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2.2.2《等差数列的性质》课件(人教A版必修5)


课程目标设置

主题探究导学

典型例题精析

思路点拨:四数成等差数列,则可设这四个数依次为a-3d,a-

d,a+d,a+3d,据题设条件列出方程组,进而解得a和d代入即可
得四数.

知能巩固提高

1.(2010·沈阳高二检测)已知数列{an}为等差数列且 a1+a7+a13=4π ,则tan(a2+a12)的值为( )
3 3

(A) 3

(B)± 3

(C)-

(D)- 3

【解析】选D.∵{an}为等差数列,a1+a7+a13=4π, ∴3a7=4π,∴a7= 4 π.
3

又∵a2+a12=2a7,
∴a2+a12= 8 π, ∴tan(a2+a12)=- 3.
3

2.设{an}为公差为-2的等差数列,若a1+a4+a7+…+a97=50,则 a3+a6+a9+…+a99等于( (A)-182 (B)-78 ) (C)-148 (D)-82

【解题提示】两式都33项,找出相应项的关系. 【解析】选D.a3+a6+a9+…+a99=(a1+a4+a7+…+a97)+2d×33=50+ (-4)×33=-82.

3.在等差数列{an}中,公差d>0且a3+a6+a10+a13=32.若am=8,则 正整数m的值为( (A)8 ) (C)6 (D)12 (B)4

【解析】选A.在等差数列{an}中,d>0. ∴数列{an}为递增数列. 又a3+a6+a10+a13=4a8=32,∴a8=8,∴m=8.

二、填空题(每题5分,共10分) 4.(2010·济宁高二检测)在等差数列{an}中,已知公差 d= 1 ,且a1+a3+a5+…+a99=60,则a2+a4+a6+…+a100= ______.
2

【解析】a2+a4+a6+…+a100=(a1+d)+(a3+d)+(a5+d)+…+(a99+d)

=a1+a3+a5+…+a99+50d=60+50× =85.
答案:85

1 2

5.已知等差数列{an}中,a3,a15是方程x2-6x-1=0的两根,则 a7+a8+a9+a10+a11= ______.

【解析】∵a3+a15=2a9=6,∴a9=3.
a7+a8+a9+a10+a11=5a9=5×3=15. 答案:15

三、解答题(6题12分,7题13分,共25分) 6.等差数列{an}为递减数列,已知a2+a4=16,a1a5=28,求数列 {an}的通项公式. 【解析】设等差数列{an}的公差为d(d<0),

∵a2+a4=2a3=16,∴a3=8.
∵a1=a3-2d=8-2d,a5=a3+2d=8+2d, ∴(8-2d)(8+2d)=28,又d<0, ∴d=-3∴a1=14. ∴an=14-3(n-1)=17-3n.

7.已知数列{an}的通项公式为an=pn2+qn(常数p,q∈R). (1)当p,q满足什么条件时,数列{an}是等差数列? (2)求证:对于任意的实数p和q,数列{an+1-an}是等差数列.

【解析】(1)假设数列{an}是等差数列,则 an-an-1=(pn2+qn)-[p(n-1)2+q(n-1)]=2p·n-p+q(n≥2)应是

一个与n无关的常数,∴p=0.
即当p=0时,数列{an}为等差数列. (2)由(1)知an-an-1=2pn-p+q(n≥2), ∴an+1-an=2p(n+1)-p+q, (an+1-an)-(an-an-1)=2p(n+1)-p+q-(2pn-p+q)=2p(是一个与n无 关的常数), ∴对任意的实数p和q,数列{an+1-an}是等差数列.

1.(5分)设数列{an},{bn}都是等差数列,且a1=25,b1=75,
a2+b2=100,则a37+b37等于( (A)0 (B)37 ) (C)100 (D)-37

【解题提示】根据{an},{bn}为等差数列,则{an+bn}也为等 差数列求解. 【解析】选C.∵{an},{bn}都是等差数列, ∴{an+bn}也是等差数列. 又∵a1+b1=100,a2+b2=100,∴an+bn=100.

故a37+b37=100.

2.(5分)等差数列{an}中,a1=70,d=-9,则这个数列中绝对值 最小的一项为( (A)a8 ) (B)a9 (C)a10 (D)a11

【解析】选B.由已知得an=79-9n,
∴a1>a2>…>a8>0>a9>… a8=7,a9=-2,a10=-11. ∴绝对值最小的是a9.

3.(5分)已知logab,-1,logba成等差数列,则ab= ______. 【解析】由已知得logab+logba=-2,
lgb lga =-2,从而(lga+lgb)2=0, + lga lgb



∴lga=-lgb,∴ab=1. 答案:1

4.(15分)如果一个数列的各项都是实数,且从第2项开始, 每一项与它的前一项的平方差是相同的常数,则称该数列为等 方差数列,这个常数叫做这个数列的公方差. (1)设数列{an}是公方差为p的等方差数列,求an和an-1(n≥2)

的关系式;
(2)若数列{an}既是等方差数列,又是等差数列,证明该数列 为常数列.

【解析】(1)由等方差数列的定义可知:a2n-a2n-1=p(n≥2). (2)∵{an}是等差数列,设公差为d,则an-an-1=an+1-an=d(n≥2). 又{an}是等方差数列,∴a2n-a2n-1=a2n+1-a2n (n≥2),∴(an+

an-1)(an-an-1)=(an+1+an)(an+1-an),即d(an+an-1-an+1-an)=
-2d2=0,∴d=0,故{an}是常数列.


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