1.在四分之一个椭圆 2 ? 2 ? 1( x ? 0, y ? 0, a, b ? 0) 上取一点 P,使过点 P 椭圆的切线与坐标轴所成 a b
的三角形的面积最小. 2.在 ?ABC 中,已知 tan A : tan B : tan C ? 1: 2 : 3 ,求

AC . AB

3.在单位正方体 ABCD? A1B1C1D1 中, E、F、G 分别是 AD、A A1 、 A1 B1 的中点,求: (l)点 B 到面 EFG 的距离;(2)二而角 G? EF? D1 的平面角 ? . 4.求方程 4 10 ? x ? 4 7 ? x =3 的实数根.
5.已知 sin ? ? cos ? ? a(0 ? a ? 2) ,求 sin ? ? cos ? 关于 a 的表达式.
n n

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6.设直线 l 与双曲线 xy=l 交于 P、Q 两点,直线 l 与 x 轴交于点 A,与 y 轴交于点 B,求 证:|AP|=|BQ|. 7.已知定义在 R 上的函数 f(x)=
4x ?1? , Sn ? f ? ? ? x 4 ?2 ?n?

?2? f ? ?? ?n? 1 1 ? ? S2 S3

? n ?1 ? ?f? ? ,n=1,2,3?, ? n ? ? 1 ?M ? Sn?1

(1)求 Sn;(2)是否存在常数 M>0 对,对任意 n ? 2 ,有
2005 年名牌大学自主招生考试试题(2) 适用高校:上海交通大学 一、填空题(每题 5 分,共 50 分) 1.已知方程 x ? px ?
2

1 4 4 =0( p ? R )的两根 x1 , x2 满足 x1 ? x2 ? 2 ? 2 ,则 p= 2 p2

.

2.设 sin x ? cos x ?
8 8

41 ? ?? , x ? ? 0, ? ,则 x= 128 ? 2?
n ?1

.

? 1? 3.已知 n ? Z , 且 ?1 ? ? ? n?

1 ? ? ? ?1 ? ? ? 2004 ?

2004

,则 n=

.

4.如图,将 3 个 12cm× 12cm 的正方形沿邻边的中点剪开,分成两部分,将这 6 部分接在一个边长为 6 2 的正六边形上,若拼接后的图形是一个多面体的表面展开图.则该多面体的体积为 .

第 4 题图 5.已知 2 3 ? 3 ?

3x ?

3 y , x, y ? Q, 则(x,y)=
? ? ?1?
2
n ?1

. .

2 2 2 2 6.化简: 2 ? 4 ? 6 ? 8 ?

? 2n ?

2

= .

7,若 z =1,且 z ?C,则 z +2 z +2z+20=
3 3

8.一只蚂蚁沿 l× 2× 3 立方体表面爬,从一条对角线一端爬到另一端所爬过的最短距离为 . 9. 4 封不同的信放人 4 个写好地址的信封中,全装错的概率为 , 恰好只有一封信装错的率为 10.已知等差数列{an}中,a3+a7+a11+a19=44,则 a5+a9+a16=
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.

二、解答题(本大题共 50 分) 1.已知方程 x3+ax2+bx+c=0 的三根分别为 a、b、c,且 a、b、c 是不全为零的有理数,求 a、b、c 的值. 2.是否存在三边为连续自然数的三角形,使得 (l)最大角是最小角的两倍? (2)最大角是最小角的三倍? 若存在,分别求出该三角形;若不存在,请说明理由.

3.已知函数 y=

ax 2 ? 8x ? b 的最大值为 9,最小值为 1.求实数 a、b 的值 x2 ? 1

4.已知月利率为 y,采用等额还款方式,若本金为 1 万元,试推导每月等额还款金额 m 关于 y 的函数关系 式(假设贷款时间为 2 年). 5.对于数列 ?an ? :1,3,3,3,5,5,5,5,5,?, 即正奇数 k 有 k 个· 是否存在整数 r,s,t,使得对于任意正整数 n, 都有 an ? r[ n ? s ] ? t 恒成立([x]表示不超过 x 的最大整数)? 2006 年名牌大学自主招生考试试题(l) 适用高校:复旦大学 选择题(共 150 分,每题 5 分,答对得 5 分,答错例扣 2 分,不答得 0 分) 1.在(x2?

1 10 ) 的展开式中系数最大的项是_____. x

A.第 4、6 项 B.第 5、6 项 C.第 5、7 项 D.第 6、7 项 2.设函数 y=? (x)对一切实数 x 均满足 ? (5+x)=?(5?x),且方程 ? (x)=0 恰好有 6 个不同的实根,则这 6 个实根的和为____. A.10 B.12 C.18 D.30 3. 若非空集合 X= {x|a+1≤x≤3a?5} , Y= {x|1≤x≤16} , 则使得 X ? X∪Y 成立的所有 a 的集合是_____. A. {a|0≤a≤7} B. {a|3≤a≤7} C. {a|a≤7} D.空集 4.设 z 为复数,E={z|(z?1)2=|z?1|2} ,则下列_ __是正确的 A.E={纯虚数} B .E={实数} C.{实数} ? E ? {复数} D.E={复数} 5.把圆 x2+(y?1)2=1 与椭圆 x2+ A.线段 B.等边三角形

( y ? 1)2 =1 的公共点,用线段连接起来所得到的图形为_____. 9
C.不等边三角形 D.四边形

6.在正三棱柱 ABC—A1B1C1 中,若 AB= 2 BB1,则 AB1 与 C1B 所成的角的大小是___. A.60° B.75° C.90° D.105° 7.某厂拟用集装箱托运甲乙两种货物,每箱的体积、重量、可获利润以及托运所受限制如下表所示: 货物 甲 乙 体积 每箱(米 3) 20 10 重量 每箱(吨) 10 20
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利润 每箱(百元) 8 10

托运限制

110

100 D.64

在最合理的安排下,获得的最大利润是______百元. A.58 B.60 C.62

8.若向量 a +3 b 垂直于向量 7 a ?5 b ,并且向量 a ?4 b 垂直于向量 7 a ?2 b ,则向量 a 与 b 的夹角为 ___ ___. A.

? ; 2

B.

? ; 3

C.

? ; 4

D.

? . 6

9.复旦大学外语系某年级举行一次英语口语演讲比赛,共有十人参赛,其中一班有三位,二班有两 位,其它班有五位.若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序,则一班的三位同学恰好演讲序号相连.问二班 的两位同学的演讲序号不相连的概率是____. A.

1 20

B.

1 40

C.

1 60

D.

1 90

3 10.已知 sin ? , cos ? 是关于 x 的方程 x2?αx+α=0 的两个根,这里 α∈R.则 sin 3 ? + cos ? =___.

A.?1? 2 ;

B.1+ 2 ;

C.?2+ 2

D.2? 2

11.设 z1,z2 为一对共轭复数,如果|z1?z2|= 6 且

z1 为实数,那么|z1|=|z2|=____. 2 z2
D. 6

A. 2

B.2

C.3

12.若四面体的一条棱长是 x,其余棱长都是 1,体积是 V(x),则函数 V(x)在其定义域上为____. A.增函数但无最大值 B.增函数且有最大值 C.不是增函数且无最大值 D.不是增函数但有最大值 13.下列正确的不等式是____. A.16<

?
k ?1

120

1 <17; k 1 <21; k

B.18<

?
k ?1

120

1 <19; k 1 <23. k

C.20<

?
k ?1

120

D.22<

?
k ?1

120

14.设{αn}是正数列,其前 n 项和为 Sn,满足:对一切 n∈Z+,αn 和 2 的等差中项等于 Sn 和 2 的等比 中项,则 lim

?n =______. x ?? n

A.0 B.4 C.12 D.100 2 2 15.已知 x1,x2 是方程 x ?(α?2)x+(α +3α+5)=0(α 为实数)的两个实根,则 x12+x22 的最大值为______. A.18 B.19 C.20 D.不存在 16.条件甲: 1 ? sin ? =α.条件乙: sin A.甲是乙的充分必要条件 C.甲是乙的充分条件

? ? + cos =α.则下列________是正确的. 2 2
B.甲是乙的必要条件 D.甲不是乙的必要条件,也不是充分条件

17.已知函数 ?(x)的定义域为(0,1),则函数 g(x)= ?(x+c)+?(x?c)在 0<c< A.(?c,1+c); B.(1?c,c); C.(1+c,?c);
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1 时的定义域为____. 2

D.(c,1?c);

18.函数 y=2x+ 1 ? 2x 的最值为____. A.ymin= ?

5 5 ,ymax= ; 4 4 5 C.ymin= ? ,无最大值 4

B.无最小值,ymax=

5 ; 4

D.既无最小值也无最大值

19.等差数列{αn}中,α5<0,α6>0 且 α6>|α5|,Sn 是前 n 项之和,则下列___是正确的. A.S1,S2,S3 均小于 0,而 S4,S5,…均大于 0 B.S1,S2,…,S5 均小于 0,而 S6,S7,…均大于 0 C.S1,S2,…,S9 均小于 0,而 S10,S11,…均大于 0 D.S1,S2,…,S10 均小于 0,而 S11,S12,…均大于 0 20.已知角 θ 的顶点在原点,始边为 x 轴正半轴,而终边经过点 Q( ? 3 ,y),(y≠0),则角 θ 的终边 所在的象限为___. A.第一象限或第二象限 B.第二象限或第三象限 C.第三象限或第四象限 D.第四象限或第一象限 21.在平面直角坐标系中,三角形△ABC 的顶点坐标分别为 A(3,4),B(6,0),C(?5,?2),则∠A 的平分线所 在直线的方程为_____. A.7x?y?17=0; B.2x+y+3=0; C.5x+y?6=0; D.x?6y=0. 22.对所有满足 1≤n≤m≤5 的 m,n,极坐标方程 ? ?

1 表示的不同双曲线条数为_____. 1 ? C cos ?
n m

A.6 B.9 C.12 D.15 23.设有三个函数,第一个是 y=?(x),它的反函数就是第二个函数,而第三个函数的图像与第二个函 数的图像关于直线 x+y=0 对称,则第三个函数是______. A.y=??(x); B.y=??(?x); ?1 C.y=?? (x); D.y=???1(?x); 24.设 ?(x)是定义在实数集上的周期为 2 的周期函数,且是偶函数.已知当 x∈[2,3]时,?(x)=x,则当 x∈[?2,0]时,?(x)的解析式为_____. A.x+4; B.2?x; C.3?|x+1|; D.2+|x+1|. 59 60 59 60 59 25.已知 α,b 为实数,满足(α+b) =?1,( α?b) =1,则 α +α +b +b60=_____. A.?2 B.?1 C.0 D.1 26.设 αn 是(2? x )n 的展开式中 x 项的系数(n=2,3,4,…),则极限 lim(
x ??

22 23 2n ? ? … ? ) =________. ? 2 ?3 ?n

A.15 27.设 x1,x2∈(0,

B.6

C.17

D.8

1 2 1 (3) 2
(1)

? ),且 x1≠x2,不等式成立的有 2 x ? x2 x ? x2 1 (tanx1+tanx2)>tan 1 ; (2) (tanx1+tanx2)<tan 1 ; 2 2 2 x ? x2 x ? x2 1 (sinx1+sinx2)>sin 1 ; (4) (sinx1+sinx2)>sin 1 2 2 2
B.(1),(4) C.(2),(3) D.(2),(4)

A.(1),(3)

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x?2
28.方程 ?(x)= 2 x ? 2

x ?1

x ?3

2 x ? 1 2 x ? 3 =0 的实根的个数为_______. 3x ? 3 3x ? 2 3x ? 5

A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.无实根 29.如图所示,半径为 r 的四分之一的圆 ABC 上,分别以 AB 和 AC 为直径作两个半圆,分别标有 α 的阴影部分面积和标有 b 的阴影部分面积,则这两部分面积 α 和 b 有_____. A.α>b B.α<b C.α=b D.无法确定

C a

b B A

30.设 a , b 是不共线的两个向量.已知 PQ =2 a +k b , QR = a + b , RS =2 a ?3 b .若 P,Q,S 三点共 线,则 k 的值为_____. A.?1; B.?3; C. ?

4 ; 3

D. ?

3 ; 5

2006 年名牌大学自主招生考试试题(2) 适用高校:上海交通大学 一、填空题(每题 5 分,共 50 分) 1.矩形 ABCD 中,AD=a,AB=b,过 A、C 作相距为 h 的平行线 AE、CF,则 AF=____. 2.一个正实数与它的整数部分,小数部分成等比数列,那么这个正实数是 _________. 3.2005!的末尾有连续________个零. 4. ( x 2 ? x ? 2)10 展开式中, x 项的系数为__________.
3

5.在地面距离塔基分别为 100m、200m、300m 的 A、B、C 处测得塔顶的仰角分别为

? , ? , ? , 且 ? ? ? ? ? ? 90? ,则塔高为______________.
6.三人玩剪子、石头、布的游戏,在一次游戏中,三人不分输赢的概率为_____________;在一次游 戏中,甲获胜的概率为___________. 7.函数 y ? ? log3 ( x2 ? ax ? a) 在 (??,1 ? 3) 上单调递增,则实数 a 的取值范围是________. 8. ? 是 x ? 1 的非实数根, ? (? ? 1)(? ? 1) =_____________.
5 2

9.2 张 100 元,3 张 50 元,4 张 10 元人民币,共可组成_______种不同的面值. 10.已知 ak ?

k ?2 ,则数列 {an } 前 100 项和为___________. k !? (k ? 1)!? (k ? 2)!
第 8 页 共 51 页

二、解答题(第 11 题 8 分,第 12、13、14 题每题 10 分,第 15 题 12 分) 11.a,b,c?R,abc?0,b?c,a(b?c)x2?b(c?a)x?c(a?b)?0 有两个相等根,求证:

1 1 1 , , 成等差数列. a b c

12.椭圆

x2 ? y 2 ? 1 (a ? 1) ,一顶点 A(0,1),是否存在这样的以 A 为直角顶点的内接于椭圆的等腰直 2 a

角三角形,若存在,求出共有几个,若不存在,请说明理由. 13.已知|z|=1,k 是实数,z 是复数,求|z2+kz+1|的最大值. 14.若函数形式为 f ( x, y) ? a( x)b( y) ? c( x)d ( y), 其中 a( x), c( x) 为关于 x 的多项式,b( y ), d ( y ) 为 关于 y 的多项式,则称 f ( x, y) 为 P 类函数,判断下列函数是否是 P 类函数,并说明理由. (1) 1+xy; (2) 1+xy+x2y2. 15.设 k ? 9, 解方程 x3 ? 2kx2 ? k 2 x ? 9k ? 27 ? 0 .

2006 年名牌大学自主招生考试试题(3) 适用高校:北京大学 解答题(本大题共 200 分) 1.(本题 20 分)求和 (1)7+77+777+?+ 777
n个7

7 2005

(2)2005+20052005+200520052005+?+ 20052005
n个2005

2.(本题 15 分)试构造函数 f(x)、g(x),使其定义域都为(0,1),值域都为[0,1],且 (1)对于任意 a ?[0,1], f ( x) ? a 只有一解; (2)对于任意 a ? [0,1], g ( x) ? a 有无穷多个解.

3.(本题 15 分)对于一个四位数,其各位数字至多有两个不相同,试求共有多少个这种四位数. 4.(本题 15 分)对于任意 n ? N , x1 , x2 ,
*

, xn 均为非负实数,且 x1 ? x2 ?

? xn ?

1 ,试用数学归纳 2

法证明: (1 ? x1 )(1 ? x2 )

(1 ? xn ) ?
0 2

1 成立. 2
2 2 n

5.(本题 20 分)求证: Cn

? ? ? ?C ? ? ?C ?
1 2 n

?

n ? ? Cn ? ? C2nn 2

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6.(本题 20 分)当实数 a、b 满足何条件时,可使

x 2 ? ax ? b ? 1 恒成立? x2 ? 2x ? 2

7.(本题 20 分)下列各式能否在实数范围内分解因式?若能,请作出分解;若不能,请说明理由. (1)x+1;(2) x ? x ? 1; (3) x ? x ? x ? 1 ;(4) x ? x ? x ? x ? 1 .
2 3 2 4 3 2

8.(本题 20 分)解三角方程:asin(x+

? )=sin2x+9,其 a 为实常数. 4

x2 ? y 2 ? 1, 曲线 C 关于直线 y=2x 对称的曲线为曲线 C’,曲线 C’与曲线 C” 9.(本题 20 分)已知曲线 C: 4
关于直线 y=?

1 x+5 对称,求曲线 C’、C”的方程. 2

2006 年名牌大学自主招生考试试题(4) 适用高校:清华大学 解答题(本大题共 100 分) 1.(本题 10 分)求最小正整数 n ,使得 I ? ( ?

1 2

1 2 3

i) n 为纯虚数,并求出 I .

2.(本题 10 分)已知 a、b 为非负数, M ? a4 ? b4 , a ? b ? 1 ,求 M 的最值.

sin ?、 cos ? 为等差数列, sin ?、 sin ?、 cos? 为等比数列,求 3.(本题 10 分)已知 sin ?、

1 cos 2? ? cos 2 ? 的值. 2
4.(本题 10 分)求由正整数组成的集合 S ,使 S 中的元素之和等于元素之积.

5.(本题 15 分)随机取多少个整数,才能有 0.9 以上的概率使得这些数中至少有一个偶数.

6.(本题 15 分) y ? x 上一点 P (非原点),在 P 处引切线交 x、 y 轴于 Q、R ,求
2

PQ PR



7.(本题 15 分)已知 f ( x) 满足:对实数 a、b 有 f (a ? b) ? af (b) ? bf (a) ,且 f ( x) ? 1,求证: f ( x) 恒为零. (可用以下结论:若 lim g ( x) ? 0, f ( x) ? M , M 为一常数,那么 lim( f ( x) ? g ( x)) ? 0 )
x ??
x ??

8. (本题 15 分)已知 A、B、C 为 ?ABC 的三个内角,它们所对的边分别 a、b、c,求证:

cos B ? cos C ?

2a A ? 4sin . b?c 2
第 10 页 共 51 页

(在所有定周长的空间四边形 ABCD 中,求对角线 AC 和 BD 的最大值,并证明?) 2007 年名牌大学自主招生考试试题(2) 适用高校:复旦大学 选择题(每题 5 分,共 150 分,答对得 5 分,答错扣 2 分,不答得 0 分) 1.三边均为整数,且最大边长为 11 的三角形,共有 A.20 B.26 C.30 D.36 2.若 a>1,b>1 且 lg(a+b)=lga+lgb,则 lg(a?1)+lg(b?1)= A.lg2 B.1 C.不是与 a、b 无关的常数 个. . D.0

1 3.已知 z∈C,若∣z∣=2-4i,则 的值是 . z 3 4 3 4 3 4 ? i ? i A.3+4i B. ? i C. D. 5 5 15 15 25 25 6k ? 1 6k ? 1 ? ? ? 2 x )+cos( ? 2 x )=2 3 sin( ? 2 x ),其中 x 为实数且 k 为整数. 4.已知函数 f(x)=cos( 3 3 3
则 f(x)的最小正周期为 A. . C.π D.2π .

? 3

B.

? 2

5.已知 A={(x,y)∣y≥x2},B={(x,y)∣x2+(y?a)2≤1}.则使 A∩B=B 成立的充分必要条件为

5 A.a= 4
=BE=

5 B.a≥ 4

C.0<a<1

D.a≥1

6.已知平面上三角形 ABC 为等边三角形且每边边长为 a,在 AB 和 BC 上分别取 D,E 两点使得 AD

a ,连接 A,E 两点以及 C,D 两点.则 AE 和 CD 之间的最小夹角为 3 a? a? ? A. B. C. D.以上均不对 9 3 3

.

7. 已知数列 {an} 满足 3an+1+an=4,(n≥1),且 a1=9, 其前 n 项之和为 Sn,则满足不等式∣Sn?n?6∣< 最小整数是

1 的 125

5 4

.

A.6 b.7 C.8 D.9 8.将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色,并使用一条棱的两端点异色,若只有五种颜色可供使用, 则不同的染色方法的总数为 . A.120 B.260 C.340 D.420 9.设甲乙两个袋子中装有若干个均匀白球和红球,且甲乙两个袋子中的球数比为 1∶3.已知从甲袋中 摸到红球的概率为 红球率为 A. .

1 2 ,而将甲乙两个袋子中的球装在一起后,从中摸到红球的概率为 .则从乙袋中摸到 3 3 19 45
C.

7 9

B.

13 30

D.

22 45
.

x ?1
10.方程 f(x)= 2 x ? 1

x?2

x?3

2 x ? 2 2 x ? 3 =0 的实根的个数是 3x ? 2 4 x ? 3 4 x ? 5
第 11 页 共 51 页

A.1 个

B. 2 个

C.3 个

D.无实根

11.已知 a,b 为实数,满足(a+b)59=?1,(a?b)60=1,则 A.0121 12.a= B.?49 C.0 D.23

? (a
n ?1

60

n

? bn ) =

.

1 是“直线(a+2)x+3ay+1=0 与直线(a?2)x+(a+2)y?3=0 相互垂直”的 2

.

A.充分必要条件 B.充分而不必要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 13.设函数 y=f(x)对一切实数 x 均满足 f(2+x)=f(2?x),且方程 f(x)=0 恰好有 7 个不同的实根,则这 7 个不同实根的和为 . A.0 B.10 C.12 D.14 14.已知 α,β,γ 分别为某三角形中的三个内角且满足 tan (1)tanαtanβ=1 是 . A.(1)(3) (2)0<sinα+sinβ≤ 2 B.(10(4) C.(2)(3) (3)sin2α+sin2β=1 D.(2)(4) .

???
2

=sinγ,则下列四个表达式:

(4)cos2α+cos2β=sin 2γ 中,恒成立的

15.设 Sn=1+2+…+n,n∈N.则 lim

n??

2nSn = (n ? 32) S n ?1

1 1 C. D.64 16 32 a ? 2i 16.复数 z= (a∈R,i= ? 1 )在复平面上对应的点不可能位于 1 ? 2i
A.2 B. A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 17.已知 f(x)=asinx+b 3 x +4(a,b 为实数)且 f [lg(lg 310 )]=5,则 f [lg(lg3)]= A.?5 B.?3 C.3 D.随 a,b 取不同值而取不同值

.

.

18.已知四棱锥 P-ABCD,底面 ABCD 是菱形,∠DAB=

? ,PD⊥平面 ABCD,线段 PD=AD, 3
.

点 E 是 AB 的中点,点 F 是 PD 的中点,则二面角 P-AB-F 的平面角的余弦值= A.

1 2

B.

2 5 5

C.

5 7 14

D.

3 7 14
项为有理数.

19.在( 2 ? 3 )50 的展开式中有

A.10 B.11 C.12 D.13 20.棱长为 a 的正方体内有两球互相外切,且两球各与正方体的三个面相切.则两球半径之和为 为 . A.无法确定 B.a C.

3? 3 a 2

D.

5? 5 a 2
x2 y2 ? ? 1 中的 a 和 b,则能组成落在矩形区域 a2 b2

21.在集合{1,2,…11}中任选两个作为椭圆方程

第 12 页 共 51 页

{(x,y)||x|<11,|y|<9}内的椭圆个数是 A.70 B.72 c.80 D.88

.

22.设 a,b,c 为非负实数,且满足方程 4 小值 . A.互为倒数 B.其和为 13

5 a ?9b ? 4 c

? 68? 2

5a ?9b? 4c

? 256 ? 0 ,则 a+b+c 的最大值和最

C.其乘积为 4

D.均不存在
2 n ?1

23.给定正整数 n 和正常数 a,对于满足不等式 a12+an+12≤a 的所有等差数列 a1,a2,a3,…,和式 大值= A. .

i ? n ?1

?a

1

的最

10a (n ? 1) 2

B.

10a n 2

C.

5a (n ? 1) 2

D.

5a n 2

24.设 z0(z0≠0)为复平面上一定点,z1 为复平面上的动点,其轨迹方程为|z1?z0|=|z1|,z 为复平面上另 一个动点满足 z1z=?1.则 z 在复平面上的轨迹形状是 . A.一条直线 B.以 ?

1 1 为圆心, 为半径的圆 z0 z0

C.焦距为 2

1 的双曲线 z0

D.以上均不对 .

25.一个球与正四面体的六条棱都相切,若正四面体的棱长为 a,则这个球的体积为 A.

3 3 ?a 12

B.

3 3 ?a 4

C.

2 3 ?a 24

D.

3 3 ?a 24
0<

26.已知函数 f(x)的定义域为(0,2),则函数 g(x)=f(x+c)+f(x?c) 在 A.(1?c,2+c) B.(c,2?c) C.(1?c,2?c) D.(c,2+c)

1 时的定义域为 2
.

.

27.设函数 f(x)=sin(2x+ ? ),(?π< ? <0),y=f(x)图象的一条直线 x=

? .则 ? 的值为 8

A.

?
4

B.

3? 4

C.-

3? 4

D.2π

28. 设 f(x)是定义在实数集上的周期为 2 的周期函数, 且是偶函数.已知当 x∈[2,3]时, f(x)=?x,则当 x∈[- 2,0]时,f(x)的表达式为 . A.?3+|x+1| B.2?|x+1| C.3?|x+1| D.2+|x+1| 29.当 a 和 b 取遍所有实数时,则函数 f(a,b)=(a+5?3|cosb|)2+(a?2)|sinb|)2 所能达到的最小值 为 . A.1 B.2 C.3 D.4 30.对任意实数 x,y,定义运算 x? y 为 x? y=ax+by+cxy,其中 a,b,c 为常数,且等式右端中的运算为通常 的实数加法、乘法运算.已知 1? 2=3,2? 3=4 且有一个非零实数 d,使得对于任意实数 x 均有 x? d=x,则 d= . A.-4 B.-2 C.1 D.4 2007 年上海交通大学冬令营数学试题
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90 分钟答题时间 填空题(每小题 5 分,共 50 分) 1. 2. 3. 4. 5. 6. 设函数 f ? x ? 满足 2 f ?3x ? ? f ? 2 ? 3x ? ? 6x ?1,则 f ? x ? ? _______________. 设 a, b, c 均为实数,且 3 ? 6 ? 4 ,则
a b

1 1 ? ? _______________. a b

x 2 设 a ? 0 且 a ? 1 ,则方程 a ? 1 ? ? x ? 2 x ? 2a 的解的个数为_______________.

设扇形的周长为 6,则其面积的最大值为_______________. 1?1!? 2 ? 2!? 3 ? 3!? ? n ? n ! ? _______________. 设不等式 x ? x ?1? ? y ?1 ? y ? 与 x2 ? y 2 ? k 的解集分别为 M 与 N .若 M ? N ,则 k 的最小值为

_______________. 7. 设函数 f ? x ? ?

x ,则 S ? 1 ? 2 f ? x ? ? 3 f 2 ? x ? ? x

nf n?1 ? x ? ? _______________.
25 ,则 a ? _______________. 2

8.

设 a ? 0 ,且函数 f ? x ? ? ? a ? cos x ?? a ? sin x ? 的最大值为

9. 6 名考生坐在两侧各有通道的同一排座位上应考,考生答完试卷的先后次序不定,且每人答完后 立即交卷离开座位,则其中一人交卷时为到达通道而打扰其余尚在考试的考生的概率为_______________. 10. 已知函数 f1 ? x ? ?

2x ?1 * ,对于 n ? N 定义 fn?1 ? x ? ? f1 ? fn ? x ?? ,若 f35 ? x ? ? f5 ? x ? ,则 x ?1

f28 ? x ? ? _______________.
计算与证明题(每小题 10 分,共 50 分) 11. 工件内圆弧半径测量问题.为测量一工件的内圆弧半径 R ,工人用三个半径均为 r 的圆柱形量棒

O1 , O2 , O3 放在如图与工件圆弧相切的位置上,通过深度卡尺测出卡尺水平面到中间量棒 O2 顶侧面的垂直
深度 h ,试写出 R 用 h 表示的函数关系式,并计算当 r ? 10mm , h ? 4mm 时, R 的值.

h

12. 设函数 f ? x ? ? sin x ? cos x ,试讨论 f ? x ? 的性态(有界性、奇偶性、单调型和周期性),求其 极值,并作出其在 ?0, 2? ? 内的图像.

第 14 页 共 51 页

13. 已知线段 AB 长度为 3, 两端均在抛物线 x ? y 2 上, 试求 AB 的中点 M 到 y 轴的最短距离此时 M 点的坐标. 14. 设 f ? x ? ? ?1 ? a ? x4 ? x3 ? ?3a ? 2? x2 ? 4a ,试证明对任意实数 a : ①方程 f ? x ? ? 0 总有相同实根; ②存在 x0 ,恒有 f ? x0 ? ? 0 .

15. 已知等差数列 ?an ? 是首项为 a ,公差为 b ,等比数列 ?bn ? 的首项为 b ,公比为 a , n ? 1, 2,3, 其中 a , b 均为正整数,且 a1 ? b1 ? a2 ? b2 ? a3 . ①求 a 的值; ②若对于 ?an ? , ?bn ? ,存在关系式 am ? 1 ? bn ,试求 b 的值; ③对于满足②中关系式的 am ,试求 S ? a1 ? a2 ? 2007 年北大自主选拔录取联合考试数 学 试 题



? am 的值.

1 、已知f ( x) ? x2 ? 53x ? 196? | x2 ? 53x ? 196 |, 求f (1) ? f (2) ? f (3) ?

? f (50) .

2、求证:对任意实数k , x2 ? y 2 ? 2kx ? (2k ? 6) y ? 2k ? 31 ? 0恒过两定点.
? xy ? 2 x ? y ? 1, ? 3、解方程组 ? yz ? 2 z ? 3 y ? 8, ? xz ? 4 z ? 3 x ? 8. ?

4、长方体中a, b, c为棱长,a ? b ? c,求沿长方体表面从P到Q的最小距离(其中P, Q 是长方体对
角线的两个端点). 5.(本题 20 分)已知 a>0,b>0,求证:

1 1 ? ? a ? b a ? 2b

?

1 n . ? a ? nb 1 ?? n ?1 ? ? b? ? a ? b ?? a ? 2 ?? 2 ? ?

2007 届清华大学保送生暨自主招生北京冬令营数学笔试试题(2006 年 12 月 30 日) 1.求 f ( x) ?

ex 的单调区间及极值. x

2.设正三角形 T1 边长为 a , Tn ?1 是 Tn 的中点三角形, An 为 Tn 除去 Tn ?1 后剩下三个三角形内切圆面积 之和.求 lim
n ??

?A
k ?1

n

k

.

第 15 页 共 51 页

3.已知某音响设备由五个部件组成,A 电视机,B 影碟机,C 线路,D 左声道和 E 右声道,其中每个部件 工作的概率如下图所示.能听到声音,当且仅当 A 与 B 中有一工作,C 工作,D 与 E 中有一工作;且若 D 和 E 同时工作则有立体声效果. A 0.90 C 0.95 B 0.95 E 0.94 D 0.94

求:(1)能听到立体声效果的概率; (2)听不到声音的概率. 4.(1)求三直线 x ? y ? 60 , y ?

1 x , y ? 0 所围成三角形上的整点个数; 2

? y ? 2 x, ? (2)求方程组 ? y ? 1 x, 的整数解个数. ? 2 ? x ? y ? 60 ? ?
5.已知 A(?1, ?1) ,△ABC 是正三角形,且 B、C 在双曲线 xy ? 1( x ? 0) 一支上. (1)求证 B、C 关于直线 y ? x 对称; (2)求△ABC 的周长.
2 ?r ? 0 ,使得 {P ? R 2 PP0 ? r} ? M .判 6.对于集合 M ? R ,称 M 为开集,当且仅当 ?P 0 ?M ,

断集合 {( x, y) 4x ? 2 y ? 5 ? 0} 与 {( x, y) x ? 0, y ? 0} 是否为开集,并证明你的结论.

2008 年名牌大学自主招生考试试题(1) 适用高校:复旦大学 1.已知 a, b, c 是不完全相等的任意实数.若 x ? a 2 ? bc, y ? b2 ? ac, z ? c 2 ? ab ,则 x, y , z 的值 _______. A、都大于 0; C、至少有一个小于 0;

B、至少有一个大于 0; D、都不小于 0

2.已知关于 x 的方 x 2 ? 6x ? (a ? 2) | x ? 3 | ?9 ? 2a ? 0 有两个不同的实数根,则系数 a 的取值范围是 _______. A、 a ? 0或a ? ?2 ;
1

B、 a ? 0 ;

C、 a ? 2或a ? 0 ;

D、 a ? ?2

3.在二项式 ( x 2 ? A、2;

1 2x
1 4

) n 的展开式中,若前 3 项的系数成等差数列,则展开式的有理项的项数为_____.
C、4; D、5

B、3;

4.设 a1 和 a2 为平面上两个长度为 1 的不共线向量,且它们和的模长满足 | a1 ? | a2 |? 3 .则

(2a1 ? 5a2 ) (3a1 ? a2 ) ? _____.
第 16 页 共 51 页

A、

1 ; 2

B、 ?

1 ; 2

C、

11 ; 2

D、 ?

11 2

5.在复平面上,满足方程 z z ? z ? z ? 3 的复数 z 所对应的点构成的图形是__ ___. A、圆; B、两个点; C、线段; D、直线 6.在如图所示的棱长均为 1 的正四面体 ABCD 中,点 M 和 N 分别是边 AB 和 CD 的中点.则线段 MN 的长度为___ __. A、

1 ; 2
D

B、 2 ;

C、

1 ; 3

D、2

N

A M B

C

7.过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 作直线交抛物线于 A、 B 两点, O 为抛物线的顶点.则三角形△ABO 是一个_____. A、等边三角形; B、直角三角形; C、不等边锐角三角形; D、钝角三角形 8.设 f ( x) 的定义域是全体实数,且 f ( x) 的图形关于直线 x ? a 和 x ? b 对称,其中 a ? b .则 f ( x) 是 _____. A、一个以 b ? a 为周期的周期函数; C、一个非周期函数; B、一个以 2b ? 2a 为周期的周期函数 D、以上均不对.

9.二项式 (1 ? x)100 的展开式中系数之比为 33:68 的相邻两项是________. A、第 29、30 项; 10.方程 | x ? 3 |( x A、一个;
2

B、第 33、34 项; =1 有____解.

C、第 55、56 项;

D、81、82 项

?8 x?15) /( x?2)

B、两个;

C、三个;

D、四个.

11.已知 a ? 0 ,函数 f ( x) ? ax3 ? bx ? cx ? d 的图像关于原点对称的充分必要条件是____. A、 b ? 0 ; B、 b ? 0, c ? 0 ; C、 c ? d ? 0 ; D、 b ? d ? 0

12.设 ?an ?是正数数列,其前 n 项和为 Sn ,满足:对所有的正整数 n, an 与 2 的等差中项等于 Sn 与 2 的等比中项,则 lim A、0;

n? ??

S n ? an =_____. 4n 2 1 B、1; C、 ; 2

D、

1 4

13.四十个学生参加数学奥林匹克竞赛.他们必须解决一个代数学问题、一个几何学问题以及一个三角 学问题.具体情况如下表所述:
第 17 页 共 51 页

问题 代数学问题 几何学问题 三角学问题 代数学问题和几何学问题 代数学问题和三角学问题 几何学问题和三角学问题

解决问题的学生数 20 18 18 7 8 9

其中有三位学生一个问题都没有解决.问三个问题都解决的学生数是___ ____. A、5; B、6; C、7; D、8 14.方程 3x ? e ? 0 的实根_____.
2 x

A、不存在;

B、有一个;

C、有两个;

D、有三个.

15.当不等式 tan2 (cos 4? 2 ? x 2 ) ? 4a tan(cos 4? 2 ? x 2 ) ? 2 ? 2a ? 0 关于 x 有有限个解时, a 的 取值是_______. A、全体实数; B、一个唯一的实数; C、两个不同的实数; D、无法确定.

x? y x? y ? ?x ? y , 16.方程组 ? 有______解. ? ? y x ? 1,

A、一个;

B、两个;

C、三个;

D、四个.

17.设 a 是一个实数,则方程组 ?

? (a ? 1) x ? 8 y ? 4a 解的情况为_____. ?ax ? (a ? 3) y ? 3a ? 1

A、无论 a 取何值,方程组均有解; B、无论 a 取何值,方程组均无解; C、若方程组有解,则仅有一组解; D、方程组有可能无解. 18.在如图所示的三棱柱中,点 A,BB1 的中点以及 B1C1 的中点所决定的平面把三棱柱切割成体积不 相同的两部分,问小部分的体积和大部分的体积比为____. A、

1 ; 3

B、

4 ; 7

C、

11 ; 17

D、

13 23

A1 N B1

C1

M A C

B
8 5 2 19.设 f ( x) ? x ? x ? x ? x ? 1 .则 f ( x) 有性质:_____.

A、对任意实数 x, f ( x) 总是大于 0;

B、对任意实数 x, f ( x) 总是小于 0;

第 18 页 共 51 页

C、当 x>0 时, f ( x) ? 0 ;

D、以上均不对.

20.椭圆

x2 y2 ? ? 1 的焦点为 F1 和 F2 ,点 P 在椭圆上,若 PF1 的中点在 y 轴上,则 | PF1 | 是 | PF2 | 的 12 3
B、5 倍; C、7 倍; D、9 倍.

_______. A、3 倍;

21. 5 个不同元素 a i (i=1, 2, 3, 4, 5)排成一列,规定 a1 不许排第一, a2 不许排第二,不同的排法共有 ________. A、64 种; B、72 种; C、78 种; D、84 种.
2 k ?1

22.设某个多边形 ? 的顶点在复平面中均为形式为 1 ? z ? z ? ? ? ? ? z 性质:______. A、一定是多边形 ? 上的点; C、不一定是多边形 ? 上的点;

的点,其中 | z |? 1 .则点 z=0 有

B、一定不是多边形 ? 上的点; D、恰恰为多边形 ? 的边界点.

23.一批衬衣中有一等品和二等品,其中二等品率为 0.1.将这批衬衣逐件检测后放回,在连续三次检测 中,至少有一件是二等品的概率为_______. A、0.271; B、0.243; C、0.1; D、0.081

x1
24.设 x1 , x2 , x3 是方程 x ? x ? 2 ? 0 的三个根,则行列式 x2
3

x2 x3 x1

x3 x1 =_____. x2

x3
A、—4; B、—1; C、0; D、2

25.设 a ? 0, a ? 1,则函数 f ( x) ? A、 f ( x) 和 g ( x) 均为奇函数;

a x ? a?x (a x ? 1) x 和 g ( x) ? 为_____. 2 a x ?1
B、 f ( x) 和 g ( x) 均为偶函数; D、 f ( x) 是奇函数但 g ( x) 是偶函数

C、 f ( x) 是偶函数但 g ( x) 是奇函数; 26.设 A= ? ?
99

?1 ?2

1? 100 ? 是一个二阶方阵,则 100 个 A 的乘积 A =___ ___. ? 2?
B、 2
100

A、 2 A ;

A;

C、 3 A ;

99

D、 3

100

A

27.三边均为整数,且最大边长为 11 的三角形,共有_____个. A、20; B、26; C、30; D、36 28.如图所示;正方形 ABCD 的面积设为 1,E 和 F 分别是 AB 和 BC 的中点,则图中阴影部分的面积 是______. A、

1 ; 2

B、

3 ; 4

C、

2 ; 3

D、

2 5

第 19 页 共 51 页

29.设 A ? {a1 , a2 , a3}是由三个不同元素所组成的集合,且 T 是 A 的子集族满足性质:空集和 A 属于 T,并且 T 中任何两个元的交集和并集还属于 T.问所有可能的 T 的个数为____. A、29; B、33; C、43; D、59 30.设 F1 , F2 分别为椭圆

x2 y2 ? ? 1 的左、右焦点,且点 P 是椭圆上的一点.若 F1 , F2 ,P 是一个直角三 16 9
9 ; 5 3 2

角形的三个顶点,则点 P 到 x 轴的距离为_______. A、3; B、

9 ; 4

C、

D、

31.若空间三条直线两两成异面直线,则与 a, b, c 都相交的直线有_____. A、0 条; B、1 条; C、多于 1 的有限条; D、无穷多条.

1 32.已知一个三角形的面积为 ,且它的外接圆半径为 1.设 a, b, c 分别为这个三角形的三条边的边长, 4 1 1 1 令 u ? ? ? 且 v ? a ? b ? c ,则 u和v 的关系为_____. a b c
A、 u ? v ; B、 u ? v ; C、 u ? v ; D、无法确定

2008 年交大冬令营数学试题 2008.1.1 一.填空题

3 2x ? 1 ?1 1.若 f ( x) ? x , g ( x) ? f ( x) ,则 g ( ) ? _______ . 5 2 ?1
2.函数 y ?

x ?1 的最大值为__________. x2 ? 8

3.等差数列中, 5a8 ? 3a13 ,则前 n 项和 Sn 取最大值时, n 的值为__________.
2 2 4.复数 | z |? 1 ,若存在负数 a 使得 z ? 2az ? a ? a ? 0 ,则 a ? ________ .

5.若 cos x ? sin x ?

1 3 3 ,则 cos x ? sin x ? ________ . 2

6.数列 ?an ? 的通项公式为 an ?
2

1 ,则这个数列的前 99 项之和 S99 ? _______ . n n ? 1 ? (n ? 1) n
98 99
3

7. (1 ? x) ? (1 ? x) ? …… ?(1 ? x) ? (1 ? x) 中 x 的系数为 ________ .

第 20 页 共 51 页

8.数列 ?an ? 中, a0 ? 0 , a1 ? ?

1 3 5 7 , a2 ? 6 , a3 ? ? , a4 ? 20 , a5 ? ? , a6 ? 42 , a7 ? ? , 2 4 6 8

a8 ? 72 ,此数列的通项公式为 an ? _______ .
9.甲、乙两厂生产同一种商品.甲厂生产的此商品占市场上的 80%,乙厂生产的占 20%;甲厂商品 的合格率为 95%,乙厂商品的合格率为 90%.若某人购买了此商品发现为次品,则此次品为甲厂生产的概 率为 __________ . 10.若曲线 C1 : x2 ? y 2 ? 0 与 C2 : ( x ? a)2 ? y2 ? 1 的图像有 3 个交点,则 a ? _______ . 二.解答题 1.30 个人排成矩形,身高各不相同.把每列最矮的人选出,这些人中最高的设为 a ;把每行最高的 人选出,这些人中最矮的设为 b . (1) a 是否有可能比 b 高? (2) a 和 b 是否可能相等? 2. 已知函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c (a ? 0) , 且 f ( x) ? x 没有实数根. 那么 f ( f ( x)) ? x 是否有实数根? 并证明你的结论. 3.世界杯预选赛中,中国、澳大利亚、卡塔尔和伊拉克被分在 A 组,进行主客场比赛.规定每场比 赛胜者得三分,平局各得一分,败者不得分.比赛结束后前两名可以晋级. (1)由于 4 支队伍均为强队,每支队伍至少得 3 分.于是 甲专家预测:中国队至少得 10 分才能确保出线; 乙专家预测:中国队至少得 11 分才能确保出线. 问:甲、乙专家哪个说的对?为什么? (2)若不考虑 ?1? 中条件,中国队至少得多少分才能确保出线? 4.通信工程中常用 n 元数组 (a1, a2 , a3 , ……an ) 表示信息,其中 ai ? 0 或 1, i、n ? N .设

u ? (a1 , a2 , a3……an ) , v ? (b1, b2 , b3……bn ) , d (u, v) 表示 u 和 v 中相对应的元素不同的个数.
(1) u ? (0,0,0,0,0) 问存在多少个 5 元数组 v 使得 d (u, v) ? 1 ; (2) u ? (1,1,1,1,1) 问存在多少个 5 元数组 v 使得 d (u, v) ? 3 ; (3)令 w ? (0, 0, 0……0) , u ? (a1 , a2 , a3……an ) , v ? (b1 , b2 , b3……bn ) ,
n个 0

求证: d (u, w) ? d (v, w) ? d (u, v) .
2 2 2 5.曲线 y ? 2 px ? p ? 0? 与圆 ( x ? 2) ? y ? 3 交于 A、B 两点,线段 AB 的中点在 y ? x 上,求 p .

2008 年交大冬令营数学试题 2008.1.1 一.填空题

3 2x ? 1 ?1 1.若 f ( x) ? x , g ( x) ? f ( x) ,则 g ( ) ? _______ . 5 2 ?1
2.函数 y ?

x ?1 的最大值为__________. x2 ? 8
第 21 页 共 51 页

3.等差数列中, 5a8 ? 3a13 ,则前 n 项和 Sn 取最大值时, n 的值为__________.
2 2 4.复数 | z |? 1 ,若存在负数 a 使得 z ? 2az ? a ? a ? 0 ,则 a ? ________ .

5.若 cos x ? sin x ?

1 ,则 cos3 x ? sin3 x ? ________ . 2

6.数列 ?an ? 的通项公式为 an ?

1 ,则这个数列的前 99 项之和 S99 ? _______ . n n ? 1 ? (n ? 1) n
3

7. (1 ? x) ? (1 ? x)2 ? …… ?(1 ? x)98 ? (1 ? x)99 中 x 的系数为 ________ . 8.数列 ?an ? 中, a0 ? 0 , a1 ? ?

1 3 5 7 , a2 ? 6 , a3 ? ? , a4 ? 20 , a5 ? ? , a6 ? 42 , a7 ? ? , 2 4 6 8

a8 ? 72 ,此数列的通项公式为 an ? _______ .
9.甲、乙两厂生产同一种商品.甲厂生产的此商品占市场上的 80%,乙厂生产的占 20%;甲厂商品 的合格率为 95%,乙厂商品的合格率为 90%.若某人购买了此商品发现为次品,则此次品为甲厂生产的概 率为 __________ . 10.若曲线 C1 : x2 ? y 2 ? 0 与 C2 : ( x ? a)2 ? y2 ? 1 的图像有 3 个交点,则 a ? .

二.解答题 1.30 个人排成矩形,身高各不相同.把每列最矮的人选出,这些人中最高的设为 a ;把每行最高的 人选出,这些人中最矮的设为 b . (1) a 是否有可能比 b 高? (2) a 和 b 是否可能相等? 2. 已知函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c (a ? 0) , 且 f ( x) ? x 没有实数根. 那么 f ( f ( x)) ? x 是否有实数根? 并证明你的结论. 3.世界杯预选赛中,中国、澳大利亚、卡塔尔和伊拉克被分在 A 组,进行主客场比赛.规定每场比 赛胜者得三分,平局各得一分,败者不得分.比赛结束后前两名可以晋级. (1)由于 4 支队伍均为强队,每支队伍至少得 3 分.于是 甲专家预测:中国队至少得 10 分才能确保出线; 乙专家预测:中国队至少得 11 分才能确保出线. 问:甲、乙专家哪个说的对?为什么? (2)若不考虑 ?1? 中条件,中国队至少得多少分才能确保出线? 4.通信工程中常用 n 元数组 (a1, a2 , a3 , ……an ) 表示信息,其中 ai ? 0 或 1, i、n ? N .设

u ? (a1 , a2 , a3……an ) , v ? (b1, b2 , b3……bn ) , d (u, v) 表示 u 和 v 中相对应的元素不同的个数.
(1) u ? (0,0,0,0,0) 问存在多少个 5 元数组 v 使得 d (u, v) ? 1 ; (2) u ? (1,1,1,1,1) 问存在多少个 5 元数组 v 使得 d (u, v) ? 3 ; (3)令 w ? (0, 0, 0……0) , u ? (a1 , a2 , a3……an ) , v ? (b1 , b2 , b3……bn ) ,
n个 0

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求证: d (u, w) ? d (v, w) ? d (u, v) . 5.曲线 y2 ? 2 px ? p ? 0? 与圆 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 3 交于 A、B 两点,线段 AB 的中点在 y ? x 上,求 p . 2008 北京大学自主招生数学试题

1 求证:边长为 1 的正五边形对角线长为

5 ?1 2

2

已知六边形 AC1BA1CB1 中 AC1=AB1,BC1=BA1,CA1=CB1,∠A+∠B+∠C=∠A1+∠B1+∠C1 求证:△ABC 面积是六边形 AC1BA1CB1 的一半

B1 C A P

C1 B

A1

3 已知 a1 ? a2 ? a3 ? b1 ? b2 ? b3 , a1a2 ? a2 a3 ? a3a1 ? b1b2 ? b2b3 ? b3b1 ,

min(a1, a2 , a3 ) ? min(b1, b2 , b3 ) , 求证: max(a1, a2 , a3 ) ? max(b1, b2 , b3 ) .
4 排球单循坏赛 南方球队比北方球队多 9 支 南方球队总得分是北方球队的 9 倍 求证 冠军是一支 南方球队(胜得 1 分 败得 0 分) 5 (本题 20 分)已知正四棱锥内接于半径为 R 的球,且外切于半径为 r 的球,求证:

R ? 2 ?1 . r

((理科)O?XYZ 坐标系内 xoy 平面系内 0 ? y ? 2 ? x 绕 y 轴旋转一周构成一个不透光立体 在点(1,0,1)
2

设置一光源 xoy 平面内有一以原点为圆心的圆 C 被光照到的长度为 2π 求 C 上未被照到的长度)

第 23 页 共 51 页

r≥2 的时候上半圆没有曲线在抛物线内,所以光只能照到下半圆,那么 r=2 的圆是满足条件 的,没被照到的也是 2π r≤根号 7/2 的时候上半圆完全在抛物线之内,那么整个圆都能被照到,r=1 的圆也是满足条 件的,没被照到的长度是 0 现在纠结的是根号 7/2<r<2 的时候存不存在这样的圆满足照到的部分为 2π ,目前还在计算 中。。
2008 年清华大学自主招生数学试题

1、已知 a、b、c 都是有理数, a + b + c 也是有理数, 证明: a 、 b 、 c 都是有理数 2、(1)任意给定一个四面体,证明:至少存在一个顶点,从其出发的三条棱可以构成一个三角形. (2)四面体一个顶点的三个角分别是 900, 600, arctan2, 求由 600 的面和 arctan2 的面所成的二面角. 3、求正整数区间[m,n] (n>m)中,不能被 3 整除的数之和. 4、已知 sin ?
x ??

? cos? ? 1 ? sin 2?

,求 θ 的取值范围

5、已知 lim f ( x ) ? f (0) ? 1 ,

f (2x) ? f ( x) ? x 2 ,求 f(x)

6、证明:以原点为对称中心、面积大于 4 的矩形至少覆盖除原点外的另外两个格点. 2009 年名牌大学自主招生考试试题(1) 适用高校:复旦大学 1.若 x>y>1,0<a<b<1,则下列各式中一定成立的是________. A. > B. < C. > D. <

2.设 a>0,a 1,函数 f(x)=

1? x 在(1,+ )上单调递减,则 f(x)_________. 1? x

A. 在(? ,?1)上单调递减,在(?1,1)上单调递增
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B. 在(? ,?1)上单调递增,在(?1,1)上单调递减 C. 在(? ,?1)上单调递增,在(?1,1)上单调递增 D. 在(? ,?1)上单调递减,在(?1,1)上单调递减 3.若要求关于 x 的函数 lg 的定义域是( ),则 a,b 的取值范围是________.

A.

B.a<0

C. ?4a<0

D.a=b=0 ,a,b } ;(4){x2|x },在下列集合中 }中和 X 相同的集合有________个.

4.设 是有理数集,集合 X={X|X=2+ (1){2x|x A.4 个 };(2){x/ B.3 个 };(3){1/x| x C.2 个

D.1 个 + + 的最大值是________.

5.设 x,y,z>0 满足 xyz+y+z=12,则 A.3 B.4 C.5 D.6

6.定义全集 X 的子集 A

?1, x ? A, 的特征函数为 fA(X)= ? ,这里, ?X A 表示在 A 在 X 中的补集,那 ?0, x ? ?X A,

么,对 A,B A. A C. (x)=

,下列命题中不准确的是_________ B. , D. (x)=1? (x)= , + ,

x ? y ? f ( x) ? f ( y ) ,则称这个函数是下凹函 7.如果一个函数 f(x)在其定义区间对任意 x,y 都满足 f ? ? ?? 2 ? 2 ? 数,下列函数 x, x ? 0, (1)f(x)=2x (2)f(x)=x3 (3)f(x)= (x>0) (4)f(x)= ? ? ?2 x, x ? 0,
中是下凹函数的有_______. A.(1)(2) B.(2)(3) C.(3)(4) D.(1)(4) 2 8.若实数 x 满足对任意正数 a>0,均有 x <1+a,则 x 的取值范围是________. A.(?1,1) B.[?1,1]
x

C.(?

)

D.不能确定

9.设函数 y= 10 2 的图像是曲线 C,曲线 C1 和 C2 关于直线 x=1 对称,曲线 C2 和 C1 关于直线 y=x 对称, 则 C2 是下列哪个函数的图像? A.y=1?2lg x B.y=2?2lg x C.y=2lg x+1 D.y=2lg x+2 10.下列曲线中哪一条拿住两端后不打结?________.

第 25 页 共 51 页

A. B. C. D. 11.用同样大小的一种正多边形平铺整个平面(没有重叠),有几种正多边形可以铺满整个平面而不留缝 隙?______. A.2 种 B.3 种 C.4 种 D.5 种 12.一个菱形边长与其内切圆的直径之比为 k:1(k>1), 则这个菱形的一个小于 A.arctan( k ? k 2 ?1 ) B.arctan k 2 ?1 C.arctan(

? 的内角等于__________. 2
1 k 2 ?1

1 k ? k ?1
2

)

D.arctan

13.设 a,b 是实常数,则二元一次方程组 ? A.2a+b=0 且 a 14.已知关于 x 的方程 ________. A.(?1,3) B.(?1,2) (2,3) C.[?1,3]

?ax ? by ? 1, 无解的充分必要条件是______. ? x ? 2 y ? ?a ? b,
C.a=1,b=?2 或 a=?1,b=2 D.2a+b=0

B.2a+b=0 且 a+b ?1 +2 cos
2

x =a 在区间(0,2π)内有两个不同的根,则常数 a 的取值范围是 2
D.[?1,2) 2,3] m n 等于 m+n 除以 10 的余

15.设 X={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},定义 X 上的运算符 如下:对任意 m,n

数,给定初值 n0 X,记 n1=n0 n0,nk=nk?1 n0,k=1,2,3……,则使得数列{nk}取遍 X 中所有元素的初值 n0 的集 合是_______. A. B.X C.{1,3,9} D.{1,3,7,9}

16.“要使函数 f(x) A.如果 f(x)

成立,只要 x 不在区间[a,b]内就可以了”的意思是_________. B.如果 x [a,b],则 f(x)<0 C.如果 x [a,b],则 f(x) D.前面三个解

,则 x [a,b]

释都不准确 17.实轴 R 中的集合 X 如果满足:任意非空开区间都含有 X 中的点,则称 X 在 R 中稠密,那么,“R 中集合 X 在 R 中不稠密”的充分必要条件是_________. A.任意非空开区间都不含有 X 中的点 B.存在非空开区间不含有 X 中的点 C.任意非空开区间都含有 X 的补集中的点 D.存在非空开区间含有 X 的补集的点 18.某种细胞如果不能分裂而死亡,并且一个细胞死亡和分裂为两个细胞的概率都为 1/2,现在有两个 这样的细胞,则两次分裂后还有细胞存活的概率是________. A.

39 64

B.

25 64

C.

31 64

D.

29 64
第 26 页 共 51 页

19.设有 n+1 个不同颜色的球,放入 n 个不同的盒子中,要求每个盒子至少有一个球,则不同的放法有

_______. A.(N+1)!种 B.n(n+1)!种 C.

1 (n+1)!种 2

D.

1 n(n+1)!种 2
)

20.设 X 是含 n(n>2)个元素的集合, A,B 是 X 中的两个互不相交的子集, 分别含有 m,k(m,k 个元素,则 X 中既不包含 A 也不包含 B 的子集个数是_________. A. D. 21.三棱柱 ABC?A’B’C’的底是边长为 1 的正三角形,高 AA’=1,在 AB 上取一点 P,设三角形 PA’C’ 与底的二面角为 ,三角形 PB’C’与底的二面角为 ,则 tan( A. ? )的最小值为_______. B. C.

3 3 4

B. ?

6 3 15

C. ?

8 3 13

D. ?

5 3 8

22.半径为 R 的球的内部装有 4 个有相同半径 r 的小球,则小球半径 r 可能的最大值是________. A.

3 2? 3

R.

B.

6 3? 6

R

C.

1 R 1? 3

D.

5 2? 5

R

23.平面上三条直线 x?2y+2=0,x?2=0,x+ky=0,如果这三条直线将平面划分成六个部分, 则 k 可能的取值 情况是_________. A.只有唯一值 B.可取两个不同值 C.可取三个不同值 D.可取无穷多个值 24.设三角形 ABC 的三边之比 AB:BC:CA=3:2:4,已知顶点 A 的坐标是(0,0),B 的坐标是(a,b),则 C 的 坐标一定是_______. A. ? ?

?7 ?6

a?

15 7 b, b 6 6

15 ? a? 6 ? ?

B. ? ?

?7 ?8 ?7 ?8

a?

15 7 b, b 8 8

15 ? a? 8 ? ?

C. ? ?

?7 ?6

a?

15 7 15 ? b, b ? a? 6 6 6 ? ?

D. ? ?

a?

15 7 15 ? b, b ? a? 8 8 8 ? ?

25.设实数 a,b,c 0, A.|b| |ac|

bc ca ab , , 成等差数列,则下列不等式一定成立的是______. a b c |a|?|c| B.b2 |ac| C.a2 D.|b| ? 2
)x+1=0(0< <π),且满足 x+x3+…+x2n+1+…=

26.已知 x2?(tan A.

3 ,则 的值是______. 2

? 5?
6 , 6

B

? ? , 6 3

C.

? 2?
3 , 3

D. ,0

? 2? ? 5?
3 , 3 , 6 , 6
,所表示的曲线大致是______

27.设 a>0,极坐标方程

第 27 页 共 51 页

A.

B.

C.

D. 28.设数列{an},{bn}满足 bn= an?an?1,n=1,2,3…,如果 a0=0,a1=1,且{bn}是公比为 2 的等比数列,又设 Sn=a1+a2+…+an,则 lim

Sn =__________. n ?? a n
C.1 D.2

A.0

B.

1 2

29.复平面上点 zo=1+2i 关于直线 l:|z?2?2i|=|z|的对称点的复数表示是_______. A.?i B.1?i C.1+i D.i 30.设实数 r>1,如果复平面上的动点 z 满足|z|=r,则动点 w=z+ 的轨迹是________.

A.焦距为 4 的椭圆

B.焦距为

4 的椭圆 r

C.焦距为 2 的椭圆

D.焦距为

2 的椭圆 r

31.给定一组向量 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),c=(c1,c2,c3),如果存在不全为 0 的实数 k1,k2,k3,使得 k1a+k2b+k3c=0(0 表示 0 向量),则称向量组 a,b,c 是线性相关的,下面各组向量中,哪一组向量 a,b,c 是 线性相关的?___________. A.a=(1,2,1),b=(?1,3,2),c=(3,1,0) B. a=(1,2,1), b =(?1,3,2), c =(0,1,?1) C. a =(1,2,0), b =(?1,3,2), c =(0,1,?1) D. a =(1,2,1), b =(?1,0,2), c =(0,1,?1) 32.设向量 x=(cos cos ),y= ?

? 1 ? 1 ? cos? cos? , cos? sin? , 3 sin ? ? ,其中 0 ? ? ? , 2 3 ? 3 ?

如果|x|=|y|,则向量 x 和 y 的最大值是_________. A.

? 2

B.

? 3

C.

2? 3

D.

? 6

2009 年名牌大学自主招生考试试题(2) 适用高校:上海交通大学 一、填空题吸每题 5 分.共 50 分)

第 28 页 共 51 页

1.第一位将欧儿里得的《几何原本》译成中文的中文的中国明代学者是 ;毕业于上海交通大 学,在拓扑学和机器证明上作出突出贡献的是 . 2.某商店失窃,赵、钱、孙、李四人涉案被拘审.四人口供如下:赵说“孙是窃贼”;钱说“李是窃贼”;孙 说“如果我作案,那么李是主犯”;李说“我没有偷”.已知四个口供中只有一个是假的,可以断定.说假话 的是_;作案者是 · 3.在边长为 80cm 的正方形地砖上随机投掷一枚半径为 10rm 的圆盘,圆盘中心始终在地砖内,则圆 盘压在地砖边上的概率是 . 4.如图.用两个钢珠测算一圆柱形工件的内直径 D,若半径为 r1 钢珠上端与孔口平面距离为 H1, 半径 为 r2 钢珠上端与孔口平面距离为 H2,则 D= .

H1 H2

5.如果抛物线 y= ax ? bx ? c 过 A(?3,2)、B(5,2)两点,那么 6 5a ? 3 5b ?1 =
2

.

6.从空间一点 O 发出 4 条射线 OA、OB、OC、OD,其两两所成的角均相等,则这些角的大小是 . 7.已知 arctanx=arccosx,则 x= 8.设 ?an ? 是公差 d≠0 的等差数列,从中选出部分项以原次序可以组成等比数列 ak1 , ak2 ,

, akm ,若

k1 ? 1, k2 ? 5, k3 ? 17 ,则 k1 ? k2 ?
9.设 x+

? km =
.

.

1 1 n =2cosA,则 x ? n = x x

10.函数 y=

1 ? x2 的值域是 2? x

.

二、解答题(本大题共 50 分) 1.(本题 10 分)众所周知,指数函数 a 恒大于 0,且有如下性质:若实数 x1 ? x2 ,则 a 1 ? a 2 ;对任意
x x x

二实数 x1 , x2 ,有 a x1 ? x2 ? a x1 a x2 ,如果一个函数 f(x)满足类似两个性质,即:若实数 x1 ? x2 , 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ; 对任意二实数 x1 , x2 , 有 f (x 1 ? x 2) ? fx ( 1) fx ( ) 2 说明你的理由.
2.(本题 10 分)已知|m| ? 2 2 ,n>0,求 y ? ? 8 ? m2 ?

, 能否判断 f(x)也恒大于 0?

? ?

16 ? 2 ? ? (m ? n) 的最小值. n?

2

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3.(本题 10 分)求有限集 A= ?a1 , a2 ,

, an ? ,其中 a1 , a2 ,

, an 为互不相等的正整数,使得

a1a2

an = a1 ? a2 ?

? an .
n2 n ? , 2 2

4.(本题 10 分)设 n 与 k 均为正整数,令 fk (n) =lk+2k+…+nk,已知 f1 (n) =l+2+…+n=

f 2 (n) = l2+22+…+n2 =

n3 n 2 n n 4 n3 n 2 ? ? , f3 (n) = l3+23+…+n3 = ? ? ,试观察上述各式右端的多 3 2 6 4 2 4

项式的系数,说出其特点,进而求出 f 4 (n) . 5.(本题 10 分)下图是一个由 9 个小的九官格组成的 9xg 的方格. 请运用已经显示的数字,确定每个空格 中的数字,使之符合以下两个条件: (1)每一行和每一列中的 9 个数字必须是不一复的 1 到 9; (2)每一个小九宫格中的 9 个数字必须是复的 1 到 9;你填写的每一个数字都必须是依推理唯一确定的. 本题你只要填满任何 4 个小九宫格就算完成. 9 3 7 9 3 2 6 8 8 7 6 8 2 6 4 9 4 1 5 9 6 7 5 9 1 5 3 4

2009 年北京大学自主招生、保送生笔试考试试题(数学)

1 .(本题 20 分)已知圆内接四边形 ABCD 的边长分别为 AB=1,BC=2,CD=3,DA=4.求四边形 ABCD 圆的 半径. 2 .(本题 20 分)已知一个无穷正项等差数列中有三项分别是:13,25,41.证明:这个数列中有一项等 于 2009. 3 .(本题 20 分)是否存在实数 x,使 tanx+ 3 与 cotx+

3 为有理数?

4 .(本题 20 分)已知对任意 x 均有 a cosx + b cos2x≥? 1,求 a+b 的最大值.

第 30 页 共 51 页

5.(本题 20 分) 在一次考试中 333 名学生共答对了 1000 道题.至多答对 3 题者为不及格,至少答对 6 题 者为优秀.已知不是所有同学答对的个数的奇偶性都相同.成绩不及格者和和成绩优秀者人数哪个多? 2009 年清华大学自主招生数学试题(理科) 1. 设

5 ?1 的整数部分为 a ,小数部分为 b 5 ?1
ab 2 ; ? 3? 求 lim ? b ? b ? n ?? 2

?1? 求 a, b ; ? 2 ? 求 a 2 ? b 2 ?

bn ?
1 2
2 n ?1

2n 2n 2. ?1? x, y 为实数,且 x ? y ? 1 ,求证:对于任意正整数 n , x ? y ?

? 2 ? a, b, c 为正实数,求证:

a b c ? ? ? 3 ,其中 x, y, z 为 a, b, c 的一种排列 x y z

3.请写出所有三个数均为质数,且公差为 8 的等差数列,并证明你的结论

x2 y 2 4.已知椭圆 2 ? 2 ? 1 ,过椭圆左顶点 A ? ?a,0 ? 的直线 L 与椭圆交于 Q ,与 y 轴交于 R ,过原点 a b
与 L 平行的直线与椭圆交于 P 求证: AQ , 2OP , AR 成等比数列 5.已知 sin t ? cos t ? 1 ,设 s ? cos t ? i sin t ,求 f (s) ? 1 ? s ? s 2 ?

sn

6.随机挑选一个三位数 I

?1? 求 I 含有因子 5 的概率; ? 2 ? 求 I 中恰有两个数码相等的概率
7.四面体 ABCD 中, AB ? CD , AC ? BD , AD ? BC

?1? 求证:四面体每个面的三角形为锐角三角形;
? 2 ? 设三个面与底面 BCD 所成的角分别为 ? , ? , ? ,求证: cos ? ? cos ? ? cos ? ? 1
2 8.证明当 p, q 均为奇数时,曲线 y ? x ? 2 px ? 2q 与 x 轴的交点横坐标为无理数

9.设 a1 , a2 ,

, a2 n?1 均为整数,性质 P 为: 对 a1, a2 ,

, a2n?1 中任意 2n 个数,存在一种分法可

将其分为两组,每组 n 个数,使得两组所有元素的和相等 求证: a1 , a2 ,

, a2n?1 全部相等当且仅当 a1, a2 ,

, a2n?1 具有性质 P

2010 年名牌大学自主招生考试试题(1)
第 31 页 共 51 页

适用高校:复旦大学 1、设函数 y=f(x)=ex+1,则反函数 x= f ?1(y)在 xOy 坐标系中的大致图像是_________.

y
y

y

y

O
O x

x

O

x

O

x

A B C D 2、设 f(x)是区间[a,b]上的函数,如果对任意满足 a≤x<y≤b 的 x,y 都有 f(x)≤f(y), 则称 f(x)是[a,b]上的递增函数,那么,f(x)是[a,b]上的非递增函数应满足_________ A.存在满足 x<y 的 x,y∈[a,b],使得 f(x)>f(y); B.不存在 x,y∈[a,b]满足 x<y 且 f(x)≤f(y); C.对任意满足 x<y 的 x,y∈[a,b]都有 f(x)>f(y); D.存在满足 x<y 的 x,y∈[a,b],使得 f(x) ≤f(y) 3、设 ? , ? ? [ ? A. [? 2 , 2 ];

? ?

, ] ,且满足 sin ? cos ? ? sin ? cos? ? 1 ,则 sin ? ? sin ? 的取值范围是_______. 2 2
B. [?1, 2 ]; C.[0, 2 ]; D.[1, 2 ].
2

4、设实数 x, y ? 0 ,且满足 2 x ? y ? 5 ,则函数 f ( x, y) ? x ? xy ? 2x ? 2 y 的最大值是_______. A. 97/8 B. 195/16 C. 49/4 D. 25/2 5、设一个多面体从前面、后面、左面、右面、上面看到的图形分别为:

则该多面体的体积为______________ A. 2/3 B. 3/4 C. 4/5 D. 5/6 6、在一个底面半径为 1/2,高为 1 的圆柱内放入一个直径为 1 的实心球后,在圆柱内空余的地方放入 和实心球、侧面以及两个底面之一都相切的小球,最多可以放入这样的小球个数是___________. A. 32 个; B. 30 个; C.28 个; D.26 个 7、给定平面向量(1,1),那么,平面向量( A.顺时针旋转 60° 所得; C.逆时针旋转 60° 所得;

1? 3 1? 3 , )是将向量(1,1)经过________. 2 2
B.顺时针旋转 120° 所得; D.逆时针旋转 120° 所得;

8、在直角坐标系 Oxy 中已知点 A1(1,0),A2(1/2, 3 /2),A4(?1,0),A5(?1/2,? 3 /2)和 A6(1/2, ? 3 /2). 问在向量

?? ?? (i,j=1,2,3,4,5,6,i≠j)中,不同向量的个数有_____. Ai A j

A.9 个; B.15 个; C.18 个; D.30 个 1 n n?1 9、 对函数 f:[0,1]→[0,1], 定义 f (x)=f(x), ……, f (x) =f(f (x)), n=1,2,3,…….满足 fn(x)=x 的点 x∈[0,1]
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1 ? ? 2 x ,0 ? x ? 2 , ? 称为 f 的一个 n?周期点.现设 f ( x ) ? ? 问 f 的 n?周期点的个数是___________. ?2 ? 2 x , 1 ? x ? 1 ? 2 ?
A.2n 个; B.2n2 个; C.2n 个; D.2(2n?1)个.

10、已知复数 z1=1+ 3 i,z2=? 3 + 3 i,则复数 z1z2 的幅角__________. A.13π/12; B.11π/12; C.?π/4; D.?7π/12.

11、设复数 z ? cos? ? i sin ? , w ? sin ? ? i cos ? 满足 z w = 3 /2,则 sin(β?α)=______. A.± 3 /2; B.

3 /2,?1/2;

C. ± 1/2;

D.1/2,? 3 /2.

12、已知常数 k1,k2 满足 0<k1<k2,k1k2=1.设 C1 和 C2 分别是以 y=± k1(x?1)+1 和 y=± k2(x?1)+1 为渐近线 且通过原点的双曲线.则 C1 和 C2 的离心率之比 e1/e· 等于_______. A.

1 ? k1 1 ? k2

2 2

;

B.

1 ? k2 1 ? k1

2 2

C.1

D.k1/k2

13、参数方程 ?

? x ? a(t ? sin t ) , a ? 0 所表示的函数 y=f(x)是____________. y ? a ( 1 ? cos t ) ?

A.图像关于原点对称; B.图像关于直线 x=π 对称; C.周期为 2aπ 的周期函数 D.周期为 2π 的周期函数. 14、将同时满足不等式 x?ky?2≤0,2x+3y?6≥0,x+6y?10≤0 (k>0)的点(x,y)组成集合 D 称为可行域, 将函数(y+1)/x 称为目标函数, 所谓规划问题就是求解可行域中的点(x,y)使目标函数达到在可行域上的最小 值.如果这个规划问题有无穷多个解(x,y),则 k 的取值为_____. A.k≥1; B.k≤2 C.k=2; D.k=1. 15、某校有一个班级,设变量 x 是该班同学的姓名,变量 y 是该班同学的学号,变量 z 是该班同学的 身高,变量 w 是该班同学某一门课程的考试成绩.则下列选项中正确的是________. A. y 是 x 的函数; B. z 是 y 的函数; C. w 是 z 的函数; D. w 是 x 的函数. 16、对于原命题“单调函数不是周期函数”,下列陈述正确的是________. A. 逆命题为“周期函数不是单调函数”; B. 否命题为“单调函数是周期函数”; C. 逆否命题为“周期函数是单调函数”; D. 以上三者都不正确 17、设集合 A={(x,y)|logax+logay>0},B={(x,y)|y+x<a}.如果 A∩B= ? ,则 a 的取值范围是_______ A. ? ; B.a>0,a≠1; C.0<a≤2, a≠1 D.1<a≤2 18、设计和 X 是实数集 R 的子集,如果点 x0∈R 满足:对任意 a>0,都存在 x∈X 使得 0<|x?x0|<a, 则称 x0 为集合 X 的聚点.用 Z 表示整数集,则在下列集合 (1){n/(n+1)|n∈Z, n≥0}, (2) R\{0}, (3){1/n|n∈Z, n≠0}, (4)整数集 Z 中,以 0 为聚点的集合有_____. A.(2), (3); B.(1), (4); C.(1), (3); D.(1), (2), (4) 19、 已知点 A(?2,0), B(1,0), C(0,1), 如果直线 y ? kx 将三角形△ABC 分割为两个部分, 则当 k=______ 时,这两个部分得面积之积最大?
第 33 页 共 51 页

A. ?

3 2

B. ?

3 4

C. ?

4 3

D. ?

2 3
7 ? ?
?1

20、已知 f ( x) ? sin x cos x ? 3 cos2 x ,定义域 D( f ) ? ? ? , ? ? ,则 f 12 12 A.

?1 ?

( x) ? _____

? 1 3? 1 ?x ? ?? ? arccos ? ? 12 2 2 ? ? ? 1 3? 1 ?? ? arcsin? x ? ? ? 12 2 2 ? ?

B.

? 1 3? 1 ?x? ?? ? arccos ? ? 6 2 2 ? ? ? 1 3? 1 ?? ? arcsin? x ? ? ? 6 2 2 ? ?

C. ?

D.

21、设 l1 , l 2 是两条异面直线,则直线 l 和 l1 , l 2 都垂直的必要不充分条件是______ A. l 是过点 P 1 ? l1 和点 P 2 ? l 2 的直线,这里 P 1P 2 等于直线 l1 和 l 2 间的距离 B. l 上的每一点到 l1 和 l 2 的距离都相等 D.存在与 l1 和 l 2 都相交的直线与 l 平行 22、设 ABC?A’B’C’是正三棱柱,底面边长和高都为 1,P 是侧面 ABB’A’的中心,则 P 到侧面 ACC’A’ 的对角线的距离是_____ A. C.垂直于 l 的平面平行于 l1 和 l 2

1 2

B.

3 4

C.

14 8

D.

3 2 8

23、在一个球面上画一组三个互不相交的圆,成为球面上的一个三圆组.如果可以在球面上通过移动和 缩放将一个三圆组移动到另外一个三圆组,并且在移动过程中三个圆保持互不相交,则称这两个三圆组有 相同的位置关系,否则就称有不同的位置关系.那么,球面上具有不同的位置关系的三圆组有______ A.2 种 B.3 种 C.4 种 D.5 种 24、设非零向量 a ? ?a1 , a2 , a3 ?, b ? ?b1 , b2 , b3 ?, c ? ?c1 , c2 , c3 ? 为共面向量, x ? ( x1 , x x , x3 ) 是未知向 量,则满足 a ? x ? 0, b ? x ? 0, c ? x ? 0 的向量 x 的个数为_____ A.1 个 B.无穷多个 C.0 个 D.不能确定

?

?

?

?

? ?

? ?

? ?

?

25、在 Oxy 坐标平面上给定点 A(1,2), B(2,3), C (2,1) ,矩阵 ? ?

? 2 k? ? ? 将向量 OA, OB, OC 分别变换成 ??1 1?

向量 OA', OB', OC' ,如果它们的终点 A' , B' , C ' 连线构成直角三角形,斜边为 B ' C ' ,则 k 的取值为______ A. ? 2 B.2 C.0 D.0,?2 26、设集合 A,B,C,D 是全集 X 的子集,A∩B≠ ? ,A∩C≠ ? .则下列选项中正确的是______. A.如果 D ? B 或 D ? C ,则 D∩A≠ ? ; B.如果 D ? A ,则 CxD∩B≠ ? ,CxD∩C≠ ? ; C.如果 D ? A ,则 CxD∩B= ? ,CxD∩C= ? ; D.上述各项都不正确.

第 34 页 共 51 页

27、已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 2 且 ? A. n 2
n ?1

n ? an ? 是公比为 2 的等比数列,则 a k ? ______ ? ? ?n? k ?1

?2

B. (n ? 1)2

n ?1

?2

C. n2 ? 2(n ? 1)
n

D. (n ? 1)2 ? 2n
n

28、复平面上圆周

z ?1 z ?1? i

?

2 的圆心是_______ 2

A.3+ i B.3? i C.1+ i D.1? i * 29.已知 C 是以 O 为圆心、r 为半径的圆周,两点 P、P 在以 O 为起点的射线上,且满足|OP|?|OP*|=r2, 则称 P、P*关于圆周 C 对称.那么,双曲线 x 2 ? y 2 =1 上的点 P(x,y)关于单位圆周 C':x2+y2=1 的对称点 P* 所满足的方程是 (A) x2 ? y 2 ? x4 ? y 4 (D) x ? y ? 2 x ? y
2 2 2

(B) x ? y ? x ? y
2 2 2

?

2 2

?

2 2 4 4 (C) x ? y ? 2 x ? y

?

?

?

2 2

?

30、经过坐标变换 ?

? x' ? x cos? ? y sin ? 将二次曲线 3x 2 ? 2 3xy ? 5 y 2 ? 6 ? 0 转化为形如 ? y' ? ? x sin ? ? y cos?

x' 2 y ' 2 ? ? 1 的标准方程,求 ? 的取值并判断二次曲线的类型_______ a2 b2
A. ? ? k? ? C. ? ? k? ?

?
?
6

(k ? Z ) ,为椭圆 (k ? Z ) ,为双曲线

6

k? ? ? (k ? Z ) ,为椭圆 2 6 k? ? ? (k ? Z ) ,为双曲线 D. ? ? 2 6
B. ? ?

31、设 k, m, n 是整数,不定方程 mx+ny=k 有整数解的必要条件是____________ A. m,n 都整除 k; B. m,n 的最大公因子整除 k; C. m,n,k 两两互素; D. m,n,k 除 1 外没有其它共因子

2010 年五校合作自主选拔通用基础测试 数学试题 适用高校:清华大学、上海交通大学等五校 一、选择题 1.设复数 w ? ( (A) ?

3 2

a?i 2 ) ,其中 a 为实数,若 w 的实部为 2,则 w 的虚部为( 1? i 1 1 3 (B) ? (C) (D) 2 2 2

)

2.设向量 a , b ,满足 | a |?| b |? 1, a ? b ? m ,则 | a ? tb | (t ? R) 的最小值为( (A)2 (B) 1 ? m
2

)

(C)1

(D) 1 ? m

2

3. 无试题
第 35 页 共 51 页

4. 无试题 5.在 ?ABC 中,三边长 a, b, c ,满足 a ? c ? 3b ,则 tan (A)

A C tan 的值为( 2 2

)

1 5

(B)

1 4

(C)

1 2

(D)

2 3

6.如图, ?ABC 的两条高线 AD, BE 交于 H ,其外接圆圆心为 O ,过 O 作 OF 垂直 BC 于 F ,OH 与 AF 相交于 G ,则 ?OFG 与 ?GAH 面积之比为( (A) 1 : 4 (B) 1 : 3 (C) 2 : 5 (D) 1 : 2 )

A E H G B D O F C

7.设 f ( x) ?e ax ( a? 0) .过点 P(a, 0) 且平行于 y 轴的直线与曲线 C : y ? f ( x) 的交点为 Q ,曲线 C 过点 Q 的切线交 x 轴于点 R ,则 ?PQR 的面积的最小值是( )

(A)1

(B)

2e 2

(C)

e 2

(D)

e2 4

8.设双曲线 C1 :

x2 y 2 x2 y 2 ? ? k ( a ? 2, k ? 0) C : ? ? 1 .若 C2 的短轴长与 C1 的实轴长的 ,椭圆 2 a2 4 a2 4
)

比值等于 C2 的离心率,则 C1 在 C2 的一条准线上截得线段的长为( (A) 2 2 ? k (B)2 (C) 4 4 ? k (D)4

9.欲将正六边形的各边和各条对角线都染为 n 种颜色之一,使得以正六边形的任何 3 个顶点作为顶 点的三角形有 3 种不同颜色的边,并且不同的三角形使用不同的 3 色组合,则 n 的最小值为( (A)6 (B)7 (C)8 (D)9 )

10.设定点 A、B、C、D 是以 O 点为中心的正四面体的顶点,用 ? 表示空间以直线 OA 为轴满足条 件 ? ( B) ? C 的旋转, 用 ? 表示空间关于 OCD 所在平面的镜面反射, 设 l 为过 AB 中点与 CD 中点的直线, 用 ? 表示空间以 l 为轴的 180° 旋转.设 ? (A) ? (C) ?

? 表示变换的复合,先作 ? ,再作 ? .则 ? 可以表示为(

)

? ? ? ?
? ? ? ?

(B) ? (D) ?

? ? ? ? ?

? ? ? ? ?
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二、解答题 11.在 ?ABC 中,已知 2sin (Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)求 ?ABC 面积的最大值. 12.设 A、B、C、D 为抛物线 x2 ? 4 y 上不同的四点, A, D 关于该抛物线的对称轴对称, BC 平行于该 抛物线在点 D 处的切线 l .设 D 到直线 AB ,直线 AC 的距离分别为 d1 , d 2 ,已知 d1 ? d 2 ?
2

A? B ? cos 2C ? 1 ,外接圆半径 R ? 2 . 2

2 AD .

(Ⅰ)判断 ?ABC 是锐角三角形 、 直角三角形 、 钝角三角形中的哪一种三角形,并说明理由; (Ⅱ)若 ?ABC 的面积为 240,求点 A 的坐标及直线 BC 的方程.

y

C l

A O

B

D x

13.(Ⅰ)正四棱锥的体积 V ?

2 ,求正四棱锥的表面积的最小值; 3

(Ⅱ)一般地,设正 n 棱锥的体积 V 为定值,试给出不依赖于 n 的一个充分必要条件,使得正 n 棱锥的 表面积取得最小值. 14.假定亲本总体中三种基因型式: AA, Aa, aa 的比例为 u : 2v : w (u ? 0, v ? 0, w? 0, u ? 2v ? w ?1) 且 数量充分多,参与交配的亲本是该总体中随机的两个. (Ⅰ)求子一代中,三种基因型式的比例; (Ⅱ)子二代的三种基因型式的比例与子一代的三种基因型式的比例相同吗?并说明理由.

x?m 1 2t ? 1 2 s ? 1 )? ,且存在函数 s ? ? ? t ? ? at ? b(t ? , a ? 0) ,满足 f ( . x ?1 2 t s 2 s ? 1 2t ? 1 )? (Ⅰ)证明:存在函数 t ? ? (s) ? cs ? d (s ? 0), 满足 f ( ; s t 1 (Ⅱ)设 x1 ? 3, xn?1 ? f ( xn ), n ? 1, 2, . 证明: xn ? 2 ? n ?1 . 3
15.设函数 f ( x) ? 2010 年名牌大学自主招生考试试题(3) 适用高校:清华大学、上海交通大学等五校(样题)

第 37 页 共 51 页

一、选择题(每题 5 分,共 25 分) 1.函数 y= cos x ? sin x ? cos x 的最大值为
3 2

40 27 az ? b 2.已知 a、b、c、d 是实数, ? ? , 且当 Imz>0 时,In ? >0.则 cz ? d
(A) (B) (C) (D) (A)ad+bc>0; (B)ad+bc<0; (C)ad?bc>0; (D)ad?bc<0. 3. 甲、 乙、 丙、 丁等七人排成一排, 若要求甲在中间, 乙丙相邻,且丁不在两端, 则不同的排法共有( ) (A)24 种; (B)48 种; (C)96 种; (D)120 种 4.己知 F 为抛物线 y2=2px 的焦点,过点 F 的直线 l 与该抛物线交于 A、B 两点,l1、l2 分别是该抛物 线在 A、B 两点处的切线,l1、l2 相交于点 C,设|AF|=a,|BF|=b,则|CF|= (A) a ? b ; (B) ab ; (C)

28 27

32 27

4 3

a?b ; 2

(D) a 2 ? b2 .

5.设 ? 是三次多项式 f(x)=x3?3x+10 的一个根,且 ? = 项式,满足条件 h ?? ? ? ? .则 h(0)= (A)?2; (B)2; (C) ?

? 2 ?? ? 2
2

,若 h(x)是一个有理系数的二次多

1 ; 2

(D)

1 2

二、解答题(本大题共 55 分) 1.(本题 15 分)己知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x<0 时,f(x)单调递增,f(?1)=0.设函数

? ? x ? ? sin2 x ? m cos x ? 2m ,集合
? ? ? ? ? ? M= ?m | 对任意的x ? ?0, ? , ? ? x ? ? 0? ,N= ?m | 对任意的x ? ?0, ? , f [? ? x ?] ? 0? ,求 M ? ? ? ? ? 2? ? 2? ? ? ? ?
N.

2.(本题 20 分)甲、乙、丙、丁等 4 人相互传球,第一次由甲将球传出,每次传球时,传球者将球等可 能地传给另外 3 人中的任何 1 人. (l)经过 2 次传球后,球在甲乙两人手中的概率各是多少? (2)经过 n 次传球后,球在甲手中的概率记为 pn(n=1,2,…) ,试求 Pn ?1 与 P n 的关系式,并求 P n 的表达式及

lim Pn
n ??

3.(本题 20 分)设 p、q 是一元二次方程 x2+2ax?1=0(a>0)的两个根.其中 p>0,令
2 y1=p?q,yn+1= yn ?2,n=1,2,…,证明: lim ?

n ??

?1 ? 1 1 ? ? ... ? ? =p. y1 y2 ... yn ? ? y1 y1 y2

2010 年北京大学、香港大学、北京航空航天大学三校联合自主招生考试试题 (数学部分) 1.(仅文科做) 0 ? ? ?

? ,求证: sin ? ? ? ? tan ? .(25 分) 2
5 ?1 .(25 分) 2

2. AB 为边长为 1 的正五边形边上的点.证明: AB 最长为
第 38 页 共 51 页

3. AB 为 y ? 1 ? x2 上在 y 轴两侧的点,求过 AB 的切线与 x 轴围成面积的最小值.(25 分)

4.向量 OA 与 OB 已知夹角, OA ? 1 , OB ? 2 , OP ? (1 ? t )OA , OQ ? tOB , 0 ≤ t ≤ 1 . PQ 在 t 0 时

1 取得最小值,问当 0 ? t0 ? 时,夹角的取值范围.(25 分) 5
5.(仅理科做)存不存在 0 ? x ?

? ,使得 sin x , cos x , tan x , cot x 为等差数列.(25 分) 2

2011 年综合性大学(北约 13 校)自主选拔录取联合考试数学试题 请注意:文科考生做 1 至 5 题,理科考生做 3 至 7 题.每题 20 分,共 100 分. 1.已知平行四边形的其中两条边长为 3 和 5,一条对角线长为 6,求另一条对角线长. 2.求过抛物线 y ? 2 x2 ? 2 x ? 1和 y ? ?5x2 ? 2 x ? 3 的交点的直线方程.

3.在等差数列 {an } 中, a3 ? ?13, a7 ? 3 ,数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,求数列 {Sn } 的最小项,并指出 其值为何? 4.在 ?ABC 中, a ? b ? 2c ,求证: ?C ? 600 . 5.是否存在四个正实数,使得他们的两两乘积为 2,3,5,6,10,16? 6. C1 和 C2 是平面上两个不重合的固定圆, C 是平面上的一个动圆, C 与 C1 , C2 都相切,则 C 的圆 心的轨迹是何种曲线?说明理由. 7.求 f ( x) ? x ?1 ? 2x ?1 ? ........ ? 2011x ?1 的最小值. 2011 年清华等五校联考(华约)自主招生数学试卷 1.设 n ? N , n ? 15 . 集合 A 、 B 都是 I ? ?1, 2, ???, n? 的真子集, A
*

B ? ? , A B ? I .证明:集

合 A 或 B 中,必有两个不同的数,它们的和为完全平方数.
2 2.设 f ? x ? ? ax ? bx ? c(a ? 0) ,方程 f ? x ? ? x 的两个根是 x1 和 x2 ,且 x1 ? 0 , x2 ? x1 ?

1 ,又 a

0 ? t ? x1 .试比较 f ? t ? 与 x1 的大小.
3.求函数 f ? x ? ? max x ? 1 , x ? 5 的最小值,并求出相应的 x 的值.
2

?

?

4.已知 f ? x ? 是定义在 R 上的不恒为 0 的函数,且对于任意的 a, b ? R ,有 f ? ab? ? af ?b? ? bf ? a ? .
第 39 页 共 51 页

(1)求 f ? 0 ? , f ?1? 的值; (2)判定函数 f ? x ? 的奇偶性,并证明你的结论; (3)若 f ? 2? ? 2 , un ?

f ? 2? n ? n
2

? n ? N ? ,求数列 ?u ? 的前 n 项和 S
*

n

n

.

5.已知关于 x 的方程 ? ax ? 1? ? a 1 ? x
2

?

2

? , a ? 1 . 证明方程的正根比 1 小,负根比 ?1 大.

6.设 a ,b 是两个正数,且 a ? b . 当 x ? ? a, b? 时, y ? x2 ? 4x ? 6 的最小值为 a ,最大值为 b ,求 a ,

b 值.
7.某生产队想筑一面积为 144 m 的长方形围栏, 围栏一边靠墙. 现有铁丝网 50 m , 筑成这样的围栏最 少要多少铁丝网?已有的墙最多利用多长?最少利用多长? 8.在正方形 ABCD 中,过一个顶点 D 作对角线 CA 的平行线 DE ,若 CE ? CA ,且 CE 交边 DA 于 点 F . 求证: AE ? AF .
E D F
2

A

B

C

9. 设 ?ABC 的重心为 G ,外心为 O ,外接圆半径为 r , OG ? d , BC ? a , CA ? b , AB ? c . 求证: a ? b ? c ? 9r ? d
2 2 2 2 2

10.设圆满足:①截 y 轴所得弦长为 2;②被 x 轴分成两段弧,其弧长比为 3 :1 ,在满足上述条件的圆 中,求圆心到直线 l : x ? 2 y ? 0 的距离最小的圆的方程. 11.以 A 为圆心, 以 2 cos ? (0 ? ? ?

?
2

) 为半径的圆外有一点 B . 已知 AB ? 2sin ? , 设过 B 且与圆 A 外切

于点 C 的圆的圆心为 M . (1)当 ? 取某个值时,说明点 M 的轨迹 P 是什么曲线? (2)点 M 是轨迹 P 上的动点,点 N 是圆 A 上的动点,记 MN 的最小值为 f

?? ? .求 f ?? ? 的取值范围.

第 40 页 共 51 页

12.设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,点 (n, (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 bn ?

Sn )(n ? N * ) 均在函数 y ? 3x ? 2 的图像上. n

m 3 * ,Tn 数列 ?bn ? 的前 n 项和,求最小正整数 m ,使得 Tn ? 对所有 n ? N 都成立. 20 an ? an ?1

13.已知函数 f ? x ? ? ?2x ? 4 , S n ? f ( ) ? f ( ) ? ??? ? f ( ) , n ? 1, 2, ??? . 若不等式 成立,求实数 a 的取值范围 2011 年名牌大学自主招生考试试题(3) 适用高校:北京理工大学、同济大学等九校 一、选择题(每题 3 分,共 30 分) 1.设向量 a 、 b 均为“:零向量,( a ?2 b ) ? a ,( b ?2 a ) ? b ,则 a 、 b )的夹角为 (A)

1 n

2 n

n n

a n a n?1 恒 ? Sn Sn?1

? 6

(B)

? 3

(C)

2? 3

(D)

5? 6

2.己知 sin 2(? ? ? ) ? n sin 2? ,则

tan(? ? ? ? ? ) = tan(? ? ? ? ? )
(D)

(A)

n ?1 n ?1

(B)

n n ?1

(C)

n n ?1

n ?1 n ?1

3.在正方体 ABCD 一 A1B1C1D1 中,E 为棱 AA1 的中点.F 是棱 A1B1 上的点,若 A1F:FB1=1:3,则异面直 线 EF 与 BC1 所成角的正弦值为 (A)

15 3

(B)

15 5

(C)

5 3

(D)

5 5
z2 ? 2z ? 2 的最大值为 z ?1? i

4.已知 i 为虚数单位,设复数 z 满足|z|=1,则

(A) 2 ?1;

(B)2? 2 ;

(C) 2 +l;

(D)2+ 2 .

5.已知抛物线的顶点在原点.焦点在 x 轴上,△ABC 三个顶点都在抛物线上,且△ABC 的重心为抛物线 的焦点,若边 BC 所在直线的方程为 4x+y?20=0.则抛物线的方程为 (A)y2=16x;(B)y2=8x;(C)y2=?16x;(D)y2=?8x; 6.在正三棱柱 ABC 一 A1B1C1 中, 若底面边长与侧凌长均等于 2,且 E 为 CC1 的中点.则点 C1 到平面 AB1E 的距离为 (A) 3 ; (B) 2 ; (C)

3 ; 2

(D)

2 . 2
第 41 页 共 51 页

7.若关于 x 的方程

| x| ? kx 2 有四个不同的实数解,则 k 的取值范围为 x?4
(D) ?1, ?? ? . O 于点 G,F,

(A)(0,1);

(B) ?

?1 ? ?1 ? ,1? ; (C) ? , ?? ? ; ?4 ? ?4 ?



8.如图,△ABC 内接于 O,过 BC 的中点 D 作平行于 AC 的直线 l,l 交 AB 于点 E,交 O 在 A 外的切线于点 P,若 PE=3,ED=2,EF=3,则 PA 的长为 (A) 5 ; (B) 6 ; (C) 7 ; (D) 2 2 .

9.若数列 ?an ? 共有 11 项,a1=0,a11=4, 且 ak ?1 ? ak ? 1, k ? 1,2, 为 (A)100; (B)120; (C)140; (D)160 10.设 ? 是坐标平面按顺时针方向绕原点做角度为
k

,10, 则满足条件的不同数列的个数

2? 的旋转, ? 表示坐标平面关于 y 轴的镜面反射, 7
2 3 4

若用 ?? 表示变换的复合,先做 ? 再做 ? ,用 ? 表示连续 k 次 ? 的变换,则 ??? ?? ?? 是 (A) ? ;
4

(B) ? ;
5

(C) ? ? ;
2

(D) ?? .
3

二、解答题(本大题共 70 分) 11.(本题 14 分)设数列 ?an ? 满足 a1=a,a2=b, 2an?2 ? an?1 ? an , (1)设 2bn ? an?1 ? an ,证明:若 a≠b,则 {bn } 是等比数列; (2)若 lim (a1+a2+…+an)=4,求 a、b 的值.
n ??

12.(本题 14 分)在 ?ABC 中,AB=2AC,AD 是 ? A 的角平分线.且 AD=kAC. (1)求 k 的取值范围. (2)若 S ?ABC =1,当 k 为何值时,BC 最短? 13.(本题 14 分)己知椭圆的两个焦点为 F1(?1.0)、F2(1,0),且椭圆与直线 y=x? 3 相切. (1)求椭圆的方程; (2)过点 F1 作两条互相垂直的直线 l1、l2,与椭圆分别交于点 P、Q 及点 M、N,求四边形 PNQM 面积的 最大值与最小值. 14.(本题 14 分)一袋中有 a 个白球和 b 个黑球.从中任取一球,如果取出白球,那么把它放回袋中;如 果取出黑球,那么该黑球不再放回,另补一个白球到袋中.在重复 n 次这样的操作后,记袋中自球的个数 为 Xn. (l)求 EX1; (2)设 P(Xn=a+k)=pk,求 P(Xn+1=a+k),k=0,1,?,b; (3) 证明:Exn+1= ?1 ?

? ?

1 ? ? EX n ? 1 . a?b ?

第 42 页 共 51 页

15.(本题 14 分)(1)设 f(x)=xlnx,求 f ' (x); (2)设 0<a<b,求常数 C, 使得

1 b | ln x ? C |dx 取得最小值: b ? a ?a

(3)记(2)中的最小值为 m a,b ,证明:m a,b <ln2· 2012 北大自主招生数学试题(理科) 1.求 x 的取值范围,使得 f ( x) ? x ? 2 ? x ? x ? 1 是增函数. 2.求 x ? 11 ? 6 x ? 2 ? x ? 27 ?10 x ? 2 ? 1的实数根的个数.
2 2 3.已知 ( x ? 2 x ? m)( x ? 2 x ? n) ? 0 的 4 个根组成首项为

1 的等差数列,求 m ? n . 4

4.已知锐角 ?ABC 的外接圆的圆心为 O ,求 O 到三角形三边的距离之比.
2 2 5.已知点 A(?2, 0), B(0, 2) ,若点 C 是圆 x ? 2 x ? y ? 0 上的动点,求 ?ABC 面积的最小值.

6.在 1, 2,

, 2012 中取一组数,使得任意两数之和不能被其差整除,最多能取多少个数?

7.设点 A、B、C 分别在边长为 1 的正三角形的三边上,求 AB 2 ? BC 2 ? CA2 的最小值. 8.若关于 x 的方程 sin 4 x sin 2 x ? sin x sin 3 x ? a 在 [0, ? ) 有唯一解的 a ,求实数 a 的范围. 9.求证:若圆内接五边形的每个角都相等,则它为正五边形.
n 9.求证:对于任意的正整数 n , (1 ? 2) 必可以表示成 s ? s ? 1 的形式,其中 s ? N ? .

2012 年清华等五校自主招生试题??通用基础测试 数 学 一、选择题 1.若 P 为 ?ABC 内部任一点(不包括边界),且 ( PB ? PA)( PB ? PA ? 2PC ) ? 0 ,则 ?ABC 必为( A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形 )

2.圆锥的轴截面 SAB 是边长为 2 的等边三角形, O 为底面中心, M 为 SO 的中点,动点 P 在圆锥底面内(包 括圆周).若 MA ? MP ,则 P 点形成的轨迹的长度为( A. 7 B.
7 2

) C. 3 D.
3 2

3.某种型号的计算器上有一个特殊的按键,在计算器上显示正整数 n 时按下这个按键,会等可能的将其 替换为 0,1, 2,
, n ? 1 中的任意一个数.如果初始时显示 2011 ,反复按这个按键使得最终显示 0 ,那么这个过程

中, 9,99,999 都出现的概率是(

)
第 43 页 共 51 页

A.

1 10 4

B.

1 105

C.

1 106

D.

1 107

4.已知 ? , ? ? R ,直线

x y x y ? ? 1 的交点在直线 ? ? 1与 cos ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ? sin ? sin ? ? cos ?
) C. ?1 D. 2

y ? ?x 上,则 sin ? ? cos ? ? sin ? ? cos ? ? (

A. 0

B. 1

5.若正整数集合 Ak 的最小元素为 1,最元素为 2007,并且各元素可以从小到大排成一个公差为 k 的等差 数列,则并集 A17 A.119 6.三角式

A59 中的元素个数为
B.120 C.151 D.154

1 1 ? ? cos 0 cos1 cos1 cos 2
B. tan1 csc1

?

1 化简为 cos88 cos89
C. cot1 sec1 D. tan1 sec1

A. cot1 csc1

7.设 k<3,k≠0,则二次曲线

x2 y2 x2 y 2 ? ? 1与 ? ? 1 必有 3? k k 5 2

(A)不同的顶点;(B)不同的准线;(C)相同的焦点;(D)相同的离心率.

x2 y 2 ? ? 1 l 在第一象限上的动点,过点 P 引圆 x2+y2=9 的两条切线 PA、PB,切点分 8.若 P 为椭圆 16 9
别为 A、B,直线 AB 与 x 轴、y 轴分别交于点 M、N,则 S ?MON 的最小值为( ) (A)

9 ; 2

(B)

9 27 27 3 ;(C) 3 ; (D) 2 4 4
2

x12 9. 设 x1、x2 是实系数一元二次方程 ax +bx+c=0 的根,若 x1 是虚数, 是实数,则 x2
x ?x ? ?x ? ?x ? S ? 1? 1 ? ? 1 ? ? ? 1 ? ? ? 1 ? ? x2 ? x2 ? ? x2 ? ? x2 ?
A.0 B.?1003
2 4 8

?x ? ?? 1 ? ? x2 ?

2007

的值为 C.1004 D.?1004

10.函数 f:R ?R,对任意的实数 x、y,只要 x+y≠0,就有 f(xy)= 的奇偶性为 (A)一定是奇函数; 又不是偶函数. 二、解答题

f ( x) ? f ( y ) 成立,则函数 f(x)(x∈R) x? y
(D)既不是奇函数,

(B)一定是偶函数;

(C)既是奇函数,又是偶函数;

11. 系统内有 2k? 1(k∈N+)个元件,每个元件正常工作的概率为 p(0<p<1),若有超过一 半的元件正常工作,则系统正常工作.求系统正常工作的概率 p 并讨论 pk 的单调性.

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x2 12.已知 f n ( x) ? 1 ? x ? ? 2!

xn ? ( n ? N * ),求证:当 n 为偶数时,方程 fn ( x) ? 0 无解;当 n 为奇数时, n!

方程 f n ( x) ? 0 有唯一解 xn ,且 xn? 2 ? xn . 13.已知锐角三角形 ABC 中,BE ? AC 于点 E,CD ? AB 于点 D,且 BC=25,CE=7,BD=15,若 BE、CD 交于点 H,联结 DE,以 DE 为直径作圆,该圆与 AC 交于另一点 F,求 AF 的长度. 14.已知有 n(n≥2)位乒乓球选手,他们互相进行了若干场乒乓球双打比赛,并且发现任两名选手作为队 友恰好只参加过一次比赛,试求 n 的所有可能值· 15.已知动点 P 在 y 轴上投影为 H,A(?2,0),B(2,O),满足 AP BP ? 2 | PH |2 .

(1)求点 P 的轨迹方程 C; (2)已知一条直线过点 B,且与曲线 C 交于 x 轴下方两点 C、D,M 为 CD 中点,求 M 与点 Q(0, ? 2)连线的斜率取值范围.
2012 年名牌大学自主招生考试试题(3) 适用高校:北京理工大学、同济大学等十三校 一、选择题 1.正四面体的 4 个而上分别写若 l,2,3,4,将 4 个这样的均匀正四面体投掷于桌而上,与桌面接触的 4 个面上的 4 个数的乘积被 4 整除的概率是( ) (A)

1 8

(B)

9 64

(C)

1 16

(D)

13 16
2 2

2.设 a>0,b>0,c>0,且 a+b+c=1,则 a b c 的最大值为( (A)

)

1 36

(B)

1 2 33
4

(C)

1 2 34
3

(D)

1 26

3.已知 F1、F2 分别为双曲线

x2 y 2 | PF2 |2 的最 的左、右焦点 ,P 为双曲线左支上的任意一点 , 若 ? ? 1 a 2 b2 | PF1 |

小值为 8a, 则双曲线的离心率的取值范围为( ) (A)(l,+∞); (B)(0,3]; (C)(1,2]; (D)(1,3] 2 2 4.如果关于 x 的方程 2x +3ax+a ?a=0 至少有一个根等于 l 的根,那么实数 a 的值( ) (A)不存在;(B)有一个;(C)有三个;(D)有四个. 5.5 个顶点不共面的五边形叫空间五边形,空间五边形的 5 条边所在直线中,互相垂直的直线对至多有 ( ) (A)5 对; (B)6 对; (C)7 对; (D)8 对. 6.已知定义在实数集 R 上的函数 f(x),其值域也是 R,井且时任意 x、y∈R.都有 f[xf(y)]=xy,则|f(2007) 等于( ) (A)0; (B)1; (C)20072; (D)2007
0 2 4 7.若 k 是正位数,且 C4010 ? C4010 ? 3 ? C4010 ? 32 ? 4010 ? C4010 ? 32005 能被 2k 整除,则 k 的最大值为(

)

(A)2004;

(B)2005;

(C)2006;

(D)2008.
第 45 页 共 51 页

8.已知非零向量 AB 与 AC 满足 ? (A)三边均为不相等的三角形;

? AB AC ? AB AC 1 ? ? 则 ?ABC 为( ? BC ? 0 ,且 | AB | | AC | 2 ? | AB | | AC | ?
(B)直角三角形; (C)等腰非等边三角形;

)

(D)等边三角形.

? x 2 ? 2 x ? 6 log (6 ? y ) ? x, 3 ? ? 9.关于 x、y、z 的方程组 ? y 2 ? 2 y ? 6 log (6 ? z ) ? y, 的实数解的组数有( 3 ? 2 z ? 2 z ? 6 log 3 (6 ? x) ? z , ? ?

)

(A)有一组解; (B)有两组解; (C)有无穷多组解; (D)无法确定 10.在欧非杯排球赛中,欧洲的参赛队伍比非洲的参赛队伍多 9 支,每两支球队赛一场,胜者得 1 分, 败者得 0 分,若欧洲球队所得总分为非洲球队所得总分的 9 倍, 则非洲球队的各支球队中得分的最大可能值 是( ) (A)8; (B)9; (C)10; (D)11. 二、解答题 11.在 m(m≥2)个不同数的排列 P1 P2 ?Pm 中, 若 1≤i<j≤m 时 Pi>Pj(即前面某数大于后面某数),则称 Pi 与 Pj 构成一个逆序.一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数.记排列(n+1)n(n?1)?321 的逆序数为 an,如排列 21 的逆序数 a1=l,排列 4321 的逆序数 a3=6. (1)求 a4、a5,并写出 an 的表达式; (2)令 bn=

an an ?1 ,求证:2n< b1 ? b2 ? ? an ?1 an

? bn <2n+3,n=1,2,…

12.在 ?ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c, 已知 sinA+sinC=msinB(m∈R),且

4(A? C)+4cosB+cos2B=1. (1)求证:b2=4ac; 5 (2)当 m= , b=1 时,求 a、c 的值; 4 (3)若角 B 为最大内角(即 B≥A 且 B≥C).求实数 m 的取值范围.
13.已知 a、b 为实数,i 为虚数单位.且关于 z 的二次方程 4z2+(2a+i)z?8b(9a+4)?2(a+2b)i=0 至少有 一个实根.求这个实根的最大值.

14.双曲线 C 的渐近线方程为 x± 2y=0,点 A(5,0)到双曲线 C 上动点 P 的距离的最小值为 6 . (1)求双曲线方程; (2)若过点 B(1,0)的直线 l 交双曲线 C 上支一点 M,下支一点 N,且 4 MB =5 BN ,求直线 l 的方程. 15.由抛物线 x=y2+2 与点(3,1)处的法线及 x 轴、y 轴所围成一个平面图形. (1)求此平面图形的面积; (2)求该平面图形绕 x 轴旋转所成旋转体的体积. 2013 年“北约”自主招生试题

一、以 2 和 1? 3 2 为两根的有理系数多项式的次数最小是多少?
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二、在 6× 6 的表中停放 3 辆完全相同的红色车和 3 辆完全相同的黑色车,每一行、每一列都只有一辆车, 每辆车占一格,共有多少种停放方法? 三、已知 x2=2y+5,y2=2x+5,求 x3?2x2y2+y2 的值。 四、 如图, △ABC 中, AD 为 BC 边上中线, DM、 DN 分别为 ? ADB、?ADC 的角平分线, 试比较 BM+CN 与 MN 的大小关系,并说明理由。 五、数列{an}满足 a1=1,前 n 项和为 Sn,Sn+1=4an+2,求 a2013. 六、模长为 1 的复数、B、C,满足 A+B+C≠0,求

AB ? BC ? CA 的模长。 A? B ?C

七、最多能取多少个两两不等的正整数,使得其中任意三个数之和都为素数。

2013“华约”自主招生试题
2013-03-16 (时间 90 分钟,满分 100 分) 1.(10 分)集合 A ? {x | x ? 10, x ? N ?} , B 为 A 的子集,若集合 B 中元素满足以下条件:①任意数字都 不相等;②任意两个数之和不为 9 (1) B 中两位数有多少?三位数有多少? (2) B 中是否有五位数?六位数? (3)若将集合 B 的元素按从小到大的顺序排列,第 1081 个数为多少? 2.(15 分) sin x ? sin y ?

1 1 , cos x ? cos y ? ,求 sin( x ? y) 与 cos( x ? y ) 的值 3 5

3.直线 y ? kx 与 y ? ?kx 上两点 A( xA , yA ) 、 B( xB , yB ) , | OA | ? | OB |? 1 ? k 2 (1)求 AB 中点 M 的轨迹 C ; (2)若曲线 C 与 x2 ? 2 py 相切于两点,求证两个切点在定直线上,并求过两切点的切线方程。

4. (15 分)7 个红球,8 个黑球,从中任取 4 个球 (1)求取出的球中恰有 1 个是红球的概率 (2)求所取出球中黑球个数 X 的分布列及期望 E ( X ) (3)若所取出的 4 个球颜色相同,求恰好全黑的概率
2 5. (15 分) an?1 ? can ? an , a1 ? 0 , c ? 0 ,求证

(1)对 ?M ? 0 ,总存在正整数 N ,使 n ? N 满足 an ? M ; (2) bn ?

1 , Sn ? b1 ? b2 ? can ? 1

? bn ,对任意 d ? 0 总存在 k 使得 n ? k 时, 0 ?| Sn ?

1 |? d ca1

6. (15 分) x, y, z 是两两不相等且大于 1 的正整数,若 xyz | ( xy ? 1)( xz ? 1)( yz ? 1) ,求 x, y, z 的所有值。

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7. (15 分)已知 f ( x) ? (1 ? x)e x ?1 求证: (1)对 ?x ? 0 , f ( x) ? 0 (2)若 xne
xn?1

? exn ?1,求证: {xn } 单调递减且 xn ?

1 2n

2014 北约自主招生数学试题
1. 圆心角

? 为的扇形面积为 6? ,求它围成圆锥的表面积. 3

2. 将 10 个人分成 3 组,一组 4 人,两组每组 3 人,共有几种分法.

3.

f(

a ? 2b f (a ) ? 2 f (b) )? , f (1) ? 1, f (4) ? 7 ,求 f ? 2014? . 3 3

4.

f ( x) ? lg( x2 ? 2ax ? a) 的值域为 R ,求 a 的取值范围.
1 的取值范围. xy

5. 已知 x ? y ? ?1 ,且 x , y 都为负实数,求 xy ?

6.

f ( x) ? arctan

2 ? 2x ? 1 1? ? C 在 ? ? , ? 上为奇函数,求 C 的值. 1? 4x ? 4 4?

一、

求证: tan3 ? Q 已知实系数二次函数 f ? x ? 与 g ? x ? , f ? x ? ? g ? x ? 和 3 f ? x ? ? g ? x ? ? 0 有两重根, f ? x ? 有
两相异实根,求证: g ? x ? 没有实根.

二、

三、

a1, a2

7 16 a13 是等差数列, M ? ai ? a j ? ak 1 ? i ? j ? k ? 13 ,问: 0, , 是否同在 M 中, 2 3

?

?

并证明你的结论.

四、

xi ? 0 ?i ? 1,2, , n ? ,且 ? xi ? 1 ,求证 ? ( 2 ? xi ) ? ( 2 ? 1)n .
i ?1 i ?1

n

n

2014 年卓越联盟自主选拔考试学科基础测试一(理科 选择题(每题 5 分,共 20 分) (注:原题是选择题) 1. 不等式 x ? 2 x ? 1 ? 0 的解集为_____________.
2 3

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2.

在三棱锥 P ? ABC 中, PA ? 底面 ABC , AC ? BC , AC ? 2 ,二面角 P ? BC ? A 的大小为 60 ? ,三棱 锥 P ? ABC 的体积为
4 6 ,则直线 PB 与平面 PAC 所成的角的正弦值为________. 3
2

3.

当实数 m 变化时,不在任何直线 2mx ? 面积为_____________.

?1 ? m ? y ? 4m ? 4 ? 0 上的所有点 ? x, y ? 形成的图形的

4.

? 2x ? 1 1? ? ? x 2 , x ? ? ??, ? 2 ? , ? ? ? 已知函数 f ? x ? ? .g ?ln ? x ? 1? , x ? ? ? 1 , ?? ? ? ? 2 ? ? ? ?

? x ? ? x2 ? 4x ? 4 .设 b 为实数,若存在实数 a ,使

f ? a ? ? g ? b ? ? 0 ,则 b 的取值范围是___________.

填空题(每题 6 分,共 24 分) 5. 已知 0 ? a ? 1 ,分别在区间 ? 0, a ? 和 ? 0, 4 ? a ? 内任取一个数,且取出的两数之和小于 1 的概率为

3 .则 16

a 的值为_______________.

6.

设 e1 , e 2 为平面上夹角为 ? ( 0 ? ? ?

? )的两个单位向量, O 为平面上的一个固定点, P 为平面上任 2

意一点,当 OP ? xe1 ? ye2 时,定义 ? x, y ? 为点 P 的斜坐标.现有两个点 A , B 的斜坐标分别为 ? x1 , y1 ? ,

? x2 , y2 ? .则 A , B 两点的距离为______________.
?? ? ? 若函数 y ? sin ? ? x ? ? 的图象的对称中心与 y 轴距离最小的对称轴为 x ? ,则实数 ? 的值为_____. 4? 6 ?

7.

8.

已知集合 A , B 满足 A B ? ?1,2,3,

,8? , A

B ? ? .若 A 中元素的个数不是 A 中的元素, B 中元素

的个数不是 B 中的元素,则满足条件的所有不同的集合 A 的个数为___________.

解答题(共 56 分) 9. (13 分)设 ? ? R ,函数 f ? x ? ? 2 sin 2x cos? ? 2 cos2x sin ? ? 2 cos ? 2x ? ? ? ? cos? , x ? R . (1)
?? ?? ? ?? 若 ? ? ? , ? ,求 f ? x ? 在区间 ? 0, ? 上的最大值. ?4 2? ? 4?

(2)若 f ? x ? ? 3 ,求 ? 与 x 的值.
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10. (13 分)已知双曲线 动点 A 和 B .

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 )的两条渐进线的斜率之积为 ?3 ,左右两支上分别由 a 2 b2

(1)设直线 AB 的斜率为 1,经过点 D ? 0,5a ? ,且 AD ? ? DB ,求实数 ? 的值. (2)设点 A 关于 x 轴的对称点为 M .若直线 AB , MB 分别与 x 轴相交于点 P , Q , O 为坐标原点, 证明 OP ? OQ ? a2 .

11. (15 分)已知 f ? x ? 为 R 上的可导函数,对任意的 x0 ? R ,有 0 ? f ' ? x ? x0 ? ? f ' ? x0 ? ? 4x , x ? 0 . (1)对任意的 x0 ? R ,证明: f ' ? x0 ? ?
f ? x ? x0 ? ? f ? x0 ? x

(x?0) ;

(2)若 f ? x ? ? 1 , x ? R ,证明 f ' ? x ? ? 4 , x ? R . 12. ( 15 分 )已知 实数列 ?an ? 满 足 a1 ? 1 , an ?1 ? q an , n ? N? , 常 数 q ? 1 . 对任 意的 n ? N? , 有

?a
k ?1

n ?1

k

? 4 an .设 C 为所有满足上述条件的数列 ?an ? 的集合.

(1)求 q 的值; (2)设 ?an ? , ?bn ? ? C , m ? N ? ,且存在 n0 ? m ,使 an0

? bn0 .证明: ? ak ? ? bk
k ?1 k ?1

m

m



(3)设集合 Am ? ?

?

? a ?a ? ? C ? , m ? N ? ,求 Am 中所有正数之和. ? ? ?
m k ?1 k n

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2014 年“华约”自主招生数学试题
1.已知 x1 , x 2 , x3 , x 4 , x5 均是正整数,且任取四个其和组成的集合为 ?44,45,46,47? ,求这五个数. 2.乒乓球比赛,五局三胜制.任一局甲胜的概率局为 p ( p ?

q ? p 取到最大值.
3.函数 f ? x ? ?

1 ) .甲比赛获胜的概率是 q .则 p 为多少时, 2

2 ?? ? cos x ? sin x ? sin ? ? x ? ? ? 2a sin x ? b ( a ? 0 )的最大值是 1,最小值是 ?4 . 2 4? ? 求 a , b 的值.

4(1)证明 y ? f ? g ? x ? ? 的反函数是 y ? g ?1 f ?1 ? x ? . (2)设 F ? x ? ? f ? ? x ? , G ? x ? ? f ?1 ? ? x ? .若 G ? x ? 的 反函数是 F ? x ? ,证明 f ? x ? 是奇函数.

?

?

5.已知椭圆

x2 y 2 过椭圆上一点 M 作圆的两条切线. 切点分别是 P ,Q . 直线 PQ 与 ? 2 ? 1 与圆 x 2 ? y 2 ? b2 . 2 a b x 轴, y 轴分别交于点 E , F .求△ EOF 面积的最小值.

6.数列 ?an ? 满足 a1 ? 0 , an?1 ? npn ? qan . (1)若 q ? 1 ,求 a n 的通项公式. (2)若 p ? 1 , q ? 1 ,求证数列 ?an ? 有界.
x? ? 7.已知 n 是正整数, x ? n .求证: n ? n ? ?1 ? ? ? e x ? x 2 . ? n?
n

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