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重庆市重庆一中2014-2015学年高一上学期期中考试 数学


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2014 年重庆一中高 2017 级高一上期半期考试











2014.11

一、选择

题(每题 5 分,共 50 分。每题只有一个正确答案) 1. 以下表示正确的是( ) A.

??0

B.

? ? {0}

C.

??{0}


D.

? ? {0}

2.函数 f ( x) ? A.

x ?1 ? ln(2 ? x) 的定义域为(
B. (?1, ??)

[?1, 2)

C. (?1, 2)

D. (2, ??)

4x ? 1 3.函数 f ( x) ? 的图像( 2x
A. 关于原点对称 4. 已知 a = 2 A.
? 1 3

) C. 关于 y 轴对称 ) D. 关于直线 y ? x 轴对称

B.关于 x 轴对称

, b = log 2 B.

1 1 , c = log 1 ,则( 3 2 3
a?c?b
C.

a?b?c

c?a?b

D.

c?b?a


5. 已知幂函数 f ( x ) 的图像经过点(4,2) ,则 f ( x ) 的增区间为( A.

(??, ??)

B. ( ??, 0)

C. (0, ??)

D. (1, ??) D. x ? 2 ) D. 4

6. (原创) x ? 1 的充分不必要条件是( ) A. x ? 0 B. x ? 1 C. x ? 0 7. 已知 f ( x ?1) ? x ? 2 x , 且f (a) ? 3, 则实数 a 的值是( A.

?2

B. 2

C. ?2

? x 2 ? 4 x ? 1, ( x ? 0) 8.(原创) 函数 f ( x) ? ? ,若互不相等的实数 x1 , x2 , x3 满足 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) , ? x ? 2, ( x ? 0)
则 x1 ? x2 ? x3 的取值范围为( A. ) C.

? ?5, 4?
??

B.
2

(?5,3)

(?1, 4)

D.

? ?1,3?


9. 已知函数 y ? lg ? a ? 1 x ? 2(a ? 1) x ? 3? 的值域为 R ,则实数 a 的取值范围是(
2

?

?

A.

[?2,1]

B. [?2, ?1]

C. (?2,1)

D.

(??, ?2) [1, ??)


10.已知定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f [ f ( x)] ? xf ( x) ?1 ,则方程 f ( x) ? 0 的实根个数为( A. 0 B. 1 C. 2 D. 4

二、填空题(每小题 5 分,共 25 分)
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11. 函数 y ? x2 ? 1, x ?[?1, 2] 的值域为 12. 已知函数 f ( x) ?
x

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; ; ;

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1 ? a 为奇函数,则常数 a = 3 ?1

13. 函数 y ? log 2 (4 x ? x 2 ) 的增区间为 14. 已知不等式 ax ? bx ? c ? 0 的解集为 ( ?
2

1 , 2) ,对于系数 a, b, c 有如下结论:① a ? 0 ;② b ? 0 ;③ 2
; (填入所有正确的序号)

c ? 0 ;④ a ? b ? c ? 0 ;⑤ a ? b ? c ? 0 。其中正确结论的序号是

15. (原创) 已知函数 f ( x) ? mx2 ? 2(m ? n) x ? n,(m ? 0) 满足 f (0) ? f (1) ? 0 , 设 x1 , x2 是方程 f ( x) ? 0 的两根,则 x1 ? x2 的取值范围是 。

三、解答题(共 75 分) 16. (13 分)计算下列各式: (要求写出必要的运算步骤) (1) 0.027
? 1 3

1 1 ? (? )?2 ? 2560.75 ? 3?1 ? ( )0 ; 6 2

(2) (log3 3)2 ? [log3 (1 ? 2 ? 3) ? log3 (1 ? 2 ? 3)] ? log4 3.

17.(13 分)已知集合 A ? x x ? x ? 2 ? 0 , B ? x 2 x ? (2k ? 5) x ? 5k ? 0 ;
2 2

?

?

?

?

(1)若 k ? ?1 时,求 A (2)若 A

B;

B=R ,求实数 k 的取值范围。

18. (13 分) (原创)已知函数 f ( x) ? x ?

1 3 , x ? (0, ??), 且f (2) ? 。 m x 2

(1)用定义证明函数 f ( x ) 在其定义域上为增函数;
x ?2 ax (2)若 a ? 0 ,解关于 x 的不等式 f (3 ?1) ? f (9 ?1) 。

2 * 19.(12 分)已知函数 f ( x) ? ax ? 2x ? c,(a, c ? N ) 满足① f (1) ? 5 ;② 6 ? f (2) ? 11 。

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(1)求函数 f ( x ) 的解析表达式;

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(2)若对任意 x ??1, 2? ,都有 f ( x) ? 2mx ? 1 成立,求实数 m 的取值范围。

2 20(12 分)已知函数 f ( x) ? log 1 ? ? x ? 2(2a ?1) x ? 8? ?,a?R。 2

(1)若 f ( x ) 在 ? a, ??? 上为减函数,求 a 的取值范围; (2)若关于 x 的方程 f ( x) ? log 1 ( x ? 3) ? 1在 (1,3) 内有两不等实根,求 a 的取值范围。
2

21.(12 分) (原创)设函数 f ( x ) 满足:①对任意实数 m, n 都有 f (m ? n) ? f (m ? n) ? 2 f (m) f (n) ;② 对任意 m ? R ,有 f (1 ? m) ? f (1 ? m) ;③ f ( x ) 不恒为 0,且当 x ? ? 0,1? 时, f ( x) ? 1 。 (1)求 f (0) , f (1) 的值; (2)判断 f ( x ) 的奇偶性,并给出你的证明; (3)定义: “若存在非零常数 T,使得对函数 F ( x) 定义域中的任意一个 x ,均有 F ( x ? T ) ? F ( x) , 则称 F ( x) 为以 T 为周期的周期函数” 。试证明:函数 f ( x ) 为周期函数,并求出

1 2 3 f ( )? f ( )? f ( )? 3 3 3

? f(

2017 ) 的值。 3

(命题人:陶成海) (审题人:王中苏)

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11. [1,5] 12. ?

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14. ②,③,④ 15. [ 3, 2)

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1 2

13. (0, 2)

16. (1)原式= 10 ? 36 ? 64 ? 1 ? 1 ? 32; 3 3 (2 原式=
3 1 1 1 3 ? log 4 3log3 2 2 ? ? log 22 2 2 ? ? ? 1; 4 4 4 4

17.(1)由已知得, A ? (??, ?1)

(2, ??) ,当 k ? ?1 时,
5 B ? (? , ?1). 2

5 B ? x 2 x 2 ? 2 x ? 5 ? 0 ? (? ,1); ? A 2

?

?

5 5 ? ?( ? k , ? 2 ), (k ? 2 ) ? 5 5 ? 2 (2) 由于方程 2x ? (2k ? 5) x ? 5k ? 0 的两根为 ? k 和 ? ,所以 B ? ??, (k ? ) , 由已知 A B=R 2 2 ? 5 ? 5 ?( ? 2 , ? k), (k ? 2 ) ?
得, ?k ? 2,? k ? ?2. 18. (1)由 f (2) ?

3 1 ( x ? 0) 。对任 0 ? x1 ? x2 ,有 得 m=1, ? f ( x) ? x ? 2 x

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? ( x2 ?

? x ? x ? ? (1 ? x2 x1 ) ? 0 ,即 f ( x ) ? f ( x ) , 1 1 ) ? ( x1 ? ) ? 2 1 2 1 x2 x1 x1 x2

故 f ( x ) 在定义域 (0, ??) 上为增函数; (2)由(1)知, f (3x?2 ?1) ? f (9ax ?1) 等价于 0 ? 3x?2 ? 1 ? 9ax ? 1, 即 ? 当 1 ? 2a ? 0 即 0 ? a ?

? ?x ? 2 , (a ? 0) 。 ? ??1 ? 2a ? x ? 2

1 2 2 ? 2 ,此时 2 ? x ? 时,由于 ; 2 1 ? 2a 1 ? 2a

?x ? 2 1 1 ? 当 1 ? 2a ? 0 即 a ? 时, x ? 2 ;当 1 ? 2a ? 0 即 a ? 时, ? 2 ,此时 x ? 2; 2 2 x ? ? ? 1 ? 2a
所以当 0 ? a ?

1 1 2 ) ;当 a ? 时;解集为 ? 2, ??? 。 时,不等式解集为 (2, 2 2 1 ? 2a

19. (1) 5 ? a ? c ? 2 即 c ? 3 ? a ,又 6 ? 4a ? c ? 4 ? 11?? 所以 f ( x) ? x ? 2x ? 2.
2

1 4 ? a ? ,又 a ? N * ,? a ? 1, c ? 2 。 3 3

(2)法一:设 g ( x) ? f ( x) ? 2mx ?1 ? x ? 2(m ?1) x ? 1, x ? [1, 2], 则由已知得:
2

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当 m ? 1 ? 1 即 m ? 2 时, gmin ( x) ? g (1) ? 4 ? 2m ? 0 ,此时 m ? 2 ; 当 1 ? m ? 1 ? 2 即 2 ? m ? 3 时, ? ? 0 ,解得:无解; 当 m ? 1 ? 2 即 m ? 3 时, gmin ( x) ? g (2) ? 9 ? 4m ? 0 ,此时无解。 综上所述, m 的取值范围为 ? ??, 2? 。 法二:由已知得, 2 ? m ? 1? ? x ?

1 1 在 x ??1, 2? 上恒成立。由于 x ? 在 ?1, 2? 上单调递增,所以 x x

1 ? 5? x ? ? ? 2, ? ,故 2 ? m ?1? ? 2 即 m ? 2 。 x ? 2?
20. (1)要使 f ( x ) 在 ? a, ??? 上为减函数,一方面 g ( x) ? x2 ? 2(2a ?1) x ? 8 递增,另一方面 g ( x) ? 0 , 所以 2a ? 1 ? a 且 g (a) ? a2 ? 2a(2a ?1) ? 8 ? 0 ,解得 ?
2

4 ? a ? 1。 3

(2)由已知得 x ? 4ax ? 2 ? 0 在 (1,3) 内有两不等实根,令 F ( x) ? x2 ? 4ax ? 2 ,则

? 2 2 或a ? ? ?a ? 2 2 ? ?? ? 0 3 ?1 ?1 ? 2a ? 3 ? ? a ? 2 3 ? 2 即 ?2 解之得 ?a? ; ? 2 4 ?a ? 3 ? F (1) ? 0 ? ? 4 ? F (3) ? 0 ? ? a ? 11 ? 12

(另: 分离变量法, 即 4a ? x ?

2 2 3 在 (1, 3) 内有两不等实根, 由图像可知:2 2 ? 4a ? 3, 即 ?a? ) x 2 4

21. (1)由于 f ( x ) 不恒为 0,故存在 x0 ,使 f ( x0 ) ? 0 ,于是令 m ? x0 , n ? 0 ,有

f ( x0 ) ? f ( x0 ) ? 2 f ( x0 ) ? f (0) 即 2 f ( x0 ) ? f (0) ?1? ? 0,? f (0) ? 1 。又令 m=n=1,得 f (2) ? f (0) ? 2[ f (1)2 ], 又由 f (1 ? m) ? f (1 ? m) 得 f (2) ? f (0) ?[ f (1)]2 ? 1 即 f (1) ? ?1 ,而由已知
f (1) ? 1 ,故 f (1) ? ?1 。
(2)令 m ? 0, n ? x 得: f ( x) ? f (? x) ? 2 f (0) ? f ( x) ? 2 f ( x),? f (? x) ? f ( x) 即 f ( x ) 为偶函数。 (3)由已知 f (1 ? m) ? f (1 ? m) 得 f (? x) ? f (2 ? x) ,又 f ( x ) 为偶函数,有

f (? x) ? f ( x) ? f (2 ? x) ? f ( x) ,所以 f ( x) 为以 2 为周期的周期函数。
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世纪金榜 圆您梦想 www.jb1000.com 1 2 1 2 2 1 2 令 m ? n ? 得: f ( ) ? f (0) ? 2[ f ( )] . 即: f ( ) ? 1 ? 2[ f ( )] . 3 3 3 3 3 2 1 1 2 1 1 2 1 再令: m ? , n ? 得: f (1) ? f ( ) ? 2 f ( ) f ( ) 。即: f ( ) ? 1 ? 2 f ( ) f ( ) 。 3 3 3 3 3 3 3 3 2 1 1 2 1 而 f ( ) ? 1. 。由此得: f ( ) ? , f ( ) ? ? 3 3 2 3 2 1 5 2 4 1 2 3 4 5 6 ( f) (? )f ( ) ?f 0 ? 又由条件 (2) ,f ( ) ? f ( ) ,f ( ) ? f ( ) , 故 f ( ) ?f( ) ?(f ) ? , 又 f ( x) 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 2 2017 2017 1 1 ) ? 336 ? 0 ? f ( )? f( )? 。 是以 2 为周期的周期函数,故 f ( ) ? f ( ) ? ? f ( 3 3 3 3 3 2

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