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第23课时 空间向量在立体几何中的应用


中小学课外辅导专家

东华教育学科教师教案
课程/科目: 高中数学 上课日期: 学科组长签名及日期 课 题 第 23 课时 空间向量在立体几何中的应用 合同编号: 上课时间: 学员姓名: 学科教师:汪连杰 年级:高三

1、理解空间向量的概念;掌握空间向量的加法、减法和数乘. 学习目标 2、理解空间向量坐标的概念;掌握空间向量的坐

标运算. 3、掌握空间解决立体几何问题的步骤与方法 考点及考试要求 利用空间向量解决线面、面面的位置关系、线面、面面所成的角等等

教学内容

知识点与考点
一、空间向量的数量积: 已知两个空间向量 a ? ( x1 , y1 , z1 ),b ? ( x2 , y2 , z2 ) (1) 空间向量的夹角: (3) 空间向量的数量积: (4) 空间向量的数 量积的运算律:交换律;分配律;数乘结合律 二、空间向量的坐标运算 (2) 空间向量 a 的长度或模:
?

a ? ( x1 , y1 , z1 ),b ? ( x2 , y2 , z2 )
(1) a± b= (3) a· b= (2) ? a= .(4) a∥ b? . ;a ? b ? .

(5) 设 A ? ( x1 , y1 , z1 ), B ? ( x 2 , y 2 , z 2 ) 则 AB = , AB ? .AB 的中点坐标为
? ? ? ?
2


2

类似平面向量,对于空间任意两个向量 a, b , k a ? ? b ? 来求向量的模 三、空间向量在立体几何中的应用:

(k a ? ? b ) 2 ? k 2 a ? 2k? ab ? ?2 b 该种计算方法常用

1、若空间不重合两条直线 a , b 的方向向量分别为 a , b ,则 a // b ? a // b ?

?

?

?

?

? ? ? ? ? ? a ? ?b ? ? ? R? , a ? b ? a ? b ? a ? b ? 0 .
2、若直线 a 的方向向量为 a ,平面 ? 的法向量为 n ,且 a ? ? ,则 a // ? ? a // ?

?

?

?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a ? n ? a ? n ? 0 , a ? ? ? a ? ? ? a // n ? a ? ? n . ? ? ? ? 3、若空间不重合的两个平面 ? , ? 的法向量分别为 a , b ,则 ? // ? ? a // b ?

中小学课外辅导专家

? ? ? ? ? ? a ? ?b , ? ? ? ? a ? b ? a ? b ? 0 .
4、设异面直线 a , b 的夹角为 ? ,方向向量为 a , b ,其夹角为 ? ,则有

?

?

? ? a ?b cos ? ? cos ? ? ? ? . a b ? ? l ?n ? ? ? ? l 与 ? 所成的角为 ? , 5、 设直线 l 的方向向量为 l , 平面 ? 的法向量为 n , 则有 sin ? ? cos ? ? ? ? . l 与 n 的夹角为 ? , l n
6、设 n1 , n2 是二面角 ? ? l ? ? 的两个面 ? , ? 的法向量,则向量 n1 , n2 的夹角(或其补角)就是二面角的平面角

??

?? ?

??

?? ?

?? ?? ? n1 ? n2 的大小.若二面角 ? ? l ? ? 的平面角为 ? ,则 cos ? ? ?? ?? ? . n1 n2 ??? ? ??? ? 7、点 ? 与点 ? 之间的距离可以转化为两点对应向量 ?? 的模 ?? 计算.
8、在直线 l 上找一点 ? ,过定点 ? 且垂直于直线 l 的向量为 n ,则定点 ? 到直线 l 的距离为

?

??? ? ? ?? ? n ??? ? ??? ? ? d ? ?? cos???, n? ? ? . n ??? ? ? ?? ? n ??? ? ??? ? ? d ? ?? cos???, n? ? ? . n

9、点 ? 是平面 ? 外一点, ? 是平面 ? 内的一定点, n 为平面 ? 的一个法向量,则点 ? 到平面 ? 的距离为

?

课前热身 典型例题
例 1、已知 O 为原点,向量 OA ? ? 3,0,1? , OB ? ? ?1,1, 2 ? , OC ? OA, BC ∥OA ,求 AC . 解:设 OC ? ? x, y, z ? , BC ? ? x ? 1, y ? 1, z ? 2 ? , ∵OC ? OA, BC ∥OA ,∴OC ? OA ? 0 , BC ? ?OA? ? ? R? ,

??? ?

??? ?

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??? ? ??? ?

??? ?

????

????

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? ??? ? ??? ? ???

??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

?3x ? z ? 0, ? x ? 1 ? 3? , ? ?3x ? z ? 0, ? ∴? ,即 ? ? ?? x ? 1, y ? 1, z ? 2 ? ? ? ? 3, 0,1? ? y ? 1 ? 0, ? ? z ? 2 ? ?. 7 21 1 ,? ? 。 解此方程组,得 x ? ? , y ? 1, z ? 10 10 10

中小学课外辅导专家 ∴OC ? ? ?

???? ? 7 21 ? ???? ???? ??? ? ? 37 11 ? ,1, ? , AC ? OC ? OA ? ? ? ,1, ? 。 ? 10 10 ? ? 10 10 ?

例 2. 如图,直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 ,底面 ?ABC 中,CA=CB=1, ?BCA ? 90 ? ,棱 AA1 ? 2 ,M、N 分别 A1B1、A1A 是的 z 中点. C1 B1 (1) 求 BM 的长; N A1 (2) 求 cos? BA1 , CB1 ? 的值; (3) 求证: A1 B ? C1 N .[来源:学_科_网 Z_X_X_K] 解:以 C 为原点建立空间直角坐标系 O ? xyz . M A C B y

x0) 2 ? 3 . (1) 依题意得 B(0,1,0) ,M(1,0,1) . ? BM ? (1 ? 0) 2 ? (0 ? 1) 2 ? (1 ? (2) 依题意得 A1(1,0,2) ,B(0,1,0) ,C(0,0,0) ,B1(0,1,2).
? BA1 ? (1,?1,2), CB1 ? (0,1,2), BA1 ? CB1 ? 3, BA1 ? 6 , CB1 ? 5

? cos ? BA1 , CB1 ??

BA1 ? CB1 BA1 ? CB1

?

30 10
1 1 2 2

(3) 证明:依题意得 C1(0,0,2) ,N ( , ,2),? A1B ? (?1,1,?2),C1N ? ( , ,0) .
1 1 ? A1B ? C1 N ? ? ? ? 0 ? 0,? A1B ? C1 N 2 2

1 1 2 2

例 3.如图,在空间四边形 OABC 中, OA ? 8 , AB ? 6 , AC ? 4 , BC ? 5 , ?OAC ? 45? , ?OAB ? 60? ,求 OA 与 O BC 的夹角的余弦值。 解:∵BC ? AC ? AB ,

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ∴OA ? BC ? OA ? AC ? OA ? AB ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ?| OA | ? | AC | ? cos ? OA, AC ? ? | OA | ? | AB | ? cos ? OA, AB ?

A

C

? 8 ? 4 ? cos135 ? 8 ? 6 ? cos120 ? 24 ?16 2 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? OA ? BC 24 ? 16 2 3 ? 2 2 ? ??? ? ? ∴cos ? OA, BC ?? ??? , ? 8? 5 5 | OA | ? | BC |
? ?

B

3? 2 2 . 5 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 说明:由图形知向量的夹角时易出错,如 ? OA, AC ?? 135? 易错写成 ? OA, AC ?? 45? ,切记!
所以, OA 与 BC 的夹角的余弦值为 例 4、在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 ,E 是棱 DD1 的中点。在棱 C1D1 上是否存在一点 F,使 B1F ∥ 平面 A1 BE ?证明你的 结论。 解析:以 A 为坐标原点,如图建立坐标系,设正方形的棱长为 2,则 B(2,0,0),E(0,2,1), A1 (0,0,2), B1 (2,0,2), ∴BE =(-2,2,1), BA1 =(-2,0,2) , 设面 BEA1 的法向量为 m =( x , y , z ) ,则

??? ?

????

中小学课外辅导专家

???? ??? ? 3 3 m ? BE = ?2 x ? 2 y ? z =0 且 m ? BA1 = 2 x ? 2 z =0,取 x =1,则 z =-1, y = ,∴m =(1, ,-1), 2 2
假设在棱 C1D1 上存在一点 F,使 B1F ∥ 平面 A1 BE ,设 F( x0 ,2,2)(0≤ x0 ≤2), 则 BF =( x0 ? 2 ,2,2) , 则 m ? BF = 1? ( x0 ? 2) ?

??? ?

??? ?

3 ? 2 ? (?1) ? 2 =0, 2

解得 x0 =1, ∴ 当 F 为 C1D1 中点时, B1F ∥ 平面 A1 BE . 例 5、 在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,E 、F 分别是棱 BC , CC1 上的点,CF = AB = 2CE , AB : AD : AA1 = 1: 2 : 4 . 证明 AF ? 平面 A 1ED 解析:如图所示,建立空间直角坐标系,点 A 为坐标原点, 设 AB ? 1, 依题意得 D(0, 2,0) , F (1, 2,1) , A 1 (0,0, 4) , E ? 1,

? 3 ? ,0? ? 2 ?

已知 AF ? (1, 2,1) , EA1 ? ? ?1, ?

??? ?

????

? ?

? ? 3 ? ??? 1 ? , 4 ? , ED ? ? ?1, , 0 ? 2 ? 2 ? ?

ED =0.因此, AF ? EA1 , AF ? ED ,又 EA1 ? ED ? E 于是 AF · EA1 =0, AF ·
所以 AF ? 平面 A 1ED 例 6、在如图所示的几何体中,四边形 ABCD 是正方形, MA ? 平面 ABCD , PD // MA , E 、 G 、 F 分别为 MB 、 PB 、 PC 的中点,且 AD ? PD ? 2 MA .求证:平面 EFG ? 平面 PDC . 解析:以 A 为原点,向量 DA , AB , AM 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴的正方向, 如图建立坐标系,设 AM=1,则 AD=AB=PD=2,则 B(0,2,0),C(-2,2,0), D(-2,0,0),P(-2,0,2), M(0,0,1),则 E(0,1,

???? ????

???? ??? ?

??? ? ??? ? ???? ?

1 ),G(-1,1,1),F(-2,1,1), 2

∴EG =(-1,0,

????

1 ???? ), GF =(-1,0,0), 2

设平面 EFG 的法向量 m =( x , y , z ) ,则

??? ? ??? ? 1 EG ? m = ? x ? z =0 且 GF ? m = ?x =0, 2
取 y =1,则 x = z =0,∴m =(0,1,0), 易证面 PDC 的法向量为 DA =(2,0,0),

??? ?

∵m ? DA = 2 ? 0 ? 0 ? 1 ? 0 ? 0 =0,∴m ⊥DA ,

??? ?

??? ?

∴ 平面 EFG ? 平面 PDC

经典练习

中小学课外辅导专家 1.已知 a ? 3m ? 2n ? 4 p, b ? ( x ? 1)m ? 8n ? 2 yp , a ? 0 ,若 a // b ,求实数 x, y 的值。

?

?

?

? ?

?

?

?

?

?

?

?

BC , CC1 上的点,CF ? AB ? 2CE , AB : AD : AA1 ? 1: 2 : 4(1) 2、 在长方体 ABCD ? A 1B 1C1 D 1 中,E 、F 分别是棱
求异面直线 EF 与 A1D 所成角的余弦值; (2)求二面角 A1 ? ED ? F 的正弦值。 解析:如图所示,建立空间直角坐标系,点 A 为坐标原点, 设 AB ? 1,依题意得 D(0, 2,0) , F (1, 2,1) , A ,0? 1 (0,0, 4) , E ? 1,

? 3 ? 2

? ?

? 1 ? ???? 2 ? ??? ? ???? ? ??? ? ???? ? EF ?A1D 3 于是 cos EF , A1 D ? ??? ? ???? ? ?? , 5 EF A1D
??? ? ? ?

(1)证明:易得 EF ? ? 0, ,1? , A 1D ? (0, 2, ?4) ,

所以异面直线 EF 与 A1D 所成角的余弦值为

3 5

(2)解:设平面 EFD 的法向量 n = ( x, y, z ) ,则 n ? EF = 不妨令 x =1,可得 n =(1,2,-1),

??? ? 1 ??? ? 1 y ? z =0 且 n ? ED = ? x ? y =0, 2 2

设平面 A1ED 的法向量 m =( m , n , p )则 m ? ED = ? m ? 取 p =1,则 n =2,m =1,则 m =(1,2,1)于是 cos n,m =

??? ?

???? ? 1 n =0 且 m ? DA1 = ?2n ? 4 p =0, 2

5 n?m 2 = ,从而 sin n,m = ,所以二面角 A1 -ED-F 的 |n || m | 3 3

正弦值为

5 3

课时作业

中小学课外辅导专家 1.如图, E , F , G, H 分别为正方体 AC1 的棱 A1B1 , A 1D 1, B 1C1 , D 1C1 的中点,用空间向量的方法证明平面 AEF // 平面

BDHG .
F A1

D1 E

H B1 G

C1

D A B

C

2、正方体 ABCD- A1B1C1D1 中,B B1 与平面 AC D1 所成角的余弦值为

A

2 3

B

3 3

C

2 3

D

6 3

解析:如图建立坐标系,设正方体棱长为 1,

BB1 与面 ACD1 的夹角为 ? ,
则 D(0,0,0),C(0,1,0),B(1,1,0),A(1,0,0), D1 (0,0,1), B1 (1,1,1), ∴ AC =(-1,1,0) , AD1 =(-1,0,1), BB1 =(0,0,1) 设面 ACD1 的法向量 n =( x , y , z ) , 则 0= AC ? n = ? x ? y 且 0= AD1 ? n = ?x ? z ,取 x =1,则 y =1, z =1,

????

???? ?

????

????

???? ?

????? 3 6 | BB1 ? n | ∴n =(1,1,1) ,∴sin ? = ????? = ,∴cos ? = ,故选 D. 3 | BB1 | ? | n | 3


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