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安徽省马鞍山市和县一中2015届高三上学期第四次月考数学试卷(理科)


2014-2015 学年安徽省马鞍山市和县一中高三(上)第四次月考数学试卷(理科)

一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.若复数 z= A. 2 B. 2 (a∈R,i 是虚数单位)是纯虚数,则|a+2i|等于( C. 4 D. 8 )

2.用“秦九韶

”算法计算多项式 f(x)=5x +4x +3x +2x +x+1 当 x=2 时的值时,需要做乘法 和加法的次数分别为( )

5

4

3

2

A. 4,4 B. 4,5 C. 5,4 D. 5,5

3.在△ABC 中, “sin(A﹣B)cosB+cos(A﹣B)sinB≥1”是“△ABC 是直角三角形”的( A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件



4.设α ,β 是两个不同的平面,l 是一条直线,以下命题正确的是( A. 若 l⊥α ,α ⊥β ,则 l∥β B. 若 l∥α ,α ∥β ,则 l∥β C. 若 l⊥α ,α ∥β ,则 l⊥β D. 若 l∥α ,α ⊥β ,则 l⊥β



5.若 A. B. C. D.

的值(



6.某简单几何体的一条对角线长为 a,在该几何体的正视图、侧视图与俯视图中,这条对角 线的投影都是长为 A. B. 的线段,则 a=( C. 1 D. 2 )

7.已知平面上不共线的四点 O,A,B,C.且满足

,那么

=(



A.

B. 3 C.

D. 2

8.若点 P 是曲线 y=x ﹣lnx 上任意一点,则点 P 到直线 y=x﹣2 的最小距离为( A. 1 B. C. D.

2



9.若直线 xcosθ +ysinθ ﹣1=0 与圆(x﹣cosθ ) +(y﹣1) = 直线的斜率是( A. B. ) C. D.

2

2

相切,且θ 为锐角,则这条

10.已知函数 f(x)=x+sinx(x∈R) ,且 f(y ﹣2y+3)+f(x ﹣4x+1)≤0,则当 y≥1 时, 的取值范围是( A. B. ) C. D.

2

2

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.函数 y=lg(sinx﹣cosx﹣1)的定义域为 .

12.已知函数 f(x)=

,则

f(x)dx=



13.在平面直角坐标系中,曲线 C1:

(t 为参数) ,以坐标原点为极点,以 x 轴

的非负半轴为极轴,两坐标系的长度单位相同,曲线 C2:ρ =2cosθ ,则曲线 C1 与曲线 C2 的交 点之间的距离为 .

14.我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中,有 5 架“歼﹣15”飞机准备 着舰,如果甲、乙两机必须相邻着舰,而丙、丁两机不能相邻着舰,那么不同的着舰方法数 是 .

15.给出下列四个结论: ①命题“? x∈R,x ﹣x>0”的否定是“? x∈R,x ﹣x≤0” ②“若 am <bm ,则 a<b”的逆命题为真; ③已知直线 l1:ax+2y﹣1=0,l1:x+by+2=0,则 l1⊥l2 的充要条件是 ;
2 2 2 2

④对于任意实数 x,有 f(﹣x)=﹣f(x) ,g(﹣x)=g(x)且 x>0 时,f′(x)>0,g′ (x)>0,则 x<0 时,f′(x)>g′(x) . 其中正确结论的序号是 (填上所有正确结论的序号)

三、解答题:本大题共 6 个题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.如图,已知⊙O 的半径为 1,点 C 在直径 AB 的延长线上,BC=1,点 P 是半圆上的一个动 点,以 PC 为边作正三角形 PCD,且点 D 与圆心分别在 PC 两侧. (1)若∠POB=θ ,试将四边形 OPDC 的面积 y 表示成θ 的函数; (2)求四边形 OPDC 面积的最大值?

17.等差数列{an}的首项为 23,公差为整数,且第 6 项为正数,从第 7 项起为负数. (1)求此数列的公差 d; (2)当前 n 项和 Sn 是正数时,求 n 的最大值.

18.如图,在三棱锥 P﹣ABC 中,AB⊥BC,AB=BC= PA,点 O,D 分别是 AC,PC 的中点,OP⊥ 底面 ABC. (1)求证 OD∥平面 PAB; (2)求直线 OD 与平面 PBC 所成角的正弦值的大小.

19.M 公司从某大学招收毕业生,经过综合测试,录用了 14 名男生和 6 名女生,这 20 名毕业 生的测试成绩如茎叶图所示(单位:分) ,公司规定:成绩在 180 分以上者到“甲部门”工作; 180 分以下者到“乙部门”工作.另外只有成绩高于 180 分的男生才能担任“助理工作” . (Ⅰ)如果用分层抽样的方法从“甲部分”人选和 “乙部分”人选中选取 8 人,再从这 8 人 中选 3 人,那么至少有一人是“甲部门”人选的概率是多少? (Ⅱ)若从所有“甲部门”人选中随机选 3 人,用 X 表示所选人员中能担任“助理工作”的 人数,写出 X 的分布列,并求出 X 的数学期望.

20.已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的左右焦点分别为 F1,F2,P 为椭圆 C 上的一点.

(1)若△PF1F2 周长为 6,离心率 e= ,求椭圆 C 的方程; (2)过右焦点 F2 做斜率为 k 的直线与椭圆 C 交于 A,B 两点,交 Y 轴与点 M,且 |k|≤ ,求椭圆 C 的离心率 e 的取值范围. = ,若

21.已知函数 f(x)=alnx+

+x(a≠0) .

(Ⅰ)若曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线与直线 x﹣2y=0 垂直,求实数 a 的值; (Ⅱ)讨论函数 f(x)的单调性;

(Ⅲ)当 a∈(﹣∞,0)时,记函数 f(x)的最小值为 g(a) ,求证:g(a)≤



2014-2015 学年安徽省马鞍山市和县一中高三(上)第四次月考数学试卷(理科) 参考答案与试题解析

一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.若复数 z= A. 2 B. 2 (a∈R,i 是虚数单位)是纯虚数,则|a+2i|等于( C. 4 D. 8 )

考点: 复数求模;复数的基本概念;复数代数形式的乘除运算. 专题: 计算题. 分析: 先将 z 计算化简成代数形式,根据纯虚数的概念求出 a,再代入|a+2i|计算即可. 解答: 解:z= ∴a=2. ∴|a+2i|=|2+2i|= 故选 B. 点评: 本题考查了复数代数形式的混合运算,纯虚数的概念、复数的模.考查的均为复数中 基本的运算与概念. =2 = .根据纯虚数的概念得出

2.用“秦九韶”算法计算多项式 f(x)=5x +4x +3x +2x +x+1 当 x=2 时的值时,需要做乘法 和加法的次数分别为( )

5

4

3

2

A. 4,4 B. 4,5 C. 5,4 D. 5,5

考点: 整除的判断与弃九验算法. 专题: 计算题. 分析: 由秦九韶算法的原理,可以把多项式 f(x)=5x +4x +3x +2x +x+1 变形计算出乘法与 加法的运算次数.
5 4 3 2

解答: 解:多项式 f(x)=5x +4x +3x +2x +x+1=( ( ( (5x+4)x+3)x+2)x+1)x+1 不难发现 要经过 5 次乘法 5 次加法运算. 故需要做乘法和加法的次数分别为:5、5 故选 D. 点评: 一元 n 次多项式问题, “秦九韶算法”的运算法则是解题关键.

5

4

3

2

3.在△ABC 中, “sin(A﹣B)cosB+cos(A﹣B)sinB≥1”是“△ABC 是直角三角形”的( A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件



考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 解三角形;简易逻辑. 分析: 根据 sin(A﹣B)cosB+cos(A﹣B)sinB=sin(A﹣B+B)=sinA,结合三角形的边角关 系判断分析. 解答: 解:sin(A﹣B)cosB+cos(A﹣B)sinB=sin(A﹣B+B)=sinA ∵在△ABC 中,sin(A﹣B)cosB+cos(A﹣B)sinB≥1, ∴sin(A﹣B+B)=sinA≥1, ∵0<A<π , ∴A=90°, ∵“△ABC 是直角三角形” ∴A=90°或 B=90°或 C=90°, 根据充分必要条件的定义可判断; “sin(A﹣B)cosB+cos(A﹣B)sinB≥1”是“△ABC 是直 角三角形”的充分不必要条件, 故选:B 点评: 本题考查了解斜三角形,三角函数的性质,充分必要条件的定义,属于容易题.

4.设α ,β 是两个不同的平面,l 是一条直线,以下命题正确的是( A. 若 l⊥α ,α ⊥β ,则 l∥β B. 若 l∥α ,α ∥β ,则 l∥β C. 若 l⊥α ,α ∥β ,则 l⊥β D. 若 l∥α ,α ⊥β ,则 l⊥β



考点: 空间中直线与平面之间的位置关系. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 本题考查的知识点是直线与平面之间的位置关系,逐一分析四个答案中的结论,发现 A,B,D 中由条件均可能得到 l∥β ,即 A,B,D 三个答案均错误,只有 C 满足平面平行的性 质,分析后不难得出答案. 解答: 解:若 l⊥α ,α ⊥β ,则 l 包含于β 或 l∥β ,故 A 错误; 若 l∥α ,α ∥β ,则 l 包含于β 或 l∥β ,故 B 错误; 若 l⊥α ,α ∥β ,由平面平行的性质,我们可得 l⊥β ,故 C 正确; 若 l∥α ,α ⊥β ,则 l⊥β 或 l∥β ,故 D 错误; 故选 C 点评: 判断或证明线面平行的常用方法有:①利用线面平行的定义(无公共点) ;②利用线 面平行的判定定理(a? α ,b?α ,a∥b? a∥α ) ;③利用面面平行的性质定理(α ∥β ,a ? α ? a∥β ) ;④利用面面平行的性质(α ∥β ,a?α ,a?,a∥α ? ? a∥β ) .线线垂直可 由线面垂直的性质推得,直线和平面垂直,这条直线就垂直于平面内所有直线,这是寻找线 线垂直的重要依据.垂直问题的证明,其一般规律是“由已知想性质,由求证想判定” ,也就 是说,根据已知条件去思考有关的性质定理;根据要求证的结论去思考有关的判定定理,往 往需要将分析与综合的思路结合起来.

5.若 A. B. C. D.

的值(



考点: 二倍角的余弦;诱导公式的作用. 专题: 计算题. 分析: 利用诱导公式求得 cos(α + 的值. 解答: 解:∵ ∴cos(α + )=sin= , . )= ,利用二倍角的余弦公式求得

∴ 故选 A.

=cos2(α +

)=2

﹣1=



点评: 本题主要考查利用诱导公式进行化简求值,二倍角的余弦公式的应用,属于中档题.

6.某简单几何体的一条对角线长为 a,在该几何体的正视图、侧视图与俯视图中,这条对角 线的投影都是长为 A. B. 的线段,则 a=( C. 1 D. 2 )

考点: 简单空间图形的三视图. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 不妨令该几何体为长方体,长宽高分别为:x,y,z,由题意可得:x +y =x +z =y +z =2, 进而可得 x +y +z =3,开方可得答案. 解答: 解:设该几何的长宽高分别为:x,y,z, 由在该几何体的正视图、侧视图与俯视图中,这条对角线的投影都是长为 且 即 x +y =x +z =y +z =2, 即 2(x +y +z )=6, 即 x +y +z =3, 故 a= 故选:B. 点评: 本题是基础题,考查长方体的对角线与三视图的关系,长方体的三度与面对角线的关 系,基本不等式在求最值中的应用,考查空间想象能力,计算能力,常考题型. = ,
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

的线段,可得:





7.已知平面上不共线的四点 O,A,B,C.且满足

,那么

=(



A.

B. 3 C.

D. 2

考点: 向量在几何中的应用.

专题: 计算题.

分析: 由已知可得



,而

=

=

,可求

解答: 解:∵ ∴ 即



=

=

=2

故选 D

点评: 本题主要考查了向量的基本运算的简单应用,解答本题的关键是把所求的面积之比转 化为线段的长度之比

8.若点 P 是曲线 y=x ﹣lnx 上任意一点,则点 P 到直线 y=x﹣2 的最小距离为( A. 1 B. C. D.

2



考点: 点到直线的距离公式. 专题: 计算题. 分析: 设出切点坐标,利用导数在切点处的函数值,就是切线的斜率,求出切点,然后再求 点 P 到直线 y=x﹣2 的最小距离. 解答: 解:过点 P 作 y=x﹣2 的平行直线,且与曲线 y=x ﹣lnx 相切, 设 P(x0,x0 ﹣lnx0)则有
2 2

k=y′|x=x0=2x0﹣ ∴2x0﹣



=1,∴x0=1 或 x0=﹣ (舍去) .

∴P(1,1) , ∴d= 故选 B. 点评: 本题考查点到直线的距离,导数的应用,考查计算能力,是基础题. = .

9.若直线 xcosθ +ysinθ ﹣1=0 与圆(x﹣cosθ ) +(y﹣1) = 直线的斜率是( A. B. ) C. D.

2

2

相切,且θ 为锐角,则这条

考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 直线与圆. 分析: 由条件利用直线和圆相切的性质,点到直线的距离公式求得 sinθ = .再结合θ 为锐 角,可得θ = ,从而求得直线 xcosθ +ysinθ ﹣1=0 的斜率﹣ 的值.

解答: 解:由题意可得圆心(cosθ ,1)到直线 xcosθ +ysinθ ﹣1=0 的距离等于半径 ,



= ,化简可得|sinθ ﹣sin θ |= ,即 sinθ ﹣sin θ = ,求得 sin

2

2

θ = . 再结合θ 为锐角,可得θ = 故选:A. 点评: 本题主要考查直线和圆相切的性质,点到直线的距离公式的应用,体现了转化的数学 思想,属于基础题. ,故直线 xcosθ +ysinθ ﹣1=0 的斜率为﹣ =﹣ ,

10.已知函数 f(x)=x+sinx(x∈R) ,且 f(y ﹣2y+3)+f(x ﹣4x+1)≤0,则当 y≥1 时, 的取值范围是( )

2

2

A.

B.

C.

D.

考点: 利用导数研究函数的单调性;函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 判断函数 f(x)的奇偶性和单调性,将不等式进行转化,利用直线和圆的位置关系, 结合数形结合和 的几何意义即可得到结论.

解答: 解:∵f(x)=x+sinx(x∈R) , ∴f(﹣x)=﹣x﹣sinx=﹣(x+sinx)=﹣f(x) , 即 f(x)=x+sinx(x∈R)是奇函数, ∵f(y ﹣2y+3)+f(x ﹣4x+1)≤0, ∴f(y ﹣2y+3)≤﹣f(x ﹣4x+1)=f, 由 f'(x)=1﹣cosx≥0, ∴函数单调递增. ∴(y ﹣2y+3)≤﹣(x ﹣4x+1) , 即(y ﹣2y+3)+(x ﹣4x+1)≤0, ∴(y﹣1) +(x﹣2) ≤1, ∵y≥1, ∴不等式对应的平面区域为圆心为(2,1) ,半径为 1 的圆的上半部分. 的几何意义为动点 P(x,y)到定点 A(﹣1,0)的斜率的取值范围. 设 k= , (k>0)
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

则 y=kx+k,即 kx﹣y+k=0. 当直线和圆相切是,圆心到直线的距离 d= ,

即 8k ﹣6k=0,解得 k= .此时直线斜率最大. 当直线 kx﹣y+k=0.经过点 B(3,1)时,直线斜率最小, 此时 3k﹣1+k=0,即 4k=1,解得 k= , ∴ ,

2

故选:A.

点评: 本题主要考查直线和圆的位置关系的应用,函数奇偶性和单调性的判断以及直线斜率 的取值范围,综合性较强,运算量较大,利用数形结合是解决本题的基本思想.

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.函数 y=lg(sinx﹣cosx﹣1)的定义域为 {x| } .

考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据题意欲求对数函数的定义域要求对数的真数大于 0, 解答: 解:由 sinx﹣cosx﹣1>0? sinx﹣cosx>1. ∴ sin(x﹣ )>1,∴sin(x﹣ )> , } }

解得: ∴函数的定义域为{x| 故答案为:{x|

点评: 本题考查对数函数的定义域,正弦函数余弦函数的单调性,三角函数的图象与性质, 属于基础题.

12.已知函数 f(x)=

,则

f(x)dx= 2+π



考点: 定积分.

专题: 导数的综合应用. 分析: 结合分段函数的各段自变量范围,利用定积分的分步计算法则,将 成两段积分,分别计算. 解答: 解:因为函数 f(x)= , f(x)dx 分

所以 π;

f(x)dx=

=(2x﹣ x )|

2

+

=2+

故答案为:2+π . 点评: 本题考查了定积分的计算,利用定积分的加法法则对其分步计算,在(﹣2,0)上要 根据定积分的几何意义求值.

13.在平面直角坐标系中,曲线 C1:

(t 为参数) ,以坐标原点为极点,以 x 轴的

非负半轴为极轴,两坐标系的长度单位相同,曲线 C2:ρ =2cosθ ,则曲线 C1 与曲线 C2 的交点 之间的距离为 .

考点: 参数方程化成普通方程;简单曲线的极坐标方程. 专题: 计算题;直线与圆;坐标系和参数方程. 分析: 运用代入法,化曲线 C1 为直线:2x+y=0,运用 x=ρ cosθ ,x +y =ρ ,化曲线 C2 圆 x +y ﹣2x=0,再由点到直线的距离公式,求得圆心到直线的距离,再由弦长公式 可得到所求值. 解答: 解:曲线 C1: 化为普通方程为:2x+y=0, 曲线 C2:ρ =2cosθ , 化为直角坐标方程为:x +y ﹣2x=0, 即为圆心为(1,0) ,半径为 1 的圆, 则圆心到直线的距离为 d= = ,
2 2 2 2 2 2 2

,即

(t 为参数) ,

则曲线 C1 与曲线 C2 的交点之间的距离为 2 故答案为:

=



点评: 本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程的互化,考查直线与圆相交的弦长问题, 考查运算能力,属于基础题.

14.我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中,有 5 架“歼﹣15”飞机准备 着舰,如果甲、乙两机必须相邻着舰,而丙、丁两机不能相邻着舰,那么不同的着舰方法数 是 24 .

考点: 排列、组合的实际应用. 专题: 应用题;排列组合. 分析: 分三步:把甲、乙捆绑为一个元素 A,再与戊机形成三个“空” ,把丙、丁两机插入空 中,最后考虑 A 与戊机的排法,利用乘法原理可得结论. 解答: 解:分三步:把甲、乙捆绑为一个元素 A,有 丙、丁两机插入空中有 种不同的着舰方法. 故答案为:24. 点评: 本题考查简单的排列组合问题,捆绑法和插空法结合是解决问题的关键,属中档题. 种方法;A 与戊机形成三个“空” ,把 种方法.可知共有 =24

种方法;考虑 A 与戊机的排法有

15.给出下列四个结论: ①命题“? x∈R,x ﹣x>0”的否定是“? x∈R,x ﹣x≤0” ②“若 am <bm ,则 a<b”的逆命题为真; ③已知直线 l1:ax+2y﹣1=0,l1:x+by+2=0,则 l1⊥l2 的充要条件是 ;
2 2 2 2

④对于任意实数 x,有 f(﹣x)=﹣f(x) ,g(﹣x)=g(x)且 x>0 时,f′(x)>0,g′ (x)>0,则 x<0 时,f′(x)>g′(x) . 其中正确结论的序号是 ①④ (填上所有正确结论的序号)

考点: 命题的真假判断与应用;命题的否定;必要条件、充分条件与充要条件的判断;两条 直线垂直的判定. 专题: 综合题. 分析: ①命题“? x∈R,x ﹣x>0”的否定是“? x∈R,x ﹣x≤0” ,可由命题的否定的书写 规则进行判断; ②“若 am <bm ,则 a<b”的逆命题为真,可由不等式的运算规则进行判断; ③l1⊥l2 时,a+2b=0,只有当 b≠0 时,结论成立; ④对于任意实数 x,有 f(﹣x)=﹣f(x) ,g(﹣x)=g(x) ,且 x>0 时,f′(x)>0,g′ (x)>0,则 x<0 时,f′(x)>g′(x) ,可由函数单调性与导数的关系进行判断. 解答: 解:①命题“? x∈R,x ﹣x>0”的否定是“? x∈R,x ﹣x≤0” ,此是一个正确命题; ②由于其逆命题是“若 a<b,则 am <bm ” ,当 m=0 时不成立,故逆命题为真不正确; ③l1⊥l2 时,a+2b=0,只有当 b≠0 时,结论成立,故不正确; ④对于任意实数 x,有 f(﹣x)=﹣f(x) ,g(﹣x)=g(x) ,且 x>0 时,f′(x)>0,g′ (x)>0,则 x<0 时,f′(x)>g′(x) ,由于两个函数是一奇一偶,且在 x>0 时,f′ (x)>0,g′(x)>0,故当 x<0,f′(x)>g′(x) ,成立,此命题是真命题. 综上①④是正确命题 故答案为①④ 点评: 本题考查命题的否定,函数的单调性与导数的关系,及不等式关系的运算,涉及到的 知识点较多,解题的关键是对每个命题涉及的知识熟练掌握,且能灵活运用它们作出判断.
2 2 2 2 2 2 2 2

三、解答题:本大题共 6 个题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.如图,已知⊙O 的半径为 1,点 C 在直径 AB 的延长线上,BC=1,点 P 是半圆上的一个动 点,以 PC 为边作正三角形 PCD,且点 D 与圆心分别在 PC 两侧. (1)若∠POB=θ ,试将四边形 OPDC 的面积 y 表示成θ 的函数; (2)求四边形 OPDC 面积的最大值?

考点: 解三角形的实际应用;余弦定理. 专题: 综合题. 分析: (1)先利用余弦定理求出 PC 的值,再将四边形 OPDC 的面积分解成两个三角形的面 积的和,从而得到 y 关于θ 的函数; (2)由(1)知 ,利用三角函数的值域可求最值.

解答:

, ∴ 点评: 本题将三角函数与解三角形结合起来,关键是利用余弦定理求边,再求面积,三角函 数求最值应注意角的范围.

17.等差数列{an}的首项为 23,公差为整数,且第 6 项为正数,从第 7 项起为负数. (1)求此数列的公差 d; (2)当前 n 项和 Sn 是正数时,求 n 的最大值.

考点: 等差数列的前 n 项和;等差数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)由 a6>0,a7<0 且公差 d∈Z,可求出 d 的值; (2)由前 n 项和 Sn>0,以及 n∈N*,求出 n 的最大值. 解答: 解: (1)由题意,得 a6=a1+5d=23+5d>0, a7=a1+6d=23+6d<0, ∴﹣ <d<﹣ ,

又 d∈Z, ∴d=﹣4; (2)前 n 项和 Sn=23n+ 整理,得 n(50﹣4n)>0; ∴0<n< 又∵n∈N , ∴n 的最大值为 12. 点评: 本题考查了等差数列的有关运算问题,解题时应根据等差数列的性质与通项公式、前 n 项和,进行计算,即可得出正确的答案,是基础题.
*

(﹣4)>0, ?



18.如图,在三棱锥 P﹣ABC 中,AB⊥BC,AB=BC= PA,点 O,D 分别是 AC,PC 的中点,OP⊥ 底面 ABC. (1)求证 OD∥平面 PAB; (2)求直线 OD 与平面 PBC 所成角的正弦值的大小.

考点: 直线与平面所成的角;直线与平面平行的判定. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (1)由此能求出 OD∥PA,PA? 平面 PAB,OD 不包含于平面 PAB,OD∥平面 PAB. (2)由已知得 OA=OB=OC,取 BC 中点 E,连结 PE,作 OF⊥PE 于 F,连结 DF,∠ODF 是 OD 与 平面 PBC 所成的角.OD 与平面 PBC 所成的角正弦值. 解答: (1)证明:∵O、D 分别为 AC、PC 的中点, ∴OD∥PA,又 PA? 平面 PAB,OD 不包含于平面 PAB, ∴OD∥平面 PAB. (6 分)

(2)解:∵AB⊥BC,OA=OC,∴OA=OB=OC, 又∵OP⊥平面 ABC,∴PA=PB=PC. 取 BC 中点 E,连结 PE,则 BC⊥平面 POE. 作 OF⊥PE 于 F,连结 DF,则 OF⊥平面 PBC, ∴∠ODF 是 OD 与平面 PBC 所成的角. 在 Rt△ODF 中,sin = . . (12 分)

∴OD 与平面 PBC 所成的角正弦值为

点评: 本题考查直线与平面平行的证明,考查直线与平面所成角的正弦值的求法,是中档题, 解题时要注意空间思维能力的培养.

19.M 公司从某大学招收毕业生,经过综合测试,录用了 14 名男生和 6 名女生,这 20 名毕业 生的测试成绩如茎叶图所示(单位:分) ,公司规定:成绩在 180 分以上者到“甲部门”工作; 180 分以下者到“乙部门”工作.另外只有成绩高于 180 分的男生才能担任“助理工作” . (Ⅰ)如果用分层抽样的方法从“甲部分”人选和“乙部分”人选中选取 8 人,再从这 8 人 中选 3 人,那么至少有一人是“甲部门”人选的概率是多少? (Ⅱ)若从所有“甲部门”人选中随机选 3 人,用 X 表示所选人员中能担任“助理工作”的 人数,写出 X 的分布列,并求出 X 的数学期望.

考点: 离散型随机变量及其分布列;分层抽样方法;茎叶图;离散型随机变量的期望与方差. 专题: 概率与统计. 分析: (I)由茎叶图可知甲部门、乙部门的人选数,先算出每人被抽中的概率,根据抽取 比例可算出甲部门、乙部门所抽取的人数, “至少有一名甲部门人被选中”的概率等于 1 减去 其对立事件“没有一名甲部门人被选中”的概率; (II)依据题意,能担任“助理工作”的人数 X 的取值分别为 0,1,2,3,通过计算即写出 X 的分布列,根据期望公式即可算出期望;

解答: 解: (I)用分层抽样的方法,每个人被抽中的概率为 根据茎叶图,有“甲部门”人选 10 人, “乙部门”人选 10 人,

= ,

所以选中的“甲部门”人选有 10× =4 人, “乙部门”人选有 10× =4 人, 用事件 A 表示“至少有一名甲部门人被选中” ,则它的对立事件 表示“没有一名甲部门人被 选中” ,则 P(A)=1﹣P( )=1﹣ =1﹣ = .

因此,至少有一人是“甲部门”人选的概率是



(Ⅱ)依据题意,所选毕业生中能担任“助理工作”的人数 X 的取值分别为 0,1,2,3,

P(X=0)=

=

,P(X=1)=

=

,P(X=2)=

= ,P(X=3)=

= .

因此,X 的分布列如下:

所以 X 的数学期望 EX=0×

+1×

+2×

+3×

= .

点评: 本题考查离散型随机变量的分布列、期望,考查茎叶图、分层抽样,考查学生对问题 的分析理解能力,掌握相关概念、公式是解决该类问题的基础.

20.已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的左右焦点分别为 F1,F2,P 为椭圆 C 上的一点.

(1)若△PF1F2 周长为 6,离心率 e= ,求椭圆 C 的方程; (2)过右焦点 F2 做斜率为 k 的直线与椭圆 C 交于 A,B 两点,交 Y 轴与点 M,且 |k|≤ ,求椭圆 C 的离心率 e 的取值范围. = ,若

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程.

分析: (1)利用△PF1F2 周长为 6,离心率 e= ,建立方程组,求出 a,c,即可求出 b,从而 可求椭圆 C 的方程; (2)设直线 AB 方程为 y=k(x﹣c) ,利用 利用|k|≤ = ,求出 B 的坐标,代入椭圆方程,求出 k,

,即可求椭圆 C 的离心率 e 的取值范围. ,

解答: 解: (1)∵△PF1F2 周长为 6,离心率



,解得 a=2,c=1,∴



∴所求椭圆 C 的方程为

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(4 分)

(2)由已知设直线 AB 方程为 y=k(x﹣c) ,则 M(0,﹣kc) ,F2(c,0) , ∵ ,∴ .﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(6 分)

∵点 B 在椭圆 C 上, ∴ ,

则 分) ∴8a ﹣17a c +2c ≤0, 即 2e ﹣17e +8≤0(2e ﹣1) (e ﹣8)≤0, ∴ ,
4 2 2 2 4 2 2 4

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ (8

∵椭圆的离心率小于 1 ∴ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(12 分)

点评: 本题考查椭圆的方程,考查向量知识的运用,确定 a,c 的关系是求求椭圆 C 的离心 率 e 的取值范围的关键.

21.已知函数 f(x)=alnx+

+x(a≠0) .

(Ⅰ)若曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线与直线 x﹣2y=0 垂直,求实数 a 的值;

(Ⅱ)讨论函数 f(x)的单调性; (Ⅲ)当 a∈(﹣∞,0)时,记函数 f(x)的最小值为 g(a) ,求证:g(a)≤ .

考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性. 专题: 综合题;导数的综合应用. 分析: (I)确定 f(x)的定义域,利用曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线与直线 x ﹣2y=0 垂直,可得 f′(1)=﹣2,从而可求实数 a 的值; (II)求导函数,分类讨论,利用导数的正负,即可确定函数 f(x)的单调性; (III)由(Ⅱ)知,当 a∈(﹣∞,0)时,函数 f(x)的最小值为 g(a) ,且 g(a)=f(﹣ 2a)=aln(﹣2a)﹣3a,求导数,求出函数的最大值,即可证得结论. 解答: 解: (I)f(x)的定义域为{x|x>0},f′(x)= (x>0)

根据题意,有 f′(1)=﹣2,所以 2a ﹣a﹣3=0,解得 a=﹣1 或 a= .

2

(II)解:

(1)当 a>0 时,因为 x>0, 由 f′(x)>0 得(x﹣a) (x+2a)>0,解得 x>a; 由 f′(x)<0 得(x﹣a) (x+2a)<0,解得 0<x<a. 所以函数 f(x)在(a,+∞)上单调递增,在(0,a)上单调递减; (2)当 a<0 时,因为 x>0, 由 f′(x)>0 得(x﹣a) (x+2a)>0,解得 x>﹣2a; 由 f′(x)<0 得(x﹣a) (x+2a)<0,解得 0<x<﹣2a. 所以函数 f(x)在(﹣2a,+∞)上单调递增,在(0,﹣2a)上单调递减; (III)证明:由(Ⅱ)知,当 a∈(﹣∞,0)时,函数 f(x)的最小值为 g(a) ,且 g(a) =f(﹣2a)=aln(﹣2a)﹣3a, ∴g′(a)=ln(﹣2a)﹣2, 令 g′(a)=0,得 a=﹣ .

当 a 变化时,g′(a) ,g(a)的变化情况如下表:

a (﹣∞,﹣ g′(a) + 0 ﹣ g(a) 极大值 ∴﹣ 值点.

) ﹣

(﹣

,0)

是 g(a)在(﹣∞,0)上的唯一极值点,且是极大值点,从而也是 g(a)的最大

所以 g(a)max=g(﹣

)=

. 成立.

所以,当 a∈(﹣∞,0)时,g(a)≤

点评: 本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性,考查导数的几何意义,考查函数的最 值,解题的关键是正确求导.


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