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平面的法向量(2)


坐标法解立体几何问题-(2)直线的方向向量与平面的法向量
一直线的方向向量与平面的法向量概念 1、直线的方向向量 我们把直线 l 上的向量 e 以及与 e 共线的向量叫做直线 l 的方向向量。 2、平面的法向量 如果表示向量 n 的有向线段所在直线垂直于平面α ,则称这个向量垂直于平面α ,记作

n ? ? ,如果 n ? ? ,那么向量 n 叫做平面α 的法向量。
3、 (坐标系中平面的法向量)求法步骤: ①在适当坐标系下,设法向量为

n ? ( x, y, z) ;

②求出平面内两个不共线向量的坐标,

a ? (a1 , b1 , c1 ) ; b ? (a2 , b2 , c2 ) ,
③由定义建立方程组: ④解方程组,取其中一个解得法向量为 n 二、应用

a ? n ? 0 且 b ?n ? 0
? ( x, y, z) 。

1、 已知平面 ? 经过三点 OA ? (1,2,3) , OB ? (2,0,?1) , OC ? (3,?2,0) ,
求平面 ? 的一个法向量。

2、 在正方体

ABCD ? A1 B1C1 D1 中,求平面 ACD1 的一个法向量.
D1 C1

A1

B1

D

C

A

B

3 、如图正方体中,M 为 BD 中点,求平面 MD1C 的一个法向量.
D

M B

C

A

D1

C1

A1

B1

4、 在如右图底面为正方形的的四棱锥中,

PA ? 平面 ABC, PA ? AC ? 2 ,点 E 在 PD 上, 且 PE : ED ? 2 : 1 ,点 F 为 PC 中点,
求平面 AEC 的一个法向量。

P

F E

A B C

D


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