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高中数学人教版必修1总复习


集合结构图
列举法 描述法 图示法 子集 真子集 交集 并集 补集

集合含义与表示

集合间关系

集合基本运算

集合

1.集合中元素的性质:
(1)确定性:集合中的元素必须是确定的. (2)互异性:一个给定的集合中的元素是互不相同的. (3)无序性:集

合中的元素是没有先后顺序的.

ex1.集合A={1,0,x},且x2∈A,则x=

-1

2.常用的数集及其记法
自然数集(非负整数集):记作 N 正整数集:记作N*或N+ (不含0) 整数集:记作 Z 有理数集:记作 Q 实数集:记作 R (含0)

3.集合间的关系:
?子集:A?B?任意x∈A? x∈B. A?B ? x∈A,x∈B,但存在 ?真子集: x0∈B且x0?A. ?集合相等:A=B? A?B且B?A. ?空集:?. 性质:①??A,若A非空, 则??A. ? ②A?A. ③A?B,B?C?A?C.

?

子集、真子集个数: 一般地,集合A含有n个元素, 则A的子集共有 2n 个; A的真子集共有 2n-1 个; A的非空子集 2n-1 个; A的非空真子集 2n-2 个.

4.并集: A ? B ? {x | x ? A,或x ? B} 5.交集: A ? B ? {x | x ? A,且x ? B}
A B A B

A? B

A? B

6.全集: 7.补集:

一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中 涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集.
U

A={x|x ? U,且x ? A}
A?U
U

U A
U

A ?U

A

类比并集的相关性质
1: A ? B ? B ? A
1: A ? B ? B ? A

2: A? A ? A
3 : A ?? ? ?
4: A? B ? A ? B ? A

2: A? A ? A
3 : A ?? ? A
4: A? B ? A ? B ? A

5: B ? A ? A? B ? A
6 : A ? A ? B, B ? A ? B

5: B ? A ? A? B ? A
6 : A ? A ? B, B ? A ? B

7 : ( A ? B) ? C ? A ? ( B ? C )

7 : ( A ? B) ? C ? A ? ( B ? C )

并集的性质

交集的性质

A? B ? A ? A? B ? A ? B ? A A ? A? B ? A? B ? A ? A ? B

A? B ? A? B

第二章
知识 结构 概念 三要素 函 数 大小比较

图象 性质
指数函数 对数函数

方程解的个数
应用

不等式的解

实际应用

函数的概念
A.B是两个非空的集合,如果按照 某种对应法则f,对于集合A中的 每一个元素x,在集合B中都有唯 一的元素y和它对应,这样的对 应叫做从A到B的一个函数。

函数的三要素:定义域,值域,对应法则

使函数有意义的x的取值范围。

求 定 义 域 的 主 要 依 据

1、分式的分母不为零.

2、偶次方根的被开方数不小于零.
3、零次幂的底数不为零.

4、对数函数的真数大于零.
5、指、对数函数的底数大于零且不为1.

6、实际问题中函数的定义域

例如

y?

1 log x?1 (2 ? x )

一个函数的三要素为:定义域、对应关 系和值域,值域是由对应法则和定义域 决定的
判断两个函数相等的方法: 1、定义域是否相等 (定义域不同的函数,不是相等的函数) 2、对应法则是否一致 (对应关系不同,两个函数也不同)

例、下列函数中哪个与函数y=x相等

(1) y ?

? x?
2

2

(2) y ? x
3

3

(3) y ? x

x (4) y ? x

2

x+2, (x≤-1)

1、已知函数f (x)=

x2, (-1<x<2)
2x, ( x≥2 )

若f(x)=3, 则x的值是( D ) 3 B. 1或 2 A. 1 3 C. 1, ? 3 , 2 D. 3

函数的性质:单调性
y

定义

一般地,设函数 f(x)的定义域为I:
y=f(x)
f(x1) o x1 f(x2) x2 x y=f(x)

如果对于定义域I内某个区间D上的 任意两个自变量的值 x1 、x2 ,当 x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么 就说函数f(x)在区间D上是增函数. 如果对于定义域I内某个区间D上的 任意两个自变量的值 x1 、x2 ,当 x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么 就说函数f(x)在区间D上是减函数.

y

f(x1) f(x ) 2 x2 x o x1

3.(定义法)证明函数单调性的步骤:
设值 作差变形 判断差符号 下结论

简单函数的单调性
1、一次函数 y=kx+b 2、二次函数 y=ax^2+bx+c

3、反比例函数 y=k/x
4、指数函数 y=a^x 5、对数函数 y=logax 6、幂函数 y=x^a

记住下列重要结论. 1. f ( x)与 ? f ( x)增减性相反 .
1 2. f ( x)恒为正或恒为负时,函数f ( x)与 增减性相反. f ( x)

3.函数f ( x)与f ( x) ? k增减性相同 .
4.当k ? 0, f ( x)与kf ( x)的增减性相同 k ? 0时, , f ( x)与kf ( x)增减性相反 .

5.在公共区间内增函数 ? 增函数 ? 增函数, , 增函数 ? 减函数 ? 增函数.

例1:判断函数f(x)=1/x在区间(0,+∞)上 是增函数还是减函数?并证明你的结论。 减函数
证明: 1,x2∈(0,+∞),且x1<x2,则 设x y
-1 1
O

1 f ( x2 ) ? x2 1 1 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? x1 x2

1 f ( x1 ) ? , x1

1

f(x)在定义域 上是减函数吗?

? x1 , x2 ? (0,??) ? x1 x2 ? 0 ? f ? ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0? ( x1 ) ? f ( x2 ) x1 ? x2 ? x2 ? x1 ? 0

x2 ? x1 ? x1 x2

-1

x

1 ?函数 f ( x) ? 在(0, ? ?)上是减函数 . x

?

练习
若二次函数 f ( x) ? ? x2 ? ax ? 4在区间 ? ??,1 上单调递 增,求a的取值范围。
y y

?

o1

x

o 1

x

a 解:二次函数 f ( x) ? ? x ? ax ? 4的对称轴为 x ? ? , 2 a 由图象可知只要 x ? ? ? 1 ,即 a ? ?2 即可. 2
2

已知函数 y = | x 2 -x |,
( 1 ) 作出函数的草图;( 2 ) 写出函数的单调区间。

? x2 ? x y?? 2 ?? x ? x

x ?x?0 x2 ? x ? 0
2

y

1 2 1 ? ? (x ? 2) ? 4 ?? 1 1 ?? ( x ? )2 ? 2 4 ?

x ? 0或x ? 1 0? x?1

o

1 1 2

x

由图知:此函数的单调递增区间为 [0,

1 ], [1,??) 2

单调递减区间为

(??,0], [

1 ,1] 2

单调性的应用:
已知f ( x)在[?2,2]上单调递增,若 (1 ? m) ? f (m), f 求m的取值范围 .

已知f ( x) ? x 2 ? 2(1 ? a) x ? 2在(??,4]上是减函数, 求实数a的取值范围 .

一、函数的奇偶性定义
前提条件:定义域关于数“原点”对称。

1、奇函数
2、偶函数

f (-x)= - f (x)
f (-x) = f (x)

或 f (-x)+f (x) = 0
或f (-x) - f (x) = 0

二、奇函数、偶函数的图象特点
1、奇函数的图象关于原点成中心对称图形。

2、偶函数的图象关于y轴成轴对称图形。

奇函数里的定值:如果奇函数y=f(x)的 定义域内有0,则f(0)=0.

如果函数的定义域不关于原点对称,则 此函数既不是奇函数,又不是偶函数。 奇函数关于原点对称的两个区间上的
单调性一致;偶函数则相反。

利用定义判断函数奇偶性的格式步骤:
①首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否 关于原点对称; ②确定f(-x)与f(x)的关系 ③作出相应结论: 若f(-x)=f(x) 则f(x)是偶函数

若f(-x)=-f(x) 则f(x)是奇函数.

例题

已知 f ( x ) 是奇函数,当 x ≥ 0 时, f ( x ) = x 2 -2x,求当 x < 0 时,
f ( x ) 的解析式,并画出此函数 f ( x ) 的图象。

解:∵ f ( x ) 是奇函数

∴ f (-x ) = -f ( x )

y

即 f ( x ) = -f (- x )
∵当 x ≥ 0 时, f ( x ) = x 2 -2x ∴ 当 x < 0 时, f ( x ) = -f (- x ) = -[ (-x ) 2 -2(-x ) ] = -( x 2 + 2x ) o x

? x2 ? 2x 故y ? ? ? x2 ? 2x ?

x?0 x?0

? ( x ? 1) 2 ? 1 ?? 2 ? ? ( x ? 1) ? 1

x?0 x?0

基本初等函数
基本初等函数
指数函数

对数函数

幂函数

指数幂的运算

⑴ ar·s=ar+s (a>0,r,s∈Q); a ⑵ (ar)s=ars (a>0,r,s∈Q); ⑶ (ab)r=ar br (a>0,b>0,r∈Q).
(5) ( a ) ? a n (b ? 0, n ? Z) b b
n n

7 1, 已知a ? a ? 3, 则a ? a ? ____,
2

?1

?2

18 a ? a ? ______ .
3

?3

2, 已知 100 ? 50,10 ? 2, 求2a ? b的值?
a b

解.?100 ? 50,?10 ? 50
a 2a

又 ?10 ? 2,?10
b

2 a ?b

? 100 ,? 2a ? b ? 2

1. 对数的运算性质: 如果 a > 0,a ? 1,M > 0, N > 0 有:

? ⑴ log(MN) loga M ? loga N a

M (2) log a ? log a M ? log a N N
(3) loga M n ? n loga M (n ? R)

logc N ? 4? loga N ? logc a

?5? loga b ? logb a ? 1
n
m

? 6 ? log a

n N ? log a N m

1 1 例:已知 3 ? 5 ? m, ? ? 2, 求m a b
a b

指数函数
a>1 1、定义域 2、值域 .

y ? ax

(a > 0,a ? 1)
0<a<1

R.

R+

3、图象 y y

1

1

o

x

o

x

对数函数 y ? log
a>1 1、定义域 2、值域 .

a

x

其中 a > 0且a ? 1
0<a<1 R+

R
y y

3、图象

o

1

x

o

1

x

指数函数与对数函数

函数

y = ax ( a>0 且 a≠1 )
a>1 0<a<1
y 1 x 0 x

y = log a x ( a>0 且 a≠1 )
a>1
y

0<a<1
y


1

y

1 o 1



x

o

x

0

定义域

R
(0, ??)
(0, 1) 在R上是减函数

定义域 值域 定点

(0, ??)

单调性 相同

性 质

值域 定点

R
(1, 0)

在R上是增函数

在( 0 , + ∞ )上是 在( 0 , + ∞ )上是 增函数 减函数

指数函数与对数函数

如图是指数函数(1) y ? a ,(2) y ? b ,(3) y ? c ,
x x x x

(4) y ? d 的图象, 则a, b, c, d 与1的大小关系是( B ) . A.a ? b ? 1 ? c ? d B.b ? a ? 1 ? d ? c D.a ? b ? 1 ? d ? c. C.1 ? a ? b ? d
y

总结:在第一象限, 越靠近y轴,底数就越 大

(1)

(2)

(3)

(4)

O

X

指数函数与对数函数

若图象C1,C2,C3,C4对应 y=logax, y=logbx, y=logcx, y=logdx,则( D ) A.0<a<b<1<c<d B.0<b<a<1<d<c C.0<d<c<1<b<a D.0<c<d<1<a<b
y

C1 C2
o 1 C3 C4 x

规律:在x轴 上方图象自左 向右底数越来 越大!

1、 a 4 ? 2(a ? 0, 且a ? 1)求实数a的取值范围? log

2、解不等式log2 (2 x ?1) ? log2 (? x ? 5)

在同一平面直角坐标系内作出幂函数y=x,y=x2, y=x3,y=x1/2,y=x-1的图象:

y

y=x3 y=x2

y

y=x-1

1

y=x1/2
1

y?x

?

y=x-2
1

0

X

0

1

X

a>0
(1)图象都过(0,0)点和 (1,1)点; (2)在第一象限内,函数值 随x 的增大而增大,即 在(0,+∞)上是增函 数。

a<0
(1)图象都过(1,1)点; (2)在第一象限内,函数值随 x 的增大而减小,即在 (0,+∞)上是减函数。 (3)在第一象限,图象向上与 y 轴无限接近,向右与 x 轴无限接近。

三、幂函数的性质:
幂函数的定义域、奇偶性、单调性,因函数式 中α的不同而各异.

1.所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且函 数图象都通过点(1,1); 2.当α为奇数时,幂函数为奇函数, 当α为偶数时,幂函数为偶函数. 3.如果α>0,则幂函数 在(0,+∞)上为增函数; 如果α<0,则幂函数 在(0,+∞)上为减函数。
α>1 0<α<1
α<0

第三章函数与方程
对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x 叫做函数y=f(x)的零点。

零点是一个点吗?

如果函数图像在给定区间内是一条连续不断的光滑曲线并且有
f (a) ? f (b) ? 0 ,那么,函数 y ? f ( x) 在区间 ? a , b ? 内有零点,

f (a) ? f (b) ? 0 ? f ( x)在(a, b)至少有一个根

若f(x)是单调函数
f (a) ? f (b) ? 0 ? f ( x)在(a, b)有唯一一个根

函数与方程

?函数在区间(a,b)上有零点,则f(a)f(b)<0
?函数在区间(a,b)上有f(a)f(b)<0,则在区间
(a,b)上有零点

? 如何判断函数零点的个数 ? 如何判断零点所在的区间

例:关于 x 的方程 x 2 -( k + 1 )x + 2k = 0 的两根异号,则实数 k 的取值 ( -∞ , 0 ) 范围是 ____________________ 解: 令 f ( x ) = x 2 -( k + 1 )x + 2k
?( k ? 1) 2 ? 8k ? 0 ? ??0 ?? 由图可知: ? x1 x2 ? 0 2k ? 0 ? ?

y

? k ? 6k ? 1 ? 0 ?? k?0 ?
2

o

x

? ? k ? 6 ? 35 或k ? 6 ? 35 ?? 2 2 ? k?0 ?

由图可知: f ( 0 ) < 0

?k?0

?k?0

例:已知方程(m-1)x2+mx-1=0至少有 一个正根,求实数m的范围.
解: 若m-1=0,方程为x-1=0,x=1符合条件. 若m-1≠0,设f(x)=(m-1)x2+mx-1.

∵ f(0)=-1≠0, ∴ 方程f(x)=0无零根.
如方程有异号两实根,则x1x2=<0,m>1. 如方程有两个正实根,则:
Δ=m2+4(m-1)≥0, m≥-2+
?1 >0, m ?1 m x1+x2=- >0, m ?1

2 或m≤-2- 2

, 2 2

x1 x2 =

m<1,

0<m<1.

由此得,实数m的范围是m≥ 2 2 -2. ∴ 2 2-2≤m<1.

函数模型及其应用
求解数学应用问题的思路和方法,我们可以用 示意图表示为:
实际问题 答 还原 说明 抽象 概括 数学模型 数学模型 推 理 演 算 数学模型的解

实际问题的解


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