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(1)直线的倾斜角、斜率、方程


第一节

直线的倾斜角与斜率、直线的方程

一、直线的倾斜角与斜率 1.直线的倾斜角 (1)定义:x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做这条直线的倾斜角.当直线与 x 轴 平行或重合时,规定它的倾斜角为 0° . (2)倾斜角的范围为[0,π)_. 2.直线的斜率 (1)定义:一条直线的倾斜角 α 的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写

字母 k 表 示,即 k=tan_α,倾斜角是 90° 的直线没有斜率. (2)过两点的直线的斜率公式: y2-y1 y1-y2 经过两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为 k= = . x2-x1 x1-x2 二、直线方程的形式及适用条件 名称 点斜式 斜截式 两点式 几何条件 过点(x0,y0),斜率为 k 斜率为 k,纵截距为 b 过两点(x1,y1),(x2,y2), (x1≠x2,y1≠y2) 在 x 轴、y 轴上的截距分别 为 a,b(a,b≠0) 方 程 局限性 不含垂直于 x 轴的直线 不含垂直于 x 轴的直线 不包括垂直于坐标轴的直 线 不包括垂直于坐标轴和过 原点的直线

y-y0=k(x-x0) y=kx+b y-y1 x-x1 = y2-y1 x2-x1 x y + =1 a b Ax+By+C=0(A,B 不 全为 0)

截距式

一般式

1.(教材习题改编)直线 x+ 3y+m=0(m∈k)的倾斜角为( A.30° C.150° B.60° D.120°

)

3 2.(教材习题改编)已知直线 l 过点 P(-2,5),且斜率为- ,则直线 l 的方程为( 4 A.3x+4y-14=0 B.3x-4y+14=0

)

C.4x+3y-14=0

D.4x-3y+14=0 )

3.过点 M(-2,m),N(m,4)的直线的斜率等于 1,则 m 的值为( A.1 C.1 或 3 B.4 D.1 或 4

4.(2012· 长春模拟)若点 A(4,3),B(5,a),C(6,5)三点共线,则 a 的值为________. 5.若直线 l 过点(-1,2)且与直线 2x-3y+4=0 垂直,则直线 l 的方程为________. 1.求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在,每条直线都有倾斜角,但不一定每条直 线都存在斜率. 2.由斜率求倾斜角,一是要注意倾斜角的范围;二是要考虑正切函数的单调性. 3.用截距式写方程时,应先判断截距是否为 0,若不确定,则需要分类讨论.

凡诺学堂专题训练一

直线的倾斜角与斜率

典题导入 3π [例 1] (1)(2012· 岳阳模拟)经过两点 A(4,2y+1),B(2,-3)的直线的倾斜角为 ,则 y 4 =( ) A.-1 C.0 B.-3 D.2

(2)(2012· 苏州模拟)直线 xcos θ+ 3y+2=0 的倾斜角的范围是________.

由题悟法 1.求倾斜角的取值范围的一般步骤: (1)求出斜率 k=tan α 的取值范围; (2)利用三角函数的单调性,借助图象或单位圆数形结合,确定倾斜角 α 的取值范围. 2.求倾斜角时要注意斜率是否存在. 以题试法 π 1.(2012· 哈尔滨模拟)函数 y=asin x-bcos x 的一条对称轴为 x= ,则直线 l:ax-by 4 +c=0 的倾斜角为( A.45° C.120° ) B.60° D.135°

2.(2012· 金华模拟)已知点 A(1,3),B(-2,-1).若直线 l:y=k(x-2)+1 与线段 AB 相交,则 k 的取值范围是( 1 ? A.? ?2,+∞? 1 ? C.(-∞,-2]∪? ?2,+∞? ) B.(-∞,-2] 1? D.? ?-2,2?

凡诺学堂专题训练二

直 线 方 程

典题导入 [例 2] (1)过点(1,0)且与直线 x-2y-2=0 平行的直线方程是________________. (2)(2012· 东城模拟)若点 P(1,1)为圆(x-3)2+y2=9 的弦 MN 的中点,则弦 MN 所在直线 的方程为______________.

由题悟法 求直线方程的方法主要有以下两种: (1)直接法:根据已知条件,选择适当的直线方程形式,直接写出直线方程; (2)待定系数法:先设出直线方程,再根据已知条件求出待定系数,最后代入求出直线 方程.

以题试法 3.(2012· 龙岩调研)已知△ABC 中,A(1,-4),B(6,6),C(-2,0).求: (1)△ABC 中平行于 BC 边的中位线所在直线的一般式方程和截距式方程; (2)BC 边的中线所在直线的一般式方程,并化为截距式方程.

凡诺学堂专题训练三

直线方程的综合应用

典题导入 [例 3] (2012· 开封模拟)过点 P(3,0)作一直线,使它夹在两直线 l1:2x-y-2=0 与 l2:x +y+3=0 之间的线段 AB 恰被点 P 平分,求此直线的方程.

由题悟法 解决直线方程的综合问题时,除灵活选择方程的形式外,还要注意题目中的隐含条件, 若与最值或范围相关的问题可考虑构建目标函数进行转化求最值.

以题试法 4.(2012· 东北三校联考)已知直线 l 过点 M(2,1),且分别与 x 轴,y 轴的正半轴交于 A, B 两点,O 为原点. (1)当△AOB 面积最小时,求直线 l 的方程; (2)当|MA|· |MB|取得最小值时,求直线 l 的方程.

1.若 k,-1,b 三个数成等差数列,则直线 y=kx+b 必经过定点( A.(1,-2) C.(-1,2) B.(1,2) D.(-1,-2) )

)

2.直线 2x+11y+16=0 关于点 P(0,1)对称的直线方程是( A.2x+11y+38=0 C.2x-11y-38=0 B.2x+11y-38=0 D.2x-11y+16=0

3.(2012· 衡水模拟)直线 l1 的斜率为 2,l1∥l2,直线 l2 过点(-1,1)且与 y 轴交于点 P, 则 P 点坐标为( A.(3,0) C.(0,-3) ) B.(-3,0) D.(0,3)

4.(2013· 佛山模拟)直线 ax+by+c=0 同时要经过第一、第二、第四象限,则 a,b,c 应满足( ) B.ab>0,bc>0 D.ab<0,bc<0 )

A.ab>0,bc<0 C.ab<0,bc>0

5.将直线 y=3x 绕原点逆时针旋转 90° ,再向右平移 1 个单位,所得到的直线为( 1 1 A.y=- x+ 3 3 C.y=3x-3 1 B.y=- x+1 3 1 D.y= x+1 3

6.已知点 A(1,-2),B(m,2),且线段 AB 的垂直平分线的方程是 x+2y-2=0,则实

数 m 的值是( A.-2 C.3

) B.-7 D.1

7.(2013· 贵阳模拟)直线 l 经过点 A(1,2),在 x 轴上的截距的取值范围是(-3,3),则其斜 率的取值范围是________. 8. (2012· 常州模拟)过点 P(-2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线 l 的方程为________. 9. (2012· 天津四校联考)不论 m 取何值, 直线(m-1)x-y+2m+1=0 恒过定点________. 10.求经过点(-2,2),且与两坐标轴所围成的三角形面积为 1 的直线 l 的方程. 11.(2012· 莆田月考)已知两点 A(-1,2),B(m,3). (1)求直线 AB 的方程; (2)已知实数 m∈?-

?

3 ? -1, 3-1 ,求直线 AB 的倾斜角 α 的取值范围. 3 ?

12.如图,射线 OA、OB 分别与 x 轴正半轴成 45° 和 30° 角,过点 P(1,0)作直线 AB 分别 1 交 OA、OB 于 A、B 两点,当 AB 的中点 C 恰好落在直线 y= x 上时,求直线 AB 的方程. 2

1.若直线 l:y=kx- 3与直线 2x+3y-6=0 的交点位于第一象限,则直线 l 的倾斜角 的取值范围是( π π? A.? ?6,3? π π? C.? ?3,2? ) π π? B.? ?6,2? π π? D.? ?6,2?

2. (2012· 洛阳模拟)当过点 P(1,2)的直线 l 被圆 C: (x-2)2+(y-1)2=5 截得的弦最短时,

直线 l 的方程为________________. 3.已知直线 l:kx-y+1+2k=0(k∈R). (1)证明:直线 l 过定点; (2)若直线 l 不经过第四象限,求 k 的取值范围; (3)若直线 l 交 x 轴负半轴于点 A,交 y 轴正半轴于点 B,O 为坐标原点,设△AOB 的面 积为 S,求 S 的最小值及此时直线 l 的方程.


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