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1.1.1 集合的含义与表示


保山曙光学校高一数学必修 1

李华

教学设计

§ 1.1.1 集合的含义与表示
一、 内容与解析

(一)内容:集合的含义与表示 (二)解析:集合是近代数学最基本的内容之一,许多重要的数学分支都建立在集合理论
的基础上,它还渗透到自然科学的许多领域,其术语的科技文章和科普读物中比比 皆是,学习它可为参阅一般科技读物和以后学习数学知识准备必要的条件。 二、 教学目标及解析

(一)教学目标 (1) 使学生明确本章学习的重要性,初步理解集合、元素等概念,掌握集合的表示
方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征。

(2) 解析: 用集合的观点研究数学, 是使数学研究的内容站在一个更系统的方向上,
是学习数学的基础,本节是一些基本概念,必须掌握好。 三、 问题诊断分析

集合的含义与表示,在高考中主要考查集合的三个特性、集合的表示法等,题型多以 选择题和填空题为主,难度较小.虽然有时不直接考查,但也会作为集合的基础知识,渗透 到解答题中与函数、方程、不等式等综合考查. 集合作为数学学习的基础,是必须学好,也 必须透彻理解的一部分知识. 四、 教学支持条件分析

在本节课一次递推的教学中,准备使用 PowerPoint 2003。因为使用 PowerPoint 2003, 有利于提供准确、最核心的文字信息,有利于帮助学生顺利抓住老师上课思路,节省老师板 书时间,让学生尽快地进入对问题的分析当中。 五、 教学过程

1.集合有关概念的教学: 考察几组对象:① 1~20 以内所有的质数;② 到定点的距离等于定长的所有点;③所 有的锐角三角形;④ x , 3x+2, 5y -x, x +y ;⑤东升高中高一级全体学生; ⑥方程
2 3 2 2

x 2 ? 3x ? 0 的所有实数根;⑦ 隆成日用品厂 2005 年 8 月生产的所有童车;⑧2005 年 1 月,
广东所有出生婴儿。 A.提问:各组对象分别是一些什么?有多少个对象?(数、点、形、式、体、解、物、人) B.定义:一般地,我们把研究对象统称为元素(element),把一些元素组成的总体叫作集

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合(set) (简称集) 。 C.讨论集合中的元素的特征: 分析“好心的人”与“1,2,1”是否构成集合?→结论:对于一个给定的集合,集合中的 元素是确定的,是互异的,是无序的。即集合元素三特征。 确定性:某一个具体对象,它或者是一个给定的集合的元素,或者不是该集合的 元素,两种情况必有一种且只有一种成立。 互异性:同一集合中不应重复出现同一元素。 无序性:集合中的元素没有顺序。 D.分析下列对象,能否构成集合,并指出元素: 不等式 x-3>0 的解;3 的倍数;方程

x2-2x+1=0 的解; a,b,e,x,y,z;最小的整数;周长为 10cm 的三角形;中国古代四大发明; 全班每个学生的年龄;地球上的四大洋;地球的小河流 E. 集合相等:构成两个集合的元素是一样的. 2.集合的字母表示: ① 集合通常用大写的拉丁字母表示,集合的元素用小写的拉丁字母表示。 ② 如果 a 是集合 A 的元素,就说 a 属于(belong to)集合 A,记作:a∈A; 如果 a 不是集合 A 的元素,就说 a 不属于(not belong to)集合 A,记作:a ?A。 ③ 练习:设 B={1,2,3,4,5},则 5 3.最常见的数集: ① 分别写出全体自然数、全体整数、全体有理数、全体实数的集合。 ② 这些数集是最重要的,也是最常见的,我们用符号表示:N、Z、Q、R。 ③ 正整数集的表示,在 N 右上角加上“*”号或右下角加上“+”号。 4. 列举法的教学: ① 比较:{方程 x 2 ? 1 ? 0 的根}、 {?1,1} 、 {x ? R | x2 ? 1 ? 0} ② 列举法:把集合的元素一一列举出来,并用花括号“{ }”括起来。→P4 例 1 ③ 练习:分别表示方程 x(x 2 -1)=0 的解的集合、15 以内质数的集合。 注意:不必考虑顺序,“,”隔开;a 与{a}不同。 5. 描述法的教学: ① 描述法:用集合所含元素的共同特征表示集合的方法,一般形式为 {x ? A | P} ,其中 x 代表元素,p 是确定条件。 →P5 例 2 ② 练习: A.“不等式 x-3>0 的解”与“抛物线 y=x -1 上的点的坐标”用描述法表示 B. 用描述法表示方程 x(x 2 -1)=0 的解的集合、方程组 ?
?3 x ? 2 y ? 2 解集。 ?2 x ? 3 y ? 27
2

B,0.5

B, 3

B, -1

B。

C.用描述法表示:所有等边三角形的集合、方程 x 2 +1=0 的解集。

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简 写 原 则 : 从 上 下 文 关 系 来 看 , x?R 、 x?Z 明 确 时 可 省 略 , 如

{x | x ? 3k ? 2, k ? Z } , {x | x ? 0}
强调:描述法表示集合应注意集合的代表元素,如{(x,y)|y= x2+3x+2}与 {y|y= x2+3x+2} 不同,只要不引起误解,集合的代表元素也可省略,例如:{整数},即代表整数集 Z。 辨析:这里的{ }已包含“所有”的意思,所以不必写{全体整数}。下列写法{实数集}, {R}也是错误的。 说明:列举法与描述法各有优点,应该根据具体问题确定采用哪种表示法,要注意,一 般集合中元素较多或有无限个元素时,不宜采用列举法。 ④练习:试用适当的方法表示方程 x 3 -8x=0 的解集。 六、类型题探究

题型一

集合的概念与特征

例 1 分析下列各组对象能否构成集合: (1)与 2010 接近的数; (2)一次函数 y ? kx ? b(k ? 0) 的图象上的若干个点; (3)正比例函数 y ? x 与反比例函数 y ? (4)面积比较小的三角形. 【思维导图】 判断所给的对象 是否具有确定性 有确定性则能构成集合, 否则不能.

1 的图象的交点; x

【解答关键】判断对象是不是确定的,关键找到是否有一个衡量的标准. 【规范解答】 “接近的数”、 “若干个点” “面积比较小”都是模糊的概念,因此与之对应的对 象都是不确定的,自然它们不能构成集合,故(1) 、 (2 ) 、 (4)不能构成集合.而(3)中正 比例函数 y ? x 与反比例函数 y ?

1 的图象交点为 (1,1) ,(?1, ?1) ,所以这两个函数的图象 x

的交点能构成集合. 【技巧感悟】 判断一组对象能否构成集合, 关键是看其对象是否满足集合中元素的三个特征, 特别是看是否满足确定性. 【活学活用】1.(广东始兴中学 09-10 高一月考)在“①高一数学课本中的难题;②所有的正三 角形;③方程 x ? 2 ? 0 的实数解”中,能够构成集合的是(
2

)

A.② B.③ C.②③ D.①②③ 1. C 解析:①课本中的难题没有明确的标准,不满足集合的确定性.②③都是集合.

题型二

集合与元素的关系
2

例 2 已知 x ?{1,0, x} ,求实数 x 的取值范围. 【思维导图】 集合 {1, 0, x} 集合的互异性

x ? 1, x ? 0

结论

x2 ?{1,0, x} 集合的确定性 x2 ? 1, x ? 0, x2 ? x

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【解答关键】由确定性可知 x ? 0 , 1 或 x ,由互异性可知 x ? 1, x ? 0 .
2

【规范解答】 (1)若 x ? 0 ,则 x ? 0 ,此时集合为 {1, 0, 0} ,不符合集合中元素的互异性,舍去.
2

(2)若 x ? 1 ,则 x ? ?1 .
2

①当 x ? 1 时,集合为 {1, 0,1} ,舍去; ②当 x ? ?1 时,集合为 {1, 0, ?1} ,符合.
2 (3)若 x ? x ,则 x ? 0 或 x ? 1 .由上可知, x ? 0 和 x ? 1 都不符合题意.

综上所述, x ? ?1 . 【技巧感悟】 在应用集合中元素的特征解题时, 应首先考虑确定性, 再结合互异性进行检验, 否则很容易出错.这一点必须在学习中引起足够的重视. 【思维方法】对于解决集合中元素含参数的问题,一定要全面思考.分类讨论思想是中学数 学中的一种重要的数学思想,我们一定要在以后的学习中熟练掌握. 【活学活用】2.已知集合 A ? {a ? 2,(a ? 1)2 , a 2 ? 3a ? 3}且 1 ? A ,求实数 a 的值. 2.解析:由题意,得 1 ? A .
2 当 a ? 2 ? 1 时, a ? ?1 ;当 (a ?1) 2 ?1 时, a ? ?2 或 a ? 0 ;当 a ? 3a ? 3 ?1 时, a ? ?2

或 a ? ?1 .由集合元素的互异性知 a ? ?1 且 a ? ?2 , ? a ? 0.

题型三 集合的表示方法
例 3 试选用适当的表示方法表示下列集合. (1)一次函数 y ? ? x ? 3 与 y ? 2 x ? 6 的图象的交点组成的集合; (2)用描述法表示二次函数 y ? x ? 2x ? 4 的函数值组成的集合.
2

选择合适方法表示集合 【思维导图】 分析元素的性质 【解答关键】在表示集合时,要根据题意选择适当的表示方法,要看清楚集合中的元素是什 么,元素满足什么条件(共同特征),区分符号语言所表达的含义. 【规范解答】 ( 1 )因为 ?( x, y ) | ?

? ?

? y ? ? x ? 3? ? ? {(?1,4)} ,从而由一次函数 y ? ? x ? 3 与 ? y ? 2 x ? 6?

y ? 2 x ? 6 的图象的交点组成的集合为 {(?1,4)}.
( 2 ) 因 为 { y | y ? x ? 2x ? 4} ? { y | y ? ( x ?1) ? 3} ? { y | y ? 3} , 从 而 由 二 次 函 数
2 2

y ? x2 ? 2x ? 4 的函数值组成的集合为 { y | y ? 3}.
【知识归纳】(1)把集合中的元素一一列举出来写在大括号内的方法叫做列举法.在使用列举 法时应注意:①元素间用“,”分隔;②元素不重复、无顺序;③对于含有限个元素且元素个

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数较少的集合宜采用列举法; 如果元素的个数较多或无限个且构成集合的元素具有明显的规 律时,也可以使用列举法,但必须把元素的规律显示清楚后才能用省略号.

{x ? D | x 适合的条件 (2)用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法.其形式为:
} , 其中 x 叫做代表元素,D 为 x 的限制范围, 其含义为所有适合该条件的对象构成的集合.
【误区警示】在使用描述法时应注意:①弄清楚元素所具有的形式(即代表元素是什么),是 数集、点集,还是其他形式;②准确地说明该集合中元素的特征;③应对其代表元素进行说

{ x, y) | (1, 2)} ,事实上它应表示为 {( x, y) | x ? 1, y ? 2} , 明.如下面的表示方法是错误的:(
或表示为{(1,2)}. 【活学活用】3. (1)用列举法表示集合 {( x, y) | x ? y ? 3, x, y ? N} .(2)用描述法表示 方程 x ? 2 x ? 4 ? 0 的解组成的集合.
2

3.解析: ( 1 ) 令 x ? 0,1, 2,3 , 则 对 应 y 的 值 为 3, 2,1, 0 . 所 以 用 列 举 法 表 示 集 合 为

?(0,3),(3,0),(1,2),(2,1)? .(2)此方程的 ? ? 22 ? 4 ? 4 ? 0 ,故方程无解,其解集可表示
为? .

(二)小结
七、目标检测

1. (福建福州八中 09-10 期中)已知集合 A ? {x | x( x ? 2) ? 0} ,那么 (
A. 0 ? A 1.A B. 2 ? A C. ?1 ? A D. 0 ? A

)

解析:可知 A ? {0, 2} ,故选应选 A. )

2.已知集合 S 中三个元素 a, b, c 是 ?ABC 的三边长,那么 ?ABC 一定不是( A.锐角三角形 2.D B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形

解析:若 ?ABC 为等腰三角形,则 a, b, c 中至少有两个相等,根据集合中元素的

互异性可知, a, b, c 中不可能有两个相等,故选 D. 3.(山东聊城实验中学 09-10 期中)下列四个说法中,正确的个数是 ① 0 ? N? ; ③ 若 a ? N ,则 ?a ? N ; A. 0
3. B





② 0 ?{(0,0)}; ④ 集合 A={x | x ? 2 x ? 1 ? 0 }含有 2 个元素
2

B. 1

C. 2

D. 3

解析: {(0,0)} 是由点 (0,0) 构成的单元素集,而 0 是一个数,不是点,从而②错误;

则当 a ? 0 时,③不正确;④中的集合只有一个元素,故选 B.

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4.下列集合中表示同一个集合的是( A. M ? {1,2}, N ? {(1,2)} C. M ? {1, 2}, N ? {2,1}



B. M ? { y | y ? x ? 1, x ? R}, N ? { y | y ? x ? 1, x ? N} D. M ? {( x, y ) |

y ?1 ? 1}, N ? {( x , y ) | y ? 1 ? x ? 2} x?2

4. C 解析:集合中元素满足无序性. 5.集合 A ? {x ? N | A. 1 , 2 , 3 , 4

D. 2 , 4 , 5 8 ? N ? 可知, 6 ? x 是 8 的约数(或者 8 能被 6 ? x 整除)且 6 ? x ? 0 . 5. D 解析:由 6? x 故 6 ? x ? 1,2,4,8 ,解得 x ? 5, 4, 2, ?2. 其中 5, 4, 2 ? N , ?2 ? N ,所以集合 A 中的所有元素 是2 ,4 ,5

8 ? N ? } 所有元素是( ) 6? x B. ?2 , 2 C. ?2 , 2 , 4 , 5

6. (湖北省部分重点中学 09-10 期中联考) 已知集合 A ? {x | ax2 ? 3x ? 2 ? 0, a ? R} , 若A中
至多有一个元素,则 a 的取值范围是 A. {a | a ? ? }

9 8

B. {a | a ? ?

9 9 9 或 a ? 0} C. {a | a ? ? 或 a ? 0} D. {a | a ? ? } 8 8 8

6. C

解析: 至多有一个元素, 包含有没有元素和只有一个元素两种情形, 故可得 C 正确.

二、填空题 7.用符号 ? 或 ? 填空:
(1) 2 3 ___ {x | x ? 11}; (2) (1,1)___ { y | y ? x2} ; (3) (1, 2) ___ {( x, y) | y ? x ? 1} 7. (1) ? (2) ? (3) ?

8. (山东省实验中学 10 届高三诊断测试)定义集合运算: A ? B ? ?z | z ? xy, x ? A, y ? B? . 设 A ? ?2,0? , B ? ?0,4? ,则集合 A ? B 的所有元素之和为 8. 8 解析: xy ? 0 或 8 , A ? B ? ?0,8? ,所有元素之和为 8 .

三、解答题
9.用适当的方法表示下列集合 (1)20 的所有质因数 (2)满足大于 3 且小于-1 的实数构成的集合 (3)所有 4 的倍数 9.解析: (1)20 的所有质因数为:2、4,故用列举法表示为{2,5}; (2)满足大于 3 且小于-1 的实数构成的集合中没有元素,故可表示为 ? ; (3)所有 4 的倍数,可用描述法表示为: {x | x ? 4n, n ? N } . 10.已知由实数组成的集合 A 满足:若 x ? A ,则

1 ? A. 1? x

(1)设 A 中含有 3 个元素,且 2 ? A ,求 A ; (2)能否是仅含一个元素的单元素集,试说明理由.

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10.解析: (1)因为 2 ? A ,所以 故 A ? {2, ?1, }.

1 1 ? A ,又 ?1 ? A ,所以 ? A, 1? 2 1 ? (?1)

1 即 ?A, 2

1 2

(2)假设 A 中仅含一个元素,不妨设为 a , 则 a ? A ,有 又 A 中只有一个元素 ,所以 a ?

1 ? A. 1? a

1 . 1? a

即 a2 ? a ? 1 ? 0 ,此方程 ? ? 0 ,即方程无实数根.因此不存在这样的 a .

高考能力演练
11.(江西南昌三中 09-10 月考)下列命题正确的有( (1)很小的实数可以构成集合; )

(2)集合 y | y ? x 2 ? 1 与集合 ?x, y ? | y ? x 2 ? 1 是同一个集合; (3) 1 ,

?

?

?

?

3 6 1 , , | ? | , 0.5 这些数组成的集合有 5 个元素; 2 4 2

(4)集合 {( x, y) | xy ? 0, x, y ? R} 是指第二和第四象限内的点集. A. 0 个 11. B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个

11. B 解析: (1) 中“很小的”不确定; (2) 中集合代表元素分别为数集和点集; (3) 中

3 , 2

6 1 相同, | ? | , 重复,不满足互异性; (4)中元素为第二和第四象限内的点. 4 2 0.5
12.(09 北京理 20)已知数集 A ? ?a1, a2 , 意的 i, j ?1 ? i ? j ? n? , ai a j 与

an ??1 ? a1 ? a2 ?

an , n ? 2? 具有性质 P ;对任

aj ai

两数中至少有一个属于 A .分别判断数集 ?1,3, 4? 与

?1,2,3,6? 是否具有性质 P ,并说明理由.
4 均不属于数集 ?1,3, 4? ,∴该数集不具有性质 P . 3 6 6 1 2 3 6 由于 1? 2,1? 3,1? 6, 2 ? 3, , , , , , 都属于数集 ?1,2,3,6? , 2 3 1 2 3 6 所以该数集具有性质 P .
12.解析:由于 3 ? 4 与


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