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黑龙江省大庆实验中学2016届高三数学考前得分训练试题(二)文


2016 年大庆实验中学文科数学得分训练试题(二)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的.) 1.已知集合 A ? {x x2 ? 2x ? 3 ? 0}, B ?

{x y ? ln(2 ? x)} ,则 A ? B ? ( ) A. (1,3) B. (1,3] C. [ ?1, 2) D. (?1, 2) 2.已知 i 为虚数单位,复数 z=(1+2i)i 的共轭复数在复平面内对应的点位于( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.已知 f ? x ? ? 3sin x ? ? x ,命题 p : ?x ? ? 0, )

? ?? ? , f ? x ? ? 0 ,则( ? 2?



? ?? ? , f ? x? ? 0 ? 2? ? ?? C. p 是假命题: ?p : ?x ? ? 0, ? , f ? x ? ? 0 ? 2?
A. p 是真命题: ?p : ?x ? ? 0,

? ?? ? , f ? x0 ? ? 0 ? 2? ? ?? D. p 是假命题: ?p : ?x0 ? ? 0, ? , f ? x0 ? ? 0 ? 2? ? ? ? 4. 将奇函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0,? ? ? ? ) 的图象向左平移 个单位得到的图 6 2 2
B. p 是真命题: ?p : ?x0 ? ? 0,

象关于原点对称,则 ? 的值可以为( ) A.6 B.3 C.4 D.2 5.在各项均为正数的等比数列 {an } 中, a1 ? 2, 且 a2 , a4 ? 2, a5 成等差数列,记 Sn 是数列{an}的前 n 项和,则 S5 ? ( ) A.32 B.62 C.27 D.81 6 . 已 知 定 义 在 R 上 的 函 数 f ( x) 满 足 f (? x) ? ? f ( x) , f ( x ? 1) ? f (1 ? x ) , 且 当 x ? [ 0 , 1 ]
) 时, f ( x) ? log 2 ( x ? 1 ,则 f (31) = ( ) A. 0 B. 1 C. ?1 D. 2 7.若如下框图所给的程序运行结果为 S=41,则图中的判断框(1)中应填入的是( A. i ? 6 ? 否 开始 B. i ≤ 6? i=10,S=1 输出S (1 ) C. i ? 5 ? 是 D. i ? 5 ?

)[来源:学科网]
结束

?x ? 2 ? 8.设 x, y 满足约束条件 ?3 x ? y ? 1, , ? y ? x ?1 ?
不等式恒成立的是( ) A. x ? 3 B. y ? 4 9.设 F1 , F2 为椭圆 为( )A.
5 14

S=S+i

i = i -1

则下列

C. x ? 2 y ? 8 ? 0

D. 2 x ? y ? 1 ? 0
PF2 PF1

x

2

9

?

y

2

5

? 1 的两个焦点,点 P 在椭圆上,若线段 PF1 的中点在 y 轴上,则

的值

B.

5 13

C.

4 9

D.

5 9

10.已知 P 是 ?ABC 所在平面内一点, 4PB ? 5PC ? 3PA ? 0 ,现将一粒红豆随机撒在 ?ABC 内, 则红豆落在 ?PBC 内的概率是[来源:学科网] A.

1 4

B.

1 3

C.

5 12

D.

1 2

1

11.一几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( A.20 B.24 C.16



12.已知函数 f ? x ? ? f ? 3x ? ,当 x ? ?1,3 ? , f ? x ? ? ln x ,若在区间 ?1,9? 内,函数 g ? x ? ? f ? x ? ? ax 有 三个不同零点,则实数 a 的取值范围是( A. ? ) D. ?

3 10 D. 16 ? 2

? ln 3 1 ? ? ln 3 1 ? , ? B. ? , ? ? 9 3e ? ? 3 e?

C. ?

? ln 3 1 ? , ? ? 9 2e ?

? ln 3 ln 3 ? , ? ? 9 3 ?

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 本卷包括必考题和选考题两部分.第 13-21 题为必考题,每个试题考生都必须作答,第 22-24 题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中的横线上.) 13.已知 sin ? ?

??? ??? ??? 1 ??? 14.在 Rt△ABC 中,∠A=90°,AB=AC=2,点 D 为 AC 中点,点 E 满足 BE ? BC ,则 AE ? BD
3

1 ? cos2? ? cos ? ,且 ? ? (0, ) ,则 的值为________. ? 2 2 sin(? ? ) 4




x2 y2 ? 2 ? 1( a ? 0, b ? 0) 的渐近线被圆 x2 ? y 2 ? 6 x ? 5 ? 0 截得的弦长为 2,则该双曲 2 a b .

15.已知双曲线 线 的离心率为

16. 若定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f ( x) ? f ?( x) ? 1 , f (0) ? 4 , 则不等式发 f ( x) ?

3 ?1 (e 为 ex
?
6

自然对数的底数)的解集为_________________ 三、解答题( 本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17(本小题满分 12 分)在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且满足 2b sin(C ? (Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)若点 M 为 BC 中点,且 AM ? AC ,求 sin ?BAC . 18(本小题满分 12 分)为了解某单位员工的月工资水平,从该单位 500 位员工中随机抽取了 50 位 进行抽查,得到如下频数分布表:

)?a ?c.

(1)完成下面的月工资频率分布直方图(注意填 写纵坐标) ; (2)试由上图估计该单位月平均工资; (3)若从月工资在 ? 25,35? 和 ? 45,55? 两组所调查 的女员工中随机选取 2 人,试求这 2 人月工资差 不超过 1000 元的概率. 19(本小题满分 12 分) D 边 长 为 6 , 如 图 , 菱 形 A B C 的 o ?BAD ? 60 ,AC ? BD ? O .将菱形 ABCD 沿对角线 AC 折起,得到三棱锥 B ? ACD ,点 M 是棱 BC 的中点, DM ? 3 2 .
2

(1)求证: OD ? 面 ABC ; (2)求 M 到平面 ABD 的距离. 20(本小题满分 12 分)已知椭圆 C : 一个端点构成等腰直角三角形. (1)求椭圆方程; (2)过椭圆右顶点的两条斜率乘积为 ?

x2 y2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,经过点 (1, ) ,且两焦点与短轴的 2 a b 2
1 的直线分别交椭圆于 M , N 两点,试问:直线 MN 是否过 2

定点?若过定点,请求出此定点,若不过,请说明理由.
2 21(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ln x ? ax ? bx(其中 a , b 为常数且 a ? 0 )在 x ? 1 处取得 极值. (1)当 a ? 1 时,求 f ?x ? 的极大值点和极小值点;

(2)若 f ?x ? 在 ?0, e? 上的最大值为 1,求 a 的值.

请考生在第 22、23、24 三题中选定一题作答,并用 2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题 号方框涂黑,按所涂题号进行评分;不涂、多涂均按所答第一题评分; 多 答按所答第一题评分. 22(本小题满分 12 分)选修 4-1 :几何证明选讲 如图,在锐角三角形 ABC 中, AB ? AC ,以 AB 为直径的圆 O 与边 BC , AC 另外的交点分别为 D, E ,且 DF ? AC 于 F . (Ⅰ)求证: DF 是 ⊙O 的切线;[来源:学.科网ZXK] 7 (Ⅱ)若 CD ? 3 , EA= ,求 AB 的长. 5 23(本小题满分 12 分)选修 4-4 :坐标系与参数方程 以直角坐标系的原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知点 P 的直角坐标为 ? ? (1, 2) ,点 M 的极坐标为 (3, ) ,若直线 l 过点 P ,且倾斜角为 ,圆 C 以 M 为圆心, 3 为半径.
2 6

(Ⅰ)求直线 l 的参数方程和圆 C 的极坐标方程; (Ⅱ)设直线 l 与圆 C 相交于 A, B 两点,求 PA ? PB . 24(本小题满分 12 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?
x ? 2 ? x ? 4 ? m 的定义域为 R .

(Ⅰ)求实数 m 的范围; (Ⅱ)若 m 的最大值为 n ,当正数 a , b 满足

4 1 ? ? n 时,求 4 a ? 7b 的最小值. a ? 5b 3a ? 2b

[来源:Z-xk.Com]

3

1—5 CCBAB 13. ?

2016 年大庆实验中学 文科数学得分训练试题(二)参考答案 6—10 CCCBA 11—12 AB 14. ?2 15.
6 2

14 4

16. ?0,???

17.解: (Ⅰ) 2 sin B(sin C ?

3 1 ? cos C ? ) ? sin A ? sin C , 2 2

即 3 sin B sin C ? sin B cos C ? sin A ? sin C ? sin B cos C ? cos B sin C ? sin C ,

? 3 sin B sin C ? cos B sin C ? sin C , ? 3 sin B ? cos B ? 1 ,所以 2 sin( B ? ? ) ? 1 ,得 B ? ? . ………6 分 6 3 (Ⅱ)解法一:取 CM 中点 D ,连 AD ,则 AD ? CM ,则 CD ? x ,则 BD ? 3x ,
由(Ⅰ)知 B ?

?

3

,? AD ? 3 3x,? AC ? 2 7 x , ………12 分

由正弦定理知,

4x 2 7x 21 ? ,得 sin ?BAC ? . o sin ?BAC sin 60 7

3 在 ?ABM 与?ABC 中,由余弦定理分别得: a a a2 ac AM 2 ? ( )2 ? c2 ? 2 ? ? c ? cos B ? ? c2 ? , AC 2 ? a 2 ? c2 ? 2ac ? cos B ? a 2 ? c2 ? ac, 2 2 4 2
又 AM ? AC ,?

解法二:由(Ⅰ)知 B ?

?

,又 M 为 BC 中点,? BM ? MC ?

a , 2

a2 ac 3a 7 ? c2 ? ? a 2 ? c2 ? ac, ? c ? ,? b ? a, 4 2 2 2

7 a a 21 2 ? 由正弦定理知, ,得 sin ?BAC ? . ? 7 sin ?BAC sin 60
18.解:

[来源:学科网]

4

19.解: (1)由题意: OM ? OD ? 3 , ∵ DM ? 3 2 ,∴ ?DOM ? 90?即OD ? OM . 又∵菱形 ABCD ,∴ OD ? AC . ∵ OM ? AC ? O ,∴ OD ? 平面ABC . (2)由(1)知 OD ? 3 为三棱锥 D ? ABM 的高. ? ABM 的面积 为 S ?ABM ?
B M A O D C

1 1 3 9 3 . BA? BM ? sin 120? ? ? 6 ? 3 ? ? 2 2 2 2 又∵在 Rt ?BOD 中 OB ? OD ? 3 得 BD ? 3 2 , AB ? AD ? 6 , 1 3 14 9 7 ∴ S ?ABD ? ? 3 2 ? . ? 2 2 2 S ? OD 3 21 1 1 ∵ VM ? ABD ? VD? MAB 即 S ?ABD ? d ? S ?AMB ? OD ,∴ d ? ?AMB . ? 3 3 S?ABD 7

? b?c ?1 ?a 2 ? 2 1 x2 20. 解: (1)根据题意 ? 2 ? 2 ? 1 ? ? 2 ? ? y 2 ? 1. 2 ?b ? 1 ? a 2 2b 2 2 a ? b ? c ? ? y ? kx ? m (2)当 MN 的斜率存在时,设 MN : ? 2 ? (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4kmx? 2m2 ? 2 ? 0 , 2 x ? 2 y ? 2 ? ? ?? ? 8(2k 2 ? m 2 ? 1) ? 0 ? y1 y2 kx ? m kx2 ? m 1 4km ? ? ? 1 ? ?? , ,∴ k MA ? k NA ? ? x1 ? x2 ? ? 2 1 ? 2k 2 x1 ? 2 x2 ? 2 x1 ? 2 x2 ? 2 ? 2 2 m ? 2 ? x1 x2 ? ? 1 ? 2k 2 ?

?(2k 2 ? 1) x1 x2 ? (2km ? 2 )(x1 ? x2 ) ? 2m2 ? 2 ? 0 ? m 2 ? 2km ? 0 ? m ? 0或m ? ? 2k
(舍) . ∴直线 MN : y ? kx 过定点(0,0),当 MN 斜率不存在时也符合,即直线 MN 恒过定点(0,0).
2 21.解: (1)因为 f ( x) ? ln x ? ax ? bx ,所以 f ?( x ) ?
2

1 ? 2ax ? b . x

因为函数 f ( x) ? ln x ? ax ? bx 在 x ? 1 处取得极值,

5

2 x 2 ? 3x ? 1 , x 1 1 所以 f ?x ? 的单调递增区间为 ( 0, ) 和 (1,??) ,单调递减区间为 ( ,1) . 2 2 1 所以 f ?x ? 的极大值点为 , f ?x ? 的极小值点为 1. 2 2 2ax ? (2a ? 1) x ? 1 (2ax ? 1)(x ? 1) ? ( x ? 0) , (2)因为 f ?( x) ? x x 1 令 f ?( x) ? 0 得, x1 ? 1 , x2 ? , 2a 1 ? x1 ? 1 , 因为 f ?x ? 在 x ? 1 处取得极值,所以 x2 ? 2a 1 ? 0 即 a ? 0 时, f ?x ? 在(0,1)上单调递增,在 (1, e] 上单调递减, (ⅰ)当 2a 所以 f ?x ? 在区间 (0, e] 上的最大值为 f ?1? ,令 f ?1? ? 1 ,解得 a ? ?2 . 1 ?0, (ⅱ)当 a ? 0 时, x2 ? 2a 1 1 1 1 ? 1 即 a ? 时, f ?x ? 在 (0, ) 上单调递增, ( ,1) 上单调递减, (1, e) 上单调递增, ①当 2a 2a 2a 2 1 所以最大值 1 可能在 x ? 或 x ? e 处取得, 2a 1 1 1 1 1 1 ? a( ) 2 ? (2a ? 1) ? ln ? ?1 ? 0 , 而 f ( ) ? ln 2a 2a 2a 2a 2a 4a 1 1 2 所以 f (e) ? ln e ? ae ? (2a ? 1)e ? 1 ,解得 a ? ,满足 a ? . e?2 2 1 1 1 1 1 ? e即 ? a ? 时, f ?x ? 在区间 ?0,1? 上单调递增, (1, ) 上单调递减, ( , e) ②当 1 ? 2a 2a 2a 2e 2 上单调递增,所以最大值 1 可能在 x ? 1 或 x ? e 处取得,而 f ?1? ? ln1 ? a ? ?2a ? 1? ? 0 , 1 1 1 1 2 ? a ? 矛盾; ? ,与 所以 f (e) ? ln e ? ae ? (2a ? 1)e ? 1 ,解得 a ? e?2 2 2e 2 1 1 ? e即0 ? a ? ③当 x2 ? 时, f ?x ? 在区间 ?0,1? 上单调递增,在 ?1, e? 上单调递减, 2a 2e 所以最大值 1 可能在 x ? 1 处取得,而 f ?1? ? ln1 ? a ? ?2a ? 1? ? 0 ,矛盾. 1 综上所述, a ? 或 a ? ?2 . e?2

f ?(1) ? 1 ? 2a ? b ? 0 ,当 a ? 1 时, b ? ?3 , f ?( x) ?

22.解: (Ⅰ)连结 AD, OD. 则 AD ? BC, 又 AB ? AC , ∴ D 为 BC 的中点,而 O 为 AB 中点,∴ OD ∥ AC , 又 DF ? AC ,∴ OD ∥ DF ,而 OD 是半径, ∴ DF 是 ⊙O 的切线. ………5 分 ? CED ? ? B ? ?C ,则 ?DCF ≌ ?DEF , (Ⅱ)连 DE ,则 ∴ CF ? FE ,设 CF ? FE ? x ,则 DF 2 ? 9 ? x 2 , 由切割线定理得: DF 2 ? FE ? FA , 7? 9 5 ? 即 9 ? x 2 ? x ? x + ? ,解得: x1 = ,x2 ? ? (舍) ,∴ AB ? AC ? 5. 5 5 2 ? ?

………10 分[来源:学+科网ZXK]

6

? x ?1? ? ? 23.解: (Ⅰ)直线 l 的参数方程为 ? ?y ? 2 ? ? ? 圆的极坐标方程为 ? ? 6 sin ? .

3 t, 2 (t为参数) , (答案不唯一,可酌情给分) 1 t, 2 ………5 分

? 3 x ?1? t, ? ? 2 (Ⅱ)把 ? 代入 x 2 ? ( y ? 3)2 ? 9 ,得 t 2 ? ( 3 ? 1)t ? 7 ? 0 , ? y ? 2 ? 1 t, ? ? 2 ?t1 t2 ? ?7 ,设点 A, B 对应的参数分别为 t1 , t2 ,

则 PA ? t1 , PB ? t2 ,? PA ? PB ? 7.

………10 分

24. 解: (Ⅰ)? 函数的定义域为 R, x ? 2 ? x ? 4 ? ( x ? 2) ? ( x ? 4) ? 6 , ) 由 ( Ⅰ ) 知 n?6 , 由 柯 西 不 等 式 知 , 1 4 1 1 4 1 3 4 a ? 7b ? (4a ? 7b)( ? ) ? [(a ? 5b) ? (3a ? 2b)] ( ? ) ? ,当且仅 6 a ? 5b 3a ? 2b 6 a ? 5b 3a ? 2b 2 3 1 5 ? 4 a ? 7b 的 最 小 值 为 当 a ? ,b ? 时取等号, . 26 26 2 ………10 分 ( Ⅱ

? m ? 6 . ………5 分

7


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