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专题05 函数的单调性与最值-备战2015高考理数热点题型和提分秘籍(原卷版)


【高频考点解读】 1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义. 2.会利用函数的图象理解和研究函数的性质. 3.确定函数单调性、单调区间及应用函数单调性求值域、最值,比较或求函数值大小,是高考的热点及 重点. 4.常与函数的图象及其他性质交汇命题. 5.题型多以选择题、填空题形式出现,若与导数交汇则以解答题形式出现. 【热点题型】 题型一 考查函数的单调性

/>k 例 1.探讨函数 f(x)=x+ (k>0)的单调性. x 【提分秘籍】 1.函数的单调区间是其定义域的子集. 2. 由函数单调性的定义可知, 若函数 f(x)在区间 D 上是增(减)函数, 则当 x1<x2 时, f(x1)<f(x2)((f(x1)>f(x2)). 3.一个函数在不同的区间可以有不同的单调性,同一种单调区间用“和”或“,”连接,不能用“∪”连接. 4.两函数 f(x)、g(x)在 x∈(a,b)上都是增(减)函数,则 f(x)+g(x)也为增(减)函数,但 f(x)· g(x)的单调性 1 与其正负有关, 与 f(x)是否为 0 有关,切不可盲目类比. fx 5.判断或证明函数的单调性的两种方法 (1)利用定义的基本步骤是: 取值 ? 作差商变形 ? 确定符号 ? 得出结论 (2)利用导数的基本步骤是: 求导函数 ? 确定符号 ? 得出结论 【举一反三】 设 x1,x2 为 y=f(x)的定义域内的任意两个变量,有以下几个命题: ①(x1-x2)[f( x1)-f(x2)]>0; ②(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0;
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③ ④

fx1-fx2 >0; x1-x2 fx1-fx2 <0. x1-x2

其中能推出函数 y=f(x)为增函数的命题为________. 【热点题型】 题型二 求函数的单调区间

?fx,fx k, ? 例 2. 设函数 y=f(x)在(-∞,+∞)内有定义.对于给定的正数 k,定义函数 fk(x)=? 取函 ? ?k,fx k

数 f(x)=2

-|x|

1 .当 k= 时,函数 fk(x) 的单调递增区间为( 2 B.(0,+∞)

)

A.(-∞,0)

C.(-∞,-1) D.(1,+∞) 【提分秘籍】

【举一反三】 1,x>0, ? ? 设函数 f(x)=?0,x=0, ? ?-1,x<0, A.(-∞,0] C.[1,+∞) 【热点题型】 题型三 【例 3】 由函数的单调性求参数的范围 (1)定义在 R 上的偶函数 f(x)在(0,+∞)上是增函数,则( ) B.[0,1) D.[-1,0]

g(x)=x2f(x-1),则函数 g(x)的递减区间是(

)

A.f(3)<f(-4)<f(-π) B.f(-π)<f(-4)<f(3) C.f(3)<f(-π)<f(-4)

D.f(-4)<f(-π)<f(3)
?a- x-1,x≤1 ? (2)已知函数 f(x)=? , 若 f(x)在(-∞, +∞)上单调递增, 则实数 a 的取值范围为________. ?logax,x>1 ?

【提分秘籍】 单调性的应用常涉及大小比较,解不等式,求最值及已知单调性求参数范围等问题,解决时要注意等 价转化思想与数形结合思想的运用. 【举一反三】 a 已知函数 f(x)=x2+ (x≠0,a∈R). x (1)判断函数 f(x)的奇偶性; (2)若 f(x)在区间[2,+∞)上是增函数,求实数 a 的取值范围. 【热点题型】 题型四 函数的最值问题(换元法)

a 1 例 4、已知函数 y=-sin2x+asin x- + 的最大值为 2,求 a 的值. 4 2 【提分秘籍】换元法解题模板 第一步:换元 确定解析式中的某一部分作为一个新的变元 第二步:定范围 根据新的变元的表达式确定新变元的取值范围 M. 第三步:转化 将问题转化为关于新变元的一个函数在区间 M 上的最值问题. 第四步:求最值 利用基本初等函数求最值得原函数的最值. 【举一反三】 求 y=x- 1-2x函数的值域: 题型四 函数的最值问题( 数形结合法)

例 5、用 min{a,b,c}表示 a,b,c 三个数中的最小值,则函数 f(x)=min{4x+1,x+4,-x+8}的最 大值是________. 【提分秘籍】数形结合法解题模板 对于函数解析式有明显的几何特征的函数最值问题,解题步骤是: 第一步:数变形 根据函数解析式的特征,构造图形转化为求几何中的最值. 第二步:解形 利用几何方法解决图形中的最值. 第三步:还形为数 将几何中的最值还原为函数的最值. 第四步:回顾反思 利用数形结合法求解函数最值,其实质就是利用函数图象或借助几何图形求解函

数最值,关键在于把握函数解析式的结构特征. 【举一反三】 函数 y= x+ 2+16+ x- 2+4的值域为________. 【高考风向标】 1. (2014· 北京卷)下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是( A.y= x+1 B.y=(x-1)2 C.y=2
-x

)

D.y=log0.5(x+1) )

?x2+1,x>0, ? 2. (2014· 福建卷)已知函数 f(x)=? 则下列结论正确的是( ?cos x, x≤0, ?

A.f(x)是偶函数 B.f(x)是增函数 C.f(x)是周期函数 D.f(x)的值域为[-1,+∞)
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?-4x2+2,-1≤x<0, ? 3. (2014· 四川卷) 设 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的函数, 当 x∈[-1, 1)时, f(x)=? ? ?x, 0≤x<1,

3? 则 f? ?2?=________. 4. (2014· 四川卷)以 A 表示值域为 R 的函数组成的集合,B 表示具有如下性质的函数 φ (x)组成的集合: 对于函数 φ(x),存在一个正数 M,使得函数 φ(x)的值域包含于区间[-M,M].例如,当 φ1(x)=x3,φ2(x)= sin x 时,φ1(x)∈A,φ2(x)∈B.现有如下命题: ①设函数 f(x)的定义域为 D,则“f(x)∈A”的充要条件是“?b∈R,?a∈D,f(a)=b”; ②函数 f(x)∈B 的充要条件是 f(x)有 最大值和最小值; ③若函数 f(x),g(x)的定义域相同,且 f(x)∈A,g(x)∈B,则 f(x)+g(x)?B; x ④若函数 f(x)=aln(x+2)+ 2 (x>-2,a∈R)有最大 值,则 f(x)∈B. x +1 其中的真命题有________.(写出所有真命题的序号) 5. (2014· 四川卷)已知函数 f(x)=ex-ax2-bx-1,其中 a,b∈R,e=2.718 28…为自然对数的底数. (1)设 g(x)是函数 f(x)的导函数,求函数 g(x)在区间[0,1]上的最小值; (2)若 f(1)=0,函数 f(x)在区间(0,1)内有零点,求 a 的取值范围.
?x2+2x+a,x<0, ? 6. (2013· 四川卷)已知函数 f(x)=? 其中 a 是实数.设 A(x1,f(x1)), ?lnx,x>0, ?

B(x2,f(x2))为该函数图像上的两点,且 x1<x2. (1)指出函数 f(x)的单调区间; (2)若函数 f(x)的图像在点 A,B 处的切线互相垂直,且 x2<0,求 x2-x1 的最小值; (3)若函数 f(x)的图像在点 A,B 处的切线重合,求 a 的取值范围. 7. (2013· 四川卷)设函数 f(x)= ex+x-a(a∈R,e 为自然对数的底数).若曲线 y=sinx 上存在(x0,y0) 使得 f(f(y0))=y0,则 a 的取值范围是( A.[1,e] B.[e 1-1,1]
- -
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)

C.[1,e+1] D.[e 1-1,e+1] 8. (2013· 四川卷)函数 y= x3 的图像大致是( 3 -1
x

)

图 1-5 9. (2013· 新课标全国卷Ⅱ] 已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c,下列结论中错误的是( A.x0∈R ,f(x0)=0 B.函数 y=f(x)的图 像是中心对称图形 C.若 x0 是 f(x)的极小值点,则 f(x)在区间(-∞,x0)单调递减 D.若 x0 是 f(x)的极值点,则 f′(x0)=0 【随堂巩固】 )

1.函数 y= 2 ? A.? ?3,+∞? 2 ? C.? ?3,+∞?

1 +lg(2x-1)的定义域是( 3x-2 1 ? B.? ?2,+∞? 1 2? D.? ?2,3?

)

1-x2+ x2-1 2. 已知集合 A 是函数 f(x)= 的定义域, 集合 B 是其值域, 则 A∪B 的子集的个数为( x A.4 B.6

)

C.8

D.16 )

3.下列图形中可以表示以 M={x|0≤x≤1}为定义域,以 N={y|0≤y≤1}为值域的函数的图象是(

4.下列函数中,值域是(0,+∞)的是( A.y= x2-2x+1 1 C.y= 2 (x∈N) x +2x+1

)

x+2 B.y= (x∈(0,+∞)) x+1 1 D.y= |x+1| )

5. 已知等腰△ABC 周长为 10, 则底边长 y 关于腰长 x 的函数关系为 y=10-2x, 则函数的定义域为( A.R C.{x|0<x<5} B.{x|x>0}
? 5 ? D.?x|2<x<5? ? ?

2 6.函数 y= 的定义域是(-∞,1)∪[2,5),则其值域是( x-1 1 ? A.(-∞,0)∪? ?2,2? 1? C.? ?-∞,2?∪[2,+∞) B.(-∞,2] D.(0,+∞) )

)

7.已知函数 f(x)=2 x+ 4-x,则函数 f(x)的值域为( A.[2,4] C.[4,2 5 ] 8.函数 y=2- -x2+4x的值域是( A.[-2,2] C.[0,2] B.[0,2 5 ] D.[2,2 5 ] )

B.[1,2] D.[- 2, 2]

1 10.定义区间[x1,x2](x1<x2)的长度为 x2-x1,已知函数 f(x)=|log x|的定义域为[a,b],值域为[0,2],则 2 区间[a,b]的长度的最大值与最小值的差为__ ______. 11.函数 y= x+1+ x- 0 的定义域是________. -x

12.函数 y= x-x(x≥0)的最大值为________. 13.已知函数 f(x)的定义域为[0,1],值域为[1,2],则函数 f(x+2)的定义域为____________,值域为

__________. 14.求下列函数的值域. 1-x (1)y= ;(2)y=2x-1- 13-4x. 2x+5 1 15.若函数 f(x)= x2-x+a 的定义域和值域均为[1,b](b>1),求 a、b 的值. 2 1 16.已知函数 g(x)= x+1, h(x)= ,x∈(-3,a],其中 a 为常数且 a>0,令函数 f(x)=g(x)· h(x). x+3 (1)求函数 f(x)的表达式,并求其定义域; 1 (2)当 a= 时,求函数 f(x)的值域. 4
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