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江苏省高考数学一轮复习训练:专题6 解析几何


第一学期江苏省南通市高中解析几何试题汇编 数 学 Ⅰ 题 试 3、方程 x2 y2 + = 1 的曲线是焦点在 y 轴上的双曲线,则 m 的取值范围是 m 4-m ▲

答案: m ? 0
y2 x2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 2 b 9、已知椭圆 a 的中心为 O,右焦点为 F、右顶点为 A,右准线与 x 轴的交

>点为 H,
| FA | | OH | 的最大值为 则



13、设 M1(0,0),M2(1,0),以 M1 为圆心,| M1 M2 | 为半径作圆交 x 轴于点 M3 (不同于 M2),记作⊙ M1; 以 M2 为圆心,| M2 M3 | 为半径作圆交 x 轴于点 M4 (不同于 M3),记作⊙ M2;……; 以 Mn 为圆心,| Mn Mn+1 | 为半径作圆交 x 轴于点 Mn+2 (不同于 Mn+1),记作⊙ Mn;…… 当 n∈ N*时,过原点作倾斜角为 30°的直线与⊙ 交于 An,Bn.考察下列论断: Mn 当 n=1 时,| A1B1 |=2; 当 n=2 时,| A2B2 |= 15 ;
35 ? 42+23- 1

当 n=3 时,| A3B3 |=

3 35 ? 43-24- 1



当 n=4 时,| A4B4 |=

3

; ▲

…… 由以上论断推测一个一般的结论:对于 n∈ N*,| AnBn |=
2 2

l l 17、 (本题满分 15 分)已知圆 C : ( x ? 2) ? y ? 4 ,相互垂直的两条直线 1 、 2 都过点 A(a, 0) . l l (Ⅰ )当 a ? 2 时,若圆心为 M (1, m) 的圆和圆 C 外切且与直线 1 、 2 都相切,求圆 M 的方程;
(Ⅱ )当 a ? ?1 时,求 1 、 2 被圆 C 所截得弦长之和的最大值,并求此时直线 l1 的方程.

l

l

解: )设圆 M 的半径为 r ,易知圆心 M (1, m) 到点 A(2,0) 的距离为 2r , (Ⅰ
2 2 2 ? ?(1 ? 2) ? m ? 2r ? ?(1 ? 2) 2 ? m 2 ? (2 ? r ) 2 ?



……………………………………………………………4 分
2 2

解得 r ? 2 且 m ? ? 7 ∴ M 的方程为 ( x ? 1) ? ( y ? 7 ) ? 4 …………………7 分 圆 (Ⅱ )当 a ? ?1 时,设圆 C 的圆心为 C , l1 、 l 2 被圆 C 所截得弦的中点分别为 E, F ,弦长分

别为 d1 , d 2 ,因为四边形 AECF 是矩形,所以 CE ? CF ? AC ? 1 ,即
2 2 2

2 2 ? ? ? ? ? 4 ? ? d1 ? ? ? ? 4 ? ? d 2 ? ? ? 1 ? ? ? ? ? ?2? ? ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ,化简得
2 d1 ? d 2 ? 2 ? d12 ? d 2 ? 2 14

…………………………10 分

从而

,等号成立 ? d1 ? d 2 ? 14 ,

? d1 ? d 2 ? 14 时,?(d1 ? d 2 ) max ? 2 14 ,
即 l1 、 l 2 被圆 C 所截得弦长之和的最大值为 2 14 …………………………………13 分

此时 d1 ? 14 ,显然直线 l1 的斜率存在,设直线 l1 的方程为: y ? k ( x ? 1) ,则
k k ?1
2

? 4?(

14 2 ) 2

,? k ? ?1 , …………………………15 分

∴ 直线 l1 的方程为: x ? y ? 1 ? 0 或 x ? y ? 1 ? 0 江苏省 2010 高考数学模拟题(压题卷)

x2 y2 ? 2 ?1 2 b 8.已知 F1、F2 分别是椭圆 a , (a ? b ? 0) 的左、右焦点,以原点 O 为圆心,OF1 为
半径的圆与椭圆在 y 轴左侧交于 A、 两点, F2AB 是等边三角形, B 若△ 则椭圆的离心率等于 3 ? 1 . 三、解析几何题 1.已知过点 A(?1, 0) 的动直线 l 与圆 C : x ? ( y ? 3) ? 4 相交于 P, Q 两点, M 是 PQ 中点,
2 2

l 与直线 m : x ? 3 y ? 6 ? 0 相交于 N .
(1)求证:当 l 与 m 垂直时, l 必过圆心 C ; (2)当 PQ ? 2 3 时,求直线 l 的方程;

???? ???? ? AM ? AN 是否与直线 l 的倾斜角有关?若无关,请求出其值;若有关,请 (3)探索
说明理由.

1 km ? ? ,? k1 ? 3, 3 解:(1)? l 与 m 垂直,且
故直线 l 方程为 y ? 3( x ? 1), 即 3x ? y ? 3 ? 0.

? 圆心坐标(0,3)满足直线 l 方程, ? 当 l 与 m 垂直时, l 必过圆心 C .

(2)① 当直线 l 与 x 轴垂直时,易知 x ? ?1 符合题意. ② 当直线 l 与 x 轴不垂直时,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1), 即 kx ? y ? k ? 0 ,

? PQ ? 2 3,?CM ? 4 ? 3 ? 1 ,则由

CM ?

?k ? 3 k ?1
2

?1
,得

k?

4 3,

? 直线 l : 4 x ? 3 y ? 4 ? 0.
故直线 l 的方程为 x ? ?1 或 4 x ? 3 y ? 4 ? 0.

???? ???? ??? ???? ???? ??? ???? ???? ???? ??? ???? ? ? ? ? ? ? ?CM ? MN ,? AM ? AN ? ( AC ? CM ) ? AN ? AC ? AN ? CM ? AN ? AC ? AN . (3)
5 N (?1, ? ), 3 ① l 与 x 轴垂直时,易得 当 ???? 5 ? AN ? (0, ? ), ??? 3 又 AC ? (1,3) , 则

???? ???? ??? ???? ? ? ? AM ? AN ? AC ? AN ? ?5 .
② l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1), 当

???? ? y ? k ( x ? 1), ?3k ? 6 ?5k ?5 ?5k ? N( , ), AN ? ( , ). x ? 3 y ? 6 ? 0, 得 1 ? 3k 1 ? 3k 1 ? 3k 1 ? 3k 则由 ? 则 ???? ???? ???? ???? ? ?5 ?15k ? AM ? AN ? AC ? AN ? ? ? ?5. 1 ? 3k 1 ? 3k ???? ???? ? ???? ???? ? AM ? AN 与直线 l 的斜率无关,且 AM ? AN ? ?5 . 综上所述,

x2 ? y2 ? 1 2.已知 A、B 是椭圆 4 的左、右顶点,直线 x ? t (?2 ? t ? 2) 交椭圆于 M、N 两点,
经过 A、M、N 的圆的圆心为 (1)求证 (2)求圆

C1 ,经过 B、M、N 的圆的圆心为 C2 .

C1C2

为定值;

C1 与圆 C2 的面积之和的取值范围.

解:(1)由题设 A(-2,0) ,B(2,0) ,

? x ? t, ? 2 ?x t2 t2 2 ? ? y ? 1, M (t , 1 ? 4 ), N (t , ? 1 ? 4 ) 由? 4 解出 .



C1 ( x1,0), C2 ( x2 ,0) ,由

x1 ? 2 ? (t ? x1 )2 ? 1 ?

t2 3(t ? 2) x1 ? 4 解出 8 .

同理,

2 ? x2 ? ( x 2 ?t )2 ? 1 ?
x1 ? 2 ?

t 3(t ? 2) 3 x2 ? C1C2 ? x2 ? x1 ? 4 解出 8 2 (定值). ,

(2)两圆半径分别为

3t ? 10 10 ? 3t 2 ? x2 ? 8 及 8 ,

S?
两圆面积和

?(3t ? 10)2 ? (10 ? 3t )2 ? ? (9t 2 ? 100) ? 32 64 ?

?

?



? 25? 7? ? , ? ? 4 ?. 所以 S 的取值范围是 ? 8

3.已知圆

F1 : ( x ?1)2 ? y2 ? 16 ,定点 F2 (1,0), 动圆过点 F2 ,且与圆 F1 相内切.

(1)求点 M 的轨迹 C 的方程;

3 ?ABF1 的面积为 2 , (2)若过原点的直线 l 与(1)中的曲线 C 交于 A,B 两点,且
求直线 l 的方程. 解:(1)设圆 M 的半径为 r , 因为圆 M 与圆 所以

F1 内切,所以 MF2 ? r ,

MF1 ? 4 ? MF2 ,即 MF1 ? MF2 ? 4 . F1 , F2 为焦点的椭圆,

所以点 M 的轨迹 C 是以

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 b 设椭圆方程为 a ,其中 2a ? 4, c ? 1 ,所以 a ? 2, b ? 3 .

x2 y 2 ? ?1 3 所以曲线 C 的方程 4 .
(2)因为直线 l 过椭圆的中心,由椭圆的对称性可知,

S?ABF 1 ? 2S?AOF 1



因为

S?ABF 1 ?

3 3 S?AOF 1 ? 4 . 2 ,所以

1 3 3 S?AOF 1 ? ? OF1 ? y1 ? y1 ? , x1 ? ? 3 A( x1 , y1 ) 在 x 轴上方,则 2 4 ,所以 2 不妨设点 , ( 3,
即:A 点的坐标为

3 3 ) (? 3, ) 2 或 2 ,

1 所以直线 l 的斜率为 2 ,故所求直线方程为 x ? 2 y ? 0 . ?

4.已知圆 C 的圆心在抛物线 x ? 2 py( p ? 0) 上运动,且圆 C 过 A(0, p) 点,若 MN 为圆 C 在 x
2

轴上截得的弦. (1)求弦长 MN ;

l1 l2 ? AM ? l1 , AN ? l2 ,求 l2 l1 的取值范围. (2)设
解:(1)设

C( x0 , y0 ) ,则圆 C 的方程为:

2 ( x ? x0 )2 ? ( y ? y0 )2 ? x0 ? ( y0 ? p)2 .

x ? 2 py0 ,得 x ? 2x0 x ? x0 ? p ? 0 , 令 y ? 0 ,并由 0
2 2 2 2

解得

x1 ? x0 ? p, x2 ? x0 ? p, 从而 MN ? x 2 ?x1 ? 2 p ,

(2) 设 ?MAN ? ? ,

1 1 S?MAN ? l1 ? l2 ? sin ? ? OA ? MN ? p 2 2 2 因为 ,

2 p2 l1l2 ? sin ? ,因为 l12+l22-2 l1 l2cosθ=4p2 , 所以 4 p2 ? 4 p2 1 cos? ? 4 p 2 (1 ? ) sin ? tan? .
4 p 2 (1 ? 1 ) sin ? tan ? ? 2(sin ? ? cos ? ) ? 2 2 sin(? ? 45?) 2 p2 .

所以 l12+l22=

2 l1 l2 l12 ? l2 ? ? ? l2 l1 l1l2 所以

0 因为 0 ? ? ? 90 ,所以当且仅当 ? ? 45? 时,原式有最大值 2 2 ,当且仅当 ? ? 90? 时,原

l1 l2 ? l2 l1 的取值范围为 [2, 2 2] . 式有最小值为 2,从而
2011 届江苏省苏州市迎二模六校联考数学试题 1 5.若双曲线经过点(3, 2),且渐近线方程是 y=± x,则这条双曲线的方程是 3

y2 ?
答案:

x2 ?1 9

10.若点 P 是曲线 y=x2-lnx 上的任意一点,则点 P 到直线 y=x-2 的最小距离为 答案: 2 12. 若过点 A(a,a)可作圆 x2+y2-2ax+a2+2a-3=0 的两条切线,则实数 a 的取值范围是

答案:

a ? ?3或1 ? a ?

3 2

18.(本小题满分 16 分)已知圆 C 通过不同的三点 P(m,0)、Q(2,0)、R(0,1),且圆 C 在点 P 处的切线的斜 率为 1. (1)试求圆 C 的方程; →→→→ (2)若点 A、B 是圆 C 上不同的两点,且满足CP?CA=CP?CB, ① 试求直线 AB 的斜率; ②若原点 O 在以 AB 为直径的圆的内部,试求直线 AB 在 y 轴上的截距的范围。 ② 18.(1)设圆方程为 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,则圆心
2 2

C (?

D E ,? ) 2 2 ,且 PC 的斜率为-1……2 分

? 1? E ? F ? 0 ?4 ? 2 D ? F ? 0 ? D 2?m ? ? ? ? 2 2 ? E ? ? ?0 ? 2 ? ?1 ? D ? ? ?m 所以 ? 2 ……………………………………………………………5 分

? D ?1 ? E ?5 ? ? ? F ? ?6 2 2 ?m ? ?3 解得 ? ,所以圆方程为 x ? y ? x ? 5 y ? 6 ? 0 ……………………7 分
→→→→ (2)① CA=CP?CB ? CP ? (CA ? CB) ? 0 ? CP ? AB ? 0 ? CP ? AB , CP? 所以 AB 斜率为 1…………………10 分
2 2 ② 设直线 AB 方程为 y ? x ? t ,代入圆 C 方程得 2x ? (2t ? 6) x ? t ? 5t ? 6 ? 0

? ? ? ? 0 ? ?7 ? t ? 3 ? ? x1 ? x 2 ? ?t ? 3 ? t 2 ? 5t ? 6 ? x1 x 2 ? 2 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,则 ?
原点 O 在以 AB 为直径的圆的内部,即 OA ? OB ? 0 ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ………………14 分

2 整理得, t ? 2t ? 6 ? 0 ? ? 7 ? 1 ? t ? 7 ? 1 …………………16 分

江苏省淮州中学 2010—2011 学年度第一学期中考试 高三数学试卷
4 6. 若曲线 f ( x) ? x ? x 在点 P 处的切线平行于直线 3x-y=0,则点 P 的坐标为





答案: (1,0) 二、解答题

17. (本小题满分 15 分)已知点 P(1,3) ,圆 C:
2

( x ? m) 2 ? y 2 ?

9 3 2 ? 2 过点 A(1, 2 ) 点 ,F

为抛物线 y ? 2 px (p>0)的焦点,直线 PF 与圆相切. (1)求 m 的值与抛物线的方程; (2)设点 B(2,5) ,点 Q 为抛物线上的一个动点,求 BP ? BQ 的取值范围. 解: )点 A 代入圆 C 方程, (Ⅰ

??? ??? ? ?

? 3 2? 9 (1 ? m)2 ? ? ? ? 2 ? ?2 ? ? ? 得 . ∴ m=1.
圆 C: 当直线 PF 的斜率不存在时不合题意。 当直线 PF 的斜率存在时,设为 k, 则 PF1: y ? k ( x ? 1) ? 3 , 即 kx ? y ? k ? 3 ? 0 . ∵ 直线 PF 与圆 C 相切,
| k ? 0 ? k ? 3| k ?1
2

2

( x ? 1)2 ? y 2 ?

9 2.

?



3 2 2



解得 k ? 1, 或k ? ?1 . 当 k= 1 时,直线 PF1 与 x 轴的交点横坐标为 ?2 ,不合题意,舍去. 当 k= ?1 时,直线 PF1 与 x 轴的交点横坐标为 4,

p ?4 2 ?2 那么抛物线方程为 y ? 16 x
??? ? ??? ? y 5 (Ⅱ BP ? (?1, ? 2) ,设 Q(x,y) B ? ( ? , ? ) ,Q x 2 ) ??? ??? ? ? BP ? BQ ? ?( x ? 2) ? (?2)( y ? 5) ? ? x ? 2 y ? 12 .

2 ,

??

y2 1 ? 2 y ? 12 ? ? ( y ? 16) 2 ? 28 ? 28 16 16
y M

??? ??? ? ? ? ??, 28? . 所以 BP ? BQ 的取值范围为
江苏连云港市 2011 届高三上学期第一次调研考试(数学)数学Ⅰ 试题

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 b 10.双曲线 a 的两条渐近线将平面划分为―上、下、左、
F1 右‖四个区域(不含边界) ,若点 (1, 2) 在―上‖区域内,则双曲线离心率 e 的取 值范围是 答案: ▲ . (第 18 题) O F2 x

?

1, 5

?

N

二、解答题 18.(本小题满分 16 分)

x2 y2 3 1 ? ?1 P(1, ) e? (a ? b ? 0) 过点 F1 , F2 , M a2 b2 2 , 2 , ,N 如图, 椭圆 其左、 右焦点分别为 离心率
是椭圆右准线上的两个动点,且 F1M ? F2 N ? 0 . (1)求椭圆的方程; (2)求 MN 的最小值; (3)以 MN 为直径的圆 C 是否过定点?请证明你的结论.

????? ???? ?

解:(1)?

e?

c 1 3 ? P(1, ) a 2 ,且过点 2 ,

9 ?1 ? a 2 ? 4b 2 ? 1, ? ? ? a ? 2c, ? a 2 ? b2 ? c2 , ? ?

? a ? 2, ? ? ?b ? 3, 解得 ?

?椭圆方程为

x2 y2 ? ?1 4 3 .…………4 分

????? ???? ? ????? ???? ? (2) 设点 M (4, y1 ), N (4, y2 ) 则 F1M ? (5, y1 ), F2 N ? (3, y2 ), F1M ? F2 N ? 15 ? y1 y2 ? 0 ,
15 15 ? MN ? y2 ? y1 ? - ? y1 ? + y1 ≥2 15 y1 y1 又 ,

? y1 y2 ? ?15 ,

? MN 的最小值为 2 15 .……………………… 10 分

(3) 圆心 C 的坐标为

(4,

y ? y1 y1 ? y2 r? 2 ) 2 2 ,半径 .

圆 C 的方程为

( x ? 4) 2 ? ( y ?

y1 ? y2 2 ( y2 ? y1 ) 2 ) ? 2 4 ,
…………16 分

2 2 整理得: x ? y ? 8x ? ( y1 ? y2 ) y ? 16 ? y1 y2 ? 0 .

? y1 y2 ? ?15 ,? x2 ? y 2 ? 8x ? ( y1 ? y2 ) y ? 1 ? 0
2 令 y ? 0 ,得 x ? 8 x ? 1 ? 0 ,? x ? 4 ? 15 .

圆 C 过定点 (4 ? 15,0) .………………16 分 21.(本小题满分 10 分) y

1 1 F (0, ) y?? 4 且与直线 4 相切. 已知动圆 P 过点
(1)求点 P 的轨迹 C 的方程; (2) 过点 F 作一条直线交轨迹 C 于 A, B 两点, 轨迹 C 在 A, B 两点处的切线 相交于点 N , M 为线段 AB 的中点,求证: MN ? x 轴. 解: (1)根据抛物线的定义,可得动圆圆心 P 的轨迹 C 的方程为 x ? y …………4 分
2

F· P · O 第 22 题 x

(2)证明:设

2 A( x1, x12 ), B( x2 , x2 ) , ∵y ? x2 , ∴ y? ? 2 x ,∴ AN , BN 的斜率分别为

2 x1 , 2 x2 ,
故 AN 的方程为
2 y ? x12 ? 2x1 ( x ? x1 ) , BN 的方程为 y ? x2 ? 2x2 ( x ? x2 ) …7 分

? y ? 2 x1 x ? x12 ? x ?x x ?x ? xN ? 1 2 xM ? 1 2 2 y ? 2 x2 x ? x2 ? 2 ,又 2 , 即? ,两式相减,得
∴ M , N 的横坐标相等,于是 MN ? x ………………10 分 江苏省南通中学 2010—2011 学年度高三第一学期中考试数学
4 6. 若曲线 f ( x) ? x ? x 在点 P 处的切线平行于直线 3x-y=0,则点 P 的坐标为





答案: (1,0) 2011 届江苏高考数学权威预测题

1 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 b 7、若双曲线 a 的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的 4 ,则该双
曲线的渐近线方程是 ▲ .

答案: x ? 3 y ? 0 10、两圆 x ? y ? 2 ax ? a ? 4 ? 0(a ? R ) 和 x ? y ? 4 by ? 1 ? 4b ? 0(b ? R ) 恰有三
2 2 2 2 ? ?

1 1 ? 条共切线,则 a b 的最小值为
答案:1、 二、解答题



.

18、 分)如图,在平面直角坐标系中,方程为 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 的圆 M 的内接四 (16
2 2

边形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 互相垂直,且 AC 和 BD 分别 在 x 轴和

y

D

y 轴上 .
G

(1)求证: F ? 0 ;

M
(2)若四边形 ABCD 的面积为 8,对角线 AC 的长为 2,且

??? ???? ? AB ? AD ? 0 ,求 D 2 ? E 2 ? 4 F 的值;
(3) 设四边形 ABCD 的一条边 CD 的中点为 G ,OH ? AB 且 垂足为 H .试用平面解析几何的研究方法判断点 O 、 G 、 H 是 否共线,并说明理由. 解:(1)证法一:由题意,原点 O 必定在圆 M 内,

O A H B

C

x

即点 (0, 0) 代入方程 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 的左边后的值小于 0,于是有 F ? 0 ,即
2 2

证.

…………4 分

证法二:由题意,不难发现 A 、 C 两点分别在 x 轴正负半轴上. 设两点坐标分别为

A? a,0?



C ? c,0?

,则有 ac ? 0 .

2 2 2 对于圆方程 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,当 y ? 0 时,可得 x ? Dx ? F ? 0 ,其中方程的两

根分别为点 A 和点 C 的横坐标,于是有 因为 ac ? 0 ,故 F ? 0 .

xA xC ? ac ? F .
………………4 分

(2) 不难发现, 对角线互相垂直的四边形 ABCD 面积

S?

AC ? BD AC ? 2 2 , 因为 S ? 8 , ,

可得

BD ? 8

.

………………6 分

? 又 因 为 A B? A D 0 , 所 以 ? A 为 直 角 , 而 因 为 四 边 形 是 圆 M 的 内 接 四 边 形 , 故

??? ???? ?

BD ? 2 r ? 8 ? r ?4
.

………………8 分

D2 E 2 ? ? F ? r2 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 所 表 示 的 圆 , 可 知 4 4 对于方程 ,所以
D 2 ? E 2 ? 4 F ? 4r 2 ? 64 .
(3)证:设四边形四个顶点的坐标分别为 ………………10 分

A? a,0?



B ?0, b?



C ? c,0?



D ?0, d ?

.

???? ? c d ? ?c d? OG ? ? , ? ? , ? ?2 2?. 则可得点 G 的坐标为 ? 2 2 ? ,即


………………12 分

??? ? AB ? ? ?a, b?

,且 AB ? OH ,故要使 G 、 O 、 H 三点共线,只需证 AB ? OG ? 0 即可.

??? ???? ?

??? ???? bd ? ac ? AB ? OG ? 2 2 2 ,且对于圆 M 的一般方程 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 , 而
2 当 y ? 0 时可得 x ? Dx ? F ? 0 ,其中方程的两根分别为点 A 和点 C 的横坐标,

于是有

xA xC ? ac ? F .
2

………………14 分

同理,当 x ? 0 时,可得 y ? Ey ? F ? 0 ,其中方程的两根分别为点 B 和点 D 的纵坐标,于 是有

yB yD ? bd ? F .

??? ???? bd ? ac ? AB ? OG ? ?0 2 所以, ,即 AB ? OG .
故 O 、 G 、 H 必定三点共线. 江苏省 2011 届高三上学期苏北大联考(数学)数学Ⅰ试题 ………………16 分

x2 ? y2 ? 1 3、顶点在原点且以双曲线 3 的右准线为准线的抛物线方程是
答案: y ? ?6 x
2





x2 ? y2 ? 1 xOy C : a2 6、在平面直角坐标系 中,已知双曲线 ( a ? 0 )的一条渐近线与直线 l :
2x ? y ? 1 ? 0

垂直,则实数 a ?





答案:2 9、曲线 C: f ( x) ? sin x ? e ? 2 在 x ? 0 处的切线方程为
x





答案:

2x ? y ? 3 ? 0

2 2 11、直线 x ? 2 y ? 5 ? 0 与圆 x ? y ? 2 相交于 A, B 两点, O 为原点,则

??? ??? ? ? OA ? OB ?

★ ;

答案:0 12、如图,在平面直角坐标系 xOy 中,

x2 y2 ? 2 ?1 2 b 点 A 为椭圆 E: a ( a ? b ? 0 )的左顶点,
B,C 在椭圆 E 上,若四边形 OABC 为平行四边形, 且∠ OAB=30°,则椭圆 E 的离心率等于 ★ ; y B A O (第 12 题)
2 2

C x

2 2 答案: 3

13、已知直线 kx ? y ? 1 ? 0 与圆 C: x ? y ? 4 相交于 A,B 两点,若点 M 在圆 C 上, 且有 OM ? OA ? OB (O 为坐标原点) ,则实数 k = 答案:0 二、解答题 16、 (本小题共 14 分) ★ ;

x2 y2 ? 2 ?1 2 b 如图,椭圆 E: a ( a ? b ? 0 )的左、右焦点分别为 F1、F2,
18 点 A(4,m)在椭圆 E 上,且 AF2 ? F1 F2 ? 0 ,点 D(2, 0)到直线 F1A 的距离 DH= 5 .
(Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)设点 P 位椭圆 E 上的任意一点,求 PF1 ? PD 的取值范围。 y H F1 O D A F2 x

? ? ? ? 16 解: (Ⅰ)由题意知: c ? 4, F1 ? 4,0 , F2 4,0 ……………………2 分
sin?AF1 F2 ?


DH AF2 18 ? , DH ? , DF1 ? 6, DF1 AF1 5 又 AF2 ? F1 F2 ? 0



AF2 ?

b2 b2 , AF1 ? 2a ? a a ……………………4 分

18 5 ? 6


b2 a 2a ?
4 b2 a 2 ? b2 3 ……………………6 分 a ,则 b 2 ? 16 ? 4 2 b 3

由 b ? c ? a ,得
2 2 2

x2 y2 ? ?1 2 b2 ∴ ? 48, a ? 64 ,∴ 椭圆的方程为: 64 48 。……………………8 分 x2 y2 3 y 2 ? 48 ? x 2 ? ?1 4 (Ⅱ)设点 P ? x, y ? ,则 64 48 ,即

PF ∵ 1 ? ?? 4 ? x,? y ?, PD ? ?2 ? x,? y ?
PF ∴ 1 ? PD ? x ? y ? 2 x ? 8
2 2

……………………10 分

?

1 2 1 2 x ? 2 x ? 40 ? ? x ? 4? ? 36 4 4 ……………………12 分

PF ? ∵ 8 ? x ? 8 ,∴ 1 ? PD 的取值范围为 ?36,72? 。……………………14 分

19、 (本小题共 16 分)

x2 y2 ? ?1 4 已知椭圆 E: 8 的左焦点为 F,左准线 l 与 x 轴的交点是圆 C 的圆心,
圆 C 恰好经过坐标原点 O,设 G 是圆 C 上任意一点. (Ⅰ)求圆 C 的方程; (Ⅱ) 若直线 FG 与直线 l 交于点 T, G 为线段 FT 的中点, 且 求直线 FG 被圆 C 所截得的弦长;

GF 1 ? GP 2 ?若存在,求出点 P 坐标;若不存在,请说明 (Ⅲ)在平面上是否存在一点 P,使得
理由. (1) 知:圆 C 的方程为 ( x ? 4) ? y ? 16 ……………(4 分)
2 2

江苏省 2011 年高考数学模拟题 5. 在平面直角坐标系中, 正方形 ABCD 的中心坐标为(3, 其一边 AB 所在直线的方程为 x-y+1=0, 2), 则边 AB 的对边 CD 所在直线的方程为 。 答案:x-y-3=0。 7. 若 点 P(2 , 0) 到 双 曲 线 为 答案: 2 。 ?? ?-2≤??· ≤2 ? OM OA 11. 已知在平面直角坐标系 xOy 中, O(0,0), A(1,-2), B(1,1), C(2.-1), 动点 M(x,y) 满足条件? , ?? ?1≤??· OB ≤2 ? OM ?? ?? 则 OM · OC 的最大值为 答案:4。 四、解析几何题 5、已知椭圆 x2+ y2 =1(0<b<1)的左焦点为 F,左、右顶点分别为 A,C,上顶点为 B,过 F、B、C 3 。 。 x2 y2 =1 的 一 条 渐 近 线 的距 离为 2 , 则 该 双 曲线 的 离 心率 a2 b2

作⊙ P,其中圆心 P 的坐标为(m,n)。 (1)当 m+n>0 时,求椭圆离心率的范围; (2)直线 AB 与⊙ 能否相切?证明你的结论。 P

解: (1)设 F、 C 的坐标分别为(-c, 0), b), 0), FC、 的中垂线分别为 x= B、 (0, (1, 则 BC

1-c b 1 1 , y- = (x- ), 2 2 b 2

?x= 2 联立方程组,解出 ? 。 b2-c ?y= 2b
m+n= 1-c b2-c + >0,即 b-bc+b2-c>0,即 (1+b)(b-c)>0,∴b>c。 2 2b 1 2 ,又 e>0,∴0<e< 。 2 2 b-

1-c

从而 b2>c2,即有 a2>2c2,∴e2<

b2-c 2b b2+c (2)直线 AB 与⊙ 不能相切。由 kAB=b,kPB= P = , 1-c b(c-1) 02 如果直线 AB 与⊙ 相切,则 b· P b2+c =-1,又 b2+c2=1, b(c-1)

解出 c=0 或 2,与 0<c<1 矛盾,所以直线 AB 与⊙ 不能相切。 P 2011 年江苏省海安高级中学、南京外国语学校、南京市金陵中学 高三调研测试 数学(必试部分) x2 y2 3.抛物线 y2 = 8x 的焦点到双曲线 – = 1 的渐近线的距离为___ ___. 12 4
x2 y2 ? ?1 4 13.已知椭圆 3 的上焦点为 F ,直线 x ? y ? 1 ? 0 和 x ? y ? 1 ? 0 与椭圆相交于点 A , B ,

C , D ,则 AF ? BF ? CF ? DF ?



二、解答题 18.(本小题满分 16 分) 设圆

C1 : x2 ? y 2 ?10x ? 6 y ? 32 ? 0 ,动圆 C2 : x2 ? y2 ? 2ax ? 2(8 ? a) y ? 4a ? 12 ? 0 ,
C1 、圆 C2 相交于两个定点;

(1)求证:圆

x2 ? y2 ? 1 C T C 4 (2)设点 P 是椭圆 上的点,过点 P 作圆 1 的一条切线,切点为 1 ,过点 P 作圆 2
的一条切线,切点为

T2 ,问:是否存在点 P,使无穷多个圆 C2 ,满足 PT1 ? PT2 ?如果存在,

求出所有这样的点 P;如果不存在,说明理由. 江苏省安宜高级中学 10-11 年度高三 B 部数学复习资料期末综合练习(二) 4.若抛物线的焦点坐标为 (2, 0) ,则抛物线的标准方程是
2 答案: y ? 8 x





7.已知直线 l1 : ax ? 3 y ? 1 ? 0 , l2 : 2 x ? (a ? 1) y ? 1 ? 0 ,若 l1 ∥ l2 ,则实数 a 的值是 ▲ .

答案: ?3 二、解答题 18.(本小题满分 16 分)

x2 y 2 ? ?1 4 已知椭圆 E: 8 的左焦点为 F,左准线 l 与 x 轴的交点是圆 C 的圆心,圆 C 恰好经过坐
标原点 O,设 G 是圆 C 上任意一点. (1)求圆 C 的方程; (2)若直线 FG 与直线 l 交于点 T,且 G 为线段 FT 的中点,求直线 FG 被圆 C 所截得的弦长;

GF 1 ? (3)在平面上是否存在定点 P,使得 GP 2 ?若存在,求出点 P 坐标;若不存在,请说明理 由.

x2 y 2 ? ?1 4 18. (1)由椭圆 E: 8 ,得 l : x ? ?4 , C (?4, 0) , F (?2, 0) ,
又圆 C 过原点,所以圆 C 的方程为 ( x ? 4) ? y ? 16 .………………………………4 分
2 2

(2)由题意,得

G(?3, yG ) ,代入 ( x ? 4)2 ? y 2 ? 16 ,得 yG ? ? 15 ,
…………………8 分

所以 FG 的斜率为 k ? ? 15 , FG 的方程为 y ? ? 15( x ? 2) , (注意:若点 G 或 FG 方程只写一种情况扣 1 分)

d? 2 ,直线 FG 被圆 C 截得弦长为 所以 C (?4, 0) 到 FG 的距离为

15

2 16 ? (

15 2 ) ?7 2 .

故直线 FG 被圆 C 截得弦长为 7.…………………………………………………………10 分
2 ( x0 ? 2)2 ? y0 1 GF 1 ? ? 2 2 2 G( x0 , y0 ) ,则由 GP 2 ,得 ( x0 ? s) ? ( y0 ? t ) (3)设 P(s, t ) , ,

整理得 又

2 2 3( x0 ? y0 ) ? (16 ? 2s) x0 ? 2ty0 ?16 ? s2 ? t 2 ? 0 ①,…………………………12 分

2 2 G( x0 , y0 ) 在圆 C: ( x ? 4)2 ? y 2 ? 16 上,所以 x0 ? y0 ? 8x0 ? 0 ②,

②代入①得

(2s ? 8) x0 ? 2ty0 ?16 ? s2 ? t 2 ? 0 ,

…………………………14 分

又由

G( x0 , y0 ) 为圆 C 上任意一点可知,

? 2 s ? 8 ? 0, ? 2t ? 0, ? ?16 ? s 2 ? t 2 ? 0, ?

解得 s ? 4, t ? 0 . …………………………16 分

所以在平面上存在一点 P,其坐标为 (4, 0) .

江苏常州三中高三数学期末模拟试题

() , 0 11. 已知抛物线 C : y ? 2 px( p>0) 的准线为错误! 不能通过编辑域代码创建对象。 过 M 1 ,
2

且斜率为错误!不能通过编辑域代码创建对象。的直线与 l 相交于点错误!不能通过编辑域代

???? ???? ? C 的一个交点为错误!不能通过编辑域代码创建对象。 AM ? MB , 码创建对象。 ,与 .若
http://www.gkstk.com/则

p?

.2

14.点 P 到点 A(错误!不能通过编辑域代码创建对象。 ,B( a ,2)及到直线 x=-错误! ,0) 不能通过编辑域代码创建对象。的距离都相等,如果这样的点恰好只有一个,那么 a 的值是

1 __________.- 2 或错误!不能通过编辑域代码创建对象。

x2 y 2 2 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) (1, ) 2 b 2 ,离心率为 2 , 18. (本小题满分 16 分)如图,已知椭圆 a 过点.
左、 右焦点分别为

F1 、F2 .点 P 为直线 l : x ? y ? 2 上且不在 x 轴 PF1 和 PF2 与椭圆的交点分别为 A 、 B 和

上的任意一点,直线

C 、 D , O 为坐标原点.
(I)求椭圆的标准方程; (II)设直线

PF1 、 PF2 的斜线分别为 k1 、 k2 .

1 3 ? ?2 k1 k2 (i)证明: ;
(ii) 问直线 l 上是否存在点 P , 使得直线 OA 、OB 、OC 、OD 的斜率 满足

kOA 、kOB 、kOC 、kOD

kOA ? kOB ? kOC ? kOD ? 0 ?若存在,求出所有满足条件的点 P 的坐标;若不存在,说明

理由.

江苏省常州市 7 校 2011 届高三上学期期中联考(数学理)

14、如果关于 x 的方程

ax ?

1 ?3 x2 在区间 (0, ??) 上有且仅有一个解,那么实数 a 的取值范围

为___▲___. a ? 2或a ? 0 江苏省常州市 2011 届高三上学期调研试题(数学)
? 6. 已知:圆 M: x ? y ? 2 y ? 0 ,直线 l 的倾斜角为 120 ,与圆 M 交于 P、Q 两点,若

2

2

OP? OQ ? 0 (O 为原点),则 l 在 x 轴上的截距为
?

?

?

.

3 3

B 8. 面积为 S 的 ?ABC 的三边 a, b, c 成等差数列,?B ? 60 , b ? 4 ,设 ?A C 外接圆的面积为

S ,则 S : S ?
' '

4 3 ? 9 2 4

C : x ? y ? 1上的点到原点的距离的最小值为 14. 曲线
二、解答题

.

2 2 18.(15)已知直线 l 的方程为 x ? ?2 , 且直线 l 与 x 轴交于点 M, O : x ? y ? 1 与 x 轴交于 A, B 圆

两点(如图) .

1 l1 交圆于 P、 Q 两点,且圆孤 PQ 恰为圆周的 4 ,求直线 l1 的方程; (1)过 M 点的直线
(2)求以 l 为准线,中心在原点,且与圆 O 恰有两个公共点的椭圆方程; (3)过 M 点的圆的切线 l2 交(II)中的一个椭圆于 C、D 两点,其中 C、D 两点在 x 轴上方, 求线段 CD 的长. l P M A O B x y

2 1 ? . ,??POQ ? . ? PQ 为圆周的 4 ? O 点到直线 l1 的距离为 2 2 18、解: (1I)

Q

l1

2 1 y ? k ( x ? 2),? ? ,? k 2 ? . 2 7 k ?1 2 设 l1 的方程为

| 2k |

? l1 的方程为

y??

7 ( x ? 2). 7

x2 y 2 a2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ? 2. 2 b (2)设椭圆方程为 a ,半焦距为 c,则 c

?椭圆与圆 O 恰有两个不同的公共点,则 a ? 1 或 b ? 1.
4 y2 1 3 x2 ? ?1 c ? , b2 ? a2 ? c2 ? ,? 3 2 4 所求椭圆方程为 当 a ? 1 时, ; x2 ? y 2 ? 1. b ? 1 时, b ? c ? 2c,?c ? 1,? a ? b ? c ? 2. ?所求椭圆方程为 2 当
2 2 2 2 2

x2 ? y 2 ? 1, (3)设切点为 N,则由题意得,椭圆方程为 2
? 在 Rt ?MON 中, MO ? 2, ON ? 1 ,则 ?NMO ? 30 ,

? l2 的方程为

y?

x2 3 ? y2 ? 1 ( x ? 2) 2 2 3 ,代入椭圆 中,整理得 5 x ? 8 x ? 2 ? 0.

设 C ( x1 , y1 ), D( x2 , y2 ) ,则

8 2 x1 ? x2 ? ? , x1 x2 ? . 5 5

1 4 64 8 4 ? CD ? (1 ? )[( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ] ? ( ? )? 2. 3 3 25 5 5
江苏省常州市 2011 届高三复习迎考试卷数学试题Ⅰ 12.已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,以其两个焦点和短轴的两个端点为顶点的 四边形是一个面积为 4 的正方形,设 P 为该椭圆上的动点,C、D 的坐标分别是

??

2, 0 ,

? ?

2, 0

? ,则 PC·PD 的最大值为

▲ .4

2 2 2 m 14 . 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 设 直 线 y ? 3x ? 2 和 圆 x ? y ? n 相 切 , 其 中 m ,

n ? N*, ?| m ? n |? 1 ,若函数 f ( x) ? mx ?1 ? n 的零点 x0 ? (k , k ? 1), k ? Z ,则 k= ▲ 0

.0

二、解答题

y 2 x2 6 C: 2 + 2 =1? a>b>0? 3 ,过右顶点 A 的直线 l a b 19. (本小题满分 16 分)已知椭圆 的离心率为
与椭圆 C 相交于 A、B 两点,且 B(?1,? 3) . (1)求椭圆 C 和直线 l 的方程;

(2)记曲线 C 在直线 l 下方的部分与线段 AB 所围成的平面区域(含边界)为 D.若
2 2 2 曲线 x ? 2mx ? y ? 4 y ? m ? 4 ? 0 与 D 有公共点,试求实数 m 的最小值.

【解】 (1)由离心率

e?

6 a 2 ? b2 6 ? 3 ,得 a 3 ,即 a2 ? 3b2 .

① ………………2 分

1 ) 又 点 B(? ,? 3 在 椭 圆

C:

y 2 x2 (?3)2 (?1)2 + 2 ?1 + 2 ?1 2 a2 b b 上,即 a .

② ………………4 分
2 2 解 ①得 a ? 12,b ? 4 , ②

y 2 x2 ? ?1 故所求椭圆方程为 12 4 .

…………………6 分

0) 由 A(2, ,B(?1,? 3) 得直线 l 的方程为 y ? x ? 2 . ………8 分
2 2 2 (2)曲线 x ? 2mx ? y ? 4 y ? m ? 4 ? 0 , 2 2 即圆 ( x ? m) ? ( y ? 2) ? 8 ,其圆心坐标为 G(m,? 2) ,

半径 r ? 2 2 ,表示圆心在直线 y ? ?2 上,半径为 2 2 的动圆. ………………… 10 分 由于要求实数 m 的最小值,由图可知,只须考虑 m ? 0 的情形.

| a ? 2?2|
设 ? G 与直线 l 相切于点 T,则由

2

?2 2

,得 m ? ?4 ,………………… 12 分

当 m ? ?4 时,过点 G(?4,? 2) 与直线 l 垂直的直线 l ? 的方程为 x ? y ? 6 ? 0 ,
? x ? y ? 6 ? 0, ? x? y?2?0 解方程组 ? 得 T (?2,? 4) .

………………… 14 分

因为区域 D 内的点的横坐标的最小值与最大值分别为 ?1,2 ,
2 2 所以切点 T ? D ,由图可知当 ? G 过点 B 时,m 取得最小值,即 (?1 ? m) ? (?3 ? 2) ? 8 ,

解得 mmin ? ? 7 ? 1 .

………………… 16 分

(说明:若不说理由,直接由圆过点 B 时,求得 m 的最小值,扣 4 分) 江苏省常州市 2011 届高三复习迎考试卷数学试题Ⅱ(附加题) 22.动点 P 在 x 轴与直线 l:y=3 之间的区域(含边界)上运动,且到点 F(0,1)和直线 l 的距 离之和为 4. (1)求点 P 的轨迹 C 的方程;

(2)过点 Q(0, ?1) 作曲线 C 的切线,求所作的切线与曲线 C 所围成区域的面积. 【解】 (1)设 P(x,y) ,根据题意,得 …………………4 分 (2)设过 Q 的直线方程为 y=kx-1,代入抛物线方程,整理得 x2-4kx+4=0. 由△ =16k2-16=0.解得 k=±1. 于是所求切线方程为 y=±x-1(亦可用导数求得切线方程). 切点的坐标为(2,1)(-2,1) , .
2 2? ? 1 x2 ? ( x ? 1) ?dx ? 3 . ? 0 ?4 4 ? ? 由对称性知所求的区域的面积为 S=

x2 ? ( y ? 1)2

1 +3-y=4,化简,得 y= 4 x2(y≤3) .

………………… 10 分

江苏省常州市北郊中学 2011 届高三上学期统一练习(数学) 4. 在平面直角坐标系中, 双曲线的中心在原点, 焦点在 则它的离心率为_______ 10 9.已知抛物线 y ? 2 px( p ? 0) ,过点 ( p,0) 作两条互相垂直的直线 l1 ,l 2 ,若 l1 与抛物线交于
2

y 轴上,一条渐近线方程为 x ? 3 y ? 0 ,

P、Q 两点,若 l 2 与抛物线交于 M、N 两点, l1 的斜率为 k ,某同学已正确求得弦 PQ 的中
p p ? p, ) 2 k ,则弦 MN 的中点坐标为 点坐标为 k (
二、解答题 18. 已知⊙O 的圆心为原点, 与直线 x ? 3 y ? 10 ? 0 相切, 的方程为 ( x ? 8) ? ( y ? 6) ? 4 , ⊙M
2 2

(k 2 p ? p,?kp)

过⊙M 上任一点 P 作⊙O 的切线 PA、PB,切点为 A、B. (1) 求⊙O 的方程; (2)若直线 PA 与⊙M 的另一交点为 Q,当弦 PQ 最大时,求直线 PA 的直线方程; (3)求 OA? OB 的最大值与最小值. 18.解: (1)⊙O 的方程为 x ? y ? 10
2 2

(2)由题可知当直线 PA 过圆 M 的圆心(8,6)时,弦 PQ 最大 因为直线 PA 的斜率一定存在, 设直线 PA 的方程为:y-6=k(x-8) 又因为 PA 与圆 O 相切,所以圆心(0,0)到直线 PA 的距离为 10

| 8k ? 6 |
即 1? k
2

? 10

1 13 k ? 或k ? 3 9 可得

所以直线 PA 的方程为: x ? 3 y ? 10 ? 0或13x ? 9 y ? 50 ? 0 (3)设 ?AOP ? ? 则 ?AOP ? ?BOP, ?AOB ? 2?

cos ?AOB ? 2 cos 2 ? ? 1 ? 2(


OA 2 20 ) ?1 ? ?1 OP OP 2

? OP |max ? 10 ? 2 ? 12, | OP |min ? 10 ? 2 ? 8 |
? OA ? OB ?| OA | ? | OB | cos ?AOB ?
? (OA ? OB ) max ? ? 55 , (OA ? OB ) min 8

200 ? 10 OP 2 155 ?? 18
y? 1 2 x 4 的焦点离心率等

F,F 19.已知椭圆 C 的两焦点 1 2 均在 x 轴上,它的一个顶点恰好是抛物线

2 5 FQ ? 2 5 , FQ 交椭圆于 P 点,T 是线段 F2Q 上一点,且 PT ? TF ? 0 , 1 2 于 5 .点 Q 在椭圆 C 外, 1
. (1)求椭圆 C 的方程; (2)求点 T 的轨迹 E 的方程; (3)若 M 是轨迹 E 上任意一点,过 M 点轨迹 E 的切线与 x 轴,

T F2 ? 0

???? ??? ??? ? ? y 轴交于点 A,B, ON ? OA ? OB ,求

???? ON

的最小值.

x2 y 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 2 b 19. 解 (1) 抛 物 线 的 焦 点 坐 标 为 ( 0 , 1 ) 设 椭 圆 的 方 程 为 a , .由题意 x2 c 2 5 2 2 2 2 ? y2 ? 1 b ? 1, ? , a ? b ? c ,? a ? 5, c ? 2 a 5 知: .∴椭圆的方程为 5 .
(2)

? FQ ? F1P ? PQ ? 2 5, PF1 ? PF2 ? 2 5 , 1


PQ ? PF2 ,? PQF2 是等腰三角形. ?

??? ??? ? ? PT ? 2 ? 0,? PT ? TF2 ,?T是QF2 的中点. TF 又
FF 又 O 是 1 2 的中点, ∴
(3)

OT ?

1 F1Q ? 5 x2 ? y 2 ? 5 ? y ? 0? 2 ,∴T 的轨迹是圆 .

M ? x0 , y0 ?? x0 y0 ? 0?

. ∴ ? O 的切线方程为

x0 x ? y0 y ? 5, x02 ? y02 ? 5 .

???? 2 ? 5 ?2 ? 5 ?2 ? 1 1 ? 5 125 ON ? ? ? ? ? ? ? 25 ? 2 ? 2 ? ? 25? 2 2 ? 2 2 x0 y0 x0 y0 ? x0 ? ? y0 ? ? x0 y0 ? ∴ .
2 2 x0 ? y0 ? 2 x0 y0 ,? ? x0 y0 ? ? 2

又∵

???? 2 25 ,? ON ? 20 4



???? ON

min

?2 5

.故

???? ON

的最小值为 2 5 .

江苏省成化高中 2011 届高三(上)期末模拟试卷〈三〉 (必做题部分)

x2 ? y2 ? 1 5.以双曲线 3 的一条准线为准线,顶点在原点的抛物线方程是

y 2 ? 6 x或y 2 ? ?6 x
17.(本题满分 14 分) 已知 F1(-c,0), F2(c,0) (c>0)是椭圆的两个焦点,O 为
5 9c 2 ( x ? c)2 ? y 2 ? 4 16 . 坐标原点,圆 M 的方程是 (1)若 P 是圆 M 上的任意一点,

求证:

| PF1 | | PF2 |

是定值; (2)若椭圆经过圆上一点 Q,且
34 2

3 5 cos∠ F1QF2=

,求椭圆的离心率; (3)在(2)

的条件下,若|OQ|= 解:

,求椭圆的方程. 上的任意一点,

5 9c 2 ( x ? c)2 ? y 2 ? 4 16 (1)证明:设 P(x,y)是圆

| PF1 | | PF2 |

( x ? c) ? y ? ( x ? c) 2 ? y 2
2 2

=

9c 2 5cx 25c 2 ? x2 ? ? ? x 2 ? 2cx ? c 2 16 2 16 9c 2 5cx 25c 2 ? x2 ? ? ? x 2 ? 2cx ? c 2 16 2 16

=3

| PF1 | | PF | ∴ 2 =3

----------5 分

(2)解:在△ F1QF2 中,F1F2=2c,Q 在圆上,设|QF2|=x,则|QF1|=3x,椭圆半长轴长为 2x,

3 4c2=x2+9x2-6x2× 5 ,5c2=8x2
10 c 2 2 ) ? 5 ,e= 5 . e2= 2x

(

--11 分

5 5 5 c c c (3)由(2)知,x= 8 ,即|QF2|= 8 ,则|QF1|=3 8

???? ? 1 1 ???? ???? 2 2 | QO |2 ? | QF1 ? QF2 |2 ? (| QF1 | ? | QF2 | ?2 | QF1 || QF2 | cos ?F1QF2 ) 4 4 1 45 5 15 3 17 ? ( c2 ? c2 ? 2 ? ? c2 ) ? c2 4 8 8 8 5 8
34 10 c 由于|OQ|= 2 ,∴ c=2,进一步由 e= a = 5 得到 a2=10,b2=6
x2 y2 ? ?1 所求椭圆方程是 10 6 .

---------16 分

江阴成化高中 11 届高三一调模拟试卷四

x2 y 2 ? ?1 4. 双曲线 9 16 的渐近线方程为



4 y?? x 3 . .答案:

x2 y 2 ???? ???? ? ? 2 ? 1(a>b>0) 2 b 12.设椭圆 a 的两个焦点分别为 F1,F2,点 P 在椭圆上,且 PF1 ? PF2 ? 0 ,
tan ?PF1 F2 ? 2 ,则该椭圆的离心率等于
5 答案: 3 .





讲评建议:设 PF1=m,则 PF2=2m,2c=
2 2

PF12 ? PF22 ? 5m

,2a=3m,

e?

2c 2a .

x y ? ? 1(a ? 2) a2 2 17.如图,已知椭圆 C: 的左右焦点分别为 F1、F2,点

B 为椭圆与 y 轴的正半轴的交点,点 P 在第一象限内且在椭圆上,且 PF2

???? ?? ? F1P ? op ? 5. 与 x 轴垂直,
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

(Ⅱ)设点 B 关于直线 ? : y ? ? x ? m 的对称点 E(异于点 B)在椭圆 C 上,求 m 的值。

x2 y 2 ? ?1 2 解: (1)椭圆 C 方程为: 4 ,
(2)BE⊥ BE 方程: y ? x ? 2 l,

?y ? x ? 2 ? 2 ?x y2 ? 1, x ? 0, 或x ? ? 4 2 . ? ? 2 3 由? 4 得
4 2 2 2 2 2 ,? ),? BE中点为(? , ) 3 3 3 3 2 代入y ? x ? m得m ? ? 3 E (?

附加题

???? ??? ? ? 1、 已知点 F(0,1),点 P 在 x 轴上运动,M 点在 y 轴上,N 为动点,且满足 PM ? PF ? 0 , ??? ???? ? ? PN ? PM ? 0 .
(1)求动点 N 的轨迹 C 方程; (2)由直线 y= -1 上一点 Q 向曲线 C 引两条切线,切点分别为 A,B,求证:AQ⊥ BQ.

答案: (1)设 N(x,y).

???? ? ??? ? x x x ??? ???? ? ? PM ? (? , ? y) PF ? (? ,1) 2 2 . 因 PN ? PM ? 0 ,故 P 的坐标为( 2 ,0),M(0,-y),于是, ,
???? ??? ? ? PM ? PF ? 0 ,即得曲线 C 的方程为 x2=4y.………………5 分 因
(2)设 Q(m,-1).由题意,两条切线的斜率 k 均存在,故可设两切线方程为 y=k(x-m)-1. 将上述方程代入 x2=4y,得 x2-4kx+4km+4=0. 依题意,⊿=(-4k)2-4(4km+4)=0,即 k2-mk-1=0. 上述方程的两根即为两切线的斜率, 由根与系数的关系,其积为-1,即它们所在直线互相垂直.………………10 分 江阴成化高中 2011 届高三第一次调研模拟试卷一

x2 y2 ? ?1 y n 6.若实数 m 、 n ?{ ? 1 , 1 , 2 , 3 },且 m ? n ,则曲线 m 表示焦点在 轴上的
1 .4
A 和 F 分别是椭圆的左顶点和右焦点,则

双曲线的概率是 13 . 设 P

x2 y2 ? ?1 是 椭 圆 25 16 上任意一点,

PA ? PF ?

1 PA ? AF 4 的最小值为
2 2

?9

O 18.已知⊙ : x ? y ? 1和定点A(2,1), 由⊙ 外一点 P(a,b)向⊙ 引切线 PQ,切点为 Q,且满 O O
足 | PQ |?| PA | . (1)求实数 a,b 间满足的等量关系; (2)求线段 PQ 长的最小值; (3)若以 P

为圆心所作的⊙ 与⊙ 有公共点,试求半径最小值时⊙ 的方程。 P O P 18.解: (1)连 OP,? Q 为切点,PQ⊥ OQ,由勾股定理有 | PQ | ?| OP | ? | OQ |
2 2 2

又由已

知 | PQ |?| PA |, 故 | PQ | ?| PA |
2 2 2 2 2

2

即: (a ? b ) ? 1 ? (a ? 2) ? (b ? 1)

2

化简得实数 a、b 间满足的等量关系为:

2a ? b ? 3 ? 0
(2)由 2a ? b ? 3 ? 0 ,得 b=-2a+3 。

…………………4 分

2 2 2 | PQ |? a 2 ? b 2 ? 1 ? a ? (?2a ? 3) ? 1 ? 5a ? 12 a ? 8

6 4 ? 5(a ? ) 2 ? . 5 5

6 2 2 a ? 时, | PQ | min ? 5 5 5 5 故当 ,即线段 PQ 长的最小值为 5 ………………8 分
(3)设⊙ 的半径为 R, P OP 设⊙ 有公共点,⊙ 的半径为 1, O O

? R ? 1 |?| OP |? R ? 1,即R ?| OP | ?1 | 且R ?| OP | ?1. |



| OP |? a 2 ? b 2 ? a 2 ? (?2a ? 3) 2

6 9 ? 5(a ? ) 2 ? . 5 5

6 3 3 3 a ? 时, | PQ | min ? 5 , 此时 b ? ?2a ? 3 ? , Rmin ? 5 ? 1. 5 5 5 5 故当
得半径取最小值⊙ 的方程为 P

6 3 3 ( x ? ) 2 ? ( y ? ) 2 ? ( 5 ? 1) 2 5 5 5
江苏省成化高中 2011 届高三(上)期末模拟试卷〈二〉

……………14 分

2 2 7 . 已 知 圆 ( x ? 2) ? y ? 9 和 直 线 y ? kx 交 于 A,B 两 点 ,O 是 坐 标 原 点 , 若 OA ? 2OB ? O , 则

??? ?

??? ?

??

??? ? | AB |?

3 10 .2

14.我们可以运用下面的原理解决一些相关图形的面积问题:如果与一固定直线平行的直线被 甲、乙两个封闭的图形所截得线段的比都为 k,那么甲的面积是乙的面积的 k 倍.你可以从给出
x2 y 2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 的简单图形① 中体会这个原理.现在图③ 、② 中的曲线分别是 a b 与x

? y 2 ? a2 ,

运用上面的原理,图③ 中椭圆的面积为 l (将 l 向右平移) 甲 甲 乙 ① 乙 ②

. ? ab yx

O

x



17. 设椭圆

C:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2 的上顶点为

A, 椭圆 C 上两点 P, Q 在 x 轴上的射影分别为左焦点

F1 和右焦点 F2 ,直线 PQ 的斜率为 3 ,过点 A 且与 AF1 垂直的直线与 x 轴交于点 B ,?AF1B 的 2

外接圆为圆 M . (1)求椭圆的离心率;

1 ???? ???? 1 3x ? 4 y ? a 2 ? 0 ME ? MF ? ? a 2 4 2 ,求椭圆方程; (2)直线 与圆 M 相交于 E , F 两点,且
(3)设点 N (0,3) 在椭圆 C 内部,若椭圆 C 上的点到点 N 的最远距离不大于 6 2 ,求椭圆 C 的短 轴长的取值范围.
? b2 P? ? c,? ? a 17.解: (1)由条件可知 ?
2 ? ? Q ? c, b ? ? ? ? ? a ? ?, ? ?

因为

k PQ ?

1 3 2 ,所以得: e ? 2

………4 分

(2)由(1)可知, a ? 2c, b ? 3c ,所以, A 0, 3c , F1 ?? c,0?, B?3c,0? ,从而 M ?c,0?

?

?

???? ???? 1 a ME ? MF ? ? a 2 ?EMF ? 120? ,可得:M 到直线距离为 2 2 ,所以 半径为 a,因为
? ?1 从而,求出 c ? 2 ,所以椭圆方程为: 16 12 ; x2 y2

………9 分 ………10 分

(3)因为点 N 在椭圆内部,所以 b>3
2 2 2 设椭圆上任意一点为 K ?x, y ? ,则 KN ? x ? ? y ? 3? ? 6 2

? ?

2

2 2 由条件可以整理得: y ? 18 y ? 4b ? 189 ? 0 对任意 y ? ?? b, b??b ? 3? 恒成立,

所以有:

?? 9 ? ?b ? ? ??? b?2 ? 18?? b? ? 4b 2 ? 189 ? 0 ?

或者

?? 9 ? ?b ? ? ??? 9?2 ? 18?? 9? ? 4b 2 ? 189 ? 0 ?

解之得: 2 b ? (6,12 2 ? 6] 东海高级中学 2011 届高三理科数学 30 分钟限时训练(06)

………15 分

x2 y2 ? ?1 4 4、双曲线 9 的一个焦点到一条渐近线的距离是
东海高级中学 2011 届高三理科数学 30 分钟限时训练(09)

2

8. 一椭圆的四个顶点为 A1, B1, 以椭圆的中心为圆心的圆过椭圆的焦点且与菱形 A2, B2,

A1B1 A2 B2

相切,则椭圆的离心率为

5 ?1 2
抛物线 x ? 16 y 的焦点为焦
2

东海高级中学 2011 届高三理科数学 30 分钟限时训练(10) 5. 已知椭圆 C 以坐标原点为中心,坐标轴为对称轴,且椭圆 C 以

y 2 x2 ? ?1 点,以双曲线 16 9 的焦点为顶点,则椭圆 C 的标准方程 y 2 x2 ? ?1 25 9



2 2 7. 若直线 2ax ? by ? 2 ? 0 (a, b ? R) 始终平分圆 x ? y ? 2x ? 4 y ? 1 ? 0 的周长,则 ab

的最大值是

1 4

东海高级中学 2011 届高三理科数学 30 分钟限时训练(01)

y ? ? x 对称, 5.已知直线 l1 :y ? 2 x ? 3 , 直线 l 2 与直线 l1 关于直线 则直线 l 2 的斜率为_______.0.5
8.已知直线 2 x ? 3 y ? ?1 ? 0 与圆

x 2 ? y 2 - 2x ? 3 ? 0

交于 M , N 两点, 则弦 MN 的垂直平分线

方程为__________ . 3x-2y-3=0 东海高级中学 2011 届高三理科数学 30 分钟限时训练(02)

x2 y2 ? 2 ?1 2 b 2、若双曲线 a 的两个焦点到一条准线的距离之比为 3:2,则双曲线的离心率是
___________. 5 6、过点 ?? 4,0? 作直线 l 与圆 x ? y ? 2 x ? 4 y ? 20 ? 0 交于 A、B 两点,若 AB=8,则直线 l 的
2 2

方程为_____________. 5 x ? 12y ? 20 ? 0 或 x ? ?4 东海高级中学 2011 届高三理科数学 30 分钟限时训练(03) 7 、过定 点
2 2 P (1,2)的直 线在 x轴与y轴 正 半轴上的 截距分别 为 a、 b ,则 4 a ? b 的 最小 值

为 .32 东海高级中学 2011 届高三理科数学 30 分钟限时训练(04) 3、抛物线 x ? ?8 y 的准线方程为
2

. y?2

x2 y2 x2 y2 6 ? 2 ? 1?a ? b ? 0? ? 2 ?1 2 2 b b 4、双曲线 a 的离心率为 2 ,则椭圆 a 的离心率为

.

2 2
东海高级中学 2011 届高三理科数学 30 分钟限时训练(05)

x2 y 2 2 2 7、已知 A(0,b) 为椭圆 a + b =1(a>b>0)的左准线与 x 轴的交点,若线段 AB 的中点 C 在 ,B

3 椭圆上,则该椭圆的离心率为______ 3
江苏省东海高级中学 2011 届高三上学期期中考试试题(数学)

??? ? ??? ? 2 2 7 、 已 知 直 线 x ? y ? a ?0 与 圆 x ? y ? 1 交 于 A 、 B 两 点 , 且 向 量 OA 、 OB 满 足 ? ??? ? ? ?? ? ??? ? ? ?? O A? O B ? O A O B ? ,其中 O 为坐标原点,则实数 a 的值为 ▲ . ?1
8、在平面直角坐标系 xOy 中, O 是坐标原点,设函数 f ( x) ? k ( x ? 2) ? 3 的图象为直线 l , 且 l 与 x 轴、 y 轴分别交于 A 、 B 两点,给出下列四个命题: 存在正实数 m ,使△ AOB 的面积为 m 的直线 l 仅有一条; 存在正实数 m ,使△ AOB 的面积为 m 的直线 l 仅有两条; 存在正实数 m ,使△ AOB 的面积为 m 的直线 l 仅有三条; 存在正实数 m ,使△ AOB 的面积为 m 的直线 l 仅有四条. 其中所有真命题的序号是 ▲ . ②③④

2 2 17、 分)已知圆 x ? y ? 25 , ?ABC 内接于此圆, A 点的坐标 ( 3,4) , O 为坐标原点. (14

⑴若 ?ABC 的重心是

5 G ( , 2) 3 ,求直线 BC 的方程;

⑵若直线 AB 与直线 AC 的倾斜角互补,求证:直线 BC 的斜率为定值.

17. 解: (1)设

B( x1, y1 ), C( x2 , y2 )

? x1 ? x2 ? 3 5 ? ? ? 3 3 ? ? y1 ? y2 ? 4 ? 2 ? 3 由题意可得: ?

? x1 ? x2 ? 2 ?1 ? ? ? y1 ? y2 ? 1 ? 即? 2 ....3 分

? x12 ? y12 ? 25 ? 2 2 x ? y2 ? 25 又? 2

相减得:

( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? 0 .............5 分

y1 ? y2 ? ?1 x1 ? x2 ∴
∴ 直线 BC 的方程为 y ? 1 ? ?( x ? 1) ,即 x ? y ? 2 ? 0 ............7 分 (2)设 AB : y ? k ( x ? 3) ? 4 ,代入圆的方程整理得:

(1 ? k 2 ) x2 ? (8k ? 6k 2 ) x ? 9k 2 ? 24k ? 9 ? 0 .

............9 分



3, x1 是上述方程的两根∴
x2 ?

x1 ?

3k 2 ? 8k ? 3 ?4k 2 ? 6k ? 4 , y1 ? 1? k 2 1? k 2 ........11 分

同理可得:

3k 2 ? 8k ? 3 ?4k 2 ? 6k ? 4 k ? y1 ? y2 ? 3 , y2 ? BC x1 ? x2 4 ...........14 分 1? k 2 1? k 2 ∴

江苏省东海高级中学 2011 届高三上学期周周练十(数学) 4.若 l , m, n 是三条互不相同的空间直线,? , ? 是两个不重合的平面,则下列命题中为真命题的 是 ▲ .④ ②若 ? ? ? , l ? ? , 则 l ? ? ; ④若 l ? ? , l // ? , 则 ? ? ? .

①若 ? // ? , l ? ? , n ? ? , 则 l // n ; ③若 l ? n, m ? n, 则 l // m ;

7. 已知点 A 是直角三角形 ABC 的直角顶点,且 A(a, 2), B(?4, a), C (a ? 1,1) , 则三角形 ABC 的外接圆的方程是 ▲ . ( x ? 2) ? y ? 5
2 2

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 b 9. 已知 P 是以 F1 , F2 为焦点的椭圆 a 上的一点,若

PF1 ? PF2 ? 0 ,

tan ?PF1 F2 ?

1 2 ,则此椭圆的离心率为



5 . 3

18.(本题满分 16 分) 在平面直角坐标系 xOy 中 ,已知以 O 为圆心的圆与直线 l : y ? mx ? (3 ? 4m) , (m ? R ) 恒有 公共点,且要求使圆 O 的面积最小. (1)写出圆 O 的方程;

??? ? ??? ? ??? ? ??? ??? ? ? (2)圆 O 与 x 轴相交于 A、B 两点,圆内动点 P 使 | PA | 、| PO | 、| PB | 成等比数列,求 PA ? PB
的范围; (3)已知定点 Q( ?4 ,3) ,直线 l 与圆 O 交于 M、N 两点,试判断 QM ? QN ? tan ?MQN 是否 有 最大值,若存在求出最大值,并求出此时直线 l 的方程,若不存在,给出理由. 18.解: (1)因为直线 l : y ? mx ? (3 ? 4m) 过定点 T(4,3) ,由题意,要使圆 O 的面积最小,
2 2 定点 T(4,3)在圆上, 所以圆 O 的方程为 x ? y ? 25 .

???? ???? ?

……………………4 分

2 2 (2)A(-5,0) ,B(5,0) ,设 P( x0 , y0 ) ,则 x0 ? y0 ? 25 ……①

??? ? ??? ??? ??? ? ? ? ??? ? ??? ??? ? ? ??? ? PA ? (?5 ? x0 , ? y0 ) , PB ? (5 ? x0 , ? y0 ) ,由 | PA |,| PO |,| PB | 成等比数列得,| PO |2 ?| PA | ? | PB | ,
2 2 x0 ? y0 ?



2 2 2 2 x0 ? y0 ? ( x0 ? 5)2 ? y0 ? ( x0 ? 5)2 ? y0

,整理得:

25 25 2 2 x0 ? ? y0 2 ,即 2

…②

由(1) (2)得:

2 0 ? y0 ?

? ? 25 ??? ??? 25 2 2 2 PA ? PB ? ( x0 ? 25) ? y0 ? 2 y0 ? 4 , 2 ,

??? ??? ? ? 25 ? PA ? PB ?[? ,0) 2 ???? ???? ? ???? ???? ? (3) QM ? QN ? tan ?MQN ?| QM | ? | QN | cos ?MQN ? tan ?MQN

………………10 分

???? ???? ? ?| QM | ? | QN | sin ?MQN ? 2S? MQN

.

……………………12 分

由题意,得直线 l 与圆 O 的一个交点为 M(4,3) ,又知定点 Q( ?4 ,3) , 直线

lMQ

S : y ? 3 , | MQ |? 8 ,则当 N (0, ?5) 时 ? MQN 有最大值 32.

………14 分 ………16 分

即 QM ? QN ? tan ?MQN 有最大值为 64,此时直线 l 的方程为 2 x ? y ? 5 ? 0 . 江苏省东海高级中学 2011 届高三上学期自主探究试题 11(数学)

???? ???? ?

17.(14 分) 如图,反比例函数 y ? f ( x) ( x ? 0 )的图像过点 A(1, 4) 和 B(4,1) ,点 P (x, y ) 为该 函数图像上一动点,过 P 分别作 x 轴、 y 轴的垂线,垂足为 C 、 D .记四边形 OCPD ( O 为 坐标原点)与三角形 OAB 的公共部分面积为 S . (1)求 S 关于 x 的表达式;

(2)求 S 的最大值及此时 x 的值.17.解: (1)由题设,得 分

f ( x) ?

4 x ( x ? 0 ) ……………………2 ,

当 x ≤ 1 时,

S?

x2 2 15 2 S ?4? ? x 8 x2 , 8 ,当 1 ? x ? 4 时,

当 x ≥ 4 时,

S?

30 x2 ,

y
A

D

P

B
x

O

C



?15 2 x ≤ 1, ?8 x , ? x2 2 ? S ? ?4 ? ? 2 , 1 ? x ? 4, 8 x ? ? 30 x ≥ 4. ? x2 , ?

……………………7 分)

(2)易知当 x ≤ 1 时,

S?

15 15 2 x S≤ 8 ,…………9 分 8 为单调递增函数,

当 x ≥ 4 时,

S?

15 30 S≤ 2 8 ,…………11 分 x 为单调递减函数,
x2 2 ? 8 x 2 在区间 (1, 2) 上单调递增,在区间 (2, 4) 上单调递减, (证明略) ,

当 1 ? x ? 4 时,

S ?4?

15 ? S ≤3 得 8 ,故 S 的最大值为 3 ,此时 x ? 2 .…………14 分
江苏省东海县高级中学 2011 届高三理科数学练习十三 5.已知 l 是直线, ? , ? 是两个不同的平面,则下列命题中: ① l // ? , l // ? ,则 ? // ? . 若 ③ l ? ? , l // ? ,则 ? ? ? . 若 其中是真命题的序号是
2 2

② ? ? ? , l // ? ,则 l ? ? . 若 ④ ? // ? , l // ? ,则 l // ? . 若 .③ .4

6. 若 PQ 是圆 x ? y ? 9 的弦,若 PQ 的中点是 M (1, 2) ,则弦 PQ 的长度为 10.设 P 为曲线 C : y ? x ? x ? 1上一点,曲线 C 在点 P 处的切线的斜率的范围是 [?1,3] ,
2

则点 P 纵坐标的取值范围是

3 [ , 3] . 4

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 F (?c,0), F2 (c,0) , b 12.已知椭圆 a 的左、右焦点分别为 1
a c ? 若 椭 圆 上 存 在 一 点 P , 使 sin ?PF1F2 sin ?PF2 F1 , 则 椭 圆 离 心 率 的 取 值 范 围
为 . ( 2 ?1,1)

18.设

F1 , F2 分别是椭圆

C:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2 的左、右焦点,

(1)设椭圆 C 上的点

( 3,

3 ) 2 到两点 F1 , F2 距离之和等于 4,写出椭圆的方程;

(2)设 K 是(Ⅰ )中椭圆 C 上的动点,求以线段

KF1 为直径的圆的圆心轨迹方程;

(3)设点 P 是椭圆 C 上的任意一点,过原点的直线 L 与椭圆相交于 M , N 两点,当直线

k PM , PN 的斜率都存在,并记为 kPM , kPN ,试探究 kPM ? PN 的值是否与点 P 及直线 L 有关,
并证明你的结论.

1 4 x2 y 2 b2 ( x ? )2 ? y 2 ? 1 ? ? 1, (?1, 0) k PM ?k PN ? ? 2 2 3 3 a 18.答案:①4 ,② ,③
江苏省东海县高级中学 2011 届高三上学期练习十四(数学理) 7.将圆 x ? y ? 1沿x 轴正方向平移 1 个单位后得到圆 C,若过点(3,0)的直线 l 和圆 C 相切,
2 2

则直线 l 的斜率为

?

3 3

10.若椭圆的中心为原点 O,右焦点为 F,右准线为 l,若在 l 上存在点 M,使线段 OM 的垂直平分 线经过 F,

则椭圆离心率的取值范围为

? 2 ? ,1? ? ? 2 ? ? . ?
2 2

18.已知动⊙ 经过点 D(?2, 0) ,且与圆 C : x ? y ? 4 x ? 0 外切 M (1)求点 M 的轨迹方程; (2)记半径最小的圆为⊙

M 0 ,直线 l 与⊙ 0 相交于 A, B 两点,且⊙ 0 上存在点 P ,使得 M M

????? ????? ????? ? ? ? M0 P ? M0 A? M0 B ? (? ? 1,3? ) ( ? ? 0 ). ① M 0 的方程; ② 求⊙ 求直线 l 的方程及相应的点 P
坐标. 18. 解: (1)圆 C 半径 R=2,C(3,0)--------1 分 由题意可得,MC=MD+2 ,MC—MD=2<CD=4--------3 分 ∴ M 的轨迹是以 C,D 为焦点的双曲线的左支, 点 其中 2a ? 2, 2c ? 4 ? a ? 1, c ? 2 ?b ? 3 --------5 分
2

∴ M 的轨迹方程为 点

x2 ?

y2 ? 1( x ? 0) 4 --------6 分

(2) ① MD 的最小值为 c ? a ? 1 ,且 M(-1,0) ∵ ∴ ⊙

M 0 的方程为 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1 --------8 分

????? ? M0 P ? (? ?1, 3?) ,即点 P(? , 3? ) 代入⊙ ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1 , ② 由 M:

? ? 0(舍), ?
解得

1 5,

--------10 分

1 3 3 ? P(? , ? ) kM 0 P ? ? 5 5 ,且 4

-----12 分

??? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ??? ? ? ? OP ? OA ? OB ? r M APB是菱形 ?OP ? OA ? OB ,且 ∴ 0 -----13 分

1 4 ? ??? ??? k AB ? ? ? ? kM 0 P 3 ?OP ? AB ∴
l: y?
∴直线

M P 又 0 的中点为

(?

6 3 ,? ) 10 10 -------15 分

3 4 6 3 ? (x ? ) 4x ? 3y ? ? 0 10 3 10 ,即 2

---16 分

江苏省东海县高级中学 2011 届高三上学期练习十五(数学理)

x2 y 2 ? ?1 2 p 2 9. 若抛物线 y ? 2 px 的焦点与椭圆 6 的右焦点重合,则 的值为__________.4
12. 若经过点 P(-1,0)的直线与圆 是 ___ .1

x2 ? y 2 ? 4 x ? 2 y ? 3 ? 0

相切,则此直线在 y 轴上的截距

14. 已知方程

mx4 ? (m ? 3) x2 ? 3m ? 0 有1 个根小于 ?2 ,其余 3 个根都大于 ?1 ,

则实数 m 的取值范围是______▲ ____. 江苏省东海县高级中学 2010-2011 学年度第一学期期中考试 高三理科数学试题 2. 已知直线

3x ? 4 y ? 3 ? 0 与直线 6 x ? my ? 11 ? 0 平行,则实数 m 的值是

▲ .8

8. 已知两圆相交于两点 的值是 ▲ .3 9. 已知圆

(1,3)和(m,1) ,且两圆的圆心都在直线

x? y?

c ?0 2 上,则 m ? c

C1 : ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1,圆 C2 与圆 C1 外切,且与直线 x ? 3 切于点 (3,1) ,则圆 C2 的方


程为 14. 已知方程

7 64 ( x ? )2 ? y 2 ? 5 25 .

mx4 ? (m ? 3) x2 ? 3m ? 0 有1 个根小于 ?2 ,其余 3 个根都大于 ?1 ,
?

4 ?m?0 则实数 m 的取值范围是______▲ ____. 5

17.(本小题满分 14 分)

已知在平面直角坐标系 xoy 中,圆 C 经过函数 与两坐标轴的交点, C 为圆心. (1)求圆 C 的方程; (2)在直线 l :

f ( x) ?

1 3 x ? x 2 ? 3x ? 9( x ? R) 3 的图像

2 x ? y ? 19 ? 0 上有一个动点 P ,过点 P 作圆 C 的两条切线,设切点分别为

M, N ,
求四边形 PMCN 面积的最小值及取得最小值时点 P 的坐标.

1 3 1 x ? x 2 ? 3x ? 9 ? 0 (x ? 3) 2 ( x ? 3) ? 0, 解得x1 ? 3, x2 ? ?3, 17.解: (1)由 3 得3 再由

x ? 0得f (0) ? ?9 ,所以函数与两坐标轴有三个交点,
分别是(3,0),(-3,0),(0,-9)…………………3 分 设经过该三点圆的方程为 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,将三点坐标代入
2 2 2 2 得: D ? 0, E ? 8, F ? ?9 ,所以圆的方程是: x ? y ? 8 y ? 9 ? 0 ………………8 分

(2)由题意得:

SPMCN ? 5PM ,要求面积最小值即求 PM 的最小值,而 PM ? PC2 ? 25 ,

PCmin ? d (C到直线l的距离)=3 5 ,…………………………………………10 PMmin ? 45 ? 25 ? 20 ? 2 5 ,
所以四边形 PMCN 面积的最小值是 10 5 ………………………………………12 分. 此时 PC的方程是 : x ? 2 y ? 4 ? 0 与 l : 2 x ? y ? 19 ? 0 联立解得 P(-6,-7)……14 分. 江苏省东海县高级中学 2010-2011 学年度第一学期期中考试 高三数学文

y2 x ? ?1 m 11.已知 m 是两个正数 2 , 8 的等比中项,则圆锥曲线 的离心率
2





3 2 或 5

17. (本题满分 14 分) 已知

P( x0 , y0 ) 是圆 C:x2 ? ( y ? 4)2 ? 1外一点, P 作圆 C 的切线,切点为 A、 过 B,记: 四边形 PACB

的面积为 f ( P ) (1)当 P 点坐标为(1,1)时,求 f ( P ) 的值; (2)当 (3)当

P( x0 , y0 ) 在直线 3x ? 4 y ? 6 ? 0 上运动时,求 f ( P ) 最小值; P( x0 , y0 ) 在圆 ( x ? 4)2 ? ( y ?1)2 ? 4 上运动时,

指出 f ( P ) 的取值范围(可以直接写出你的结果,不必 详细说理) ;

x2 ? y2 ? 1 P( x0 , y0 ) 在椭圆 4 (4)当 上运动时 f ( P) ? 5 是否能成立?若能求出 P 点坐标,若
不能,说明理由。 17. 解:? ?PAC , ?PBC 是两个全等直角三角形,

? f ( P) ? 2S ?PAC ?| PA |? AC |?| PA |? PC 2 ? 1 |

……………3 分 ……………5 分

| (1)? P(1,1), C(0, 4),? PC |? 10 ,? f ( P) ? 3
(2)

P( x0 , y0 ) 在直线 3x+4y-6=0 上运动时, | PC | 的最小值为点 C 到直线 3x+4y-6=0 的距离 d,

d ? 2,

? f ( P) 的最小值为 3
(3)

…………8 分

P( x0 , y0 ) 在圆 D: ( x ? 4)2 ? ( y ?1)2 ? 4 上运动时,
………………11 分

|CD|=5, | PC |?[3,7], f ( p) ?[2 2, 4 3]

x0 2 ? y0 2 ? 1 f (P) ? 5 ?| PC | ? 26 ? x0 ? ( y0 ? 4) ? 26 , 4 (4) 代入得:
2 2 2

3 y02 ? 8 y0 ? 6 ? 0, ? ? ?8 ? 0 ,故满足条件的 P 点不存在。
江苏省高淳高级中学 2011 届高三上学期第二次质量检测(数学理)

…………14 分

x2 y2 6.若抛物线 y2=2px(p>0)的焦点与椭圆 + =1 的右焦点重合,则 p 的值为_____▲______.4 6 2 18. (本题满分 16 分) 已知圆 C 过点 P(1,1) ,且与圆(x+3)2+(y+3)2=r2( r >0)关于直线 x+y+3=0 对称. (Ⅰ )求圆 C 的方程; (Ⅱ )过点 P 作两条直线分别与圆 C 相交于点 A、B,且直线 PA 和直线 PB 的倾斜角互补, O 为 坐标原点,判断直线 OP 与 AB 是否平行,并请说明理由.

18.解: (1)依题意,可设圆 C 的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2, …… 1 分

且 a、b 满足方程组

?a ? 3 b ? 3 ? 2 ? 2 ? 3 ? 0, ? ? ? b ? 3 ? ? ?1? ? ?1. ?a ? 3 ?

……3 分 ……5 分

由此解得 a=b=0 . 又因为点 P(1,1)在圆 C 上,所以

r 2 ? ?1 ? a ? ? ?1 ? b ? ? ?1 ? 0 ? ? ?1 ? 0 ? ? 2
2 2 2 2



……6 分 ……7 分

故圆 C 的方程为 x2+y2=2.

(2)由题意可知,直线 PA 和直线 PB 的斜率存在且互为相反数, 故可设 PA 所在的直线方程为 y ? 1 ? k ( x ? 1) , PB 所在的直线方程为 y ? 1 ? ?k ( x ? 1) .



? y ? 1 ? k ( x ? 1), ? 2 2 ?x ? y ? 2

消去 y ,并整理得 :

(k 2 ? 1) x2 ? 2k (1 ? k ) x ? (1 ? k )2 ? 2 ? 0 . ①


A ? x1 , y1 ?

x ,又已知 P (1, 1) ,则 1 、1 为方程①的两相异实数根,由根与系数的关系得

x1 ?

k 2 ? 2k ? 1 k 2 ? 2k ? 1 x2 ? k 2 ? 1 .同理,若设点 B ( x2 , y2 ) ,则可得 k 2 ?1 .
k AB ? y1 ? y 2 k ( x ? 1 ? k x( ? ) 1 2 ? x1 ? x 2 x ?x 2 1 1 )k ( x1 ? x2 ) ? 2k x1 ? x2 = =1.

于是

而直线 OP 的斜率也是 1,且两直线不重合,因此,直线 OP 与 AB 平行.

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