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江苏省镇江市2015届高三上学期期末考试数学试题及答案


江苏省镇江市 2015 届高三上学期期末考试数学试题
2015 年 2 月

第I卷
注意事项: 1.本试卷由填空题和解答题两部分组成,满分 160 分,考试时间为 120 分钟. 2. 答题前,请您务必将自己的学校、姓名、考试号用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔填写在 答题卡上规定的地方. 3. 答题时必须用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔写在答题卡上的指定位置, 在其它位置作答 一律无效. 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 不需要写出解答过程,请把答案 直接填写在答题卡的相应位置上 . ......... 1.记复数 z ? a ? bi(i 为虚数单位)的共轭复数为 z ? a ? bi(a, b ? R) ,已知 z ? 2 ? i ,则

z2 ?



.

2.设全集 U ? Z ,集合 M ? ? 1,2?, P ? ?? 2,?1,0,1,2?,则 P

? UM =



.

3.某校共有师生 1600 人,其中教师有 1000 人,现用分层抽样的方法,从所有师生中抽取 一个容量为 80 的样本,则抽取学生的人数为 ▲ . 4.若双曲线

1 x2 y2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的 ,则 2 4 a b
▲ . ▲ . ▲ .. 开始 输入 a , b

该双曲线的渐近线方程是

5.已知向量 a ? (2x ? 1,?1),b ? (2, x ? 1), a ? b ,则 x ? 6.执行如图流程图,若输入 a ? 20, b ?

1 ,则输出 a 的值为 2

7.设 ? , ? 为互不重合的平面, m, n 是互不重合的直线,给出下列四个命题: ①若 m // n, n ? ? ,则 m // ? ; ②若 m ? ? , n ? ? , m // ? , n // ? ,则 ? // ? ; ③若 ? // ? , m ? ? , n ? ? ,则 m // n ; ④若 ? ? ? , ? ? ? ? m, n ? ? , n ? m ,则 n ? ? ; 其中正确命题的序号为 ▲ .

a ? a?b
Y

a?b
N 输出 a 结束

8.设 m, n 分别为连续两次投掷骰子得到的点数,且向量 a ? ?m, n?, b ? ?1,?1?,则向量 a, b 的夹角为锐角的概率是________.

9.设等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,若 S 3 ? 7, S 6 ? 63, 则 a7 ? a8 ? a9 ?



.

10.已知直线 l 过点 P(1,2) 且与圆 C : x 2 ? y 2 ? 2 相交于 A, B 两点, ?ABC 的面积为 1, 则直线 l 的方程为 ▲ . 11.若钝角三角形三个内角的度数成等差数列,且最大边与最小边长度之比为 m ,则 m 的 取值范围是 ▲ . 12. 若函数 f ( x) 为定义在 R 上的奇函数, 当 x ? 0 时, f ( x) ? x ln x , 则不等式 f ( x) ? ?e 的解集为 ▲ . ▲ .

1 13.曲线 y ? ? ( x ? 0) 与曲线 y ? ln x 公切线(切线相同)的条数为 x
14.已知正数 x , y 满足

1 1 4x 9y ? ? 1 ,则 ? 的最小值为 x y x ?1 y ?1



.

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.请在答题卡指定区域 内作答,解答时应写出必要 .... 的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) 已知 ?ABC 的面积为 S ,且 AB ? AC ? 2S . (1)求 sin A ; (2)若 AB ? 3, AB ? AC ? 2 3 ,求 sin B .

16. (本小题满分 14 分) 如 图 , 在 三 棱 锥 D ? A B C 中 , 已 知 ?BCD 是 正 三 角 形 , AB ? 平 面 B C D ,

AB ? BC ? a , E 为 BC 的中点, F 在棱 AC 上,且 AF ? 3FC .
(1)求三棱锥 D ? ABC 的体积; (2)求证: AC ? 平面 DEF ; ( 3 )若 M 为 DB 中点, N 在棱 AC 上,且

3 CN ? CA ,求证: MN // 平面 DEF . 8

17. (本小题满分 15 分) 某飞机失联,经卫星侦查,其最后出现在小岛 O 附近.现派出四艘搜救船 A, B, C , D ,为 方便联络,船 A, B 始终在以小岛 O 为圆心,100 海里为半径的圆上,船 A, B, C , D 构成正方 形 编 队 展 开 搜 索 , 小 岛 O 在 正 方 形 编 队 外 ( 如 图 ) . 设 小 岛 O 到 AB 的 距 离 为 x ,

?AOB ? ? , D 船到小岛 O 的距离为 d .
(1)请分别求 d 关于 x, ? 的函数关系式 d ? g ( x), d ? f (? ) ;并分别写出定义域; (2 )当 A, B 两艘船之间的距离是多少时搜救范围最大 (即 d 最大).

18.(本小题满分 15 分)

x2 y 2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点 F (1,0) ,离心率为 ,过 F 作两条互相垂直的 2 a b 2 弦 AB, CD ,设 AB, CD 的中点分别为 M , N .
已知椭圆 (1)求椭圆的方程; (2)证明:直线 MN 必过定点,并求出此定点坐标; (3)若弦 AB, CD 的斜率均存在,求 ?FMN 面 积的最大值.

19. (本小题满分 16 分)
已知函数

f ( x) ? 4 x ? 2 x ,实数 s , t 满足 f (s) ? f (t ) ? 0 ,设 a ? 2s ? 2t , b ? 2s?t .

(1)当函数 f ( x) 的定义域为 ?? 1,1? 时,求 f ( x) 的值域; (2)求函数关系式 b ? g (a) ,并求函数 g (a ) 的定义域; (3)求 8 ? 8 的取值范围.
s t

20. (本小题满分 16 分) 已知数列 ?an ?中, a1 ? 1 ,在 a1 , a2 之间插入 1 个数,在 a2 , a3 之间插入 2 个数,在 a3 , a4 之 间插入 3 个数,…,在 an , an?1 之间插入 n 个数,使得所有插入的数和原数列 ?an ? 中的所有 项按原有位置顺序构成一个正项等差数列 ?bn ?. (1)若 a4 ? 19,求 ?bn ?的通项公式; (2)设数列 ?bn ?的前 n 项和为 Sn ,且满足 2Sn ? ? ? bn ? ? (? , ? 为常数) ,求 ?an ? 的通 项公式.

江苏省镇江市高三数学期末试题
第Ⅱ卷(理科附加卷)
21.【选做题】本题包括 A,B,C,D 四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答, 若多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.(选修 4-1:几何证明选讲) 如图,圆 O 与圆 P 相交于 A, B 两点,点 P 在圆 O 上,圆 O 的弦 BC 切圆 P 于点 B , CP 及 其 延 长 线 交 圆 P 于 D, E 两 点 , 过 点 E 作 EF ? CE 交 CB 延 长 线 于 点 F . 若

CD ? 2, CB ? 2 2 ,求 EF 的长.

B.(选修 4-2:矩阵与变换)

?1 ? 0? ?1 0 ? ? 已知矩阵 M ? ? ,试求曲线 y ? sin x 在矩阵 MN 变换下的函数解析式. ?, N ? ? 2 ? ?0 2? ?0 1 ?

C.(选修 4-4:坐标系与参数方程) 已知直线 l 的极坐标方程为 r sin(q -

ì p ? x = 10cosq ) = 6 ,圆 C 的参数方程为 í (q 为参数). 3 ? ? y = 10sin q

(1)请分别把直线 l 和圆 C 的方程化为直角坐标方程; (2)求直线 l 被圆截得的弦长.

D.(选修 4-5:不等式选讲) 已知函数 f ( x) = x - 1 + x - 2 ,若不等式 a +b + a - b 求实数 x 的取值范围.

a f ( x) 对任意 a, b ? R 恒成立,

【必做题】第 22,23 题,每小题 10 分,计 20 分.请把答案写在答题纸的指定区域内. 22.(本小题满分 10 分)

TM ,求动点 T 的轨 已知 A 为曲线 C : 4 x2 - y +1 = 0 上的动点,定点 M (- 2, 0) ,若 AT = 2
迹方程.

23.(本小题满分 10 分) 已知四棱锥 P - ABCD 的底面为直角梯形, AB / /CD, ? DAB

90癪 , PA

底面 ABCD ,且

1 AB = 1, M 是 PB 的中点. 2 (1)证明:平面 PAD ^ 平面 PCD ; (2)求 AC 与 PB 所成角的余弦值; (3) 求平面 AMC 与平面 BMC 所成二面角 (锐 PA = AD = DC =
角)的余弦值.

P

M

A

B

D

C

江苏省镇江市高三数学期末考试参考答案
第Ⅰ卷
一、填空题(每小题 5 分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 试题出处 模考题改编 教材改编 教材改编
3 x 3

知识点 复数的运算,共轭复数 集合的交集与补集 分层抽样 双曲线的几何性质 向量的数量积 算法流程图 立体几何的判定和性质定理 概率问题,向量的夹角 等比数列的性质,求和 直线和圆的位置关系,点到直 线的距离公式 正弦定理,角度范围的确定 函数的奇偶性,函数求导,函 数单调性 函数求导,构造函数及画新函 数图像 基本不等式求最值

能力 运算 运算 运算 运算 运算 识图 空间想象 运算 运算 运算 直觉,图形分析 图象分析 转化,运算 转化

难度 易 易 易 易 易 易 中 中 中 中 较难 难 难 难

3 ? 4i
??2, ?1,0?
75
y??

教材改编 教材改编 教材改编 教材改编 原创 教材改编 教材改编 模考题改编 原创题 模考题改编 模考题改编

1

5 16


5 12
448
x ?1 ? 0 ,
3x ? 4 y ? 5 ? 0

(2, ??) ( ?? , ? e )

1 25

二、解答题 15. 解: (1) ∵△ ABC 的面积为 S ,且 AB ? AC ? 2S ,

1 ∴ bc cos A ? 2 ? bc sin A , 2
∴ sin A ? 2 cos A ,

……2 分 ……3 分

1 3 ∴ A 为锐角,且 sin 2 A ? cos2 A ? sin 2 A ? sin 2 A ? sin 2 A ? 1 , ……5 分 2 2
∴ sin A ?

6 . 3

……6 分

(2)设△ ABC 中角 A, B, C 对边分别为 a , b, c ∵ | AB |? c ? 3 , | AB ? AC |? CB ? a ? 2 3 , 由正弦定理得: ……7 分 ……9 分

3 2 3 c a ,即 ? ? sin C sin C sin A 6 3

∴ sin C ? ∴C ?

2 ,又∵ c ? a ,则 C 锐角, 2

……10 分 ……11 分 ……12 分 ……14 分

π , 4

π π π ∴ sin B ? sin( A ? ) ? sin Acos ? cos Asin 4 4 4
=
6 2 3 2 2 3? 6 ? ? ? ? . 3 2 3 2 6

【说明】本题是由模拟试题改编,考查三角形中的边角关系、向量的数量积运算,考查正弦 定理,三角变换;考查学生的字母符号处理能力、运算能力能力、书写表达.

16.解: (1)因为 △ BCD 是正三角形,且 AB ? BC ? a ,所以 S?BCD ? 因为 AB ⊥平面 BCD ,

3 2 a ,……2 分 4

1 VD? ABC ? VA? BCD ? ? AB ? S△BCD ? 1 ? 3 a 2 ? a ? 3 a3 . 3 12 3 4
(2)在底面 ABC 中, (以下运用的定理不交代在同一平面中,扣 1 分) 取 AC 的中点 H ,连接 BH , AB ? BC ? BH ? AC ,
? ? ? ?EF ? AC AF ? 3FC , ? F 为 CH 的中点, ? ? ? ? EF∥BH ? E 为 BC 的中点, ?

……5 分

6分

△ BCD 是正三角形, ? DE ? BC . ? ? AB ? 面BCD, ? ? ? AB ? DE , (7分)? ? DE ? 面BCD, ? ? ? DE ? 面ABC ,(8分) ? ? ? DE ? AC , (9分) ? ? AB BC ? B, AC ? 面ABC , ? ? ? AC ? EF , ? AB, BC ? 面ABC , ? ? ? DE ? EF ? E , ? DE , EF ? 面DEF , ? ?
? AC ? 面DEF .……10 分

(注意:涉及到立体几何中的结论,缺少一个条件,扣 1 分,扣满该逻辑段得分为止)

3 (3)当 CN ? CA 时,连 CM ,设 CM ? DE ? O ,连 OF . 8 2 2 O 为△ BCD 的重心, ? CO ? CM ,当 CF ? CN 时, ? MN ∥ OF ,(11 分) ? ? 3 3 OF ? 面DEF , ? MN ? 面DEF , ? ?

? MN ∥ 面DEF .……14 分
【说明】本题是由模考题改编,考查锥体体积、垂直的判定、平行的判定;考查空间想象能 力和识图能力,规范化书写表达能力. 17. 解:设 x 的单位为百海里 (1)由 ?OAB ? ? , AB ? 2OA cos A = 2cos A , AD ? AB ? 2 cos ? ,
π 在△ AOD 中, OD ? f (? ) ? OA2 ? OB 2 ? 2 ? OA ? OB cos(? ? ) 2

……2 分 ……3 分

π ? 1 ? 4cos2 ? ? 4cos ? sin ? ; ? ? (0, ) (定义域 1 分) ……5 分 2
若小岛 O 到 AB 的距离为 x , AB ? 2 12 ? x2 ,
OD ? g ( x) ? ( x ? AD 2 AB 2 ) ?( ) 2 2

……6 分 ……8 分 (定义域 1 分) ……10 分

? ? x2 ? 2 x 1 ? x2 ? 2 , x ? (0,1)
π (2) OD2 ? 4cos2 ? ? 1 ? 4cos ? sin ? ; ? ? (0, ) 2 ? 4?

1 ? cos 2? sin 2? ? 2(sin 2? ? cos 2? ) ? 3 ?1? 4? 2 2
……11 分 ……12 分

π π ? 2 2 sin(2? ? ) ? 3,? ? (0, ) . 4 2
π π π 5π π π 当 2? ? ? ( , ) ,则 2? ? ? 时,即 ? ? , OD 取得最大值, 8 4 4 4 4 2
π 此时 AB ? 2cos ? 2 ? 8 1 ? cos 2 π 4 ? 2 ? 2 (百海里).

……13 分 ……14 分

答:当 AB 间距离 100 2 ? 2 海里时,搜救范围最大.

【说明】本题是原创题,考查余弦定理,三角恒等变换,数学建模的能力,选择合适的模型 求最值的问题. 18. 解: (1)由题意: c ? 1,

c 2 ,则 a ? 2, b ? 1, c ? 1 , (每个 1 分) ? a 2

……3 分

椭圆的方程为

x2 ? y2 ? 1 2
x1 ? x2 x ?x , k ( 1 2 ? 1)) , 2 2
得 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4k 2 x ? 2k 2 ? 2 ? 0 ,

……4 分

(2) AB, CD 斜率均存在,设直线 AB 方程为: y ? k ( x ? 1) ,

A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), M (
? y ? k ( x ? 1), ? 2 2 ? x ? 2 y ? 2 ? 0,

……5 分

? 4k 2 x1 ? x2 ? ? 2k 2 ?k ? 1 ? 2k 2 ,故 M ( , ), ? 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2 ? x x ? 2k ? 2 ? 1 2 1 ? 2k 2 ?

……6 分

1 2 k 将上式中的 k 换成 ? ,则同理可得: N ( , ), 2 k 2 ? k 2 ? k2


……8 分

2k 2 2 ,得 k ? ?1 ,则直线 MN 斜率不存在, ? 2 1 ? 2k 2 ? k2 2 2 此时直线 MN 过点 ( , 0) ,下证动直线 MN 过定点 P( ,0) . 3 3

……9 分

(法一)若直线 MN 斜率存在,则 kMN

?k k ? 2 2 k 2 ? k 2 ? ?k (3k ? 3) ? 3 ? ?k , ? 1 ? 22 2k 2 2k 4 ? 2 2 k 2 ?1 ? 1 ? 2k 2 2 ? k 2
……11 分

直线 MN 为 y ?

k 3 ?k 2 ? ? 2 (x ? ), 2 2?k 2 k ?1 2 ? k2

2 2 k 2 ?1 2 3 ? k 2 ?1 2 ? ? ? ? ? , 2 ? k2 3 2 ? k2 3 2 ? k2 3 2 综上,直线 MN 过定点 ( , 0) . 3
令 y ? 0 ,得 x ?

……12 分

(法二)动直线 MN 最多过一个定点,由对称性可知,定点必在 x 轴上,设 x ?

2 与 x 轴交 3

2 2 点为 P( ,0) ,下证动直线 MN 过定点 P( ,0) . 3 3
当 k ? ?1时, k PM

?k 2 3 k ? 1 ?2 2k , ? ? 2k 2 2 1? k2 ? 1 ? 2k 2 3

……10 分

1 (? ) 1 3 k 3 k 同理将上式中的 k 换成 ? ,可得 k PM ? , ? ? 2 1? 1 2 1? k2 k k2

……11 分

2 则 k PM ? k PN ,直线 MN 过定点 P( ,0) . 3 2 (3)由第(2)问可知直线 MN 过定点 P( ,0) , 3

……12 分

故 S△FMN=S△FPM+S△FPN ? 1 ? 1 | k 2 | ? 1 ? 1 | ?k 2 | 2 3 2?k 2 3 1 ? 2k 1 | k | (3 ? 3k 2 ) 1 | k | ( k 2 ? 1) ? ? ? 6 (2 ? k 2 )(1 ? 2k 2 ) 2 2k 4 ? 5k 2 ? 2

……13 分

1 (| k | ? ) 1 |k| , ? 2 2k 2 ? 5 ? 2 k2
令 t ?| k | ?

1 1 t ? [2, ??) ,S△FMN ? f (t ) ? 1 ? 2 t ? ? 2 |k| 2 2(t ? 2) ? 5 2 2t ? 1 1 1 ? 2t 2 f '(t ) ? ? 0 ,则 f (t ) 在 t ? [2, ??) 单调递减, 2 (2t 2 ? 1) 2
1 ,此时 k ? ?1 . 9

……14 分 ……15 分 ……16 分

当 t ? 2 时 f (t ) 取得最大值,此时 S△FMN 取得最大值

【说明】本题原创. 考查椭圆的标准方程,椭圆的几何性质;考查函数最值、定点定值问题 题型;考查变量代换法、函数思想、分类讨论思想、一般与特殊思想;考查运算能力、演绎 论证(分析法证明)能力、直觉思维能力,猜想探究能力. 本题可以不妨设 k ? 0 ,可直接对

k (k 2 ? 1) 求导,判断单调性. 2k 4 ? 5k 2 ? 2

1 19. 解: (1)若 x ? [?1,1] ,令 m ? 2x ?[ , 2] , 2
1 1 1 f ( x) ? l (m) ? m2 ? m ? (m ? )2 ? 在 [ , 2] 上为增函数 2 2 4

……1 分 ……2 分 ……3 分 ……4 分

1 1 f ( x)min ? l (m)min ? l ( ) ? ? ; f ( x ) max ? l (m) max ? l (2) ? 2 , 2 4
1 f ( x) 值域为 [? , 2] . 4
(2)实数 s, t 满足 f (s) ? f (t ) ? 0 ,则 4s ? 2s ? 4t ? 2t ? 0 , 则 (2s ? 2t )2 ? 2 ? 2s ?t ? (2s ? 2t ) ? 0 ,

……6 分 ……7 分 ……8 分

1 而 a ? 2 s ? 2t , b ? 2s ? t ,故 a 2 ? 2b ? a ? 0 , b ? g (a ) ? (a 2 ? a ) , 2 1 由题意, b ? 0, a ? 0 ,则 (a 2 ? a ) ? 0 ,故 a ? 1 , 2
又 2s ? 2t ? 4s ? 4t ? 2 ? ( 即a?

2s ? 2t 2 ) , 2
……9 分 ……10 分

a2 ,故 a ? 2 ,当且仅当 s ? t 时取得等号, 2

综上: 1 ? a ? 2 .

(3) 8s ? 8t ? (2s ? 2t )(4s ? 2s ? 2t ? 4t ) ? a(a ? b)

1 1 1 3 2 a ? (1, 2] ? a( a ? a 2 ? a ) ? ? a 3 ? a , 2 2 2 2 1 3 令 h(a) ? ? a3 ? a2 , a ? (1,2] , 2 2
h '(a ) ? ?

……12 分

3a2 3 ? 3a ? ? a(a ? 2) ? 0 当 a ? (1, 2] 恒成立, 2 2

……14 分 ……16 分

故 h ( a ) 在 a ? (1, 2] 单调递增, h(a) ? (h(1), h(2)] ,故 8 s ? 8t ? (1, 2] .

【说明】本题原创,考查二次函数、指数函数的单调性,考查基本不等式、导数的应用;考 查换元法、划归思想;考查运算变形能力. 20. 解: (1)设 {bn } 的公差为 d ,由题意:数列 {bn } 的前几项为:
b1 ? a1 ? 1, b2 , b3 ? a2 , b4 , b5 , b6 ? a3 , b7 , b8 , b9 , b10 ? a4 ? 19
a 4 为 {bn } 的第 10 项,则 b10 ? b1 ? 9d ,

……2 分 ……4 分 ……5 分 ……6 分

d ? 2 ,而 b1 ? 1 ,
故数列 {bn } 的通项公式为 bn ? 1 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 1 . (2)由 2Sn ? ? ? bn ? ? ( ? , ? 为常数) , 得 2Sn ? ? ? (bn ? ? )2 ? bn 2 ? 2?bn ? ? 2 ,……① 当 n ? 1 得: 2 ? ? ? 1 ? 2? ? ? 2 ,……② 当 n ? 2 时, 2Sn?1 ? ? ? bn?12 ? 2?bn?1 ? ? 2 , ……③ ①-③得 2bn ? bn2 ? bn?12 ? 2? (bn ? bn?1 ) , 则 2bn ? d (bn ? bn ?1 ) ? 2? d ? d (2bn ? d ) ? 2? d , 若 d ? 0 ,则 bn ? b1 ? 1 ,代入④式,得 2 ? 0 ,不成立;

……7 分

……8 分 ……9 分 ……10 分

(法一)当 n ? 2 , (2 ? 2d )bn ? 2? d ? d 2 ? 常数……④恒成立,又 {bn } 为正项等差数列,
? 2 ? 2d ? 0, 1 当 d ? 0 时, bn 不为常数,则 ? 得 d ? 1, ? ? , 2 2 ?2? d ? d ? 0,

……11 分

代入②式,得 ? ?

1 . 4

……12 分

(法二) 2bn ? d (2bn ? d ) ? 2?d , (2 ? 2d )bn ? 2? d ? d 2 ,即 (2 ? 2d )[b1 ? (n ? 1)d ] ? 2? d ? d 2 , 则 2d (1 ? d )n ? 2(1 ? d )2 ? 2? d ? d 2 对 n ≥2 恒成立,

? d ? 1, ?4d (1 ? d ) ? 2(1 ? d ) 2 ? 2 ?d ? d 2 , ? 令 n ? 2,3 ,得 ? 解得 1 ? 2 2 ?? , ?6d (1 ? d ) ? 2(1 ? d ) ? 2 ?d ? d , ? ? 2

……11 分

【或者: 2d (1 ? d )n ? 2(1 ? d )2 ? 2?d ? d 2 ? 常数,则 2d (1 ? d ) ? 0 ,得 d ? 1 ,

1 当 d ? 1 时,代入上式得 ? ? , 】 2
代入②式,得 ? ?

1 . 4

……12 分

(法三)由 2bn ? d (bn ? bn?1 ) ? 2? d (n ? 2) ,……④ 得 2bn?1 ? d (bn?1 ? bn?2 ) ? 2? d (n ? 3) ,……⑤

1 ④-⑤,得 2d ? 2d 2 , d ? 1 , 代入上式得 ? ? , 2
代入②式,得 ? ?

……11 分 ……12 分 ……13 分

1 . 4

所以等差数列 {bn } 的首项为 b1 ? 1 ,公差为 d ? 1 ,则 bn ? n .

设 {an } 中的第 n 项为数列 {bn } 中的第 k 项,则 a n 前面共有 {an } 的 n ? 1项,又插入了

1? 2 ? 3 ?

? (n ? 1) ?

n(n ? 1) n2 ? n n(n ? 1) 项,则: k ? (n ? 1) ? …15 分 ?1 ? 2 2 2
……16 分

故 an ? bk ? k ?

n2 ? n . 2

【说明】本题是原创题,考查等差数列的性质、通项、求和、简单递推;考查一般与特殊思 想、转化与划归思想;考查运算能力;考查分析探究能力.

第Ⅱ卷理科附加卷
?1 ?1 0 ? ? 21.B 解:MN = ? ? 2 ?0 2? ? 0 ? ? ?1 0? ? = 2 ? ? 1? ? 0 ? 0? , ? 2?
?1 ? ? 0? ? x ? ? x ? ? , ?2 ? ?? y? ? ? 2? ? ?2y ?

……4 分

?1 ? x ? ? x? ? 即在矩阵 MN 变换下 ? ? ? ? ? ? ? 2 ? y ? ? y ?? ? 0 ?

……6 分

x? ?

1 x, y? ? 2 y , 2 1 y? ? sin 2 x? , 2

……8 分

代入得:

即曲线 y ? sin x 在矩阵 MN 变换下的函数解析式为 y ? 2sin 2 x .

……10 分

π 1 3 21.C 解: (1)由 ? sin(? ? ) ? 6 ,得:? ( sin ? ? cos? ) ? 6 3 2 3
? y ? 3x ? 12 ,即 3x ? y ? 12 ? 0 .
圆的方程为 x2 ? y 2 ? 100 . (2) d ? 6, r ? 10 , 弦长 l ? 2 100 ? 36 ? 16 .
2 22. 解:设 T ( x, y), A( x0 , y0 ) ,则 4 x0 ? y0 ? 1 ? 0 ,①

……4 分 ……6 分

……10 分 ……2 分 ……5 分 ……7 分 ……10 分

又 M (?2,0) ,由 AT ? 2TM 得 ( x ? x0 , y ? y0 ) ? 2(?2 ? x,0 ? y) ,
? x0 ? 3x ? 4, y0 ? 3 y ,

代入①式得 4(3x ? 4)2 ? 3 y ? 1 ? 0 ,即为所求轨迹方程. 23.解:建立如图所示的空间直角坐标系,

1 则 A(0,0,0), D(1,0,0), P(0,0,1), B(0,2,0), C(1,1,0), M (0,1, ) , 2
(1)证明:因为 AP ? (0,0,1), DC ? (0,1,0) , 故 AP ? DC ? 0, 所以AP ? DC , 由题设知 AD ? DC ,且 AP 与 AD 是平面 PAD 内的两条相交直线, 由此得 DC ⊥面 PAD ,又 DC ? 面 PCD ,故平面 PAD ? 面 PCD . (2)因 AC ? (1,1,0), PB ? (0,2, ?1), ? | AC |? 2,| PB |? 5, AC ? PB ? 2,

……1 分

……4 分

? cos ? AC , PB ??

AC ? PB 10 ? . 5 | AC | ? | PB |

……7 分

(3)设平面 AMC 的一个法向量为 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) ,

1 1 则 n1 ? AM ,? n1 ? AM ? ( x1 , y1 , z1 ) ? (0,1, ) ? y1 ? z1 ? 0 , 2 2
又 n1 ? AC ,? n1 ? AC ? ( x1 , y1 , z1 ) ? (1,1,0) ? x1 ? y1 ? 0 , 取 x1 ? 1 ,得 y1 ? ?1, z1 ? 2 ,故 n1 ? (1, ?1, 2) , 同理可得面 BMC 的一个法向量为 n2 ? (1,1,2) ,

cos ? n1 , n2 ??

n1 ? n2 n1 n2

?

1 ?1 ? 4 6? 6

?

2 , 3
2 . 3

……10 分

? 平面 AMC 与平面 BMC 所成二面角(锐角)的余弦值为


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