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广东省广州市2014届高三1月调研测试数学文试题及参考答案


广州市 2014 届高三年级调研测试数 学(文 科)班级
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 参考公式:锥体体积公式 V ?

姓名

1 Sh ,其中 S 为锥体的底面积, h 为锥体的高. 3

一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1.函数 y ?

4 ? x 的定义域是 A. ? ??,4? B. ? ??,4?
,或 x ? ?1 A.若 x ? 1 ,则 x ? 1
2 2

C. ? 4, ???

D. ?4, ???

2 2.命题“若 x ? 1 ,则 ? 1 ? x ? 1 ”的逆否命题是 2 B.若 ? 1 ? x ? 1 ,则 x ? 1 2

,或 x ? ?1,则 x ? 1 ,或 x ? ?1 ,则 x ? 1 C.若 x ? 1 D.若 x ? 1 3.如图 1 是 2013 年某大学自主招生面试环节中,七位评委为某考生打出的分数的茎叶统计图,去掉 一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数和众数依次为 7 9 A. 85,84 B. 84,85 C. 86,84 D. 84,86 8 4 4 6 4 7 2 2 9 图 31 4.设 z ? 1 ? i ( i 是虚数单位) ,则复数 ? i 的虚部是
5.若集合 A, B 满足 A ? ?x ? Z | x ? 3? , B ? N ,则 A A. {0,1, 2} B. {1, 2} A. ? i B. ? 1

z

C. i

D. 1 D. ?

B 不可能 是 ...

C. {?1}

? x ? 2 y ? 2 ? 0, ? 6.若实数 x , y 满足不等式组 ? x ? y ? 1 ? 0, 则 x ? y 的最大值为 ? x ? 2 y ? 2 ? 0, ?
A. 4 B. 5 C. 6 7.执行如图 2 的程序框图,如果输入的 N 的值是 6,那么输出的 p 的值是 A.15 B.105 C.120 开始 输入 N D. 7 D.720 输出 p 结束

k ? 1, p ? 1

p ? p?k

k ? N?




k ?k?2
8.某几何体的三视图(如图 3 所示)均为边长为 2 的等腰直角三角 形,则该几何体的表面积是 A. 4 ? 4 2 B. 4 2 C. 4 ? 2 D. 8 ? 4 2 9.若点 A(1,0) 和点 B(4, 0) 到直线 l 的距离依次为 1 和 2,则这样的直线有 A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条

图2

正视图

侧视图

10.函数 f ( x) ? sin x ? x 在区间 ?0, ??? 内

A.没有零点 B.有且仅有 1 个零点 俯视图 C.有且仅有 2 个零点 D.有且仅有 3 个零点 二.填空题: 本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11~13 题) 11.若向量 m ? ?1,2 ? , n ? ? x,1? 满足 m ? n ,则 | n |? __________.
1

图3

12.在等比数列 {an } 中,若 a2 ? a3 ? 3a1 ,则 a4 ?


?

13.在边长为 2 的正方形 ABCD 内部任取一点 M ,则满足 ?AMB ? 90 的概率为_______. B (二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14. (几何证明选讲选做题) 如图 4, AC 为⊙ O 的 直径, OB ? AC ,弦 BN 交 AC 于点 M . 若 OC ? 3 , OM ? 1 ,则 MN 的长为 15. (坐标系与参数方程选讲选做题) 若点 P( x, y) 在曲线 ? .
C O

M N

A

y ? x ? ?2 ? cos ? ( ? 为参数, ? ? R )上,则 的取值范围是 x ? y ? sin ?

. 图4

三.解答题: 本大题共 6 小题,满分 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分)在△ ABC 中,角 A , B ,C 所对的边分别为 a ,b ,c ,且 cos (1)求 cos B 的值; (2)若 a ? 3 , b ? 2 2 ,求 c 的值.

A?C 3 . ? 2 3

17. (本小题满分 12 分) 某单位 N 名员工参加“社区低碳你我他”活动.他们 的年龄在 25 岁至 50 岁之间.按年龄分组:第 1 组 [25,30) ,第 2 组 [30,35) ,第 3 组 [35, 40) ,第 4 组 [40, 45) ,第 5 组 [45,50] ,得到的频率分布直方图 如图 5 所示.下表是年龄的频率分布表. [45,50] [25,30) [30,35) [35, 40) [40, 45) 区间 a 25 b 人数 (1)求正整数 a , b , N 的值; (2)现要从年龄较小的第 1,2,3 组中用分层抽样的方法抽取 6 人,则年龄在第 1图 ,2 5,3 组的人数分 别是多少? (3)在 (2) 的条件下, 从这 6 人中随机抽取 2 人参加社区宣传交流活动,求恰有 1 人在第 3 组的概率.

2

18. (本小题满分 14 分) P 如图 6,在三棱锥 P ? ABC 中, PA ? AC , PC ? BC , M 为 PB 的中点, D 为 AB 的中点,且△ AMB 为正三角形. (1)求证: BC ? 平面 PAC ; (2)若 BC ? 4 , PB ? 10 ,求点 B 到平面 DCM 的距离. A D

M C

图6

B

19. (本小题共 14 分) 设数列 ?an ? 满足 a1 ?

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 bn ?

a2 a3 ? ? 2 22

?

an ? 2n , n ? N* . 2n ?1

an ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn . ? an ? 1?? an?1 ? 1?

3

20. (本小题满分 14 分) 在圆 x 2 ? y 2 ? 4 上任取一点 P ,设点 P 在 x 轴上的正投影为点 D .当点 P 在圆上运动时,动点

M 满足 PD ? 2MD ,动点 M 形成的轨迹为曲线 C . (1)求曲线 C 的方程;

(2)已知点 E ?1,0? ,若 A, B 是曲线 C 上的两个动点,且满足 EA ? EB ,求 EA ? BA 的取值范围.

21. (本小题满分 14 分)

已知函数 f ? x ? ? ln x ? ax ? ? a ? 2? x .
2

(1)若 f ( x ) 在 x ? 1 处取得极值,求实数 a 的值;
2 (2)求函数 f ( x ) 在区间 [a , a] 上的最大值.

4

广州市 2014 届高三年级调研测试 数学(文科)试题参考答案及评分标准
说明:1.参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参 考,如果考生的解法与参考答案不同,可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给 以相应的分数. 2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题 的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不得超过该部分正确解答 应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一.选择题:本大题主要考查基本知识和基本运算.共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D A D C D B A C B 二.填空题:本大题主要考查基本知识和基本运算.本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分, 满分 20 分.其中 14~15 题是选做题,考生只能选做一题. 11. 5 12.3 13.

? 8

14.1

15. ? ?

? ?

3 3? , ? 3 3 ?

三.解答题: 本大题共 6 小题,满分 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 解: (1)在△ ABC 中, A ? B ? C ? ? .????????????????????????1 分

A?C ? ?B B 3 ? cos ?????2 分 ? sin ? .????3 分 2 2 2 3 1 2 B 所以 cos B ? 1 ? 2sin ??5 分 ? .???????7 分 2 3 1 2 2 2 (2)因为 a ? 3 , b ? 2 2 , cos B ? ,由余弦定理 b ? a ? c ? 2ac cos B ,???9 分 3 2 得 c ? 2c ? 1 ? 0 .???11 分 解得 c ? 1 .?????12 分
所以 cos 17. (本小题满分 12 分) 解: (1)由频率分布直方图可知, [25,30) 与 [30,35) 两组的人数相同,所以 a ? 25 人.?1 分 且 b ? 25 ?

0.08 25 ? 100 人.??2 分总人数 N ? ? 250 人.?3 分 0.02 0.02 ? 5
25 25 ? 1 ,???4 分第 2 组的人数为 6 ? ? 1 ,????5 分 150 150

(2)因为第 1,2,3 组共有 25+25+100=150 人,利用分层抽样在 150 名员工中抽取 6 人,每组抽取的 人数分别为:第 1 组的人数为 6 ? 第 3 组的人数为 6 ?

100 ? 4 ,??6 分所以第 1,2,3 组分别抽取 1 人,1 人,4 人.??7 分 150 (3)由(2)可设第 1 组的 1 人为 A ,第 2 组的 1 人为 B ,第 3 组的 4 人分别为 C1 , C2 , C3 , C4 ,则从
6 人中抽取 2 人的所有可能结果为: ( A ,B ) ,( A, C1 ) ,( A, C2 ) ,( A, C3 ) ,( A, C4 ) ,( B, C1 ) ,( B, C2 ) ,( B, C3 ) ,( B, C4 ) ,(C1 , C2 ) ,

(C1 , C3 ) , (C1 , C4 ) , (C2 , C3 ) , (C2 , C4 ) , (C3 , C4 ) ,共有15 种.???????????9 分
其中恰有 1 人年龄在第 3 组的所有结果为: ( A, C1 ) , ( A, C2 ) , ( A, C3 ) , ( A, C4 ) , ( B, C1 ) , ( B, C2 ) , ( B, C3 ) , ( B, C4 ) ,共有 8 种. ?????????????????????11 分 所以恰有 1 人年龄在第 3 组的概率为

8 . ??????????????????????12 分 15
5

18. (本小题满分 14 分) (1)证明:在正 ?AMB 中, D 是 AB 的中点,所以 MD ? AB .??????????????1 分 因为 M 是 PB 的中点, D 是 AB 的中点,所以 MD // PA ,故 PA ? AB .????????2 分 又 PA ? AC , AB AC ? A , AB, AC ? 平面 ABC , P 所以 PA ? 平面 ABC .?????????????4 分 因为 BC ? 平面 ABC ,所以 PA ? BC .?????5 分 又 PC ? BC, PA PC ? P, PA, PC ? 平面 PAC ,

M 所以 BC ? 平面 PAC .????????????7 分 (2)解法 1:设点 B 到平面 DCM 的距离为 h ,???8 分 A C 因为 PB ? 10 , M 是 PB 的中点,所以 MB ? 5 . 因为 ?AMB 为正三角形,所以 AB ? MB ? 5 .????????????????????9 分 D 因为 BC ? 4, BC ? AC ,所以 AC ? 3 . 所以 S?BCD ? B 1 1 1 1 1 S?ABC ? ? ? BC ? AC ? ? ? 4 ? 3 ? 3 .?????????????10 分 2 2 2 2 2
2 2

5 3 ?5? 因为 MD ? 5 ? ? ? ? , 2 ?2?
由(1)知 MD // PA ,所以 MD ? DC .在 ?ABC 中, CD ? 所以 S ?MCD ? 因为 VM ?BCD 所以

1 5 AB ? , 2 2

1 1 5 3 5 25 3 .????????????????11 分 ? MD ? CD ? ? ? ? 2 2 2 2 8 ? VB?MCD ,?????????????????????????????12 分

1 1 1 5 3 1 25 3 S ?BCD ? MD ? S ?MCD ? h ,即 ? 3 ? ? ? ? h .??13 分 3 3 3 2 3 8 12 12 所以 h ? .故点 B 到平面 DCM 的距离为 .??????14 分 5 5 P 解法 2:过点 B 作直线 CD 的垂线,交 CD 的延长线于点 H ,????????????????8 分 由(1)知, PA ? 平面 ABC , MD // PA , 所以 MD ? 平面 ABC . M 因为 BH ? 平面 ABC ,所以 MD ? BH . 因为 CD MD ? D ,所以 BH ? 平面 DCM . 所以 BH 为点 B 到平面 DCM 的距离.??????9 分 A 因为 PB ? 10 , M 是 PB 的中点,所以 MB ? 5 . D E H 因为 ?AMB 为正三角形,所以 AB ? MB ? 5 .??10 分 5 B 因为 D 为 AB 的中点,所以 CD ? BD ? . 2 以下给出两种求 BH 的方法: 1 3 方法 1:在△ BCD 中,过点 D 作 BC 的垂线,垂足为点 E ,则 DE ? AC ? .???11 分 2 2 3 4? 1 1 BC ? DE 2 ? 12 . 因为 ? CD ? BH ? ? BC ? DE ,??12 分所以 BH ? ? 5 2 2 CD 5 2 25 2 2 2 方法 2:在 Rt △ BHD 中, BH ? DH ? BD ? . ①??????????11 分 4 2 2 2 在 Rt △ BHC 中,因为 BC ? 4 ,所以 BH ? CH ? BC ,
6

C

5? ? 即 BH ? ? DH ? ? ? 16 . 2? ?
2

2

②??12 分由①,②解得 BH ?

12 . 5

故点 B 到平面 DCM 的距离为 19. (本小题满分 14 分) 解: (1)因为 a1 ?

12 .????????????????????????14 分 5

a a2 a3 ? 2 ? ? nn ? 2n , n ? N* , ① ?1 2 2 2 所以当 n ? 1 时, a1 ? 2 .?????????????????????????????1 分 an ?1 a a ? ? n ? 2 ? n ? 1? , 当 n ? 2 时, a1 ? 2 ? 3 ② ?????????????2 分 2 2 2 2 ?2 a ? 2 .??4 分所以 an ? 2n .???5 分 ①-②得, nn ?1 2 * 因为 a1 ? 2 ,适合上式,所以 an ? 2n ? n ? N ? .????????6 分

(2)由(1)得 an ? 2n .所以 bn ?

an 2n ? n ???8 分 ? an ? 1?? an?1 ? 1? ? 2 ? 1?? 2n?1 ? 1?

1 1 ? n ?1 .????????????????????????????10 分 2 ?1 2 ?1 1 ? ? 1? ?1 1? ? 1 1 ? ? 1 所以 Sn ? b1 ? b2 ? ? bn ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? n ? n?1 ? ???12 分 ? 3 ? ? 3 7 ? ? 7 15 ? ? 2 ?1 2 ?1 ? 1 ? 1 ? n ?1 .??????????????????????????????14 分 2 ?1 ?
n

20. (本小题满分 14 分) (1)解法 1:由 PD ? 2MD 知点 M 为线段 PD 的中点.?????????????????1 分 设点 M 的坐标是 ( x, y ) ,则点 P 的坐标是 ? x, 2 y ? .?????????????????2 分
2 因为点 P 在圆 x 2 ? y 2 ? 4 上,所以 x ? ? 2 y ? ? 4 .??????3 分 2

x2 ? y 2 ? 1 .?????????????????????????4 分 4 解法 2:设点 M 的坐标是 ( x, y ) ,点 P 的坐标是 ?x0 , y0 ? ,
所以曲线 C 的方程为 由 PD ? 2MD 得, x0 ? x , y0 ? 2 y .???????????????????????1 分 因为点 P ?x0 , y0 ? 在圆 x 2 ? y 2 ? 4 上, 所以 x0 ? y0 ? 4 .
2 2
2 2

①?????????2 分

把 x0 ? x , y0 ? 2 y 代入方程①,得 x ? 4 y ? 4 .?????????????????3 分

x2 ? y 2 ? 1 .?????????????????????????4 分 4 (2)解:因为 EA ? EB ,所以 EA ? EB ? 0 .??????????????????????5 分
所以曲线 C 的方程为 所以 EA ? BA ? EA ? EA ? EB ? EA .???????????????????????7 分

?

?

2

x12 x2 ? y12 ? 1 ,即 y12 ? 1 ? 1 .??????????????????8 分 4 4 2 x12 2 2 2 所以 EA ? BA ? EA ? ? x1 ? 1? ? y1 ? x1 ? 2 x1 ? 1 ? 1 ? 4
设点 A ? x1 , y1 ? ,则
7

因为点 A ? x1 , y1 ? 在曲线 C 上,所以 ?2 ? x1 ? 2 .??????????????????11 分
2

3 3? 4? 2 ? x12 ? 2 x1 ? 2 ? ? x1 ? ? ? .???????????????????????10 分 4 4? 3? 3

2

2 3? 4? 2 ? ? x1 ? ? ? ? 9 .??????????????????????????13 分 3 4? 3? 3 ?2 ? 所以 EA ? BA 的取值范围为 ? , 9? .????????????????????????14 分 ?3 ?
所以 21. (本小题满分 14 分) 解: (1)因为 f ( x) ? ln x ? ax2 ? (a ? 2) x , 所以函数 f ? x ? 的定义域为 (0, ??) .??1 分

1 ? 2ax ? (a ? 2) .???????????????????????????2 分 x 因为 f ( x ) 在 x ? 1 处取得极值,所以 f ? ?1? ? 1 ? 2a ? ? a ? 2? ? 0 .解得 a ? ?1 .???3 分
且 f ?( x) ?

1 (2 x ? 1)( x ? 1) ? 2x ? 3 ? , x x 1 1 当 0 ? x ? 时, f ?( x) ? 0 ;当 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 . 2 2 所以 x ? 1 是函数 y ? f ( x) 的极小值点.故 a ? ?1 ??????4 分
当 a ? ?1 时, f ?( x) ? (2)因为 a ? a ,所以 0 ? a ? 1 .???????5 分
2

由(1)知 f ?( x ) ? ?

(2 x ? 1)(ax ? 1) . x

1 1 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? 时, f ?( x) ? 0 . 2 2 ? 1? ?1 ? 所以函数 f ( x ) 在 ? 0, ? 上单调递增;在 ? , ?? ? 上单调递减.????????????7 分 ? 2? ?2 ? 1 3 2 ①当 0 ? a ? 时, f ( x ) 在 [a 2 , a] 上单调递增, 所以 ? f ( x)?max ? f (a) ? ln a ? a ? a ? 2a .??9 分 2 1 ? a? , ? 1 2 ? ? 2 1? ?1 ? 2 ②当 ? 即 ?a? 时, f ( x ) 在 ? a , ? 上单调递增,在 ? , a ? 上单调递减, 2 2? ? ?2 ? ?a 2 ? 1 . 2 ? ? 2 a a?2 a ?1? 所以 ? f ( x)?max ? f ? ? ? ? ln 2 ? ? ? ? 1 ? ln 2 .??????????????11 分 4 2 4 ?2?
因为 x ? (0, ??) ,所以 ax ? 1 ? 0 .当 0 ? x ?

1 2 ? a 2 ,即 ? a ? 1时, f ( x) 在 [a 2 , a] 上单调递减, 2 2 2 5 3 2 所以 ? f ( x)?max ? f (a ) ? 2ln a ? a ? a ? 2a . ???????????????????13 分
③当 综上所述:

1 3 2 2 时,函数 f ( x ) 在 [a , a] 上的最大值是 ln a ? a ? a ? 2a ; 2 a 1 2 2 当 ?a? 时,函数 f ( x ) 在 [a , a] 上的最大值是 ? 1 ? ln 2 ; 4 2 2 2 ? a ? 1时,函数 f ( x) 在 [a 2 , a] 上的最大值是 2ln a ? a5 ? a3 ? 2a 2 .???????14 分 当 2
当0 ? a ?
8


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