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江苏省扬州市2013届高三下学期5月考前适应性考试数学试题


江苏省扬州市 2013 届高三下学期 5 月考前适应性考试

理科数学
2013.05 全卷分两部分:第一部分为所有考生必做部分(满分 160 分,考试时间 120 分钟) , 第二部分为选修物理考生的加试部分(满分 40 分,考试时间 30 分钟) . 注意事项: 1. 答卷前,请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方. 2.第一部分试题答案均写在答题卷相应位置,答在其它地方无效. 3.选修物理的考生在第一部分考试结束后,将答卷交回,再参加加试部分的考试.

第一部分
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请将答案填写在答题卷相应的位 置上)

1. 已知集合 A ? {1, 2}, B ? {2, 3} ,则 A ? B ?





2. 若复数 z ?

1 a?2

? ( a ? 4 ) i , ( a ? R ) 是实数,则 a ?
2





3. 已知某一组数据 8, 9,1 1,1 2, x ,若这组数据的平均数为 10,则其方差为





4. 若以连续掷两次骰子得到的点数 m , n 分别作为点 P 的横、纵坐 标,则点 P 在直线 x ? y ? 4 上的概率为 ▲ .

5. 运行如图语句,则输出的结果 T=





T←1 I←3 While I<50 T←T +I I←I +2 End While Print T

6. 若抛物线 y ? 8 x 的焦点与双曲线
2

x

2

? y ? 1 的右焦点重合,则双曲线的离心率为
2

m





1

7. 已 知 一 个 圆 锥 的 底 面 圆 的 半 径 为 1 , 体 积 为 ▲ .
?
3

2 3

2

? ,则该圆锥的侧面积为

8. 将函数 f ( x ) ? 2 s in (? x ?

), (? ? 0 ) 的图象向左平移 ,

?
3?

个单位得到函数 y ? g ( x ) ▲ .

的图象,若 y ? g ( x ) 在 [ ?

?
6

?
4

] 上为增函数,则 ? 最大值为

?x ? y ? 2 ? 9. 已知 O 是坐标原点, A ( ? 1,1) , 点 若点 M ( x , y ) 为平面区域 ? x ? 1 上的一个动点, ?y ? 2 ?

则 O A ?O M 的取值范围是

??? ???? ? ?





2 3 ? ,且 a 1, a 2, a 3 成 10. 数列 { a n } 中, a 1 ? 2 , a n ? 1 ? a n ? cn ( c 是常数, n ? 1,,, )

公比不为 1 的等比数列,则 { a n } 的通项公式是 11. 若对任意 x ? R ,不等式 3 x ? 2 a x ? x ?
2



. ▲ .

3 4

恒成立,则实数 a 的范围

12. 函数 f ( x ) ? ?

? lo g

4

x, x ? 0

? cos x, x ? 0

的图象上关于原点 O 对称的点有



.对.

13. 在平面直角坐标系 x O y 中, 已知点 A 是椭圆

x

2

?

y

2

? 1 上的一个动点, P 在线段 点

25

9

??? ??? ? ? O A 的延长线上,且 O A ? O P ? 7 2 ,则点 P 横坐标的最大值为
2 | x |?x
3 3





14. 从 x 轴上一点 A 分别向函数 f ( x ) ? ? x 与函数 g ( x ) ?
3

引不是水平方向的切

线 l1 和 l 2 ,两切线 l1 、 l 2 分别与 y 轴相交于点 B 和点 C,O 为坐标原点,记△OAB 的 面积为 S 1 ,△OAC 的面积为 S 2 ,则 S 1 + S 2 的最小值为 ▲ .

二、解答题: (本大题共 6 道题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤) 15. (本小题满分 14 分)
2

已知函数 f ( x ) ? 2 3 s in x ? s in ( (1)求 f ( x ) 的最小正周期;

?
2

? x ) ? 2 c o s (? ? x ) ? c o s x ? 2 .

(2) ? ABC 中,a , b , c 分别是 ? A、? B、? C 的对边, f ( A ) ? 4 ,b ? 1 ,? ABC 在 若 的面积为
3 2

,求 a 的值.

16. (本小题满分 14 分) 已知直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AD⊥平面 A1BC,其垂足 D 落 在直线 A1B 上.

(1)求证:平面 A1BC⊥平面 ABB1A1; (2) AD 若 的体积。
? 3

, AB=BC=2, 为 AC 中点, P 求三棱锥 P ? A1 B C

3

17. (本小题满分 15 分) 某地区注重生态环境建设,每年用于改造生态环境总费用为 x 亿元,其中用于风景区 改造为 y 亿元。 该市决定建立生态环境改造投资方案, 该方案要求同时具备下列三个条件: ①每年用于风景区改造费用随每年改造生态环境总费用增加而增加;②每年改造生态环境 总费用至少 a 亿元,至多 b 亿元;③每年用于风景区改造费用不得低于每年改造生态环境 总费用的 15%,但不得每年改造生态环境总费用的 22%。 (1)若 a ? 2 , b ? 2 .5 ,请你分析能否采用函数模型 y= 境改造投资方案; (2)若 a 、 b 取正整数,并用函数模型 y= 案,请你求出 a 、 b 的取值.
1 100 ( x ? 4 x ? 1 6 ) 作为生态环境改造投资方
3

1 100

( x ? 4 x ? 1 6 ) 作为生态环
3

18. (本小题满分 15 分) 椭圆 C 的右焦点为 F , 右准线为 l , 离心率为 为半径的圆与 l 的两个公共点是 B , D . (1)若 ? F B D 是边长为 2 的等边三角形,求圆的方程; (2)若 A , F , B 三点在同一条直线 m 上,且原点到直线 m 的距离为 2 ,求椭圆方程.
3 2

, A 在椭圆上, F 为圆心,F A 点 以

4

19. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x ) ? x ? ln x , g ( x ) ? ln x ? (1)求函数 g ( x ) 的极值;
f ( x ) ? f ( x1 ) x ? x1
a x

, a ? 0) ( .

(2)已知 x1 ? 0 ,函数 h ( x ) ? 性; (3)设 0 ? x1 ? x 2 ,试比较 f (

, x ? ( x1 , ? ? ) ,判断并证明 h ( x ) 的单调

x1 ? x 2 2

)与

1 2

[ f ( x 1 ) ? f ( x 2 )] ,并加以证明.

20. (本小题满分 16 分) 设满足以下两个条件的有穷数列 a 1 , a 2 , ? ? ?, a n 为 n ( n ? 2, 3, 4, ? ) 阶“期待数列” : ① a 1 ? a 2 ? a 3 ? ? ? a n ? 0 ;② a 1 ? a 2 ? a 3 ? ? ? a n ? 1 . (1)若等比数列 { a n } 为 2 k ( k ? N * )阶“期待数列” ,求公比 q ; (2)若一个等差数列 { a n } 既是 2 k ( k ? N * )阶“期待数列”又是递增数列,求该数列的 通项公式; (3)记 n 阶“期待数列” { a i } 的前 k 项和为 S k ( k (ⅰ)求证: | S k |?
1 2 1 2
? 1, 2, 3, ? , n )



; ,试问数列 { S i } 能否为 n 阶“期待数列”?

(ⅱ)若存在 m ? {1, 2, 3, ? , n } 使 S m ?

若能,求出所有这样的数列;若不能,请说明理由.
5

第二部分(加试部分)
(总分 40 分,加试时间 30 分钟) 注意事项: 答卷前,请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答题卷上规定的位 置.解答过程应写在答题卷的相应位置,在其它地方答题无效. 21.B 选修 4 - 2:矩阵与变换(本题满分 10 分) 已知矩阵 A ? ?
?2 ?0 1? ?1 0 ? 2 ? ,向量 b ? ? ? .求向量 a ,使得 A a ? b . 1? 2 ? ?

21.C 选修 4 - 4:坐标系与参数方程(本题满分 10 分) 在直角坐标系 x O y 内,直线 l 的参数方程为 ?
? x ? 2 ? 2t, ? y ? 1 ? 4t,

(t 为参数 ) .以 O x 为极轴建

立极坐标系,圆 C 的极坐标方程为 ? ? 2 2 s in (? ?

?
4

) .判断直线 l 和圆 C 的位置关系.

22. (本题满分 10 分) 某高校设计了一个实验学科的实验考查方案:考生从 6 道备选题中一次性随机抽取 3 题, 按照题目要求独立完成全部实验操作。 规定: 至少正确完成其中 2 题的便可提交通过。 已知 6 道备选题中考生甲有 4 道题能正确完成,2 道题不能完成。 (1)求出甲考生正确完成题数的概率分布列,并计算数学期望; (2)若考生乙每题正确完成的概率都是
2 3

,且每题正确完成与否互不影响。试从至少正

确完成 2 题的概率分析比较两位考生的实验操作能力.

23. (本题满分 10 分) (1)设 x ? ? 1 ,试比较 ln (1 ? x ) 与 x 的大小;
1

(2)是否存在常数 a ? N ,使得 a ?

? (1 ? n
k ?1

n

1 k

) ? a ? 1 对任意大于 1 的自然数 n 都成
k

立?若存在,试求出 a 的值并证明你的结论;若不存在,请说明理由。

6

参考答案 第一部分
2013.05 1. ?1, 2, 3? 2. ? 2
2 3 3

3. 2

4.

1 12

5.625

6.

7. 3 ?

8. 2 11. ? 1 ? a ? 1

9. [0, 2 ] 12.3 13. 1 5

10. a n ? n 2 ? n ? 2

提示:设 O P ? ? O A ( ? ? 1) ,由 O A ? O P ? ? ? O A ? 7 2 ,得 ? ?
xP ? ? ? xA ? 72 xA ? yA
2 2

??? ?

??? ?

??? ??? ? ?

??? 2 ?

72 OA
2


72

? xA =

72 9? 9 25 ? xA ? xA
2 2

? xA = 9?

72 16 25 ? xA
2

? xA =

9 xA

?

16 25


? xA

研究点 P 横坐标的最大值,仅考虑 0 ? x A ? 5 ,
xP ? 72 2? 12 5 ? 1 5 (当且仅当 x A ?
15 4

时取“=”) .

14.8 提示: g ( x ) ?
3

1 x
3

, ( x ? 0 ) ,设两切点分别为 ( m , ? m ) , ( n ,
3
2 2 3

1 n
3

) , m ? 0 ,n ? 0 ) ( ,
3

l1 : y ? m ? ? 3 m ( x ? m ) ,即 y ? ? 3 m x ? 2 m ,令 x ? 0 ,得 y B ? 2 m ;

令 y ? 0 ,得 x ?
y l2 : ? 1 n
3

2 3

m. 3 n
4

? ? 2 3

3 n
4

(x ? n) , y ? ? 即 4 3

x?

4 n
3

, x ? 0 , yC ? 令 得

4 n
3

; y ? 0, x ? 令 得

4 3

n.

依题意,

m ?

n ,得 m ? 2 n , (| y B | ? | y C |) ? x A = 1 2
7

f (n) ? S1 + S 2 =

1 2

(2m ?
3

4 n
3

)?

4 3

n=

8 3

(4n ?
4

1 n
2

),

f '( n ) =

8 3

(1 6 n ?
3

2 n
3

) ,可得当 n ?

2 2

时, f ( n ) 有最小值 8.

15. 解: (1) f ( x ) ?
?

3 sin 2 x ? 2 co s x ? 2
2

3 s in 2 x ? c o s 2 x ? 3 ? 2 s in ( 2 x ? 2? 2 ??.

?
6

)?3

················ 4 分

?T ?

···························· 6 分
?
6 ) ? 3 ? 4 ,? sin( 2 A ?

(2)由 f ( A ) ? 4 ,? f ( A ) ? 2 sin( 2 A ? 又? A 为 ? ABC 的内角,?
? 2A ?

?
6

)?

1 2

.

?
6

? 2A ?

?
6

?

13 6

? ,

?
6

?

5 6
3 2

? ,? A ?

?
3

.

······················· 8 分
3 2

? S ? ABC ?

, b ? 1 ,?

1 2

bc sin A ?

,? c ? 2

············ 11 分

a

2

? b ? c ? 2 b cos A ? 1 ? 4 ? 2 ? 1 ? 2 ?
2 2

1 2

? 3 ,? a ?

3.

········· 14 分

16.证:直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,A A1⊥平面 ABC, ∴A A1⊥BC, ∵AD⊥平面 A1BC, ∴AD⊥BC, ∵A A1 ,AD 为平面 ABB1A1 内两相交直线, ∴BC⊥平面 ABB1A1, 又∵ B C ? 平面 A1BC, ∴平面 A1BC⊥平面 ABB1A1 ···································· 7 分 (2) 由等积变换得 V P ? A B C ? V A ? P B C ,
1 1

在直角三角形 A1 A B 中,由射影定理( AB ∵ A A1 ? 平 面 P B C ,

2

? BD ? BA 1 )知 AA 1 ? 2 3



8

∴三棱锥的高为 A A1

? 2 3

························ 10 分

又∵底面积 S ? P B C ? 1 ··························· 12 分 ∴V P ? A BC ? V A ? PBC =
1 1

1 3

S ? P B C ? A A1 ?

2 3 3

·················· 14 分
P Q // A D , P Q ? 1 2 AD

法二:连接 C D ,取 C D 中点 Q ,连接 P Q ,∵P 为 AC 中点,?
3 2

? AD ?

3 ,? P Q ?

,

························· 9 分

由(1)AD⊥平面 A1BC,∴ P Q ⊥平面 A1BC, ∴ P Q 为三棱锥 P- A1BC 的高, ······················· 11 分 由(1)BC⊥平面 ABB1A1 ? B C ? B A1 ,? S ? P B C
? V P -A ? 2 3 3
? 4

············ 12 分

1B C

, ····························· 14 分
1 100 (3 x ? 4 ) ? 0 ,
2

17.解: (1)∵ y ' ? ∴函数 y= 设 g (x) ?
y x 1 100 ? 1

( x ? 4 x ? 1 6 ) 是增函数,满足条件①。 ············ 3 分
3

(x ? 4 ?
2

16 x

),
2

100

则 g '( x ) ?

1 100

(2 x ?

16 x
2

) ?

( x ? 2 )( x ? 2 x ? 4 ) 50 x
2



令 g '( x ) ? 0 ,得 x ? 2 。 当 x ? 2 时, g '( x ) ? 0 , g ( x ) 在 ( ? ? , 2 ) 上是减函数; 当 x ? 2 时, g '( x ) ? 0 , g ( x ) 在 ( 2, ? ? ) 上是增函数, 又 a ? 2 , b ? 2 .5 ,即 x ? [ 2 , 2 .5 ] , g ( x ) 在 [ 2 , 2 .5 ] 上是增函数, ∴当 x ? 2 时, g ( x ) 有最小值 0.16=16%>15%, 当 x ? 2 .5 时, g ( x ) 有最大值 0.1665=16.65%<22%,

9

∴能采用函数模型 y= (2)由(1)知 g ( x ) ?
y x ? 1

1 100

( x ? 4 x ? 1 6 ) 作为生态环境改造投资方案。 ····· 9 分
3

(x ? 4 ?
2

16 x

),

100

依题意,当 x ? [ a , b ] , a 、 b ? N * 时, 1 5 % ? g ( x ) ? 2 2 % 恒成立; 下面求 1 5 ? x ? 4 ?
2

16 x

? 2 2 的正整数解。

令 h(x) ? x ? 4 ?
2

16 x

, ·························· 12 分

由(1)知 x ? N , h ( x ) 在 ( ? ? , 2 ) 上是减函数,在 ( 2, ? ? ) 上是增函数,
*

又由(1)知,在 x ? 0 时, g ( x ) m in ? g ( 2 ) ,且 g ( 2 ) =16%∈[15%,22%],
? x ? 2 合条件,经枚举 g (1) , g (3) ∈[15%,22%],

而 g ( 4 ) ? [15%,22%],可得 x ? 1 或 x ? 2 或 x ? 3 , 由 g ( x ) 单调性知 a ? 1, b ? 2 或 a ? 1, b ? 3 或 a ? 2 , b ? 3 均合题意。 ······ 15 分

18.解:设椭圆的半长轴是 a ,半短轴是 b ,半焦距离是 c , 由椭圆 C 的离心率为
3 2

,可得椭圆 C 方程是

x

2 2

?

y b

2 2

? 1 , ········· 2 分

4b

(只要是一个字母,其它形式同样得分, ) 焦点 F ( 3 b , 0 ) ,准线 x ?
4b 3

,设点 A ( x 0 , y 0 ) ,

(1) ? F B D 是边长为 2 的等边三角形, 则圆半径为 2 ,且 F 到直线 l 的距离是 3 , 又 F 到直线 l 的距离是 F M ?
a
2

?c ?

b

2

?

b 3



c
b 3

c

所以,

?

3 ,b ? 3 ,

10

所以 c ? 3 3 所以,圆的方程是 ( x ? 3 3 ) ? y ? 4 。 ·················· 6 分
2 2

(2)因为 A , F , B 三点共线,且 F 是圆心,所以 F 是线段 A B 中点,
4b 3
x0 4b
2 2

由 B 点横坐标是

得, x 0 ? 2 c ?

a

2

? 2 3b ?

4 3

3b ?

2 3

3 b , ······· 8 分

c
2

再由

?

y0 b

2

2

? 1 得: y 0 ? b ?
2 2

x0 4

?

2 3

b , y0 ?
2

6 3

b,

6

所以直线 m 斜率 k ?

y0 x0 ? c

b ? ? 3b 2 ················· 10 分

? ?

3 3

直线 m : y ? ? 2 ( x ? c ) , 2 x ? y ?
2c 3

2c ? 0

··············· 12 分

原点 O 到直线 m 的距离 d ?



依题意

2c 3

? 2 ,c ?

6 ,所以 b ?

2 ,

所以椭圆的方程是

x

2

?
a x
2

y

2

? 1 . ······················ 15 分
x?a x
2

8

2
?

19.解: (1) g '( x ) ?

1 x

?

,令 g '( x ) ? 0 ,得 x ? a .

当 x ? (0 , a ) 时, g '( x ) ? 0 , g ( x ) 是减函数; 当 x ? ( a , ? ? ) 时, g '( x ) ? 0 , g ( x ) 是增函数. ∴当 x ? a 时, g ( x ) 有极小值 ln a ? 1 , g ( x ) 无极大值. ··········· 4 分
f '( x )( x ? x1 ) ? f ( x ) ? f ( x1 ) ( x ? x1 )
2

(2) h '( x ) ?

11

(1 ?

1 x

)( x ? x1 ) ? x ? ln x ? x 1 ? ln x 1 ( x ? x1 )
x1 x
2

x1

=

=

x

? ln x ? 1 ? ln x1 ( x ? x1 )
2



由(1)知 ? ( x ) ?

? ln x 在 [ x1 , ? ? ) 上是增函数,

当 x ? ( x1 , ? ? ) 时, ? ( x ) ? ? ( x1 ) ,
x1 x ? ln x ? 1 ? ln x1 ,



∴ h '( x ) ? 0 ,即 h ( x ) 在 ( x1 , ? ? ) 上是增函数. ················ 10 分 (3) 0 ? x1 ? x ? x 2 ,由(2)知, h ( x ) ?
f ( x 2 ) ? f ( x1 ) x 2 ? x1
x1 ? x 2 2

f ( x ) ? f ( x1 ) x ? x1

在 ( x1 , ? ? ) 上是增函数,



?

f ( x ) ? f ( x1 ) x ? x1
x1 ? x 2 2 )?



令x ?

得, f (

1 2

[ f ( x1 ) ? f ( x 2 )] . ············· 16 分

20.解: (1)若 q ? 1 ,则由① a 1 ? a 2 ? ? ? a 2 k ? 由②得 a 1 ?
1 2k

a 1 (1 ? q 1? q

2k

)

=0,得 q ? ? 1 ,

或 a1 ? ?

1 2k



若 q ? 1 ,由①得, a 1 ? 2 k ? 0 ,得 a 1 ? 0 ,不可能. 综上所述, q ? ? 1 . (2)设等差数列 a1 , a 2 , a 3 , ? , a 2 k ( k ? 1) 的公差为 d , d >0. ∵ a 1 ? a 2 ? ? ? a 2 k ? 0 ,∴ ∴ a1 ? a 2 k ? a k ? a k ? 1 ? 0 , ∵ d >0,由 a k ? a k ? 1 ? 0 得 a k ? 0 , a k ? 1 ? 0 ,
12

2 k ? ( a1 ? a 2 k ) 2

? 0,

由题中的①、②得 a 1 ? a 2 ? ? ? a k ? ?

1 2


1 2

a k ?1 ? a k ? 2 ? ? ? a 2 k ?



两式相减得, k ? d ? 1 , ∴ d ?
2

1 k
2


2k ? 1 2k 1 k
2 2

又 a1 ? k ?

k ( k ? 1) 2

?d ? ?

1 2 2k

,得 a 1 ? ?
? ( i ? 1) ?

, .

∴ a i ? a 1 ? ( i ? 1) ? d ? ?

2k ? 1
2

?

?2k ? 1 ? i 2k
2

(3)记 a 1 , a 2 ,?, a n 中非负项和为 A ,负项和为 B , 则 A ? B ? 0 , A ? B ? 1 ,得 A ? (ⅰ) ?
1 2 ? B ? Sk ? A ? 1 2

1 2

,B ? ?
1 2

1 2



,即 | S k |?
1 2



(ⅱ)若存在 m ? {1, 2, 3, ? , n } 使 S m ?

,由前面的证明过程知:

a 1 ? 0 , a 2 ? 0 ,?, a m ? 0 , a m ? 1 ? 0 , a m ? 2 ? 0 ,?, a n ? 0 ,

且 a m ?1 ? a m ? 2 ? ? ? a n ? ? 记数列 { S i }

1 2

. 项和为 T k ,

( i ? 1, 2, 3, ? , n ) 的前 k

则由(ⅰ)知, | T k |?

1 2


1 2

∴ T m = S1 ? S 2 ? ? ? S m ?

,而 S m ?

1 2


1 2

∴ S 1 ? S 2 ? ? ? S m ? 1 ? 0 ,从而 a1 ? a 2 ? ? ? a m ? 1 ? 0 , a m ? 又 a m ?1 ? a m ? 2 ? ? ? a n ? ? 则 S m ?1 , S m ? 2 , ? , S n ? 0 , ∴ S1 ? S 2 ? S 3 ? ? ? S n ? S1 ? S 2 ? S 3 ? ? ? S n ,
1 2





S 1 ? S 2 ? S 3 ? ? ? S n ? 0 与 S 1 ? S 2 ? S 3 ? ? ? S n ? 1 不能同时成立,

? ) 所 以 , 对 于 有 穷 数 列 a 1 , a 2 , ? ? ?, a n ( n ? 2 , 3 , 4 , , 若 存 在 m ? {1, 2, 3, ? , n } 使
13

Sm ?

1 2

,则数列 { a i } 和数列 { S i }

( i ? 1, 2, 3, ? , n ) 不能为 n

阶“期待数列” .

第二部分(加试部分)
21.B 解: A ? ?
2

?2 ?0

1? ? 1?

?2 ? ?0

1? ? 4 ? ? ? 1? ?0 ?4 ?0

3? ?, 4分 1? 3? ? x ? ?1 0 ? ? ? ? ? ? ?, 1? ? y ? ? 2 ?

2 设 a ? ? ? ,由 A a ? b 得 ?

?x? ?y?

即?

?4 x ? 3 y ? 10 ?y ? 2 ?x ? 1 ?y ? 2

, ···························· 8 分

解得 ?

,所以 a ? ? ? ························ 10 分
?2?

?1 ?

21.C 解: 将 ?

? x ? 2 ? 2t, ? y ? 1 ? 4t,

消去参数 t ,得直线 l 的直角坐标方程为 y ? 2 x ? 3 ; 3 分

由 ? ? 2 2 (sin ? ? 两边同乘以 ? 得 ?
2

?
4

) ,即 ? ? 2 (sin ? ? cos ? ) ,

? 2 ( ? sin ? ? ? cos ? ) ,
2 2

所以⊙ C 的直角坐标方程为: ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 2
| 2 ?1? 3 | 2 ?1
2 2

············· 7 分

又圆心 C 到直线 l 的距离 d ?

?

2 5 5

?

2,

所以直线 l 和⊙ C 相交. ························· 10 分 22.解:(Ⅰ)设考生甲正确完成实验操作的题数分别为 X , 则 X ~ H (3, 4, 6 ) ,所以 P ( X ? k ) ?
C4C2 C6
3 k 3? k

, k ? 1, 2 , 3 ··········· 2 分

所以考生甲正确完成实验操作的题数的概率分布列为:
X
P

1
1 5
14

2
3 5

3
1 5

E ( X ) ? 1?

1 5

? 2?

3 5

? 3?

1 5

? 2 ; ····················· 4 分

(Ⅱ)设考生乙正确完成实验操作的题数为 Y ,则
Y ~ B (3, 2
k 2 k 1 3? k ) ,所以 P ( Y ? k ) ? C 3 ( ) ( ) , k ? 0,1, 2, 3 ·········· 6 分 3 3 3

P (Y ? 2 ) ?

12 27

?

8 27

?

20 27

又 P ( X ? 2) ?

3 5

?

1 5

?

4 5

, 且 P ( X ? 2 ) ? P (Y ? 2 ) , ············· 8 分

从至少正确完成 2 题的概率考察,甲通过的可能性大, 因此可以判断甲的实验操作能力较强。 ····················· 10 分 23.解: (Ⅰ)设 f ( x ) ? x ? ln (1 ? x ) ,则 f '( x ) ? 1 ? 当 x ? ( ? 1, 0 ) 时, f '( x ) ? 0 , f ( x ) 单调递减; 当 x ? (0, ? ? ) 时, f '( x ) ? 0 , f ( x ) 单调递增; 故函数 f ( x ) 有最小值 f (0 ) ? 0 ,则 ln (1 ? x ) ? x 恒成立 ············ 4 分 (Ⅱ)取 m ? 1, 2, 3, 4 进行验算:
1 1 (1 ? ) ? 2 1 (1 ? (1 ? (1 ? 1 2 1 3 1 4 ) ?
4

1 1? x

?

x x ?1



) ?
2

9 4 64 27

? 2 .2 5 ? 2 .3 7 ? 2 .4 4 )
m

) ?
3

625 256 1 m

猜测:① 2 ? (1 ?

? 3 , m ? 2 , 3, 4 , 5, ?

②存在 a ? 2 ,使得 a ?

1

? (1 ? n
k ?1

n

1 k

) ? a ? 1 恒成立。 ············ 6 分
k

证明一:对 m ? N ,且 m ? 1 ,
15

有 (1 ?

1 m

)

m

? Cm ? Cm (
0 1

1 m
2

) ? ?Cm (
2

1 m

) ? ? ? Cm (
2 k

1 m

) ? ? ? Cm (
k m

1 m

)

m

? 1?1? ?

m ? m ? 1? 2!

(

1 m

) ?? ?

m ? m ? 1?? ? m ? k ? 1? k!

(

1 m

) ?? ?
k

m ? m ? 1?? 2 ?1 1 m ( ) m! m
m ?1? ? ?1 ? ? m ? ?

? 2?

1 ? 1 ? 1 ? 1 ?? 2 ? ?1 ? ??? ? ?1 ? ? ?1 ? ?? 2!? m ? k !? m ?? m ?

k ?1? 1 ? 1 ? ? ?1 ? ??? ? ?1 ? ?? m ? m !? m ? ?

? 2?

1 2!

?

1 3!

?? ?

1 k!

?? ?

1 m!

? 2?

1 2 ?1

?

1 3? 2

?? ?

1 k ? k ? 1?

?? ?

1 m ? m ? 1?

1? ?1 1? 1? 1 ? ? ? 1 ? 1 ? 2 ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? 2? ?2 3? ? ? k ?1 k ? ? m ?1 m ?
? 3? 1 m ? 3 1 m ) ? 0 ? k ? 2 , 3, 4 , ? , m ? ,
k

又因 C m (
k

故 2 ? (1 ?

1 m

)

m

? 3 ···························· 8 分

从而有 2 n ?

?
k ?1

n

(1 ?

1 k

) ? 3 n 成立,即 a ?
k

1

? (1 ? n
k ?1

n

1 k

) ? a ?1
k

所以存在 a ? 2 ,使得 a ? 证明二:

1

? (1 ? n
k ?1

n

1 k

) ? a ? 1 恒成立
k

············ 10 分

由(1)知:当 x ? (0 ,1] 时, ln (1 ? x ) ? x , 设x ?
1 k

, k ? 1, 2, 3, 4, ? ,
1 k )? 1 k 1 k 1 k

则 ln (1 ?

,所以 k ln (1 ?

1 k

) ? 1 , ln (1 ?

1 k

) ? 1 , (1 ?
k

1 k

) ? e?3,
k

当 k ? 2 时,再由二项式定理得:
(1 ? 1 k ) ? Ck ? Ck (
k 0 1

) ? Ck (
2

) ? ? ? Ck (
2 k

1

k 0 1 1 ) ? Ck ? Ck ( ) ? 2 k k

16

即 2 ? (1 ?

1 k

) ? 3 对任意大于 1 的自然数 k 恒成立, ·············· 8 分
k

从而有 2 n ?

?
k ?1

n

(1 ?

1 k

) ? 3 n 成立,即 a ?
k

1

? (1 ? n
k ?1

n

1 k

) ? a ?1
k

所以存在 a ? 2 ,使得 a ?

1

? (1 ? n
k ?1

n

1 k

) ? a ? 1 恒成立
k

············ 10 分

17


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