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考前帮你归纳总结(三):直线圆锥曲线常见的几种题型


考前帮你归纳总结(三) :直线圆锥曲线常见的几种题型
一、直线圆锥曲线问题的常规解题方法:
1.设直线与方程; (提醒:①设直线时分斜率存在与不存在;②设为 y=kx+b 与 x=my+n 的区别) 2.设交点坐标; (提醒:之所以要设是因为不去求出它,即“设而不求”) 3.联立方程组; 4.消元韦达定理; (提醒:抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简

单) 5.根据条件重转化;常有以下类型: ①“以弦 AB 为直径的圆过点 0” (提醒:需讨论 K 是否存在)

??? ??? ? ? ? OA ? OB ? K 1 ? K 2 ? ?1 ? OA ? OB ? 0 ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0
②“点在圆内、圆上、圆外问题”

? “直角、锐角、钝角问题” ? “向量的数量积大于、等于、小于 0 问题” ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 >0;
③“等角、角平分、角互补问题” ? 斜率关系( K1 ? K 2 ? 0 或 K 1 ? K 2 ) ; ④“共线问题” (如: AQ ? ? QB ? 数的角度:坐标表示法;形的角度:距离转化法) ; (如:A、O、B 三点共线 ? 直线 OA 与 OB 斜率相等) ; ⑤“点、线对称问题” ? 坐标与斜率关系; ⑥ “弦长、 面积问题”? 转化为坐标与弦长公式问题 (提醒: 注意两个面积公式 的 合理选择) ; 6.化简与计算; 7.细节问题不忽略; ①判别式是否已经考虑;②抛物线、双曲线问题中二次项系数是否会出现 0. 二、基本解题思想:

????

??? ?

1、 “常规求值”问题:需要找等式, “求范围”问题需要找不等式; 例 1.已知 A、B、C 是椭圆 m :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上的三点,其中点 A 的坐标为 a2 b2

(2 3 ,0) ,BC 过椭圆 m 的中心,且 AC ? BC ? 0, | BC |? 2 | AC | .
(1)求椭圆 m 的方程; (2)过点 M (0, t ) 的直线 l(斜率存在时)与椭圆 m 交于两点 P,Q,设 D 为椭圆 m 与 y 轴负半轴的交点,且 | DP |?| DQ | .求实数 t 的取值范围.

x2 y2 ? ?1 解(1)椭圆 m: 12 4
(2)由条件 D(0,-2) ∵M(0,t) 1°当 k=0 时,显然-2<t<2 2°当 k≠0 时,设 l : y ? kx ? t

? x2 y2 ?1 ? ? 4 ? 12 ?y ? kx? t ?

消y得

(1 ? 3k 2 ) x 2 ? 6ktx ? 3t 2 ? 12 ? 0
由△>0 可得 t 2 ? 4 ? 12 k 2 ① 设 P( x1 , y1 ), Q( x 2 , y 2 ), PQ中点H ( x0 , y 0 )

x1 ? x 2 3kt ? 2 1 ? 3k 2 3kt t ∴ H (? , ) 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2
则 x0 ? 由 | DP |?| DQ |

y 0 ? kx0 ? t ?

t 1 ? 3k 2

? OH ? PQ

即k DH ? ?

1 k

t ?2 1 1 ? 3k 2 ?? ∴ 3kt k ? ?0 1 ? 3k 2

化简得t ? 1 ? 3k 2



∴t>1 将①代入②得 1<t<4 ∴t 的范围是(1,4) 综上 t∈(-2,4) 2、 “是否存在”问题:当作存在去求,若不存在则计算时自然会无解;

( 例2.已知圆 M : x ? m) ? ( y ? n) ? r 及定点 N (1, 0) , P 是圆 M 上的动点, Q 在 NP 点 点
2 2 2

上,点 G 在 MP 上,且满足 NP =2 NQ , GQ · NP = 0 . (1)若 m ? ?1, n ? 0, r ? 4 ,求点 G 的轨迹 C 的方程;

??? ?

????

????

??? ?

(2)若动圆 M 和(1)中所求轨迹 C 相交于不同两点 A, B , 是否存在一组正实数 m, n, r , 使得直线 MN 垂直平分线段 AB ,若存在,求出这组正实数;若不存在,说明理由. 解: (1)? NP ? 2 NQ,?∴点 Q 为 PN 的中点, 又? GQ ? NP ? 0 ,? GQ ? PN 或 G 点与 Q 点重合.∴ | PG |?| GN | . 又 | GM | ? | GN |?| GM | ? | GP |?| PM |? 4. ∴点 G 的轨迹是以 M , N 为焦点的椭圆, 且 a ? 2, c ? 1 ,∴ b ? (2)解:不存在 这样一组正实数, 下面证明: 由题意,若存在这样的一组正实数, 当直线 MN 的斜率存在时,设之为 k , 故直线 MN 的方程为: y ? k ( x ? 1) ,设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , AB 中点 D( x0 , y0 ) ,

??? ?

????

???? ??? ?

a 2 ? c 2 ? 3,? G 的轨迹方程是

x2 y 2 ? ? 1. 4 3

? x12 y12 ? ?1 ? ? 4 3 则? ,两式相减得: 2 2 ? x2 ? y2 ? 1 ? 4 3 ?
( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? ? 0. 4 3
x1 ? x2 ? ? x0 ? 2 y ? y2 1 ? ? ? ,且 ? 注意到 1 x1 ? x2 k ? y ? y1 ? y2 ? 0 ? 2

,则

3 x0 1 ? , 4 y0 k



又点 D 在直线 MN 上,? y0 ? k ( x0 ? 1) ,代入②式得: x0 ? 4 . 因为弦 AB 的中点 D 在⑴所给椭圆 C 内, 故 ?2 ? x0 ? 2 , 这与 x0 ? 4 矛盾,所以所求这组正实数不存在. 当直线 MN 的斜率不存在时, 直线 MN 的方程为 x ? 1 , 则此时 y1 ? y2 , x1 ? x2 ? 2 ,代入①式得 x1 ? x2 ? 0 ,

这与 A, B 是不同两点矛盾.综上,所求的这组正实数不存在. 3、证明定值问题的方法:⑴常把变动的元素用参数表示出来,然后证明计算结果与参数无 关;⑵也可先在特殊条件下求出定值,再给出一般的证明。 例 3、已知椭圆两焦点 F1 、 F2 在 y 轴上,短轴长为 2 2 ,离心率为 象限弧上一点,且 PF1 ? PF2 ? 1 ,过 P 作关于直线 F1P 对称的 两条直线 PA、PB 分别交椭圆于 A、B 两点。 (1)求 P 点坐标; (2)求证直线 AB 的斜率为定值;

2 , P 是椭圆在第一 2

???? ???? ?

例 3、解(1)

y 2 x2 F1 (0, 2), F2 (0, ? 2) ,设 P( x0 , y0 )( x0 ? 0, y0 ? 0) ? ?1 4 2 。 ???? ???? ? 则 PF1 ? (? x0 , 2 ? y0 ), PF2 ? (? x0 , ? 2 ? y0 ),

???? ???? ? 2 2 ? PF1 ? PF2 ? x0 ? (2 ? y0 ) ? 1

? 点 P( x0 , y0 ) 在曲线上,则

2 2 x0 y0 ? ? 1. 2 4

2 ? x0 ?

2 4 ? y0 2

从而

2 4 ? y0 2 ? (2 ? y0 ) ? 1 ,得 y0 ? 2 ,则点 P 的坐标为 (1, 2) 2

(2)由(1)知 PF1 // x 轴,直线 PA、PB 斜率互为相反数,设 PB 斜率为 k (k ? 0) ,

? y ? 2 ? k ( x ? 1) ? 则 PB 的直线方程为: y ? 2 ? k ( x ? 1) 由 ? x 2 y 2 ?1 ? ? ?2 4
得 (2 ? k ) x ? 2k ( 2 ? k ) x ? ( 2 ? k ) ? 4 ? 0
2 2 2

设 B ( xB , yB ), 则 xB ?

2k (k ? 2) k 2 ? 2 2k ? 2 ?1 ? 2 ? k2 2 ? k2

同理可得 x A ?

k 2 ? 2 2k ? 2 4 2k ,则 x A ? xB ? 2 2?k 2 ? k2

8k y A ? yB ? ?k xA ? ) ? k( x ?1 ) ? 2 ( 1 B 2?k y A ? yB ? 2 为定值。 所以:AB 的斜率 k AB ? x A ? xB
4、处理定点问题的方法:⑴常把方程中参数的同次项集在一起,并令各项的系数为零,求 出定点;⑵也可先取参数的特殊值探求定点,然后给出证明, 例 4、已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,椭圆 C 上的点到焦点距离的最大值为 3 ,最小值为 1 . (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)若直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 C 相交于 A , B 两点( A,B 不是左右顶点) ,且以 AB 为直径的圆过椭圆 C 的右顶点,求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标. 解: (Ⅰ)椭圆的标准方程为

x2 y2 ? ? 1. 4 3 (Ⅱ)设 A( x1,y1 ) , B ( x2,y2 ) ,
? y ? kx ? m, ? 2 2 2 联立 ? x 2 y 2 , 得 (3 ? 4k ) x ? 8mkx ? 4(m ? 3) ? 0 , ? ? 1. ? 3 ?4

? ?? ? 64m 2 k 2 ? 16(3 ? 4k 2 )(m 2 ? 3) ? 0,即3 ? 4k 2 ? m 2 ? 0,则 ? 8mk ? , ? x1 ? x2 ? ? 3 ? 4k 2 ? ? 4(m 2 ? 3) x1 ?x2 ? . ? 3 ? 4k 2 ? 3(m2 ? 4k 2 ) 2 2 又 y1 y2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? k x1 x2 ? mk ( x1 ? x2 ) ? m ? , 3 ? 4k 2 0) 因为以 AB 为直径的圆过椭圆的右焦点 D (2, , y y ? k AD k BD ? ?1 ,即 1 ? 2 ? ?1 , x1 ? 2 x2 ? 2 ? y1 y2 ? x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4 ? 0 ,
? 3(m2 ? 4k 2 ) 4(m2 ? 3) 16mk ? ? ? 4 ? 0, 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 ?9m2 ? 16mk ? 4k 2 ? 0 .
解得:

2k 2 2 m1 ? ?2k , m2 ? ? ,且均满足 3 ? 4k ? m ? 0 , 7 0) 当 m1 ? ?2k 时, l 的方程为 y ? k ( x ? 2) ,直线过定点 (2, ,与已知矛盾; 2 2k 2 0) 当 m2 ? ? 时, l 的方程为 y ? k ( x ? ) ,直线过定点 ( , . 7 7 7 2 0) 所以,直线 l 过定点,定点坐标为 ( , . 7

5、求最值问题时:将对象表示为变量的函数,几何法、配方法(转化为二次函数的最值) 、 三角代换法(转化为三角函数的最值) 、利用切线的方法、利用均值不等 式的方法等再解决; 例 5.设椭圆中心在坐标原点, A(2,,B(0, 是它的两个顶点,直线 0) 1) 与椭圆相交于 E、 两点. F y ? kx(k ? 0) 与 AB 相交于点 D, y B F D O E A x

??? ? ???? (1)若 ED ? 6 DF ,求 k 的值;
(2)求四边形 AEBF 面积的最大值.

x2 ? y 2 ? 1, 解:依题设得椭圆的方程为 4
直线 AB,EF 的方程分别为 x ? 2 y ? 2 , y ? kx(k ? 0) . 2 分 如图,设 D( x0,kx0 ),E ( x1,kx1 ),F ( x2,kx2 ) ,其中 x1 ? x2 , O 且 x1,x2 满足方程 (1 ? 4k ) x ? 4 ,
2 2

y B D

F A x

E

故 x2 ? ? x1 ?

2 1 ? 4k 2

.①

由 ED ? 6 DF 知 x0 ? x1 ? 6( x2 ? x0 ) ,得 x0 ? 由 D 在 AB 上知 x0 ? 2kx0 ? 2 ,得 x0 ? 所以

??? ?

????

1 5 10 ; (6 x2 ? x1 ) ? x2 ? 7 7 7 1 ? 4k 2

2 . 1 ? 2k

2 10 2 3 ,化简得 24k 2 ? 25k ? 6 ? 0 ,解得 k ? 或 k ? 6分 ? 2 1 ? 2k 7 1 ? 4k 3 8。 。

(Ⅱ)解法一:根据点到直线的距离公式和①式知,点 E,F 到 AB 的距离分别为

h1 ? h2 ?

x1 ? 2kx1 ? 2 5 x2 ? 2kx2 ? 2 5

?

2(1 ? 2k ? 1 ? 4k 2 ) 5(1 ? 4k 2 )



?

2(1 ? 2k ? 1 ? 4k 2 ) 5(1 ? 4k 2 )



又 AB ?

2 2 ? 1 ? 5 ,所以四边形 AEBF 的面积为

S?

1 ? 4k 2 ? 4k 1 4 ( ? k2 ) 1 1 ?2 ≤2 2 , AB (h1 ? h2 ) ? ? 5 ? 1 ? 4k 2 2 2 5 (1 k2 ) ? 4

当 2k ? 1 ,即当 k ?

1 时,上式取等号.所以 S 的最大值为 2 2 。 2
设 y1 ? kx1 , y2 ? kx2 ,由①得 x2 ? 0 ,

解法二:由题设, BO ? 1 , AO ? 2 .

y2 ? ? y1 ? 0 ,
故四边形 AEBF 的面积为

S ? S B E F? S △ △

AEF

? x2 ? 2 y2

? ( x2 ? 2 y2 ) 2

2 2 2 2 ? x2 ? 4 y2 ? 4 x2 y2 ≤ 2( x2 ? 4 y2 ) ? 2 2 ,

当 x2 ? 2 y2 时,上式取等号.所以 S 的最大值为 2 2 . 6、转化思想:有些题思路易成,但难以实施。这就要优化方法,才能使计算具有可行性, 关键是积累“转化”的经验; 例 6.如图,已知椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,长轴长是短轴长的 2 倍且经过点 M (2,1) ,平行于 OM 的直线 l 在 y 轴上的截距为 m(m≠0) 交椭圆于 A、B 两个不同点。 ,l (1)求椭圆的方程; (2)求 m 的取值范围; (3)求证直线 MA、MB 与 x 轴始终围成一个等腰三角形.解: (1)设椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) a2 b2
?a ? 2b ?a 2 ? 8 ? ? 解得? 2 则? 4 1 ?b ? 2 ?a2 ? b2 ? 1 ? ?
∴椭圆方程为

x2 y2 ? ?1 8 2
又 KOM=

(2)∵直线 l 平行于 OM,且在 y 轴上的截距 m,

1 2

? l的方程为:y ?

1 x?m 2

1 ? ?y ? 2 x ? m ? ? x 2 ? 2mx ? 2m 2 ? 4 ? 0 由? 2 2 ?x ? y ?1 ?8 2 ?
∵直线 l 与椭圆交于 A、B 两个不同点,

? ? ? (2m) 2 ? 4(2m 2 ? 4) ? 0, 解得 ? 2 ? m ? 2, 且m ? 0.......... .......... .......... .......... .......... ......... 8分
(3)设直线 MA、MB 的斜率分别为 k1,k2,只需证明 k1+k2=0 即可 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ), 且x1 ? x2 ? ?2m, x1 x2 ? 2m ? 4
2

则 k1 ?

y1 ? 1 y2 ?1 , k2 ? x1 ? 2 x2 ? 2
2

由 x2 ? 2mx ? 2m ? 4 ? 0可得

x1 ? x2 ? ?2m, x1 x2 ? 2m 2 ? 4
y 1 ? 1 y 2 ? 1 ( y 1 ? 1) ? ( x 2 ? 2) ? ( y 2 ? 1)( x1 ? 2) ? ? 而 k1 ? k 2 ? x1 ? 2 x 2 ? 2 ( x1 ? 2)( x 2 ? 2)

1 1 ( x1 ? m ? 1)( x 2 ? 2) ? ( x 2 ? m ? 1)( x1 ? 2) 2 ? 2 ( x1 ? 2)( x 2 ? 2) ? x1 x 2 ? (m ? 2)( x1 ? x 2 ) ? 4(m ? 1) ( x1 ? 2)( x 2 ? 2)

2m 2 ? 4 ? (m ? 2)( ?2m) ? 4(m ? 1) ? ( x1 ? 2)( x 2 ? 2)
? 2m 2 ? 4 ? 2m 2 ? 4m ? 4m ? 4 ? 0.......... .......... .......... .......... .......... .... 13分 ( x1 ? 2)( x 2 ? 2)
故直线 MA、MB 与 x 轴始终围成一个等腰三角形。

? k1 ? k 2 ? 0


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