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福建省漳州市七校2013届高三第一次联考数学文试题


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漳州市七校 2013 届高三第一次联考数学文试题

(考试时间:120 分钟 总分:150 分)
命题人:欧阳海南 参考公式: 样本数据 x1,x2,… ,xn 的标准差 锥体体积公式 审题人:曾美暄



s=

1 ?( x1 ? x )2 ? ( x2 ? x )2 ? … ? ( xn ? x )2 ? ? n?

V=

1 Sh 3

其中 x 为样本平均数 柱体体积公式 V=Sh 其中 S 为底面面积,h 为高

其中 S 为底面面积,h 为高 球的表面积、体积公式

S ? 4?R2 , V ?
其中 R 为球的半径

4 3 ?R 3

(本试卷共 20 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟) 一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.) 1.复数 z ? 1 ? i, 则 A.

3 1 ? i 2 2

1 ?z ?( ) z 1 3 ? i B. 2 2

C.

3 3 ? i 2 2

D.

1 3 ? i 2 2


2. 设函数 f ( x) ? ? A.– 3

? x ?

, x ? 0,

? ? x , x ? 0, ?

若 f (a) ? f (?1) ? 2 ,则 a 等于( D.?1

B.?3

C.– 1

3.若将集合 P={1,2,3,4},Q={x A. x∈ 是 x∈ 的必要不充分条件 P Q C. x∈ 是 x∈ 的充分必要条件 P Q 4.已知抛物线 A.

0<x<5,x∈ ,则下列论断正确的是( R}



B. x∈ 是 x∈ 的即不充分也不必要条件。 P Q D. x∈ 是 x∈ 的充分不必要条件 P Q )

y

2

(1, 到其焦点的距离为 5, 则抛物线的准线方程为 ( ? 2 px 上一点 M m) B. x ? ?8 C.

x ? ?4

x=4

D.

x=8

? x ? 2 y ? 8, ?2 x ? y ? 8, ? 5.已知 x , y 满足不等式组 ? 则目标函数 z ? 3x ? y 的最大值为( x ? 0, ? ? y ? 0, ? 32 (A) (B) 12 (C) 8 (D) 24 3
1



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6.阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出 s 的值为(



A. ? 1

B.0

C.3 )

D.1 ( )

7.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(

A.2 C.

B.1 D.

2 3

1 3

8. 已知 m、n 是两条不同的直线,α、β、γ 是三个不同的平面,则下列命题正确的是(
A.若 α⊥ γ,α⊥ β,则 γ∥ β C.若 m∥ n,m∥ α,则 n∥ α B.若 m∥ n,m ? α n ? β,则 α∥ β D.若 m∥ α,m ? β,α∩β=n,则 m∥ n
2



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9.已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) 的部分图象如图所示,则 f ( x ) 的解析式可能为(



A. f ( x) ? 2sin( ? B. f ( x) ?

x 2

?
6

)

2 sin(4 x ? ) 4 x ? C. f ( x) ? 2sin( ? ) 2 6 2 sin(4 x ? ) 4 10. 下列有关命题的说法中错误的是( ..
D. f ( x) ?

?

?



A 若命题 p : ?x ? R, 使得 x2 ? x ? 1 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R, 均有 x2 ? x ? 1 ? 0 B.命题“若 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ,则 x ? 1 “的逆否命题为:“若 x ? 1, 则 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ” C.若 p ? q 为假命题,则 p、 q 均为假命题
a b D. “ 2 ? 2 ”是 “ log 2 a ? log 2 b ”的充要条件

11. 已知函数 f ( x ) 的导函数 f ' ( x) 的图像如左图所示,那么函数 f ( x ) 的图像最有可能的是 右图中的

12. 设 f ( x ) ?

2x 2 , g ( x ) ? ax ? 5 ? 2a (a ? 0) ,若对于任意 x1 ? [0,1] ,总存在 x 0 ? [0,1] ,使 x?1

得 g( x 0 ) ? f ( x1 ) 成立,则 a 的取值范围是( (A) ?4,???
? 5? (B) ? 0, ? ? 2?


?5 ? (D) ? ,? ? ? ?2 ?

5 (C) [ ,4] 2

3

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二. 填空题:(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分) 13. 如图,A、B 两点在河的两岸,一测量者在 A 的同侧,在所在的河岸边选定

一点 C,测出 AC 的距离为 50m, ACB=45° ∠ ∠ , CAB=105° 就可以计算出 A、 后, B 两点的距离为 (m)

14.若单位向量 a , b 的夹角为 ? ,满足 tan ?

??

3 则a ?b= 4

15.若曲线 f ( x) ? x 4 ? x 在点 P 处的切线平行于直线 l : 3x ? y ? 0 ,则 以点 P 为圆心且与直线 l 相切的圆的标准方程为 16.给出下列四个命题: ① 函数 y ? a x ( a ? 0 且 a ? 1 )与函数 y ? loga a x ( a ? 0 且 a ? 1 )的定义域相同; ② x ? 0 且 x ? 1 时,有 ln x ? 当

1 ? 2; ln x

③若 min{a, b} 表示 a , b 中 的 最小 值.则 函数 f ( x) ? min? x , x ? 1 ? 的 图 像关 于直 线

? ?

? ?

1 x ? ? 对称 2
④ 函数 f ( x) ? 3 ? 2 x ? 3 有 2 个零点
x

其中正确命题的序号是__ _________. (把你认为正确的命题序号都填上) 三、解答题(本题共 6 小题,共 74 分。 ) 17. (本小题满分 12 分)等比数列 {an } 中,已知 a1 ? 2, a4 ? 16 . (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)若 a3 , a5 分别为等差数列 {bn } 的第 4 项和第 16 项, 求数列 {bn } 的通项公式及前 n 项和 Sn .

18. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? (sin x ? cos x) ? 2 cos x .
2 2

(1)求函数 f (x) 的最小正周期;

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(2)求函数 f ( x ) 的最大值及取得最大值的自变量 x 的集合; (3)若 y ? f ( x) ? m 在 ?0,

? ?? ? 的最大值为 2,求 m 值 ? 4?

19. (本小题 12 分) 从某小学随机抽取 100 名同学, 将他们的身高 (单位: 厘米) 数据绘制成频率分布直方图 (如 图) . (1)若要从身高在[ 120 , 130) ,[130 ,140) , [140 , 150]三组内的学生中,用分层抽样的 方法选取 12 人参加一项活动,求图中的 a 值及从身高在[140 ,150]内的学生中选取的人数

m
(2)在(1)的条件下,从身高在[130 ,150]内的学生中等可能地任选两名,求至少有一 名身高在[140 ,150]内的学生被选的概率

20(本小题 12 分) 如 图 , 在 矩 形 ABCD 中 , AB ? 2 BC ,P 、 Q 分 别 为 线 段

AB 、 CD

的中点,

EP ? 平面ABCD
(1)求证: AQ ∥ 平面CEP (2)求证: 平面AEQ ? 平面DEP (3)若 EP ? AP ? 1 ,求三棱锥 E ? AQC 的体积

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21. (本题 12 分)已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,离心率是 别为左右焦点,点 M 在椭圆上且 ?MF1 F2 的周长为 2 3 ? 4 (Ⅰ )求椭圆 C 的标准方程;

3 . F1 , F2 分 2

(Ⅱ )直线 l 过点 E (?1, 0 ) 且与椭圆 C 交于 A , B 两点,若 AE ? 2 EB ,求直线 l 的方程.

22 (本题 14 分)已知函数 f ( x) ? ln x ? ax ?

1? a ? 1 ,(a ? R) , ( x ? 0) x

(1)当 a ? ?1 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程; (2)当 0 ? a ?

1 时,讨论 f ( x ) 的单调性. 2

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一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 题号 答案 1 A 2 D 3 D 4 A 5 B 6 B 7 C 8 D 9 A 10 D 11 A 12 C

解: (1)设 {an } 的公比为 q ,由已知得 16 ? 2q3 ,解得 q ? 2 .

备注:17 题的第 1 小题 5 分;第 2 小题 7 分 18. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? (sin x ? cos x) ? 2 cos x .
2 2

(1)求函数 f (x) 的最小正周期; (2)求函数 f ( x ) 的最大值及取得最大值的自变量 x 的集合;

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(3)若 y ? f ( x) ? m 在 ?0,

? ?? ? 的最大值为 2,求 m 值 ? 4?

有 f ( x) min ? (3) y ?

? 3? ? 2 ,此时的 x 集合为 ? x x ? k? ? , k ? Z ? ………………8 分 8 ? ?

2 sin( 2 x ?

?
4

)?m

?0 ? x ?

?
4

4 2 ? 2 ?? ? sin(2 x ? ) ? 2 4 2
当 sin(2 x ?

??

?
4

? 2x ?

?

?

?
4
--- 10 分

?
4

)?

2 时,f(x)取得最小值为 m+1=2, 2

解得 m=1 --- 12 分 19. (本题满分 12 分) 从某小学随机抽取 100 名同学, 将他们的身高 (单位: 厘米) 数据绘制成频率分布直方图 (如 图) . (1)若要从身高在[ 120 , 130) ,[130 ,140) , [140 , 150]三组内的学生中,用分层抽样的 方法选取 12 人参加一项活动,求图中的 a 值及从身高在[140 ,150]内的学生中选取的人数

m
(2)在(1)的条件下,从身高在[130 ,150]内的学生中等可能地任选两名,求至少有一 名身高在[140 ,150]内的学生被选的概率

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解: (1)由频率分布直方图得 10(0.005+0.01+0.02+ a +0.035)=1 解得 a=0.03………2 分 ∴m ?

0.01 ? 12 ? 2 ………………5 分 0.01 ? 0.02 ? 0.03

(2) 从身高在[130 ,140]内的学生中选取的人数为

n?

0.02 ? 12 ? 4 ………………6 分 0.01 ? 0.02 ? 0.03

设身高在[130 ,140]内的学生为 A1 , A2 , A3 , A4 ,身高在[140 ,150]内的学生为 B1 , B2 ,则从 6 人中选出两名的一切可能的结果为

( A1 , A2 ), ( A1 , A3 )(A1 , A4 )

( A2 , A3 ), ( A2 , A4 )(A3 , A4 )

( A1 , B1 ), ( A1 , B2 )( A2 , B1 )

( A2 , B2 ), ( A3 , B1 )( A3 , B2 ) ( A4 , B1 ), ( A4 , B2 )(B2 , B1 ) ………10 分
由 15 个基本事件组成.用 M 表示“至少有一名身高在[140 ,150]内的学生被选”这一事件, 则

M ?

?

( A1 , B1 ), ( A2 , B1 ), ( A3 , B1 )(A4 , B1 ) ( A1 , B2 ), ( A2 , B2 ), ( A3 , B2 )(A4 , B2 )(B1 , B2 )

?
事件 M 由 9 个基本事件组成,因而 P ( M ) ? 20(本小题 12 分) 如 图 , 在 矩 形 ABCD 中 , AB ? 2 BC ,P 、 Q 分 别 为 线 段

9 3 ? .………………12 分 15 5

AB 、 CD

的中点,

EP ? 平面ABCD

(1)求证: AQ ∥ 平面CEP (2)求证: 平面AEQ ? 平面DEP (3)若 EP ? AP ? 1 ,求三棱锥 E ? AQC 的体积
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V=

1 …………………………12 分 6

21. (本题满分 12 分) 已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,离心率是 点 M 在椭圆上且 ?MF1 F2 的周长为 2 3 ? 4 (Ⅰ )求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ )直线 l 过点 E (?1, 0 ) 且与椭圆 C 交于 A , B 两点,若 AE ? 2 EB ,求直线 l 的方 程. 解: )设椭圆 C 的方程为 (Ⅰ

3 . F1 , F2 分别为左右焦点, 2

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) . a 2 b2

?c ? 3 ? ? ? 由已知可得 ? a 2 ? …………………3 分 ? 2 a ? 2c ? 2 3 ? 4 ? ? ?
解得 a ? 4 , b ? 1 .
2 2

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故椭圆 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1.………………………………………………………5 分 4

(Ⅱ )由已知,若直线 l 的斜率不存在,则过点 E (?1, 0) 的直线 l 的方程为 x ? ?1 , 此时 A(?1 , ),B(?1,-

3 2

3 ) 显然 AE ? 2 EB 不成立.…………………………6 分 2 ,

若直线 l 的斜率存在,则设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) .

? x2 ? ? y 2 ? 1, 则? 4 ? y ? k ( x ? 1). ?
整理得 (4k 2 ? 1) x2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 4 ? 0 .………………………………………………8 分 由 ? ? (8k 2 )2 ? 4(4k 2 ? 1)(4k 2 ? 4)

? 4 8 2 ? 1 6? . k 0
设 A( x1,y1 ),B( x2,y2 ) . 故 x1 ? x2 ? ?

8k 2 ,① 4k 2 ? 1

x1 x2 ?

4k 2 ? 4 . ② ………………………………9 分 4k 2 ? 1

因为 AE ? 2 EB ,即 x1 ? 2x2 ? ?3 .③ ① ③ ② 联立解得 k ? ?

15 . 6

………………………………13 分

所以直线 l 的方程为 15x ? 6 y ? 15 ? 0 和 15x ? 6 y ? 15 ? 0 .……………14 分 22 (本题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? ln x ? ax ?

1? a ? 1 ,(a ? R) , ( x ? 0) x

(1)当 a ? ?1 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程; (2)当 0 ? a ?

1 时,讨论 f ( x ) 的单调性. 2 2 解: (1)当 a ? ?1 时, f ( x) ? ln x ? x ? ? 1 ( x ? 0) , x
则 f (2) ? ln 2 ? 2 ,即切点为 (2, ln 2 ? 2) ……………………2 分 又 f '( x) ?

1 2 x2 ? x ? 2 ?1? 2 ? ,……………………4 分 x x x2
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则曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线斜率为 f '(2) ? 1, 因此,切线方程为 y ? (ln 2 ? 2) ? x ? 2 ,即 y ? x ? ln 2 ……………………6 分 (2) f '( x) ?

1 1 ? a ?ax 2 ? x ? a ? 1 ?a? 2 ? ( x ? 0) ,……………………7 分 x x x2

设 g ( x) ? ?ax2 ? x ? a ? 1 , ( x ? 0) ,则 f '( x)与g ( x) 符号相同。 ① a ? 0 , g ( x) ? x ? 1, x ? 0 , 若 当 x ? 1 时, g ( x) ? 0 ? f '( x) ? 0 ? f ( x)在(1, ??) 上单调递增; 当 x ? 1 时, g ( x) ? 0 ? f '( x) ? 0 ? f ( x)在(0,1] 上单调递减。 ② a ? 0 ,则 f '( x) ? 0 ? g ( x) ? 0 , 若
2 即 ?ax ? x ? a ? 1 ? 0 ,解得 x1 ? 1, x2 ?

1 ? 1。 a

(ⅰ )当 a ?

1 时, x1 ? x2 ? 1, g ( x) ? 0 恒成立, 2

即 f '( x) ? 0 恒成立,因此 f ( x ) 在 (0, ??) 上单调递减; (ⅱ )当 0 ? a ?

x

1 1 时, ? 1 ? 1 。可列表如下: 2 a 1 (0,1) (1, ? 1) a

1 ( ? 1, ?? ) a

f '( x)(与 g ( x) 符号一致) ?
f ( x)


?


?


综上所述:当 a ? 0 时, f ( x ) 在 (0,1) 上单调递减,在 (1, ??) 单调递增;

1 时, f ( x ) 在 (0, ??) 上单调递减; 2 1 当 0 ? a ? 时, 2 1 1 f ( x) 在 (0,1) 和 ( ? 1, ?? ) 上单调递减,在 (1, ? 1) 上单调递增。…………14 分 a a
当a ?

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