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概率与统计高中数学


2012 2012 届专题八概率与统计
考试范围: 考试范围:概率与统计 小题, 在每小题给出的四个选项中, 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 选择题( 项是符合题目要求的) 项是符合题目要求的) 1.要完成下列两项调查:①从某肉联厂的火腿肠生产线上抽取 1000 根火腿肠进行“瘦肉精” 检测;②从某中学的 15 名艺术特长生中选出 3 人调查学习负担情况.适合采用的抽样方法 依次为 ( ) A.①用分层抽样,②用简单随机抽样 B.①用系统抽样,②用简单随机抽样 C.①②都用系统抽样 D.①②都用简单随机抽样 2.将一个骰子抛掷 1 次,设事件 A 表示向上的一面出现偶数,事件 B 表示向上的一面出现的 点数不超过 3,事件 C 表示向上的一面出现的点数不小于 4,则 ( ) A. A 与 B 是互斥而非对立事件 B. A 与 B 是对立事件 D. B 与 C 是对立事件 C. B 与 C 是互斥而非对立事件 3.要从编号为 01~50 的 50 枚最新研制的某型号导弹中随机抽取 5 枚来进行发射试验,用每 部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定,则选取的 5 枚导弹的编号可能是 ( ) A.05,10,15,20,25 B.03,13,23,33,43 C.01,02,03,04,05 D.02,04,08,16,32 4.(理)2011 年3月 17 日上午,日本自卫队选派了两架直升飞机对福岛第一核电站 3 号机 ( 组的染料池进行了 4 次注水.如果直升飞机有 A、B、C、D 四架供选,飞行员有甲、乙、丙、 丁四人供选,且一架直升飞机只安排一名飞行员,则选出两名飞行员驾驶两架直升飞机的 不同方法数为 ( ) A.18 B.36 C.72 D.108 (文)两根相距 3m 的木杆上系一根拉直的绳子,并在绳子上挂一伦敦奥运会吉祥物“温洛 克” ,则“温洛克”与两端距离都大于 1m 的概率为 ( ) A.
1 2

B.

1 3

C.

1 4

D.

2 3

5. 理)道路安全交通法规定,驾驶员血液酒精含量在 20~80mg/100ml,属酒后驾车,血液酒 ( 精含量在 80mg/100ml 以上时,属醉酒驾车,2011 年 6 月 1 日 7:00 至 22:30,某地查处酒后 驾车和醉酒驾车共 50 起,如图是对这 50 人的血液中酒精含量进行检测所得结果的频率分 布直方图,则属于醉酒驾车的人数大约为 ( )

A.9 B.10 C.11 D.12 (文)某农科所研制成功一种产量较高的农作物种子,并对该作物种子在相同条件下发芽 与否进行了试验,试验结果如下表,则其发芽的概率大约为 ( ) 种子粒 数 2 5 10 70
用心

130
爱心

310
专心

700

1500

200 0

300 0
-1-

发芽粒 数

2

4

9

60

116

282

639

1339

180 6

271 5

A.1 B.0.7 C.0.8 D.0.9 6. 理)某堂训练课上,一射击运动员对同一目标独立地进行了四次射击,已知他至少命中 ( 一次的概率为
65 ,则四 81

次射击中,他命中 2 次的概率为 ( ) A.
4 81

B.

8 81

C.

8 27

D.以上都不对

(文)2011 年 4 月 28 日,世界园艺博览会(以下简称世园会)在西安顺利开幕,吸引了海 内外的大批游客.游 客甲、游客乙暑假期间去西安看世园会的概率分别为 、 ,假定他们两人的行动相互不受 影响,则暑假期间游 客甲、游客乙两人都不去西安看世园会的概率为 ( ) A.
1 2 1 3 1 4

B.

7 12

C.

11 12

D.

2 3

7.2011 年 6 月,台湾爆出了食品添加有毒塑化剂的案件,令世人震惊.我国某研究所为此开 发了一种用来检测塑化剂的新试剂,把 500 组添加了该试剂的食品与另外 500 组未添加该 试剂的食品作比较,提出假设 H 0 :“这种试剂不能起到检测出塑化剂的作用”,并计算出 P(x 2 ≥ 6.635) ≈ 0.01 .对此,四名同学做出了以下的判断:

p:有 99%的把握认为“这种试剂能起到检测出塑化剂的作用” q:随意抽出一组食品,它有 99%的可能性添加了塑化剂 r:这种试剂能检测出塑化剂的有效率为 99% s:这种试剂能检测出塑化剂的有效率为 1%
则下列命题中正确的是 ( ) A.p∧q q∨ s) B.﹁p∧q C.(﹁p∧﹁q)∧(r∨s) D. p∨﹁r) (﹁ ( ∧

8.日本福岛核电站爆炸后,工作人员随机测量了甲、乙两个城镇空气中核辐射的含量,获得 的数据如茎叶图所示,则对甲、乙两个城镇的空气质量评价正确的是 ( ) A.甲城镇的空气质量优于乙城镇的空气质量 B.乙城镇的空气质量优于甲城镇的空气质量 C.甲、乙两城镇的空气质量差不多 D.无法比较

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专心

-2-

9.给出以下三幅统计图及四个命题:

①从折线统计图能看出世界人口的变化情况 ②2050 年非洲人口大约将达到近 15 亿 ③2050 年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多 ④从 1957 年到 2050 年各洲中北美洲人口增长速度最慢 其中正确的个数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 2 10. 理)如图,设 D 是图中边长为 4 的正方形区域,E 是 D 内函数 y = x 图像上方的点构成 ( 的区域(阴影部分) .在 D 内随机取一点,则该点在 E 中的概率为 ( ) A. C.
1 3 2 3

B. D.

1 4 1 2

(文)已知函数 f (x ) = cos

aπ x , a 等于抛掷一颗骰子得到的点数,则 y = f (x ) 在 [0,4] 上有 5 个 3

以下或 6 个以上零点的概率是 ( ) A.
1 3

B.

2 3

C.

1 2

D.

5 6

小题; 将答案填在题中的横线上) 二、填空题(本大题共 5 小题;每小题 5 分,共 25 分.将答案填在题中的横线上) 填空题( 11.2011 年“两会”期间,某大学组织全体师生,以调查表的形式对温总理的政府工作报告 进行讨论.为及时分析讨论结果,该大学从所回收的调查表中,采用分层抽样的方法抽取 了 300 份进行分析.若回收的调查表中,来自于退休教职工、在职教职工、学生的份数之 份. 比为 3:7:40,则所抽取的调查表中来自于退休教职工的有 2 12. 理)在某项测量中,测量结果 x (单位:mm)服从正态分布 N ( ? ,2 ) 且正态分布的密度曲 ( 线如图所示,则 x 在 [?1,3] 内取值的概率为 .(其中: Φ (1) = 0.841 ) (文)小明同学学完统计知识后,随机调查了他所在辖区若干居民的年龄,将调查数据绘 制成如图所示的扇形和条形统计图,则 a ? b = .(60 以上含 60)

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-3-

12 题(理)

12 题(文)

13. 理)若 (cos? + x )5 的展开式中 x 3 的系数为 2,则 sin ? ( ?

3π ? ? 2? ? = ? 2 ?

.

之间的关系,随机统计了某 4 天的 (文)某城市供电局为了了解用电量 y (度) 与气温 x(o C) 用电量与当天气温,并制作了对照表: 气温(℃) 18 13 10 -1 用电量(度) 24 34 38 64 ) 由表中数据,得线性回归方程 y = ?2 x + a .当气温为 ?4 ℃时,预测用电量的度数约 . 为 14.把容量为 100 的某组样本数据分为 10 组,其分组情况及频率如下: [20,40) :0.1; [40,60) :0.25; [60,80) :0.45; [80,100) :0.20. 若同一组数据用该组区间的中点(例如:区间 [20,40) 的中点值为 30)表示,则这 100 个数据 的平均值为 . 15.把一颗骰子投掷两次,第一次得到的点数记为 a ,第二次得到的点数记为 b ,以 a 、 b 为 系数得到直线 l1 : ax + by = 3 ,又已知直线 l2 : x + 2 y = 2 ,则直线 l1 与 l 2 相交的概率 为 . 解答题( 小题; 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 三、解答题(本大题共 6 小题;共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16. (本小题满分 12 分)在甲、乙两个箱子中分别装有标号为 1、2、3、4 的四张卡片,现从 甲、乙两个箱子中各取出 1 张卡片,每张卡片被取出的可能性相等. (1)求取出的两张卡片上标号恰好相同的概率; (2)求取出的两张卡片上的标号至少有一 个大于 2 的概率.

17. (本小题满分 12 分)2011 年 2 月始发生的利比亚内战引起了全球人民的关注,联合国为 此多次召开紧急会议讨论应对措施.在某次分组研讨会上,某组有 6 名代表参加, A、B 两 名代表来自亚洲,C、D 两名代表来自北美洲, E 、 F 两名代表来自非洲,小组讨论后将随 机选出两名代表发言. (1)代表 A 不被选中的概率是多少? (2) 理)记选出的两名代表中来自于北美洲或非洲的人数为 X ,求 X 的分布列及期望. ( (文)选出的两名代表“恰有 1 名来自北美洲或 2 名都来自非洲”的概率是多少?

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-4-

18. (本小题满分 12 分)一机器可以按各种不同速度转动,其生产的产品有一些会有缺陷, ,用 y 每小时生产有缺陷产品的多少随机器运转速度而变化,用 x 表示转速(单位:转/秒) 表示每小时生产的有缺陷产品的个数,现观测得到 x, y)的 4 组观测值为(8,5)(12,8) ( , , (14,9)(16,11) , . (1)画出散点图. (2)你能从散点图中发现零件数与加工时间近似成什么关系吗?如果近似成线性相关关系 的话,请求出相应的回归直线方程; (3)若实际生产中所容许的每小时最多有缺陷产品数为 10,则机器的速度不得超过多少转 /秒?(精确到 1)

19. (本小题满分 12 分) 理)某市某社区拟选拔一批综合素质较强的群众,参加社区的义务 ( 服务工作.假定符合参加选拔条件的每个选手还需要进行四轮考核,每轮设有一个问题, 能正确回答问题者进入下一轮考核,否则即被 淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为 , , , 且各轮问题能 否正确回答互不影响. (1)求该选手进入第四轮才被淘率的概率. (2)该选手在选拔过程中回答过的问题的总个数记为 X ,求随机变量 X 的分布列与数学期 望. (注:本小题结果可用分数表示) (文)某市电视台为了宣传举办问答活动,随机对该市 15~65 岁的人群抽样了 n 人,回答问 题统计结果如图表所示. 组号 第1 组 第2 组 第3 组 第4 组 分组 回答正 确 的人数 5 a 27 回答正确的人 数 占本组的概率 0.5 0.9
4 3 1 1 5 4 2 3

[15,25)

[25,35)
[35,45)

x
0.36

(1)分别求出 a,b,x,y 的值; (2) 从第 2,3,4 组回答正确的人中用 第5 [55,65) 3 y 分 层抽样的方法抽取 6 人,则第 2,3,4 组 组 每组应各抽取多少人? (3)在(2)的前提下,电视台决定在所抽取的 6 人中随机抽取 2 人颁发幸运奖,求:所抽 取的人中第 2 组至少有 1 人获得幸运奖的概率.

[45,55)

b

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-5-

20. (本小题满分 13 分)为了解大学生观看某电视节目是否与性别有关,一所大学心理学教师从 该校学生中随机抽取了 50 人进行问卷调查,得到了如下的列联表,若该教师采用分层抽样的 方法从 50 份问卷调查中继续抽查了 10 份进行重点分析,知道其中喜欢看该节目的有 6 人 喜欢看该节 目 女生 男生 合计 10 50 不喜欢看该节 目 5 合计

(1)请将上面的列联表补充完整; (2)是否有 9 9.5%的把握认为喜欢看该节目节目与性别有关?说明你的理由; (3)已知喜欢看该节目的 10 位男生中, A1 、 A2 、 A3 、 A4 、 A5 还喜欢看新闻, B1 、 B2 、 B3 还喜欢看动画片, C1 、 C2 还喜欢看韩剧,现再从喜欢看新闻、动画片和韩剧的男生中各选 出 1 名进行其他方面的调查,求 B1 和 C1 不全被选中的概率. 下面的临界值表供参考:
p K2 ≥ k

(

)

0.15 2.072

0.10 2.70 6
2

0.05 3.84 1

0.025 5.024

0.01 0 6.63 5

0.005 7.879

0.001 10.82 8

k

(参考公式: K 2 =

n(ad ? bc ) ,其中 n = a + b + c + d ) (a + b )(c + d )(a + c )(b + d )

21. (本小题满分 14 分)某大学为调查来自南方和北方的同龄大学生的身高差异,从 2011 级 的年龄在 18~19 岁之间的大学生中随机抽取了一自南方和北方的大学生各 10 名,测量他 们的身高,量出的身高如下(单位:cm) 南方:158,170,166,169,180,175,171,176,162,163 北方:183,173,169,163,179,171,157,175,178,166 (1)根据抽测结果,完成答题卷中的茎叶图,并根据你填写的茎叶图,对来自 南方和北方的大学生的身高作比较,写出两个统计结论. (2)设抽测的 10 名南方大学生的平均身高为 x ,将 10 名同学的身高依次输入 按程序框图进行运算,问输出的 S 大小为多少?并说明 S 的统计学意义. (3) 理)若将样本频率视为总体的概率,现从来自南方的大学生中随机抽取 3 ( 名同学,记其中身高不低于平均身高的同学的人数为 X,求 X 的分布列及数学期
用心 爱心 专心 -6-

望 EX(均值) . (文)为进一步调查身高与生活习惯的关系,现从来自南方这 10 名大学生中随机抽取两名 身高不低于 173cm 的同学,求身高为 176cm 的同学被抽中的概率.

2012 届同心圆梦专题卷数学专题八答案与解析 1. 【思路点拨】简单随机抽样适用于总体容量较小的情形;总体容量较大且各个体间没有明显 差异时选用系统抽样;当组成总体的各部分存在明显差异时,则应选用分层抽样. 【答案】B【解析】①中总体容量较大,且火腿肠之间没有明显差异,故适合采用系统抽样; ②中总体容量偏小,故适合采用简单随机抽样. 2. 【思路点拨】可从集合角度进行分析:若 A 与 B 是互斥事件,则 A ∩ B = φ ,若 A 与 B 是对立事 件,则, A ∩ B = φ , A ∪ B = ? 即对立事件是特殊的互斥事件. 【答案】D【解析】由题意知, A I B = {出现点数 2},所以事件 A 、 B 不互斥也不对立; B I C = ? , B U C = ? , 故事件 B , C 是对立事件,选 D. 3. 【思路点拨】系统抽样的特点:总体平均分段、选定起始号、等间距、等可能抽样. 【答案】B【解析】采用系统抽样,可先将 50 个编号分成 5 组,在第一组随机地抽取一号 码,比如抽到 3 号,则其它各组就依次选取 13,23,33,43.四个选择答案中,只有 B 属 于这种抽取方法. 4.(理)【思路点拔】本题为排列组合的综合题,一般采用“先选后排”的解题策略求解. 2 2 2 【答案】C【解析】选派的所有情形有 N = C4 C4 A2 = 72 . (文) 【思路点拔】几何概型的计算公式为: P( A) = G1的长度(面积或体积).
G的长度(面积或体积)

【答案】B【解析】如图设线段 AB =3, C 、 D 是线段 A B 的两个三等分点,则当“温洛克” 挂在线段 CD 上的时候, “温洛克”与两端 A 、 B 的距离都大于 1.所以“温洛克”与两端 距离都大于 1m 的概率为 P =
CD的长度 1 = AB的长度 3



5. (理) 【思路点拔】利用频率分布直方图中各组频率之和为 1 这一性质求解. 【答案】C【解析】由图可知数据落在 20~80 间的累积频率为 0.1+0.2+0.2+0.04+0.12+0.12=0.78,故数据落在 80~100 间频率为 1 ? 0.78=0.22,故醉酒驾 车人数为 50×0.22=11(人) . (文) 【思路点拔】求出种子发芽的各频率值,发现频率的稳定值,即为概率值. 【答案】D【解析】我们可以用频率的近似值表示随机事件发生的概率,根据表格计算不同 情况下的菜籽发芽的频率分别是 1, 0.8, 0.9, 0.857, 0.892, 0.910, 0.913, 0.903, 0.905, 由上面的计算结果可知,菜籽发芽的频率接近于 0.9,且在它附近摆动,故此可知菜籽在已 知条件下发芽的概率大约为 0.9. 6.(理)【思路点拔】 (1)在 n 次独立重复试验中,某事件恰好发生 k 次的概率为
k Pn (k ) = Cn p k (1 ? p )n ? k (k = 0,1,2,L , n ) ,其中

p 为该事件在一次试验中发生的概率. (2)本题解题思路

为:先设他命中一次的概率为 p ,并由已知构造方程求得 p ,即可由概率公式得所求.
用心 爱心 专心 -7-

【答案】C【解析】四次射击可看作 4 次独立重复试验.设一次射击中,他命中的概率为 p , 则他至少命中一次的概率为 1 ? (1? p)4 = 65 ,解得 p = 3 .∴他命中 2 次的概率为
81
1? 24 8 2? 1 ? ? P4 (2 ) = C4 ? ? ?1 ? ? = = 81 27 ?3? ? 3?
2 2

1



(文) 【思路点拔】由于甲、乙两人的行动相互不受影响,故他们去西安看世园会为相互独 立事件,于是联想到调用概率的乘法公式求解. 【答案】【解析】 A 分别记甲、 乙去西安旅游为事件 A 、B ,则 P( A) = 1 , P(B ) = 1 ,由题设可知 A 、
3 4 B 相互独立,故所求的概率 P = P A ? B = P A P B = ?1 ? ??1 ? ? =
?

(

) ()()

?

1 ?? 3 ??

1? 4?

1 2

.

7. 【思路分析】本题中:提出假设 H 0 : “这种试剂不能起到检测出塑化剂的作用” ,并计算出
P x 2 ≥ 6.635 ≈ 0.01 ,因此,在一定程度上说明假设不合理,我们就以

(

)

99%的把握拒绝假设,故易

知 p , r 为真命题,再由真值表即可获解. 【答案】D【解析】由题设可知命题 p , r 为真命题, q , s 为假命题,依据复合命题的真值表 可知 D 为真命题. 8. 【思路点拔】先利用茎叶图得到两组数据,并求出其平均值和方差,再利用方差进行比较: 方差越小,波动越小,空气质量越高. 【答案】B【答案】 x = 158+162+163+168+168+170+171+179+179+182 = 170 .甲城镇核辐射的样本方差为:
10

1 [ (158?170)2 + (162?170)2 + (163?170)2 + (168?170)2 + (168?170)2 + (170?170)2 + (171? 170)2 + (179 ? 170 )2 10
+ (182 ?170)2 ] = 57 ,
x=
1 159+162+165+168+170+173+176+178+179+181 =1711 ,乙城镇核辐射的样本方差为 10 . 10

[ (159?1711)2 + (162?171.1)2 .

+ (165?171.1)2 + (168?171.1)2 + (170?171.1)2 + (173? 171.1)2 + (176? 171.1)2 + (178?171.1)2 + (179?1711)2 + (181?1711)2 = 51.29 , . .

由此判断乙城镇的空气质量较好. 9. 【思路点拔】利用折线图,扇形统计图,条形统计图的特征,解决问题. 【答案】B【解析】①显然正确;从条形统计图中可得到:2050 年非洲人口大约将达到近 18 亿,②错;从扇形统计图中能够明显的得到结论:2050 年亚洲人口比其他各洲人口的总和还 要多,③正确;由上述三幅统计图并不能得出从 1957 年到 2050 年中哪个洲人口增长速度最 慢,故④错误.因此正确的命题有①③. 10. (理) 【思路点拔】利用定积分求面积时要特别注意函数的选择,对于几何概型则应特别 注意基本事件空间和时间 A 的几何度量(面积、体积、长度)的计算. 【答案】C【解析】由定积分的几何意义可得阴影部分面积为 S阴 = 4 × 4 - 2
?阴 2 = 3 = ?正 16 3
32

∫ x dx = 16 ? 3 x
2

2

2

3

2 0

=

0

32 3



又由几何概型可得点在 E 中的概率为 P =



(文) 【答案】D【解析】抛掷一颗骰子共有 6 种情况.当 a =1,2,3,4,5,6 时,利用函数 f (x) 的 图像易知, y = f (x) 在 [0,4] 上的零点分别为 1,2,4,5,7,8 个.故所求概率为 P = 3 + 2 = 5 .
6 6 6

11. 【思路点拔】确定各层应抽取的个体数是实施分层抽样的最关键步骤,而确定办法主要有
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-8-

二:①利用抽样比 k 来确定,当已知各层的个体数时,用此法计算较为简便;②利用结论“样 本中各层抽取的个体数之比 = 总体中各层的个体数之比”来确定,当总体(或样本)中各层 个体数以比的形式给出时,一般考虑用此法速解. 【答案】 【解析】 18 由题设知: 来自于退休教职工、 在职教职工、 学生的份数之比为 3:7:40, 故样本中相应的份数之比仍为 3:7:40,设所抽取的调查表中来自退休教职工份数为 m ,则
m 3 = ? m = 18 . 300 3 + 7 + 40

12.(理) 【思路点拔】由正态曲线得到 ? =1,再利用公式 Fx = φ? x ? ? ? 计算概率. ? ?
? σ ?

【答案】0.682【解析】由图可知, σ = 2 ,所以 P(?1 ≤ ξ ≤ 3) = Φ? 3 ?1 ? ? Φ? ?1?1 ? = Φ(1) ? Φ(?1) = 2Φ(1) ?1 = 0.682 . ? ? ? ?
? 2 ? ? 2 ?

(文) 【思路点拔】读取统计图解答问题的关键是充分挖掘图中所包含的信息.在条形统计图中, 每个直条的高度表示相应样本值出现的次数(即频数)或百分比;扇形统计图中,每个扇形的大 小反映所表示的那部分占总体百分比的大小. 【答案】8%【解析】设小明共调查了 x 名居民的年龄,由 x ? 46% = 230 ,得 x = 500 ;于是得
a= 100 × 100% = 20% ;b= 1 ? (20% + 46% + 22%) = 12% .故 500

a-b=8%.

13. (理) 【思路点拔】 (1)涉及二项展开式中的特定项(如常数项、有理项等) 、二项式系数、 系数的问题一般用通项法求解;(2)由诱导公式知 sin ? 公式: cos 2? = 2 cos2 ? ? 1 = 1 ? 2 sin 2 ? .
3 【答案】 3 【解析】由二项式定理得, x3 的系数为 C5 cos2? = 2 得 cos2 ? = 1 故

? 3π ? ? 2? ? = ? cos 2? ? 2 ?

. (3)二倍角的余弦

5

5

3 ? 3π ? sin? ? 2? ? = ? cos2? = 1? 2cos2 ? = . 2 5 ? ?

(文) 【思路点拨】先利用回归直线方程过( x , y ) ,求出 a ,然后再求解. 【答案】68【解析】因为 x = 18 + 13 + 10 ? 1 = 10 , y = 24 + 34 + 38 + 64 = 40 ,又因为回归直线方程过
4
4

( x, y ) ,所以 40 = ?20 + a ? a = 60 ,把 ? 40 代入回归直线方程,可得用电量的都市约为 68. 14. 【思路点拔】由频率求出频数,便能求得这 100 个数据的平均值. 【答案】65【解析】由题设可知各组及其频数分别 为: [20,40 ) :10; [40,60 ) :25; [60,80) :45; [80,100) :20.故这 100 个 数据的期望值(平均值)为 x =
1 [30 ×10 + 50 × 25 + 70 × 45 + 90 × 20] = 65 . 100

15. 【思路点拔】由两直线的交点在第一象限,构造出关于 a,b 不等式组,再利用枚举法确定基 本事件数,便易得所求. 【答案】 36 【解析】由题意知,a, b ∈{1,2,3,4,5,6} .因为直线 l1 与 l2 的交点在第一象限,所以由他们的
? 图象可知: b 或 ? b ? ? 3 3 ? >2 ?a ? ?3 ? <1

13

?3 ? >1 ? <2 ?a ?

解得 ?a ≤1 或 ?
?

?b >3,

?b < 3 ,所以基本事件 ?a ≥ 2

(a,b) 可以是 (1,4)(1,5)(1,6)(2,1) , , , ,

(2,2),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(5,1),(5,2),6,1),(6,2)共 13 个,而基本 事件有 6× 6 = 36 种,所以随机事件“直线 l1 与 l2 的交点在第一象限”的概率为 P = 13
36

用心

爱心

专心

-9-

16. 【思路点拨】根据树脂图列出所有结果或者直接写出所有结果,然后求解. 【解析】利用树状图可以列出从甲、乙两个盒子中各取出 1 个球的所有可能结果(如下图) , 可以看出,试验的所有可能结果数为 16 种且每种结果是等可能的. 分) (3 (1)所取两张卡片上的标号为相同整数的结果有 1-1,2-2,3-3,4-4,共 4 种.故根 据古典概型公式, 所求概率 P = 分) (2)记事件“取出的两张卡片的标号至少有一个大于 2”为 A .则 A 的对立事件是 A =“取 出的两张卡片上的标号都不于大 2” 分)所取出的两张卡片上的标号都不大于 3 的结果 (8 有 1-1,1-2,2-1,2-2,共 4 种. P ( A ) =
4
4 1 3 = ∴ P ( A ) = 1 ? P ( A) = 16 4 4

1 4 1 = . 答: 取出的两张卡片的标号为相同整数的概率为 4 16 4

. (6

.答:取出的两张卡片

上的标号至少有一个大于 3 的概率为 3 . (12 分) 17. (理) 【思路点拔】 (1)利用对立事件的概率公式求解;(2)易知 X 的可能取值为 0,1,2, 分别求出对应的概率值,即得分布列,再进一步求期望. 【解析】 (1)代表 A 被选中的概率为
1? 1 14 = 15 15 1
2 C5

=

1 15

(2 分) ,所以代表 A 不被选中的概率是

. (4分)
0

(2) X 的可能取值为 0,1,2. 分) P( X = 0) = C2 (5 2
C6 P( X = 1) = C1C1 2 4
2 C6

=

1 , 15

X P

0
1 15

1
8 15

2
6 15

=

2 8 , P(X = 2) = C4 = 6 (8 2 15 C6 15

分)∴
6 4

X

的分布列为(见

右图表) (10 分) E ( X ) = 0 × 15 + 1× 15 + 2 × 15 = 3 . (12 分) (文) 【思路点拔】先利用枚举法列举出 6 名代表中随机选出 2 名的结果总数,再从中找中各事件所包含的结果数,然后代入古 典概型、对立事件以及互斥事件的概率公式进行求解. 【解析】 从这 6 名代表中随机选出 2 名, (1) 共有 C 种不同的选法, 分别为(A,B)(A,C)(A,D)(A,E)(A,F)(B,C),(B, , , , , , D)(B,E)(B,F)(C,D)(C,E)(C,F)(D,E)(D,F) , , , , , , , , (E,F)(3 分) . .其中代表 A 被选中的选法有(A,B)(A,C)(A,D)(A,E)(A,F) , , , , 共 5 种,则代表 A 被选中的概率为
5 1 = (6 15 3

1

8

分)所以代表 A 不被选中的概率为 P = 1 ?

5 2 = 15 3



(2) 随机选出的 2 名代表 “恰有 1 名来自北美洲或 2 名都来自非洲” 的结果有 9 种, 分别是 ( A, C ) , ( A, D ) , ( B, C ) , ( B, D) , (C , E ) , (C , F ) , ( D, E ) , ( D, F ) , ( E , F ) . “恰有 1 名来自北美洲或 2 名都来自 非洲”这一事件的概率为
9 3 = 15 5

(12 分) .

18. 【思路点拔】先画出散点图,由散点图可知各散点分布成一条直线附近,故零件数与加工 时间近似成线性相关关系,再求出回归直线方程,并利用此方程求解. ? 【解析】1) (4 分)2) ( 如图 ( 设回归直线方程为 y =bx+a , 则 x = 8+12+14+16 =12.5 , y =
4
5 + 8 + 9 +11 = 8.25 , (3) 4

x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 + x4 y4 = 8 × 5 +12× 8 +14× 9 +16×11= 438 ;
2 2 2 2 x1 + x2 + x3 + x4 = 82 +122 +142 +162 = 660,所以, b =

51 6 438? 4 ×12.5× 8.25 51 = , a = y ?bx =8.25? ×125=? ;故: y 与 . 70 70 7 660? 4 ×12.52

x之

用心

爱心

专心

- 10 -

? 间的回归直线方程为 y = 70x ? 7 (8 分) (3)由 y = 70 x ? 7 ≤ 10 ,得 x ≤

51

6

51

6

706 ≈14 .即机器的速度不得超 51

过 14 转/秒. (12 分) 19. (理) 【思路点拔】对于(1) ,均可用相互独立事件的概率公式求出相应的概率,从而 (2) 得出 X 的分布列,再利用期望公式求 X 期望值. 【解析】 (1) “该选手能正确回答第 i 轮的问题” 记 的事件为 Ai (i =1,2,3,4) , P( A1) = 4 ,P( A2 ) = 3 , 则
5 4 1 P( A3 ) = 2

4 3 1 2 1 P = P A1 A2 A3 A4 = P( A1 )P( A2 )P( A3 )P A4 = × × × = . (5 5 4 2 3 5

(

, P(A4 ) = 1 . (2 3

分) ∴ 该选手进入第四轮才被淘率的概率

)

( )

分)

(2)X 的可能值为 1、、 4 , P( X = 1) = P(A1 ) = 1 , 2 3、
5 4 1 1 P( X = 2) = P A A2 = P( A1)P A2 = × = , P ( X = 3) = P A1 A2 A3 = P (A1 )P( A2 )P A3 = 1 5 4 5
= 4 3 1 3 × × = 5 4 2 10

( )

( )

(

)

( )

, P( X

4 3 1 3 = 4) = P ( A1 A2 A3 A4 ) + P ( A1 A2 A3 A4 ) = P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A3 ) P ( A4 + A4 ) = × × ×1 = . (9 5 4 2 10

分) 4
3 10

∴X

的分布列为(见右侧表格) (11 分)
1 1 3 3 27 + 2 × + 3× + 4 × = 5 5 10 10 10

X
P

1
1 5

2
1 5

3
3 10

∴ E (X ) = 1×

. (12 分)

(文) 【思路点拔】对于(1) ,可结合频率分 布直方图的性质求解;对于(2) ,则可利用分层抽样比求解;问题(3)为古典概型问题,可 用枚举法求解. 【解析】 (1)由频率表中第 1 组数据可知,第 1 组总人数为 0.5 = 10 ,再结合频率分布直方图可 知 n = 0.010×1 = 100 (1 分)∴a=100×0.020×10×0.9=18,b=100×0.025×10×0.36=9,(2 分)
x=
27 3 = 0.9 , y = = 0.2 (4 100× 0.3 100× 0.15 10 5

分)

(2)第 2,3,4 组中回答正确的共有 54 人. 分)∴利用分层抽样在 54 人中抽取 6 人,每 (5 组分别抽取的人数为: 第 2 组:
18 × 6 = 2 人,第 54

3 组: 27 × 6 = 3 人,第 4 组:
54

9 × 6 = 1 人. (8 54

分)

(3)设第 2 组的 2 人为 A1 、 A2 ,第 3 组的 3 人为 B1 、 B2 、 B2 ,第 4 组的 1 人为 C1 ,则从 6 人 中抽 2 人所有可能的结果有:(A1,A2) ,(A1,B1) ,( A1,B2) ,( A1,B3 ) ,( A1,C1) ,(A2,B1) ,( A2,B2) ,(A2,B3) ,( A2 ,C1 ) , (B1,B2) , (B1,B3) , (B1,C1) , (B2,B3) , (B2,C1) , (B3,C1) ,共 15 个基本事件,(10 分)其中第 2 组至少有 1 人被抽中的有 (A1, A2 ) , (A1, B1) , (A1,B2 ) , (A1, B3 ) , ( A1,C1) , ( A2,B1) , ( A2, B2 ) , ( A2, B3 ) , (A2 ,C1 ) 这 9 个基 本事件. (11 分)∴第 2 组至少有 1 人获得幸运奖的概率为 15 = 5 (12 分)
9 3

喜欢看该节 目 女 生
用心 爱心 专心

不喜欢看该节 目 5

合 计 25

20

- 11 -

20. 【思路点拔】在独立性检验中,常利用 K 2 来确 男 10 15 25 定 “两个分类变量是否有关联” K 2 ≤ 2.706 时, 生 :当 可以认为变量 A 、 B 是没有关联的;当 K 2 > 合 30 20 50 2.706 时, 90%的把握判定变量 A 、B 有关联; 计 有 2 当 K >3.841 时, 95%的把握判定变量 A 、B 有 2 有关联;当 K >6.635 时,有 99%的把握判定变量 A 、 B 有关联.故只需计算出 K 2 的值,利 用上述结论即可解决第(2)小题.第(3)小题可用组合知识及枚举法求解. 【解析】 (1)由分层抽样知识知,喜欢看该节目的同学有 50× 6
10 = 30 ,故不喜欢看该节目的同

学有 50-30=20 人,(2 分)于是可将列联表补充如右图: 分) (4 (2) Q K
2

=

50 × (20 × 15 ? 10 × 5)2 ≈ 8.333 >7.879(7 30 × 20 × 25 × 25

分)∴有 99.5%的把握认为喜爱该节目与性别

有关. 分) (8 (3) (理)从 10 位男生中选出喜欢看韩剧、喜欢看新闻、喜欢看动画片的各 1 名,其一切
1 1 1 可能的结果组成的基本事件共有 N = C5C3C2 = 30 个,(10 分)用 M 表示“ B1、C1 不全被选中”

这一事件,则其对立事件 M 表示“ B1、C1 全被选中”这一事件,由于 M 由 (A1, B1, C1 ) , (A2 , B1 , C1 ) ,

(A3 , B1, C1 ) , (A4 , B1 , C1 ) , (A5 , B1, C1 ) ,5 个基本事件组成,所以 P(M ) =
概率公式得 P(M ) = 1 ? P (M ) = 1 ? 1 = 5 . (13 分)
6 6

5 1 = 30 6

,(12 分)由对立事件的

(文)从 10 位男生中选出喜欢看韩剧、喜欢看新闻、喜欢看动画片的各 1 名,其一切可能 的结果组成的基本事件如下:(A1, B1, C1 ) ,(A1, B1, C2 ) ,(A1, B2 , C1 ) ,(A1, B2 , C2 ) ,(A1, B3 , C1 ) ,(A1, B3 , C2 ) , (A2 , B1 , C1 ) ,(A2 , B1, C2 ) ,(A2 , B2 , C1 ) ,(A2 , B2 , C2 ) ,(A2 , B3 , C1 ) ,(A2 , B3 , C2 ) ,(A3 , B1, C1 ) ,(A3 , B1, C2 ) ,(A3 , B2 , C1 ) , (A3 , B3 , C2 ) , A3 , B2 , C2 ) , A3 , B3 , C1 ) , A4 , B1 , C1 ) , A4 , B1, C2 ) , A4 , B2 , C1 ) , A4 , B2 , C2 ) , A4 , B3 , C1 ) , A4 , B3 , C2 ) , ( ( ( ( ( ( ( ( (A5 , B1, C1 ) , (A5 , B1, C2 ) , (A5 , B2 , C1 ) , (A5 , B2 , C2 ) , (A5 , B3 , C1 ) , (A5 , B3 , C2 ) ,基本事件的总数为 30, (10 分)用 M 表示“ B1、C1 不全被选中”这一事件,则其对立事件 M 表示“ B1、C1 全被选中”这 一事件,由于 M 由 (A1, B1, C1 ) , (A2 , B1 , C1 ) , (A3 , B1, C1 ) , (A4 , B1 , C1 ) , (A5 , B1, C1 ) ,5 个基本事件组成, 所以 P (M ) = 30 = 6 , (12 分)由对立事件的概率公式得
5 1

P(M ) = 1 ? P M = 1 ?

( )

1 5 = 6 6

. (13 分)

21. 【思路点拔】 (1)可利用给出数据直接画出茎叶图,再根据茎叶图从 样本的数字特征等角度来得出统计结论;(2)认真读懂框图,不难看出该框图的功能是计 算一组数据的方差;(3) (文)利用枚举法求解;(3) (理)易知 X 服从二项分布,故调用 二项分布的概率及期望公式简解. 【解析】 (1)茎叶图如右图(2 分)统计结论: (给出下述四个供参考,考生只要答对其中两个 即给满分,给出其他合理的答案也可给分)①北方大学生的平均身高大于南方大学生的平均身 高. ②南方大学生身高比北方大学生的身高更整齐;③南方大学生的身高的中位数为 169.5cm, 北 方大学生的身高的中位数是 172cm.④南方大学生的高度基本上是对称的,而且大多数集中在均 值附近,北方大学生的高度分布较为分散. 分) (4 (2) x = 169 , S = 42.6 (6 分) S 表示 10 位南方大学生身高的方差,是描述身高离散程度的 , 量. S 值越小,表示身高越整齐, S 值越大,表示身高参差不齐. 分) (8

X
用心 爱心 专心

0

1

2

3
- 12 -

(3)(理) “抽取一位同学恰好抽中身高不低于平均身高的 记 同学” 为事件 A,由 (2) 知来自南方的大学生平均身高为 169cm, 故 P(A) = 6 = 3 . 分) (9 ,随机变量 X 的可能取值为 0,1,2,3,且
10 5

P

8 125

36 125

54 125

27 125

3 k? 3? ? 2 ? X B(3, ) .所以 P(X = k ) = C3 ? ? ? ? 5 ?5? ? 5?

k

3? k

(k = 0,1,2,3) ,
= 0×

所以变量 X 的分布列为 (见右表格) EX ∴

3 9 8 36 54 27 9 + 1× + 2× + 3× = (或 EX = np = 3 × = 5 5 125 125 125 125 5



(14 分) (文)记“身高为 176cm 的同学被抽中”为事件 A,从这 10 名南方大学生中抽出两名身高不 低于 170cm 的同学有 (170,171), (170,175), (170,176), (170,180), (171,175), (171,176), (171,180), (175,176),(175,180),(176,180) ,共 10 个基本事件,而事件 A 含有 4 个基本事件, 故 P (A ) =
4 2 = 10 5

. (14 分)

用心

爱心

专心

- 13 -


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