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必修五第三章不等式练习题(含答案)


不 等 式 练 习 题 第一部分
1.下列不等式中成立的是( A.若 a ? b ,则 ac2 ? bc 2 C.若 a ? b ? 0 ,则 a 2 ? ab ? b2
? 1 ? 1 ? 3

) B.若 a ? b ,则 a 2 ? b 2 D.若 a ? b ? 0 ,则
1 1 ? a b

?3?

3 ? 3? 4 ?3? 4 2.已知 a ? ? ? , b ? ? ? , c ? ? ? ,则 a, b, c 的大小关系是( ) ?5? ?5? ?2? (A). c ? a ? b (B) a ? b ? c (C) b ? a ? c (D) c ? b ? a 3.已知 a, b, c 满足 c ? b ? a 且 ac ? 0 ,下列选项中不一定 成立的是( ) ...
(A) ab ? ac (B) c ?b ? a ? ? 0 (C) cb2 ? ab2 (D) ac(a ? c) ? 0

4.规定记号“⊙”表示一种运算,定义 a⊙b= ab ? a ? b (a , b 为正实数) , 若 1⊙k2<3,则 k 的取值范围为 ( A. ?1 ? k ? 1 B. 0 ? k ? 1 ) C. ?1 ? k ? 0 ) D. 0 ? k ? 2

5.若 a, b, c 为实数,则下列命题正确的是( A.若 a ? b ,则 ac2 ? bc2 B.若 a ? b ? 0 ,则 a 2 ? ab ? b2
1 1 ? a b b a D.若 a ? b ? 0 ,则 ? a b

C.若 a ? b ? 0 ,则

6.设 a ? 2?0.5 , b ? log3 ?, c ? log4 2 ,则( A. b ? a ? c B. b ? c ? a C. a ? b ? c

) D. a ? c ? b

x成 7. 在 R 上定义运算 ? : x ? y ? x(1 ? y) , 若不等式 ( x ? a) ? ( x ? a) ? 1对任意实数
立,则实数 a 的取值范围是( A.{a| ? 1 ? a ? 1 } 1 3 C.{a| ? ? a ? } 2 2 ). B.{a| 0 ? a ? 2 } 3 1 D.{a| ? ? a ? } 2 2
4x y

8.已知正实数 x, y 满足 x ? 2 y ? 4 ,则 y ? 1 的最小值为



9.设 x, y 为正实数, a ? x 2 ? xy ? y 2 , b ? p xy , c ? x ? y .试比较 a、c 的大小.

1

10.已知不等式 ax 2 ? 5x ? 2 ? 0 的解集是 M . (1)若 2 ? M ,求 a 的取值范围; (2)若 M ? x

?

1 ? x ? 2 ,求不等式 ax 2 ? 5x ? a 2 ? 1 ? 0 的解集. 2

?

第二部分
1.给出以下四个命题: 1 1 ①若 a>b,则 < ;

a b

②若 ac >bc ,则 a>b; ④若 a>b,则 a2>b2.

2

2

③若 a>|b|,则 a>b; 其中正确的是( A.②④ )

B.②③

C.①②

D.①③ )

2.设 a,b∈R,若 a-|b|>0,则下列不等式中正确的是( A.b-a>0 B.a3+b2<0 C.b+a>0 ) B.y= π ) 2 D.a2-b2<0

3.在下列函数中,最小值是 2 的是(

x 2 A.y= + 2 x
C.y=sinx+cscx,x∈(0,

x+2 (x>0) x+1

D.y=7x+7-x )

4.已知 loga(a2+1)<loga2a<0,则 a 的取值范围是( A.(0,1) 1 C.(0, ) 2
2

1 B.( ,1) 2 D.(1,+∞) )

5.f(x)=ax +ax-1 在 R 上满足 f(x)<0,则 a 的取值范围是( A.(-∞,0] C.(-4,0) 6.函数 y=3x2+ A.3 2-3 C.6 2
2

B.(-∞,-4) D.(-4,0] 6 的最小值是( x +1
2

) B.-3 D.6 2-3

1 1 a b 7.设 a>0,b>0.若 3是 3 与 3 的等比中项,则 + 的最小值为(

a b

)

A.8 C.1

B.4 D. 1 4

8. 已知当 x>0 时, 不等式 x2-mx+4>0 恒成立, 则实数 m 的取值范围是________. 9.已知 A={x|x2-3x+2≤0},B={x|x2-(a+1)x+a≤0}. (1)若 A ? B,求 a 的取值范围; (2)若 B?A,求 a 的取值范围

1 9 10.已知 x>0,y>0,且 + =1,求 x+y 的最小值.

x y

11.已知 a,b,c 都是正数,且 a+b+c=1. 求证:(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc. 证明 ∵a、b、c 都是正数,且 a+b+c=1, ∴1-a=b+c≥2 bc>0, 1-b=a+c≥2 ac>0, 1-c=a+b≥2 ab>0. ∴(1-a)(1-b)(1-c)≥2 bc·2 ac·2 ab=8abc. 12.不等式 kx2-2x+6k<0(k≠0). (1)若不等式的解集为{x|x<-3 或 x>-2},求 k 的值; (2)若不等式的解集为 R,求 k 的取值范围.

3

参 考 答 案 第一部分 1.D. 【解析】对于 A,若 c ? 0 ,显然 ac2 ? bc 2 不成立;对于 B,若 b ? a ? 0 ,则 a 2 ? b 2 不成立;对于 C,若 a ? b ? 0 ,则 a 2 ? ab ? b2 ,所以 C 错;对于 D,若 a ? b ? 0 , 则

1 1 1 ? 0 ,所以 ? ;故选 D ab a b
1 3 1 4

2.D
1 1 ?3? 【 解 析 】 因 为 ? ?? ?0 所 以 ? ? 3 4 ?5?
?

? 3? ?? ? ?5?

?

? 3? ? ? ? ?1 即 a ? b ?1 , 且 ?5?

0

?3? ? ? ?2?

?

3 4

?3? ? ? ? ? 1 所以 c ? 1 ,综上, c ? b ? a ,所以答案为:D. ?2?

0

3.C 【解析】
? a ? c, ac ? 0,? c ? 0, a ? 0 . (1)? b ? c, a ? 0 , ? ab ? ac ; (2)? b ? a,?b ? a ? 0 ,

?c ? 0,?c ?b ? a ? ? 0 ;(3)

? c ? a,? a ? c ? 0 , ?ac ? 0,?ac ? a ? c ? ? 0 .(4)

? c ? b ? a 且 c ? 0, a ? 0 ,? b ? 0 或 b ? 0 或 b ? 0 ,? cb 2 和 ab 2 的大小不能确定,即

C 选项不一定成立.故选 C. 4.A 【解析】根据题意 1? k 2 ? 1? k 2 ?1 ? k 2 ? 3 化简为 k 2 ? k ? 2 ? 0 ,对 k 分情况去 绝对值如下: 当 k ? 0 时,原不等式为 k 2 ? k ? 2 ? 0 解得 ?2 ? k ? 1 ,所以 0 ? k ? 1 ; 当 k ? 0 时,原不等式为 ?2 ? 0 成立,所以 k ? 0 ; 当 k ? 0 时,原不等式为 k 2 ? k ? 2 ? 0 ,解得 ?1 ? k ? 2 ,所以 1? ? k ? 0 ; 综上, ?1 ? k ? 1 ,所以选择 A. 5.B 【解析】对于 A,当 c ? 0 时,不等式不成立,故 A 错;对于 C,因为 a ? b ? 0 , 1 1 1 1 ? ?? ?0, 两边同时除以 ab ? 0 , 所以 ? , 故 C 错; 对于 D, 因为 ?a ? ?b ? 0 , b a a b a b 所以 ? ,故 D 错,所以选 B. b a

4

6.A 【解析】∵ a ? 2?0.5,b ? log3?,c ? log4 2 , 1>2?0.5=
1 log3?>1,log 4 2= .∴ b>a>c .故选:A. 2 7. C

1 1 > , 2 2

【解析】根据题意化简不等式为 ( x ? a)(1 ? ( x ? a)) ? 1,即 x2 ? x ? (a2 ? a ?1) ? 0 对 任意实数 x 成立,所以根据二次恒成立 ? ? 0 ,解得 ? 8. 1 【解析】 由 x ? 2 y ? 4 化为 y ?
y 1 4? x ? 得 代入 2 4x y
1 3 ?a? . 2 2

4 ? x 1 1 1 1 ? 1 1 ? x ? 2y 1 ? ? ? ? ? ? ? ?? ? 2 ? 4x y 2x y 8 ? 2x y ? 4 8 1? y x 5? 1 ? ? ? ? ? ? ,因为 x ? 0, y ? 0 ,所以 4? x y 2? 8
y 1 1? y x 5? 1 1? y x 5? 1 ? ? ? ? ? ?? ? ? 2 ? ? ? ? ?1 ? 4x y 4 ? x y 2 ? 8 4 ? x y 2? ? 8

(当且仅当“ x ? y ?

4 ”时,取“ ? ” ) ,故最小值为 1 . 3

9.? a 2 ? x 2 ? xy ? y 2 , c 2 ? x 2 ? 2xy ? y 2? c 2 ? a 2 ? xy ;
? x ? 0, y ? 0,? xy ? 0 ,即 c ? a ;

10. (1) a ? ?2 (2) x ? 3 ? x ?

?

1 2

? ?

【解析】 (1)由 2 ? M ,说明元素 2 满足不等式 ax 2 ? 5x ? 2 ? 0 ,代入即可求出 a 的取值范围; (2)由 M ? x

?

1 ? x ? 2 , 1 , 2 是方程 ax 2 ? 5x ? 2 ? 0 的两个根,由 2 2

韦达定理即可求出 a ? ?2 ,代入原不等式解一元二次不等式即可; (1)∵ 2 ? M ,∴ a ? 22 ? 5 ? 2 ? 2 ? 0 ,∴ a ? ?2 (2)∵ M ? x

?

1 ? x ? 2 ,∴ 1 , 2 是方程 ax 2 ? 5x ? 2 ? 0 的两个根, 2 2
5

?

5 ?1 ?2?? ? ?2 a ∴由韦达定理得 ? ?1 ?2 ? ? 2 ? a ?2

解得 a ? ?2

∴不等式 ax 2 ? 5x ? a 2 ? 1 ? 0 即为: ?2x2 ? 5x ? 3 ? 0 其解集为 x ? 3 ? x ? 第二部分 2.解析 3.解析 由 a-|b|>0?|b|<a?-a<b<a?a+b>0,故选 C.

?

1 2

?

x 2 y= + 的值域为(-∞,-2]∪[2,+∞); 2 x y= x+2 1 = x+1+ >2(x>0); x+1 x+1
1 >2(0<sinx<1); sinx

y=sinx+cscx=sinx+

y=7x+7-x≥2(当且仅当 x=0 时取等号).
7.解析 3是 3a 与 3b 的等比中项?3a·3b=3a+b=3?a+b=1, ∵a>0, b>0, ∴ ab ≤

a+b 1

1 = ?ab≤ . 2 2 4

1 1 a+b 1 1 ∴ + = = ≥ =4. a b ab ab 1 4 11.解析 1 9 因为 x>0,y>0, + =1,

x y x y

1 9 y 9x 所以 x+y=(x+y)( + )= + +10≥2

x

y

y 9x · +10=16. x y

当且仅当 =

y 9x 1 9 时,等号成立,又因为 + =1. x y x y

所以当 x=4,y=12 时,(x+y)min=16.

6


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