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2014年2014卓越联盟自主招生数学试题及答案


2014 年卓越联盟自主招生试题(数学)
一、选择题(每题 5 分,共 20 分) (注:原题是选择题) 1. 不等式 x ? 2 x ? 1 ? 0 的解集为_____________.
2 3

2.

在三棱锥 P ? ABC 中, PA ? 底面 ABC , AC ? BC , AC ? 2 ,二面角 P ? BC ? A 的大小为 60 ? ,三棱锥 P ? ABC 的 体积为
4 6 ,则直线 PB 与平面 PAC 所成的角的正弦值为________. 3
2

3.

当实数 m 变化时,不在任何直线 2mx ? _____________.

?1 ? m ? y ? 4m ? 4 ? 0 上的所有点 ? x, y ? 形成的图形的面积为

4.

? 2x ? 1 1? ? ? x 2 , x ? ? ??, ? 2 ? , ? ? ? 已知函数 f ? x ? ? .g ?ln ? x ? 1? , x ? ? ? 1 , ?? ? ? ? 2 ? ? ? ?
则 b 的取值范围是___________.

? x ? ? x2 ? 4x ? 4 .设 b 为实数,若存在实数 a ,使 f ?a ? ? gb?

? ? 0,

二、填空题(每题 6 分,共 24 分) 5. 已知 0 ? a ? 1 ,分别在区间 ? 0, a ? 和 ? 0, 4 ? a ? 内任取一个数,且取出的两数之和小于 1 的概率为 _______________.

3 .则 a 的值为 16

6.

设 e1 , e 2 为平面上夹角为 ? ( 0 ? ? ?

? )的两个单位向量, O 为平面上的一个固定点, P 为平面上任意一点,当 2

??? ? OP ? xe1 ? ye2 时,定义 ? x, y ? 为点 P 的斜坐标.现有两个点 A , B 的斜坐标分别为 ? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? .则 A , B 两点
的距离为______________.

7.

?? ? ? 若函数 y ? sin ? ? x ? ? 的图象的对称中心与 y 轴距离最小的对称轴为 x ? ,则实数 ? 的值为_____. 4? 6 ?

8.

已知集合 A , B 满足 A ? B ? ?1,2,3,?,8? , A ? B ? ? .若 A 中元素的个数不是 A 中的元素, B 中元素的个数不是 B 中的元素,则满足条件的所有不同的集合 A 的个数为___________. 三、解答题(共 56 分)
?? ?? (13 分)设 ? ? R ,函数 f ? x ? ? 2 sin 2x cos? ? 2 cos2x sin ? ? 2 cos ? 2x ? ? ? ? cos? , x ? R . (1)若 ? ? ? , ? , ?4 2? ? ?? 求 f ? x ? 在区间 ? 0, ? 上的最大值. ? 4?
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9.

(2)若 f ? x ? ? 3 ,求 ? 与 x 的值. 10. (13 分)已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 )的两条渐进线的斜率之积为 ?3 ,左右两支上分别由动点 A 和 B . a 2 b2 ???? ??? ? (1)设直线 AB 的斜率为 1,经过点 D ? 0,5a ? ,且 AD ? ? DB ,求实数 ? 的值.
O 为坐标原点, Q, (2) 设点 A 关于 x 轴的对称点为 M . 若直线 AB , 证明 OP ? OQ ? a2 . MB 分别与 x 轴相交于点 P ,

11. (15 分)已知 f ? x ? 为 R 上的可导函数,对任意的 x0 ? R ,有 0 ? f ' ? x ? x0 ? ? f ' ? x0 ? ? 4x , x ? 0 . (1)对任意的 x0 ? R ,证明: f ' ? x0 ? ?
f ? x ? x0 ? ? f ? x0 ? x

(x?0) ;

(2)若 f ? x ? ? 1 , x ? R ,证明 f ' ? x ? ? 4 , x ? R . 12. (15 分)已知实数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , an ?1 ? q an , n ? N? ,常数 q ? 1 .对任意的 n ? N? ,有 为所有满足上述条件的数列 ?an ? 的集合. (1)求 q 的值; (2)设 ?an ? , ?bn ? ? C , m ? N ? ,且存在 n0 ? m ,使 an0 ? bn0 .证明: ? ak ? ? bk ;
k ?1 k ?1 m m

?a
k ?1

n ?1

k

? 4 an .设 C

?m ? A ? (3)设集合 m ?? ak ?an ? ? C ? , m ? N ? ,求 ? k ?1 ?

Am 中所有正数之和.

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附:2014 年卓越联盟自主招生数学参考 答案 ..

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