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文科概率大题(几何概率、古典概型)


几何概型
题组一 与长度有关的几何概型 1.已知地铁列车每 10 min 一班,在车站停 1 min,则乘客到达站台立即乘上车的概率 是 1 A. 10 1 B. 9 1 C. 11 1 D. 8 ( )

2.在长为 12 cm 的线段 AB 上任取一点 M,并以线段 AM 为一边作正方形,则此正方 形的面积介于 36 cm2 与 81 cm2 之间的概率为 1 A. 16 1 B. 8 1 C. 4 1 D. 2 ( )

3. 《广告法》对插播广告的时间有一定的规定,某人对某台的电视节目做了长期的统计 9 后得出结论,他任意时间打开电视机看该台节目,看不到广告的概率为 ,那么该台 10 每小时约有________分钟的广告.

题组二

与面积(或体积)有关的几何概型

4.(2009· 辽宁高考)ABCD 为长方形,AB=2,BC=1,O 为 AB 的中点.在长方形 ABCD 内随机取一点,取到的点到 O 的距离大于 1 的概率为 π A. 4 π B.1- 4 π C. 8 D.1- π 8 ( ) ( )

5. 设-1≤a≤1, -1≤b≤1, 则关于 x 的方程 x2+ax+b2=0 有实根的概率是 1 A. 2 1 B. 4 1 C. 8 1 D. 16

6.已知 Ω={(x,y)|x+y≤6,x≥0,y≥0},A={(x,y)|x≤4,y≥0,x-2y≥0},若向 区域 Ω 上随机投一点 P, 则点 P 落入区域 A 的概率为 1 A. 3 2 B. 3 2≤0, 2≥0, 内任取一点 P,则点 P 落在单位圆 x2+y2=1 内的概率为 1 C. 9 2 D. 9 ( )

?x+y- 7.在区域?x-y+ ?y≥0
π A. 2

( π B. 8 π C. 6

) π D. 4

8.(2010· 济南模拟)在边长为 2 的正三角形 ABC 内任取一点 P,则使点 P 到三个顶点的 距离至少有一个小于 1 的概率是________. 9.已知函数 f(x)=x2-2ax+b2,a,b∈R.
1

(1)若 a 从集合{0,1,2,3}中任取一个元素,b 从集合{0,1,2}中任取一个元素,求方程 f(x) =0 有两个不相等实根的概率; (2)若 a 从区间[0,2]中任取一个数,b 从区间[0,3]中任取一个数,求方程 f(x)=0 没有实 根的概率.

题组三

生活中的几何概型

10.平面上有一组平行线且相邻平行线间的距离为 3 cm,把一枚半径为 1 cm 的硬币任意 平掷在这个平面, 则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是 ( )

11. 在平面直角坐标系 xOy 中, D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于 2 的点构成的 设 区域,E 是到原点的距离不大于 1 的点构成的区域,向 D 中随机投一点,则所投的点 落在 E 中的概率是__________.

1 A. 4

1 B. 3

1 C. 2

2 D. 3

12.甲、乙两艘轮船都要停靠在同一个泊位,它们可能在一昼夜的任意时刻到达.甲、 乙两船停靠泊位的时间分别为 4 小时与 2 小时,求有一艘船停靠泊位时必需等待一段 时间的概率.

答案
2

1 解析:设乘客到达站台立即乘上车为事件 A,试验的所有结果构成的区域长度为 10 min,而构成事件 A 的区域长度为 1 min,故 P(A)= 1 .答案:A 10

2 解析: 正方形的面积介于 36 cm2 与 81 cm2 之间, 所以正方形的边长介于 6 cm 到 9 cm 9-6 1 之间.线段 AB 的长度为 12 cm,则所求概率为 = .答案:C 12 4

9 3 解析:60×(1- )=6 分钟.答案:6 10

4 解析:对应长方形的面积为 2×1=2,而取到的点到 O 的距离小于等于 1 时,其是 1 1 以 O 为圆心,半径为 1 所作的半圆,对应的面积为 ×π×12= π,那么满足条件的概 2 2 1 π 2 π 率为:1- =1- .答案:B 2 4

?-1≤a≤1, ? 5 解析:由题知该方程有实根满足条件?-1≤b≤1, ?a2-4b2≥0, ?

作平面

区域如右图:由图知阴 影面积为 1,总的事件对应面积为正方 1 形的面积,故概率为 . 4 答案:B

6 解析:作出两集合表示的平面区域如图所示.容易得出 Ω 所表示的平面区域为三角形 AOB 及其边界,A 表示的 区域为三角形 OCD 及其边界. 容易求得 D(4,2)恰为直线 x=4,x-2y=0,x+y=6 三线的交点. 1 1 则可得 S△AOB= ×6×6=18,S△OCD= ×4×2=4. 2 2 所以点 P 落在区域 A 的概率为 答案:D 4 2 = . 18 9

7 解析:区域为△ABC 内部(含边界),则概率为

3

π 2 S半圆 π P= = = . 4 S△ABC 1 ×2 2× 2 2 答案:D

8 解析:以 A、B、C 为圆心,以 1 为半径作圆,与△ABC 相交出 三个扇形(如图所示), 当 P 落在阴影部分时符合要求. 1 π 3×( × ×12) 2 3 3π ∴P= = . 6 3 ×22 4 答案: 3 π 6

9 解:(1)∵a 取集合{0,1,2,3}中任一个元素,b 取集合{0,1,2}中任一个元素, ∴a,b 的取值的情况有(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0), (3,1),(3,2). 其中第一个数表示 a 的取值,第二个数表示 b 的取值, 即基本事件总数为 12. 设“方程 f(x)=0 有两个不相等的实根”为事件 A, 当 a≥0,b≥0 时,方程 f(x)=0 有两个不相等实根的充要条件为 a>b. 当 a>b 时,a,b 取值的情况有(1,0),(2,0),(2,1),(3,0),(3,1),(3,2), 即 A 包含的基本事件数为 6, ∴方程 f(x)=0 有两个不相等实根的概率 P(A)= 6 1 = . 12 2

(2)∵a 从区间[0,2]中任取一个数,b 从区间[0,3]中任取一个数,则试验的全部结果构 成区域 Ω={(a,b)|0≤a≤2,0≤b≤3}, 这是一个矩形区域,其面积 SΩ=2×3=6. 设“方程 f(x)=0 没有实根”为事件 B,则事件 B 所构成的区域为 M={(a,b)|0≤a≤2,0≤b≤3,a<b}, 即图中阴影部分的梯形,其面积 1 SM=6- ×2×2=4. 2

4

由几何概型的概率计算公式可得方程 f(x)=0 没有实根的概率 P(B)=

SM 4 2 = = . SΩ 6 3

11. 在平面直角坐标系 xOy 中, D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于 2 的点构成的 设 区域,E 是到原点的距离不大于 1 的点构成的区域,向 D 中随机投一点,则所投的点 落在 E 中的概率是__________. 10 解析:平面被这一组平行线分割成条状区域,现对两条平行线之间的区域考虑:平 行线间的距离为 3 cm,硬币半径为 1 cm,要想硬币不与两条平行线相碰,硬币中心 与两条平行线的距离都应大于 1 cm,如图:

硬币中心只有落在阴影部分(不包括边界)时,才能让硬币与两条平行线都不相碰,则 1 硬币中心落在阴影部分的概率为 .整个平面由无数个这样的条状区域组成,故所求概 3 1 率是 . 3 答案:B

11 解析:如图:区域 D 表示边长为 4 的正方形 ABCD 的内部(含边界), 区域 E 表示单位圆及其内部,因此 P= π 答案: 16 π×12 π = . 4×4 16

12 解:甲比乙早到 4 小时内乙需等待,甲比乙晚到 2 小时内甲需等待. 以 x 和 y 分别表示甲、乙两船到达泊位的时间,则有一 艘船停靠泊位时需等待一段时间的充要条件为-2≤x-y≤4,在如 图所示的平面直角坐标系内,(x,y)的所有可能结果是边长为 24 的 正方形,而事件 A“有一艘船停靠泊位时需等待一段时间”的可能结果由阴影部分表 示.由几何概型公式得: 1 1 242- ×222- ×202 2 2 67 P(A)= = . 242 288 67 故有一艘船停靠泊位时必需等待一段时间的概率是 . 288
5

古典概率模型的综合运用 概率 1 1、某学校课题小组为了研究学生的数学成绩与物理成绩之间的关系,随机抽取高二年级 20 名学生某次考试成绩(满分 100 分)如下表所示: 序号 数学成绩 物理成绩 1 95 90 2 75 63 3 80 72 4 94 87 5 92 91 6 65 71 7 67 58 8 84 82 9 98 93 10 71 81 11 67 77 12 93 82 13 64 48 14 78 85 15 77 69 16 90 91 17 57 61 18 83 84 19 72 78 20 83 86

若单科成绩 85 分以上(含 85 分) ,则该科成绩为优秀. (1)根据上表完成下面的 2 ? 2 列联表(单位:人) : 数学成绩优秀 物理成绩优秀 物理成绩不优秀 合 计 20 (2)根据题(1)中表格的数据计算,有多大的把握,认为学生的数学成绩与物理成绩之 间有关系? (3)若从这 20 个人中抽出 1 人来了解有关情况,求抽到的学生数学成绩与物理成绩至少 有一门不优秀的概率. 参考数据: 数学成绩不优秀 合 计

n ? ad ? bc ? 则随机变量 K ? ? a ? b ?? c ? d ?? a ? c ?? b ? d ?
2 2

,其中 n ? a ? b ? c ? d 为样本容量;

独立检验随机变量 K 的临界值参考表:

2

P ? K 2 ? ko ?

0.50 0.455

0.40 0.708

0.25 1.323

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

ko

6

频率/组距

2、 “根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定: 车辆驾驶员血液酒精浓度在 20—80 mg/100ml(不含 80) 之间,属于酒后驾车,血液酒精浓度在 80mg/100ml (含 80)以上时,属醉酒驾车. ” 2009 年 8 月 15 日晚 8 时开始某市交警一队在该市 一交通岗前设点对过往的车辆进行抽查,经过两个小时 共查出酒后驾车者 60 名,图甲是用酒精测试仪对这 60 名酒后驾车者血液中酒精浓度进行检测后依所得结果画 出的频率分布直方图. (1)求这 60 名酒后驾车者中属醉酒驾车的人数; (图甲中每组包括左端点,不包括右端点) (2)统计方法中,同一组数据常用该组区间的中点 值作为代表,图乙的程序框图是对这 60 名酒后驾车者 血液的酒精浓度做进一步的统计,求出图乙输出的 S 值, 并说明 S 的统计意义; (图乙中数据 mi 与 f i 分别表示图 甲中各组的组中值及频率)
0.025 0.020 0.015 0.010 0.005 0 20 30 40 50 60 70 80 90

酒精含量 (单位:mg/100m

图甲
开始 S=0 i =1 输入m i,fi S=S+m i×f i i >=7? 是 输出S 结束 否 i =i+1

图乙

(3)本次行动中,吴、李两位先生都被酒精测试仪测得酒精浓度在 70 mg /100ml (含 70)以上,但他俩坚称没喝那么多,是测试仪不准,交警大队陈队长决定在被酒精测试仪测 得酒精浓度在 70 mg /100ml (含 70)以上的酒后驾车者中随机抽出 2 人抽血检验,求吴、 李两位先生至少有 1 人被抽中的概率.

7

3、汽车是碳排放量比较大的行业之一.欧盟规定,从 2012 年开始,将对 CO2 排放 量超过 130 g/km 的 M1 型新车进行惩罚. 某检测单位对甲、 乙两类 M1 型品牌车各抽取 5 辆进行 CO2 排放量检测,记录如下(单位: g/km ). 甲 乙 80 100 110 120 120
x

140

150 160

y

经测算发现,乙品牌车 CO2 排放量的平均值为 x乙 ? 120 g/km . (Ⅰ)从被检测的 5 辆甲类品牌车中任取 2 辆,则至少有一辆不符合 CO2 排放量的概率 是多少? (Ⅱ)若 90 ? x ? 130 ,试比较甲、乙两类品牌车 CO2 排放量的稳定性.

4、某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽取 60 名学生,将其数学成绩(均为整 数)分成六段

?40,50? ,?50,60? ? ?90,100? 后得到如下部分频率分布直方图.观察图形的信息,回答下
列问题: (1)求分数在 ?70,80? 内的频率,并补全这个频率分布直方图; (2)统计方法中,同一组数据常用该组区间的中点值作为代表,据此估计本次考试的平 均分; (3)用分层抽样的方法在分数段为 ?60,80? 的学生中抽取一个容量为 6 的样本,将该样 本看成一个总体,从中任取 2 人,求至多有 1 人在分数段 ?70,80? 的概率.

8

第 18 题图

5、 某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究, 他们 分别记录了 3 月 1 日至 3 月 5 日的每天昼夜温差与实验室每天 100 颗种子浸泡后的发芽 数,得到如下资料: 日 期 3月1日 10 23 3月2日 11 25 3月3日 13 30 3月4日 12 26 3月5日 8 16

温差 x (° C) 发芽数 y (颗)

(1)求这 5 天发芽数的中位数; (2)求这 5 天的平均发芽率; (3)从 3 月 1 日至 3 月 5 日中任选 2 天,记发芽的种子数分别为 m,后面一天发芽种子数 为 n,用(m,n)的形式列出所有基本事件,并求满足“ ?

?25 ? m ? 30 ”的概率. ?25 ? n ? 30

6、一个袋中有 4 个大小相同的小球,其中红球 1 个,白球 2 个,黑球 1 个,现从袋中有 放回地取球,每次随机取一个,求: (Ⅰ)连续取两次都是白球的概率; (Ⅱ)若取一个红球记 2 分,取一个白球记 1 分,取一个黑球记 0 分,连续取三次分数 之和为 4 分的概率.

9

7、某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽取 60 名学生,将其数学成绩(均为整 ? 数) 分成六段 ?40,50? ,50,60? ? ?90,100? 后得到如下部分频率分布直方图.观察图形的信息, 回答下列问题: (Ⅰ)求分数在 ?70,80? 内的频率,并补全 这个频率分布直方图; (Ⅱ)统计方法中,同一组数据常用该组 区间的中点值作为代表,据此估计本次考试的 平均分; (Ⅲ)用分层抽样的方法在分数段为 ?60,80?的学生中抽取一个容量为 6 的样本, 将该样本看成一个总体,从中任取 2 人, 求至多有 1 人在分数段 ?70,80? 的概率.

第 18 题图

8、 为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关, 对本班 50 人进行了问卷调查得到了如下的 列联表: 喜爱打篮球 男生 女生 合计 已知在全部 50 人中随机抽取 1 人抽到喜爱打篮球的学生的概率为 . (1)请将上面的列联表补充完整; (2)是否有 99.5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关?说明你的理由; (3) 已知喜爱打篮球的 10 位女生中,A,A2,A3 , A4 , A5 还喜欢打羽毛球,B1,B2,B3 还 1 喜欢打乒乓球, C1,C2 还喜欢踢足球,现再从喜欢打羽毛球、喜欢打乒乓球、喜欢踢足球 的女生中各选出 1 名进行其他方面的调查,求 B1 和 C1 不全被选中的概率. 下面的临界值表供参考:
p( K ? k )
2

不喜爱打篮球 5

合计

10 50

3 5

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

k
(参考公式: K 2 ?

n(ad ? bc)2 ,其中 n ? a ? b ? c ? d ) (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
10


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