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天津市2015届高三第一次六校联考数学(理)试卷


天津市 2015 届高三第一次六校联考 数学(理)试卷
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共 150 分.考试时间 120 分钟. 祝各位考生考试顺利!

第Ⅰ卷 选择题 (共 40 分)
注意事项:
1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上. 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再 选涂其他答案标号.答案不能答在试题卷上.

参考公式:
·如果事件 A 、 B 互斥,那么 P( A B) ? P( A) ? P( B) 柱体的体积公式 V ? Sh . 其中 S 表示柱体的底面积, h 表示柱体的高. 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求 的) 1.复数 z 为纯虚数,若 (2 ? i ) z ? a ? i (为虚数单位),则实数 a 的值为( A. ? )

1 2

B.2

C. ? 2

D.

1 2


?2 x ? y ? 0 1 1 ? 2.已知正数 x、y 满足 ? x ? y ? 1 ? 0 ,则 z ? ( ) x ? ( ) y 的最小值为( 4 2 ?x ? y ? 1 ? 0 ?

A.

1 16

B.

1 4

C. 2 2

3

D.4

3.执行如图所示的程序框图,若输入 A 的值为 2,则输出的 P 值 为( A.2 ) B.3 C.4 D .5 )

4.已知 x ? 0, y ? 0 , A. (?2,4)

2 1 ? ? 1 ,若 x ? 2 y ? m 2 ? 2m 恒成立,则实数 m 的取值范围是( x y

B. (?4,2)

C. [?2,4]

D. [?4,2]

1 3 10 5.在△ABC 中,tanA= ,cosB= ,若最长边为 1,则最短边的长为( 2 10 4 5 A. 5 3 5 B. 5 2 5 C. 5 D. 5 5 )

)

6.若某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( A.16 B.32 C.48 D.144

7.设双曲线

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点为 F ,过点 F 作与 x 轴垂直的直线交两渐近线于 A, B 两点,且与双

曲线在第一象限的交点为 P ,设 O 为坐标原点,若 OP ? ? OA ? ? OB (? , ? ? R) ,且 ?? ? 为( A. )
3 2 2

1 ,则该双曲线的离心率 8

B.2

C.

2 3 3

D. 2

? x 2 ( x ? 0) 8.已知函数 f ( x) ? ? 2 , 若对任意的 x ? [t , t ? 2] ,不等式 f ( x ? t ) ? 2 f ( x) 恒成立, ? ? x ( x ? 0)
则实数的取值范围是( A. [ 2 ,??) ) C. (0,2] D. [? 2 ,?1] ? [ 2 , 3 ]

B. [2,??)

第Ⅱ卷 非选择题 (共 110 分)
二.填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在答题卷中相应的横线上.
4 ? ?x ? 1 ? 5 t ? 9.设 P, Q 分别为直线 ? (为参数)和曲线 C : ? ? 2 cos(? ? ) 上的点,则 PQ 3 4 ?y ? 1? t 5 ?

的最小值为


3

10.已知数列{an}满足 log3an+1=log3an+1(n∈N*)且 a2+a4+a6=9,则 log 1 (a5+a7+a9)的 值是 .

11.向平面区域 Ω={(x,y)| ? 的概率是 .

?
2

≤x≤

?
2

,0≤y≤1}内随机投掷一点,该点落在曲线 y=cosx 下方

12.在平行四边形 ABCD 中, M , N 分别是 CD, BC 的中点, AM ? (1,2) , AN ? (3,1) ,则
AB ? AM ?



13.如图,已知 PA 是⊙O 的切线,A 是切点,直线 PO 交⊙O 于 B、C 两点,D 是 OC 的中点,连接 AD 并延长交⊙O 于点 E. 若 PA=2 3,∠APB=30° ,则 AE=________. 14.函数 f ( x) ? ln x ? ax 在区间 (0,3] 上有三个零点,则实数 a 的取值范围是________.

三.解答题:本大题 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

15. (本题满分 13 分)
1 已知向量 a ? (cos x, ? ), b ? ( 3 sin x, cos 2 x), x ? R , 设函数 f ( x) ? a· b. 2

(I)求 f ( x) 的单调递增区间;

? (II)求 f ( x) 在 [0, ] 上的最大值和最小值. 2
16. (本题满分 13 分) 某高校自主招生选拔共有三轮考核,每轮设有一个问题,能正确回答问题者进入下一轮考核,否则即被淘
4 3 2 汰.已知某同学能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为 , , ,且各轮问题能否正确回答互不影响. 5 5 5

(I)求该同学被淘汰的概率; (II)该同学在选拔中回答问题的个数记为 ? ,求随机变量 ? 的分布列与数学期望. 17. (本题满分 13 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 是正方形, 侧棱 PD ⊥底面 ABCD , PD ? DC , E 是 PC 的中点. (Ⅰ)证明: PA //平面 BDE ; (Ⅱ)求二面角 B ? DE ? C 的平面角的余弦值; (Ⅲ)在棱 PB 上是否存在点 F ,使 PB ⊥平面 DEF ? 证明你的结论. 18. (本题满分 13 分) 已知数列 {a n }, {bn } 的每一项都是正数, a1 ? 4, b1 ? 8 且 a n , bn , a n?1 成等差数列,
* bn , a n ?1 , bn ?1 成等比数列 ( n ? N )

(Ⅰ)求 a 2 , b2 ; (Ⅱ)求数列 {a n }, {bn } 的通项公式; (Ⅲ)证明:对一切正整数 n ,都有
1 1 1 2 ? ?? ? . a1 ? 1 a 2 ? 1 an ? 1 3

19. (本题满分 14 分) 已知椭圆 E :
x2 a
2

?

y2 b
2

? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为

3 ,且椭圆经过点 A(0,?1) 2

(Ⅰ)求椭圆 E 的方程;

3 (Ⅱ)如果过点 H (0, ) 的直线与椭圆 E 交于 M , N 两点(点 M , N 与点 A 不重合) , 5

①若 ?AMN 是以 MN 为底边的等腰三角形,求直线 MN 的方程; ②在 y 轴上是否存在一点 B ,使得 BM ? BN ,若存在求出点 B 的坐标;若不存在,请说明理由.

20. (本题满分 14 分) 设函数 f ( x) ? (2 ? a) ln x ?
1 1 ? 2ax , g ( x) ? ax ? ? (3 ? a) ln x , a ? R x x

(Ⅰ)当 a ? 0 时,求 g ( x) 的极值; (Ⅱ)当 a ? 0 时,求 f ( x) 的单调区间; (Ⅲ)给出如下定义:对于函数 y ? F ( x) 图象上任意不同的两点 A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ) ,如果对于函数 y ? F ( x) 图象 上的点 M ( x0 , y 0 ) (其中 x0 ?
x1 ? x 2 )总能使得 F ( x1 ) ? F ( x 2 ) ? F ' ( x0 )( x1 ? x 2 ) 成立,则称函数具备性质“L”.试判 2

断函数 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) 是否具备性质“L”,并说明理由.

2015 届高三六校联考(一) 数学理科参考答案
一、选择题:每小题 5 分,满分 40 分 题号 答案 1 D 2 A 3 C 4 B 5 D
10 ; 3

6 C 10 7 13. ; 7

7 D

8 A
ln 3 1 , ) 3 e

二、填空题: 每小题 5 分,共 30 分.
9-5 2 ; 10 三、解答题

9.

2 10.-5; 11. ; π

12.

14. [

1 3 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin(2 x ? ) 15.(Ⅰ) f ( x) ? a· b = cos x ? 3 sin x ? cos 2 x ? 2 2 2 6 ? ? ? ? ? 当 2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? 时,解得 k? ? ? x ? k? ? , 2 6 2 6 3

? f ( x) ? sin(2 x ?

? ? ? ) 的单调递增区间为 [k? ? , k? ? ](k ? Z ) . 6 6 3

? ? 5? 1 ? (Ⅱ)当 x ? [0, ] 时, ? ? x ? , ? ? sin(2 x ? ) ? 1 2 6 6 2 6
1 ? ?? 所以,f (x) 在 ?0, ? 上的最大值为 1,最小值为 2 ? 2? 16.

? E? ? 1 ?

1 8 12 57 ? 2? ? 3? ? 5 25 25 25

17.解:法一: (I)以 D 为坐标原点,分别以 DA 、 DC 、 DP 所在直线为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标 系, 设 PD ? DC ? 2 ,则 A(2, 0, 0) , P (0, 0, 2) , E (0,1,1) , B (2, 2, 0)

PA ? (2,0,?2), DE ? (0,1,1), DB ? (2,2,0)
设 n 1 ? ( x, y, z ) 是平面 BDE 的一个法向量,

则由

? ?y ? z ? 0 ?n 1 ? DE ? 0 ? ? ? ?n 1 ? DB ? 0 ,得 ?2 x ? 2 y ? 0

取 y ? ?1 ,得 n 1 ? (1, ?1,1) .

∵ PA ? n 1 ? 2 ? 2 ? 0 ,? PA ? n 1,又PA ? 平面BDE ,? PA / / 平面BDE (II)由(Ⅰ)知 n 1 ? (1, ?1,1) 是平面 BDE 的一个法向量,又 n 2 ? DA ? (2, 0, 0) 是平面 DEC 的一个法向量. 设二面角 B ? DE ? C 的平面角为 ? ,由图可知 ? ?? n1 , n 2 ? 故二面角 B ? DE ? C 的余弦值为 ∴ cos ? ? cos ? n1 , n 2 ??
3 3

3 . 3

(Ⅲ)∵ PB ? (2,2,?2), DE ? (0,1,1) ∴ PB DE ? 0 ? 2 ? 2 ? 0,? PB ? DE. 假设棱 PB 上存在点 F ,使 PB ⊥平面 DEF ,设 PF ? ? PB(0 ? ? ? 1) , 则 PF ? (2? , 2? , ?2? ) , DF ? DP ? PF ? (2? , 2? , 2 ? 2? )

由 PF ? DF ? 0 得 4? ? 4? ? 2? (2 ? 2? ) ? 0
2 2

? ? ? (0,1),此时PF ? PB
∴ 即在棱 PB 上存在点 F , PF ?

1 3

1 3

1 PB ,使得 PB ⊥平面 DEF . 3

法二: (I)连接 AC , AC 交 BD 于 O ,连接 OE .在 ?PAC 中, OE 为中位线,? OE // PA

又PA ? 平面BDE ,? PA //平面 BDE .
(II) PD ⊥底面 ABCD ,? 平面 PDC ⊥底面 ABCD , CD 为交线,

BC ⊥ CD

? 平面 BCE ⊥平面 PDC , PC 为交线,

PD = DC , E 是 PC 的中点? DE ⊥ PC

? DE ⊥平面 PBC ,? DE ⊥ BE ? ?BEC 即为二面角 B ? DE ? C 的平面角.
2 6 3 a, BC ? a, BE ? a, ? cos ?BEC ? 设 PD ? DC ? a ,在 Rt ?BCE 中, CE ? 2 2 3

故二面角 B ? DE ? C 的余弦值为

3 . 3

(Ⅲ) 由(II)可知 DE ⊥平面 PBC ,所以 DE ⊥ PB ,所以在平面 PDE 内过 D 作 DF ⊥ PB ,连 EF,则 PB ⊥ 平面 DEF . 在 Rt ?PDB 中, PD ? a , BD ? 所以在棱 PB 上存在点 F , PF ?

2a , PB ? 3a , PF ? 3 a .
3

1 PB ,使得 PB ⊥ 平面 DEF . 3

18.

19.

20.


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