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福建省2016届高三普通高中毕业班4月质量检查 数学(文)试题(word版)


准考证号: 姓名: (在此试卷上答题无效) 保密★启用前 2016 年福建省普通高中毕业班质量检查 文 科 数 学 注意事项: 1.本试题分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3 至 5 页; 2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上; 3.请将全部答案答在答题卡上,答在本试卷上无效; 4.考试结束或,将本试卷和答题卡一并收回。 第Ⅰ卷(选择题) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的. 1.已知复数 z ? A.1

3?i ,则 z ? 1? i
B.2 C. 5 D. 5

2.集合 A ? y | y ? A. ?2, ? ?? 3.已知 cos? ? ?

?

x ?1 , B ? x | x2 ? x ? 2 ? 0 ,则 A ? B ?
B. ?0,1 ? C. ?1,2? D. ?0,2?

? ?

?

? ?

?? 1
7 9

? ? ,则 cos 2? 的值等于 2? 3
B. C.

A.

7 9

8 9

D. -

8 9

4.执行如图所示的程序框图,如果输入 n 的值为 4,则输出的 S 的值为 A.15 B.6 C.-10 D.-21

5.某公司为了增加其商品的销售利润,调查了该商品投入的广告费用 x 与销售利润 y 的统计数据如下表: 广告费用 x(万元) 销售利润 y(万元) 2 5 3 7 5 9 6 11

n ? ? ?xi ? x ?? yi ? y ? ? ? ? i ?1 ? ? ? ? ? ? bx ? a ? b? ? ? y ? bx ? ,则下列结论错误的 ,a 由表中数据,得线性回归方程 l : y n ? ? 2 ?xi ? x ? ? ? ? i ?1 ? ?



??0 A. b

??0 B. a

C.直线 l 过点(4,8)

D.直线 l 过点(2,5)

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6.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某几何体的三视图,则这个几何体是 A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱

B? 7.在 ? ABC 中,
则 AC 等于 A. 2 8.函数 f ?x ? ? ln

?

3 3 ,AB ? 2, D 为 AB 中点, , ? BCD 的面积为 3 4

B. 7

C. 10

D. 19

x?e x ? e ? x ? ,则 f ? x ? 是 2
B.奇函数,且在 ?0, ? ?? 上单调递增 D.偶函数,且在 ?0, ? ?? 上单调递增

A.奇函数,且在 ?0, ? ?? 上单调递减 C.偶函数,且在 ?0, ? ?? 上单调递减

9. 在空间直角坐标系 O-xyz 中,A(0,0,2),B(0,2,0),C(2,2,2),则三棱锥 O-ABC 外接球的表面积为 A. 3? B. 4 3? C. 12? D. 48?

? x ? y ? 2 ? 0, ? 2 2 10.若 x,y 满足约束条件 ? y ? 2 ? 0, 则 ?x ? 2? ? ? y ? 3? 的最小值为 ? x ? y ? 2 ? 0, ?
A. 1 11.已知过双曲线 C : B.

9 2

C.5

D.9

x2 y2 ? ? 1?a ? 0, b ? 0? 的焦点的直线 l 与 C 交于 A,B 两点,且使 AB ? 4a ,的 a 2 b2

直线 l 恰好有 3 条,则 C 的渐近线方程为 A. y ? ? 2 x B. y ? ?

2 x 2

C. y ? ?2 x

D. y ? ?

1 x 2

12.已知函数 f ?x ? ? kx, g ?x ? ? 2 ln x ? 2e?

?1 ? ? x ? e 2 ? ,若 f ?x ? 与 g ?x ? 的图像上分别存在点 M,N, ?e ?

使得 M,N 关于直线 y ? e 对称,则实数 k 的取值范围是

A. ??

? 4 ? , ? ?? 2 ? e ?

- 2 B. ?- , ? e e ? ?

? 2

4?

2e? C. ?- 2 , ? e ?

? 4

?

2e D. ?- , e ?

? 2 ?

? ?

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第Ⅱ卷(非选择题) 本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题--第 21 题为必考题,每个试题考生都必须作答。第 22 题--第 24 题为选考题,考生根据要求作答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.已知函数 f ? x ? ? ?
x?2 ? ?2 , x ? 0, ,则 f ? f ?? 1?? ? ? x 3 , x ? 0, ?

.

14.已知向量 a, b 的夹角为 15.椭圆 C :

2? , a ? 1, b ? 3 ,则 a ? b ? 3

.

x2 y2 ? ? 1?a ? b ? 0? 的右焦点与抛物线 E : y 2 ? 4x 的焦点 F 重合,点 P 是椭圆 C 和抛 a 2 b2
.

1? 满足 QF ? QP ,则 C 的离心率为 物线 E 的一个公共点,点 Q?0,

16.已知 A 是函数 f ?x ? ? sin??x ? ? ??? ? 0,0 ? ? ? 2? ? 的图像上的一个最高点,B,C 是 f ? x ? 图像上 相邻的两个对称中心,且 ?ABC 的面积为 函数的解析式是 f ?x ? ? .

1 ,若存在常数 M(M>0),使得 f ?x ? M ? ? Mf ?? x ? ,则该 2

三、解答题:解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 已知等比数列 ?an ?的前 n 项为和 Sn ,且 a3 ? 2a2 ? 0, S3 ? 7. (Ⅰ)求数列 ?an ?的通项公式; (Ⅱ)求数列 ?

?n? ? 的前 n 项和 Tn . ? an ?

18.(本小题满分 12 分) 随着移动互联网的发展, 与餐饮美食 相关的手机 APP 软件层出不穷.现从 使用 A 和 B 两款订餐软件的商家中 分别随机抽取 50 个商家,对它们的 “平均送达时间”进行统计, 得到频率 分布直方图如下. (Ⅰ)试估计使用 A 款订餐软件的 50 个商家的“平均送达时间”的众数及平均数; (Ⅱ)根据以上抽样调查数据,将频率视为概率,回答以下问题: (ⅰ)能否认为使用 B 款订餐软件“平均送达时间”不超过 40 分钟的商家达到 75%? (ⅱ)如果你要从 A 和 B 两款订餐软件中选择一款订餐,你会选择哪款?并说明理由.
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19.(本小题满分 12 分) 如 图 , 多 面 体 ABC DEF中 , 四 边 形 ABCD 为 菱 形 , 且

?DAB ? 60? , EF // AC, AD ? 2,EA ? ED ? EF ? 3 .
(Ⅰ)求证: AD ? BE; (Ⅱ)若 BE ? 5, 求三棱锥 F - BCD 的体积. 20.(本小题满分 12 分)

0? ,直线 l : x ? ?1 与 x 轴交于点 B,动点 M 到 A,B 两点的距离之比为 2. 已知点 A?? 4,
(Ⅰ)求点 M 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)设 C 与 x 轴交于 E,F 两点,P 是直线 l 上一点,且点 P 不在 C 上,直线 PE,PF 分别与 C 交于另 一点 S,T,证明:A,S,T 三点共线. 22.(本小题满分 12 分)

,f ?1?? 处的切线平行于 x 轴. 已知函数 f ?x? ? xex ? a ln x, ,曲线 y ? f ?x ? 在点 ?1
(Ⅰ)求 f ?x ? 的单调区间; (Ⅱ)证 明: b ? e 时, f ( x) ? b x 2 ? 2 x ? 2 . 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答。注意:只能做所选定的题目。如果多做,则按所做第 一个题目计分, 做答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, ?ABC 的两条中线 AD 和 BE 相交于点 G,且 D,C,E,G 四点共圆. (Ⅰ)求证: ?BAD ? ?ACG ; (Ⅱ)若 GC=1,求 AB. 23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 ?

?

?

? x ? 3 cos? , (其中 ? 为参 ? y ? sin ?

数),以坐标原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系中,直线 l 的极坐标方程为

?? ? ? sin?? ? ? ? 2 .
? 4?
(Ⅰ)求 C 的普通方程和直线 l 的倾斜角; (Ⅱ)设点 P(0,2), l 和 C 交于 A,B 两点,求 PA ? PB . 24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ?x? ? x ? 1 .

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(Ⅰ)求使不等式 f ?x? ? 2x ?1 ?1 的解集 M; (Ⅱ)设 a, b ? M ,证明: f ?ab? ? f ?a ? ? f ?? b? .

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2016 年福建省普通高中毕业班质量检查 文科数学试题答案及评分参考 评分说明: 1.本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查 内容比照评分标准制定相应的评分细则. 2. 对计算题, 当考生的解答在某一步出现错误时, 如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度, 可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应给分数的一半;如果后继部 分的解答有较严重的错误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数.选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本大题考查基础知识和基本运算.每小题 5 分, 满分 60 分. (1)C (2)D (3)A (4)C (5)D (6)A (7)B (8)D (9)C (10)B (11)A (12)D 二、填空题:本大题考查基础知识和基本运算.每小题 5 分,满分 20 分. (13) 8 (14) 7 (15) 2 ? 1 (16) ? sin ?x 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.本小题主要考查等比数列的通项公式、数列求和等基础知识,考查运算求解能力,考查函数 与方程思想、化归与转化思想等.满分 12 分. 解: (Ⅰ)设 ?an ? 的公比为 q ,

?a q 2 ? 2a1q ? 0, ? 依题意,得 ? 1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 2 ? ?a1 ? a1q ? a1q ? 7, ? a ? 1, 解得 ? 1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 ? q ? 2,
所以 an ? 2n?1 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 n n 2 3 n (Ⅱ)由(Ⅰ)得, ? n ?1 ,所以 Tn ? 1 ? ? 2 ? ? ? n?1 ,① · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 an 2 2 2 2 1 1 2 n ?1 n 所以 Tn ? ? 2 ? ? ? n?1 ? n ,② · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 2 2 2 2 2 1 1 1 1 n ①-②得, Tn ? 1 ? ? 2 ? ? ? n?1 ? n · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·10 分 2 2 2 2 2 1 1? n 2 ? n ? 1 2n 1? 2 n?2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·11 分 ? 2 ? n .· 2 n?2 所以 Tn ? 4 ? n?1 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·12 分 2 18.本小题主要考查频率分布直方图、平均数、众数、古典概率等基础知识,考查数据处理能力、运 算求解能力以及应用意识,考查必然与或然思想等.满分 12 分. 解: (Ⅰ)依题意可得,使用 A 款订餐软件的 50 个商家的 “平均送达时间”的众数为 55(分钟) .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 使用 A 款订餐软件的 50 个商家的 “平均送达时间”的平均数: 1 5? 0 . 0? 6 2 ?5 0 ? .34? 35 ? 0 . 1? 2 45 ? 0. ?0 4 ?5 5 ? 0 . 4 ?6 5 . 0.04 40 (分钟)
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· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 (Ⅱ) (ⅰ)使用 B 款订餐软件“平均送达时间”不超过 40 分钟的商家的比例估计值为 0.04+0.20+0.56=0.80=80%>75%. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 故可认为使用 B 款订餐软件“平均送达时间”不超过 40 分钟的商家达到 75%. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 (ⅱ)使用 B 款订餐软件的 50 个商家的 “平均送达时间”的平均数: 15 ? 0.04 ? 25 ? 0.2 ? 35 ? 0.56 ? 45 ? 0.14 ? 55 ? 0.04 ? 65 ? 0.02 ? 35 ? 40 , 所以选 B 款订餐软件.· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·12 分 注:本小题答案开放,只要能够按照统计知识合理作答,即给满分。如以下回答也符合 要求。 根据样本估计总体的思想可知,使用 A 款订餐软件的商家的“平均送达时间”在 30 分钟内的 概率为 0.4,使用 B 款订餐软件的商家的 “平均送达时间”在 30 分钟内的概率为 0.24,所以 可选 A 款订餐软件. 19.本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及几何体的体积等基础知识,考查空间 想象能力、推理论证能力、运算求解能力,考查化归与转化思想等.满分 12 分. 解法一:(Ⅰ) 如图,取 AD 中点 O ,连结 EO , BO . F ∵ EA ? ED ,∴ EO ? AD .……………………1 分 E ∵四边形 ABCD 为菱形, ∴ AB ? AD , D
O 又 ?DAB ? 60? , ∴△ ABD 为等边三角形, ∴ BA ? BD , ∴ BO ? AD . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 A B ∵ BO ? EO ? O , BO ? 平面BEO , EO ? 平面BEO , AD ? 平面BEO , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 ∵ BE ? 平面BEO ,∴ AD ? BE . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 C



(Ⅱ)在 △EAD 中, EA ? ED ? 3 , AD ? 2 , ∴ EO ?

AE2 ? AO2 ? 2 ,

∵ △ABD 为等边三角形,∴ AB ? BD ? AD ? 2 ,∴ BO ? 3 . · · · · · · · · · · · · · · 7分 又 BE ? 5 ,∴ EO 2 ? OB 2 ? BE 2 ,∴ EO ? OB , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 ∵ AD ? OB ? O , AD ? 平面ABCD , BO ? 平面ABCD , ∴ EO ? 平面 ABCD .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 又 S△ABD ?

1 1 ? AD ? OB ? ? 2 ? 3 ? 3 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·10 分 2 2

∴ S△BCD ? S△ABD ? 3 . 又∵ EF ∥ AC , ∴ VF ? BCD ? VE ? BCD · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·11 分

1 1 6 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·12 分 ? S△BCD ? EO ? ? 3 ? 2 ? 3 3 3
解法二:(Ⅰ)同解法一. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 (Ⅱ)在△ EAD 中, EA ? ED ? 3 , AD ? 2 ,
F E D O C B

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A

∴ EO ?

AE2 ? AO2 ? 2 ,

∵ △ABD 为等边三角形, ∴ AB ? BD ? AD ? 2 ,∴ BO ? 3 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 又 BE ? 5 ,∴ EO 2 ? OB 2 ? BE 2 ,∴ EO ? OB , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 所以 S△EOB ?

又 S△BCD ? S△ABD , EF ∥ AC , AD ? 平面EOB ,

1 1 6 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 ? EO ? OB ? ? 2 ? 3 ? 2 2 2

∴ VF ?BCD ? VE ?BCD ? VE ? ABD · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·10 分

1 1 6 6 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·12 分 ? S△EOB ? AD ? ? ?2 ? 3 3 2 3
20. 本小题考查圆的方程、直线与圆的位置关系等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力,考 查数形结合思想、化归与转化思想等. 满分 12 分. 解法一:(Ⅰ)设点 M ? x, y ? ,依题意,

MA MB

=

? x ? 4? ? y2 2 ? x ? 1? ? y 2
2

? 2 ,· · · · · · · · · · · · · · · · 3分

化简得 x2 ? y 2 ? 4 ,即曲线 C 的方程为 x2 ? y 2 ? 4 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知曲线 C 的方程为 x2 ? y 2 ? 4 , 令 y ? 0 得 x ? ?2 ,不妨设 E ? ?2,0? , F ? 2,0? . 设 P ? ?1, y0 ? , S ? x1 , y1 ? , T ? x2 , y2 ? , 则直线 PE 的方程为 y ? y0 ? x ? 2? , 由?
A E P T S y

B

O

F

x

? ? y ? y0 ? x ? 2 ? , 2 2 2 2 得 ? y0 ? 1? x ? 4 y0 x ? 4 y0 ? 4 ? 0 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 2 2 x ? y ? 4 ? ?

2 2 4 y0 ?4 2 ? 2 y0 4y ,即 , y1 ? 2 0 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 x ? 1 2 2 y0 ? 1 y0 ? 1 y0 ? 1 y 直线 PF 的方程为 y ? ? 0 ? x ? 2 ? , 3 y0 ? ? y ? ? ? x ? 2? , 2 2 2 2 由? 得 ? y0 ? 9 ? x ? 4 y0 x ? 4 y0 ? 36 ? 0 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 3 ? x2 ? y 2 ? 4 ?

所以 ?2 x1 ?

2 2 4 y0 ? 36 2 y0 ? 18 12 y 所以 2 x2 ? ,即 x2 ? , y2 ? 2 0 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·11 分 2 2 y0 ? 9 y0 ? 9 y0 ? 9

y

P T S

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A E B

O

F

x

所以 k AS

4 y0 2 y0 ?1 2y y ? 1 ? ? 2 0 , 2 x1 ? 4 2 ? 2 y0 y0 ? 3 ?4 2 y0 ? 1

k AT

12 y0 y2 ? 9 2y y ? 2 ? 20 ? 2 0 , x2 ? 4 2 y0 ? 18 y0 ? 3 ?4 2 y0 ? 9

所以 k AS ? k AT ,所以 A, S , T 三点共线. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 解 法二: (Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)由(Ⅰ)知曲线 C 的方程为 x2 ? y 2 ? 4 , 令 y ? 0 得 x ? ?2 ,不妨设 E ? ?2,0? , F ? 2,0? . 设 P ? ?1, y0 ? , S ? x1 , y1 ? , T ? x2 , y2 ? , 则直线 PE 的方程为 y ? y0 x ? 2 y0 , 由?

? y ? y0 x ? 2 y0 ,
2 2

?x ? y ? 4 2 ? 2 y2 4y 所以 y1 ? 2 0 , x1 ? 2 0 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 y0 ? 1 y0 ? 1 y 2 直线 PF 的方程为 y ? ? 0 x ? y0 , 3 3 y0 2 ? ? y ? ? x ? y0 , 2 2 由? 得 ? y0 ? 9 ? y ? 12 y0 y ? 0 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 3 3 ? x2 ? y 2 ? 4 ?
所以 y2 ?
2 2 y0 ? 18 12 y0 , .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·11 分 x ? 2 2 2 y0 ? 9 y0 ? 9

2 2 消去 x 得 y0 ? 1 y ? 4 y0 y ? 0 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分

?

?

以下同解法一. 解法三: (Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)由(Ⅰ)知曲线 C 的方程为 x ? y ? 4 ,
2 2
y

令 y ? 0 得 x ? ?2 ,不妨设 E ? ?2,0? , F ? 2,0? . 设 P ? ?1, y0 ? , S ? x1 , y1 ? , T ? x2 , y2 ? , 当 y0 ? 0 时,S ? ?2,0? , T ? 2,0? , 此时 A, S , T 三点共线.
A E

P T S

B

O

F

x

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当 y0 ? 0 时,则直线 PE 的方程为 y ? y0 x ? 2 y0 , 由?

? y ? y0 x ? 2 y0 ,
2 2

?x ? y ? 4 4y 所以 y1 ? 2 0 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 y0 ? 1 y 2 直线 PF 的方程为 y ? ? 0 x ? y0 , 3 3 y0 2 ? ? y ? ? x ? y0 , 2 2 由? 消去 x 得 ? y0 ? 9 ? y ? 12 y0 y ? 0 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 3 3 ? x2 ? y 2 ? 4 ? 12 y 所以 y2 ? 2 0 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 y0 ? 9
? 3y ? ?y ? y1 ? ? 2 ? 6 ? ? y2 ? 1 ? 2 ? y0 y ? x ? 4 ? ? y2 ? x1 ? 4 ? y y ? ? y0 ? ? ? ? 1 ? 2 ? 1 2 x1 ? 4 x2 ? 4 ? x1 ? 4 ?? x2 ? 4 ? ? x1 ? 4?? x2 ? 4?

2 2 消去 x 得 y0 ? 1 y ? 4 y0 y ? 0 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分

?

?

k AS ? k AT

?

y1 ? ?3 y2 ? 6 y0 ? ? y2 ? y1 ? 2 y0 ? ?4 y1 y2 ? 6 y0 y1 ? 2 y0 y2 ,· · · · · · · · · · · · · · · ·11 分 ? y0 ? x1 ? 4?? x2 ? 4? y0 ? x1 ? 4 ?? x2 ? 4 ?
2 2 2 24 y0 24 y0 192 y0 ? ? , 2 2 2 2 y0 ? 1 y0 ? 9 ? y0 ? 1?? y0 ? 9?

因为 6 y0 y1 ? 2 y0 y2 ?

2 4 y0 12 y0 192 y0 ?4 y1 y2 ? ?4 ? 2 ? 2 ?? 2 , y0 ? 1 y0 ?9 ? y0 ? 1?? y02 ? 9 ?

所以 ?4 y1 y2 ? 6 y0 y1 ? 2 y0 y2 ? 0 . 所以 k AS ? k AT ,所以 A, S , T 三点共线. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·12 分 21.本小题主要考查函数的单调性、导数及其应用、不等式等基础知识,考查推理论证能力、运算求 解能力等,考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等.满分 12 分. a 解: (Ⅰ)因为 f ?( x) ? ? x ? 1? e x ? , x ? 0 ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 x 依题意得 f ?(1) ? 0 ,即 2e ? a ? 0 ,解得 a ? 2e . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 所以 f ?( x) ? ? x ? 1? e x ?
2e ? ? ? 单调递增且 f ?(1) ? 0 , ,显然 f ?( x) 在 ? 0, x

故当 x ? ? 0,1? 时, f ? ? x ? ? 0 ;当 x ? ?1, ??? 时, f ? ? x ? ? 0 . 所以 f ? x ? 的递减区间为 ? 0,1? ,递增区间为 ?1, ?? ? . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 (Ⅱ)①当 b≤0 时,由(Ⅰ)知,当 x ? 1 时, f ? x ? 取得最小值 e . 又 b x2 ? 2x ? 2 的最大值为 b ,故 f ? x ?≥b x2 ? 2x ? 2 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 ②当 0 ? b≤e 时,设 g ( x) ? xex ? 2eln x ? b x2 ? 2x ? 2 ,
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?

?

?

?

?

?

所以 g ?( x) ? ? x ? 1? e x ? 令 h( x) ? ? x ? 1? e x ?

2e · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 ? 2b ? x ? 1? , · x

2e ? 2b ? x ? 1? , x ? 0 , x 2e 则 h?( x) ? ? x ? 2? e x ? 2 ? 2b , x 2e 当 x ? ? 0,1? 时, 2 ? 2b≥0 , ? x ? 2? ex ? 0 ,所以 h?( x) ? 0 ,…………………………….9 分 x

当 x ? ?1, ??? 时, ? x ? 2? e x ? 2b ? 0 ,

2e ? 0 ,所以 h?( x) ? 0 ,……….……………….10 分 x2

所以当 x ? ? 0, ?? ? 时, h?( x) ? 0 ,故 h( x) 在 (0, ??) 上单调递增, 又 h ?1? ? 0 ,所以当 x ? ? 0,1? 时, g ? ? x ? ? 0 ; 当 x ? ?1, ??? 时, g ? ? x ? ? 0 . 所以 g ? x ? 在 (0,1) 上单调递减,在 (1, ??) 上单调递增, 所以当 x ? 1 时, g ? x ? 取得最小值 g (1) ? e ? b≥0 , 所以 g ? x ?≥0 ,即 f ? x ?≥b x2 ? 2x ? 2 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·11 分 综上 ,当 b≤e 时, f ? x ?≥b x2 ? 2x ? 2 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·12 分 解法二: (Ⅰ)同解法一.
x 2 (Ⅱ)设 g ? x ? ? xe ? 2e ln x ? b x ? 2 x ? 2 .

?

?

?

?

?

?

(1) 当 b ? e 时, g ' ? x ? ? ? x ? 1? e x ? 2e ? 2e ? x ?

? ?

1? ?, x?

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分
x ①当 0 ? x≤1 时, ? x ? 1? e ≤2e, x ? ≥2 ,所以 g ' ? x ?≤0 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分
x 2 所以 g ? x ? 在 ? 0,1? 上单调递减,所以 g ? x ?≥g ?1? ? 0 ,即 xe ? 2e ln x≥e x ? 2 x ? 2 .

1 x

?

?

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 ②当 x ? 1 时, 令 M ( x) ? g ?( x) ? ? x ? 1? e x ? 2e ? 2e ? x ?
x 则 M ? ? x ? ? ? x ? 2? e ?

? ?

1? ?, x?

所以 M ( x ) 在 ?1, ?? ? 上单调递增, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 即 g? ? x ? 在 ?1, ?? ? 上单调递增,所以 g ' ? x ? ? g ' ?1? ? 0 ,

2e ? 2e ? 3e ? 2e ? 0 , x2

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x 2 所以 g ? x ? 在 ?1, ?? ? 上单调递增,所以 g ? x ? ? g ?1? ? 0 ,即 xe ? 2e ln x ? e x ? 2 x ? 2 .

?

?

2 故当 x ? 0 时, f ? x ?≥e x ? 2 x ? 2 恒成立. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·10 分 2 (2) 当 b ? e 时,因为 x ? 2 x ? 2 ? ? x ? 1? ? 1 ? 0 , 2
2 2 所以 e x ? 2 x ? 2 ? b x ? 2 x ? 2 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·11 分 2 2 由(1)知, f ? x ?≥e x ? 2 x ? 2 ,所以 f ? x ? ? b x ? 2 x ? 2 .

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

2 综合(1) (2) , 当 b≤e 时, f ? x ?≥b x ? 2 x ? 2 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·12 分

?

?

解法三: (Ⅰ)同解法一. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 (Ⅱ)设 g ? x ? ? e ? ex ,则 g ' ? x ? ? e ? e ,
x x

令 g ' ? x ? ? e ? e = 0 ,得 x ? 1 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·6 分
x

当 x ? ? 0,1? 时, g ' ? x ? ? 0 ,当 x ? ?1, ?? ? 时, g ' ? x ? ? 0 ; 所以 g ? x ? 在 ? 0,1? 上单调递减,在 ?1, ?? ? 上单调递增, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 所以 g ? x ?≥g ?1? ? 0 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 所以 e x≥ex ,所以 x≥ ln ex ,即 ln x≤x ? 1 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·10 分
2 因为 b≤e, x ? 2 x ? 2 ? ? x ? 1? ? 1 ? 0 , x ? 0 , 2

x 2 2 2 所以 f ? x ? ? xe ? 2e ln x≥ex ? 2e ? x ? 1? ? e x ? 2 x ? 2 ≥b x ? 2 x ? 2 .

?

?

?

?

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·12 分 请考生在第(22),(23),(24 )题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计 分,作答时请写清题号. (22)选修 4 ?1 :几何证明选讲 本小题主要考查圆周角定理、相似三角形的判定与性质、切割线定理等基础知识,考查推理论证 能力、运算求解能力等,考查化归与转化思想等.满分 10 分. 解法一: (Ⅰ)连结 DE ,因为 D, C , E , G 四点共圆,则 ?ADE ? ?ACG . · · · · · · · · · 2分 AD , BE 又因为 为△ ABC 的两条中线, 所以 D, E 分别是 BC , AC 的中点,故 DE ∥ AB . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 所以 ?BAD ? ?ADE , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 从而 ?BAD ? ?ACG . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 (Ⅱ)因为 G 为 AD 与 BE 的交点, 故 G 为△ ABC 的重心,延长 CG 交 AB 于 F , 则 F 为 AB 的中点,且 CG ? 2GF .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 在△ AFC 与△ GFA 中,因为 ?FAG ? ?FCA , ?AFG ? ?CFA , 所以△ AFG ∽△ CFA , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 FA FG 所以 ,即 FA2 ? FG ? FC . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 ? FC FA 1 1 3 因为 FA ? AB , FG ? GC , FC ? GC , 2 2 2

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所以

1 3 AB2 ? GC 2 ,即 AB ? 3GC , 4 4

又 GC ? 1 ,所以 AB ? 3 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·10 分 解法二: (Ⅰ)同解法一. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 (Ⅱ) 由(Ⅰ) 知, ?BAD ? ?ACG , 因为 D, C , E , G 四点共圆,所以 ?ADB ? ?CEG , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分

(23)选修 4 ? 4 ;坐标系与参数方程 本小题考查直线的极坐标方程和参数方程、椭圆的参数方程等基础知识,考查运算求解能力,考 查数形结合思想、化归与转化思想等. 满分 10 分. 解法一: (Ⅰ)由 ?

AB AD ? ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 CG CE 由割线定理, AG ? AD ? AE ? AC , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 又因为 AD, BE 是 △ ABC 的中线,所以 G 是 △ ABC 的重心, 2 所以 AG ? AD ,又 AC =2 AE =2 EC , 3 2 AD 2 2 ? 3, 所以 AD =2 EC ,所以 3 CE AB ? 3 ,因为 CG ? 1 ,所以 AB ? 3 . · 所以 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·10 分 CG
所以 △ABD ∽ △CGE ,所以

? x ? 3cos ? , x2 ? y 2 ? 1, 消去参数 ? ,得 9 ? y ? sin ?
x2 ? y 2 ? 1. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 9

即 C 的普通方程为 由 ? sin ? ? ?

?? (*)· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 ? ? 2 ,得 ? sin ? ? ? cos ? ? 2 , 4? ? x ? ? cos ? , 将? 代入(*) ,化简得 y ? x ? 2 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 ? y ? ? sin ? ? 所以直线 l 的倾斜角为 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 4 ? ?

? ? x ? t cos , ? ? 4 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,点 P ? 0,2? 在直线 l 上, 可设直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数) , ? y ? 2 ? t sin ? ? ? 4

? 2 t, ?x ? ? 2 即? ( t 为参数) ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 2 ?y ? 2 ? t ? ? 2 x2 ? y 2 ? 1并化简,得 5t 2 ? 18 2t ? 27 ? 0 . · 代入 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 9

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? ? 18 2

?

?

2

? 4 ? 5 ? 27 ? 108 ? 0 .

设 A, B 两点对应的参数分别为 t1 , t 2 ,

18 27 2 ? 0, t1t2 ? ? 0 ,所以 t1 ? 0, t2 ? 0, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 5 5 18 2 .· 所以 PA ? PB ? t1 ? t2 ? ? ? t1 ? t2 ? ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·10 分 5
则 t1 ? t2 ? ? 解法二: (Ⅰ)同解法一. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 (Ⅱ)直线 l 的普通方程为 y ? x ? 2 . 由?

? y ? x ? 2,
2 2 ?x ? 9 y ? 9

2 消去 y 得 10 x ? 36 x ? 27 ? 0 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分

2 于是 ? ? 36 ? 4 ?10 ? 27 ? 216 ? 0 .

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? ?

18 27 ? 0, x1 x2 ? ? 0 ,所以 x1 ? 0, x2 ? 0 . 5 10

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 故 PA ? PB ? 1 ? 12 | x1 ? 0 | ? 1 ? 12 | x2 ? 0 |?

2 | x1 ? x2 |?

18 2 . 5

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·10 分 (24)选修 4 ? 5 :不等式选讲 本小题考查绝对值不等式的解法与性质、不等式的证明等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能 力,考查分类与整合思想、化归与转化思想等. 满分 10 分. 解法一: (Ⅰ) (ⅰ) 当 x≤ ? 1 时,原不等式可化为 ? x ? 1 ? ?2 x ? 2 ,解得 x ? ?1 , 此时原不等式的解是 x ? ?1 ; · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 (ⅱ)当 ?1 ? x ? ?

1 时,原不等式可化为 x ? 1 ? ?2 x ? 2 ,解得 x ? ?1 , 2

此时原不等式无解; · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 (ⅲ)当 x≥ ?

1 时,原不等式可化为 x ? 1 ? 2 x ,解得 x ? 1 , 2 此时原不等式的解是 x ? 1 ;· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 综上, M ? ? x x ? ?1或x ? 1? .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 ≥ ab ? b ? 1? b · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 ? b a ?1 ? 1? b . ·

(Ⅱ)因为 f ? ab ? ? ab ? 1 ? ? ab ? b ? ? ?1 ? b ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分

因为 a, b ? M ,所以 b ? 1, a ? 1 ? 0 , 所以 f ? ab ? ? a ? 1 ? 1 ? b ,即 f ? ab? ? f ? a ? ? f ? ?b? . · · · · · · · · · · · · · · · · ·10 分

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解法二: (Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)因为 f ? a ? ? f ? ?b ? ? a ? 1 ? ?b ? 1 ≤ a ? 1 ? ? ?b ? 1? ? a ? b , · · · · · · 7分 所以,要证 f ? ab? ? f ? a ? ? f ? ?b? ,只需证 ab ? 1 ? a ? b , 即证 ab ? 1 ? a ? b , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 即证 a 2b2 ? 2ab ? 1 ? a 2 ? 2ab ? b2 ,
2 2 即证 a 2b2 ? a 2 ? b2 ? 1 ? 0 ,即证 a ? 1 b ? 1 ? 0 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分
2 2

因为 a, b ? M ,所以 a ? 1, b
2

2

?? ? 1 ,所以 ? a

?

2

? ? 1?? b

2

? 1? ? 0 成立,

所以原不等式成立. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·10 分

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