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辽宁省沈阳市2014-2015学年高一上学期期末数学试卷 Word版含解析


辽宁省沈阳市 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷
一、选择题(本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的) 1. (5 分)已知集合 A={0,1},B={1,2},则 A∪B=() A.? B.{1} C.{0,2} D.{0,1,2} 2. (5 分)已知函数 f(x)的对应关系如表所示,则 f

[f(5)]的值为() x 1 2 3 4 5 f(x) 5 4 3 1 2 A.1 B .2 C.4 D.5

3. (5 分)在空间直角坐标系 Oxyz 中,点 A(﹣3,﹣4,5)关于平面 xOz 的对称点的坐标 为() A.(3,﹣4,5) B.(﹣3,﹣4,﹣5) C.(3,﹣4,﹣5) D.(﹣3,4, 5) 4. (5 分)过点 A(2,﹣4)且与直线 2x﹣y+3=0 平行的直线方程为() A.x+2y﹣8=0 B.2x﹣y﹣8=0 C.x+2y﹣4=0 5. (5 分)函数 f(x)=3 +x﹣3 的零点所在的区间是() A.(﹣2,﹣1) B.(﹣1,0) C.(0,1)
2 2 2 2 x

D.2x﹣y=0

D.(1,2)

6. (5 分)圆 C1:x +y +4x+4y+4=0 与圆 C2:x +y ﹣4x﹣2y﹣4=0 公切线条数为() A.1 B .2 C.3 D.4 7. (5 分)由函数 y=lg(1﹣2x)的图象得到函数 y=lg(3﹣2x)的图象,只需要() A.向左平移 1 个单位 B. 向右平移 1 个单位 C. 向左平移 2 个单位 D.向右平移 2 个单位 8. (5 分)如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某多面体的三视图,则该多面

体的表面积是() A.42+6 B.30+6 C.66 D.44

9. (5 分)已知幂函数 f(x)=

(m∈Z)在区间(0,+∞)上是单调增函数,且 y=f

(x)的图象关于 y 轴对称,则 f(﹣2)的值为() A.16 B .8 C.﹣16

D.﹣8

10. (5 分)已知 m、n 是两条不同的直线,α、β 是两个不同的平面,则下列命题正确的是() A.若 m∥n,m∥α 且 n∥β,则 α∥β? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B. 若 m⊥n,m∥α 且 n∥β,则 α⊥β? C. 若 m∥α 且 n⊥m,则 n⊥α? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? D.若 m⊥n,m⊥α 且 n⊥β,则 α⊥β 11. (5 分)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x +2x,若 f(2﹣a )>f (a) ,则实数 a 的取值范围是() A.(﹣∞,﹣1)∪(2,+∞) B.(﹣2,1) C. (﹣1,2) D.(﹣∞,﹣2)∪(1,+∞) 12. (5 分)对于平面直角坐标系中任意两点 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) ,我们将|x1﹣x2|+|y1﹣ y2|定义为 PQ 两点的“耿直距离”.已知 A(0,0) ,B(3,1) ,C(4,4) ,D(1,3) ,设 M(x, y)是平面直角坐标系中的一个动点.若使得点 M 到 A、B、C、D 的“耿直距离”之和取得最 小值,则点 M 应位于下列哪个图中的阴影区域之内. ()
2 2

A.

B.

C.

D.

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题纸上) 13. (5 分)若 = ,则 x=.

14. (5 分)若直线(m+2)x+3my+1=0 与直线(m﹣2)x+(m+2)y﹣3=0 互相垂直,则 m 的值为. 15. (5 分)已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切,这个球的表面积是 4π, 则这个三棱柱的体积是.

16. (5 分)已知 f(x)= 则实数 m 的取值范围为.

在区间(m ﹣4m,2m﹣2)上能取得最大值,

2

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (10 分)已知函数 f(x)= 的定义域为 A,B={y|y=( ) ,﹣4≤x≤0}.
x

(Ⅰ)求 A∩B; (Ⅱ)若 C={x|m﹣6≤x≤4m}且 B?C,求 m 的取值范围. 18. (12 分)已知直线 l:3x+4y+3=0 和圆 C:x +y ﹣2x﹣2y+1=0. (Ⅰ)判断直线 l 与圆 C 的位置关系; (Ⅱ)若 P 是直线 l 上的动点,PA 是圆 C 的一条切线,A 是切点,求三角形 PAC 的面积 S 的 最小值. 19. (12 分)如图,在三棱锥 A﹣BCD 中,AB=AC,BC=CD,∠BCD=60°. (Ⅰ)求证:AD⊥BC; (Ⅱ)再若 AB=CB=4,AD=2 ,求三棱锥 A﹣BCD 的体积.
2 2

20. (12 分)提高五爱隧道的车辆通行能力可改善附近路段高峰期间的交通状况,现将隧道内 的车流速度记作 υ(单位:千米/小时) ,车流密度记作 x(单位:辆/千米) .研究表明:当隧 道内的车流密度达到 180 辆/千米时,会造成该路段道路堵塞,此时车流速度为 0 千米/小时; 当车流密度不超过 30 辆/千米时,车流速度为 50 千米/小时;当 30≤x≤180 时,车流速度 υ 是 车流密度 x 的一次函数. (Ⅰ)当 0<x≤180 时,求函数 υ(x)的表达式; (Ⅱ)当车流密度 x 为多少时,车流量(单位时间内通过隧道内某观测点的车辆数,单位: 辆/小时)f(x)=x?υ(x)可以达到最大,并求出最大值. 21. (12 分)如图所示,在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,D、M、N 分别是 AB、AA1、BC1 的 中点. (Ⅰ)求证: MN∥平面 ABC; (Ⅱ)再若 AC=BC,BB1= AB,试在 BB1 上找一点 F,使 A1B⊥平面 CDF,并证明你的结 论.

22. (12 分)已知圆 M 的圆心在 x 轴上,半径为 1,直线 l:y=3x﹣1 被圆 M 所截得的弦长为 ,且圆心 M 在直线 l 的下方. (Ⅰ)求圆 M 的方程; (Ⅱ)设 A(0,t) ,B(0,t+4) (﹣3≤t≤﹣1) ,过 A,B 两点分别做圆 M 的一条切线,相交 于点 C,求由此得到的△ ABC 的面积 S 的最大值和最小值.

辽宁省沈阳市 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的) 1. (5 分)已知集合 A={0,1},B={1,2},则 A∪B=() A.? B.{1} C.{0,2} D.{0,1,2} 考点: 并集及其运算. 专题: 集合. 分析: 直接利用并集的定义运算求解即可. 解答: 解:集合 A={0,1},B={1,2},则 A∪B={0,1,2}. 故选:D. 点评: 本题考查并集的求法,基本知识的考查. 2. (5 分)已知函数 f(x)的对应关系如表所示,则 f[f(5)]的值为() x 1 2 3 4 5 f(x) 5 4 3 1 2 A.1 B. 2 C. 4 D.5

考点: 函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 直接利用函数的关系,求解函数值即可.

解答: 解:由表格可知:f(5)=2,f[f(5)]=f(2)=4. 故选:C. 点评: 本题考查函数值的求法,基本知识的考查. 3. (5 分)在空间直角坐标系 Oxyz 中,点 A(﹣3,﹣4,5)关于平面 xOz 的对称点的坐标 为() A.(3,﹣4,5) B.(﹣3,﹣4,﹣5) C. (3,﹣4,﹣5) D. (﹣3,4,5) 考点: 空间中的点的坐标. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 根据题意,空间直角坐标系中,点 A(x,y,z)关于平面 xOz 对称点的坐标为(x, ﹣y,z) ,直接写出对称点的坐标即可. 解答: 解:空间直角坐标系 O﹣xyz 中, 点 A(﹣3,﹣4,5)关于平面 xOz 的对称点的坐标是(﹣3,4,5) . 故选:D. 点评: 本题考查了空间直角坐标系中点关于坐标平面的对称问题,是检查出题目. 4. (5 分)过点 A(2,﹣4)且与直线 2x﹣y+3=0 平行的直线方程为() A.x+2y﹣8=0 B.2x﹣y﹣8=0 C.x+2y﹣4=0 D.2x﹣y=0 考点: 直线的一般式方程与直线的平行关系. 专题: 直线与圆. 分析: 求出直线方程的斜率,然后利用多项式方程求解即可. 解答: 解:与直线 2x﹣y+3=0 平行的直线的斜率为:2, 所求直线方程为:y+4=2(x﹣2) . 即 2x﹣y﹣8=0. 故选:B. 点评: 本题考查直线方程的求法,直线的平行关系的应用,考查计算能力. 5. (5 分)函数 f(x)=3 +x﹣3 的零点所在的区间是() A.(﹣2,﹣1) B.(﹣1,0) C.(0,1) 考点: 函数零点的判定定理. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 由题意可判断函数 f(x)=3 +x﹣3 在 R 上是增函数且连续,从而由零点判定定理判 断即可. x 解答: 解:易知函数 f(x)=3 +x﹣3 在 R 上是增函数且连续, f(0)=1+0﹣3<0, f(1)=3+1﹣3>0; x 故函数 f(x)=3 +x﹣3 的零点所在的区间是(0,1) ; 故选 C. 点评: 本题考查了函数的零点的判定定理的应用,属于基础题.
x x

D.(1,2)

6. (5 分)圆 C1:x +y +4x+4y+4=0 与圆 C2:x +y ﹣4x﹣2y﹣4=0 公切线条数为() A.1 B. 2 C. 3 D.4 考点: 两圆的公切线条数及方程的确定. 专题: 直线与圆. 分析: 分别求出两圆的半径和圆心距,由此得到两圆相交,从而能求出两公切线的条数. 解答: 解:∵圆 C1:x +y +4x+4y+4=0 的圆心 C1(﹣2,﹣2) ,半径 r1=2, 2 2 圆 C2:x +y ﹣4x﹣2y﹣4=0 的圆心 C2(2,1) ,半径 r2=3, |C1C2|= =5,
2 2

2

2

2

2

∵|C1C2|<r1+r2, 2 2 2 2 ∴圆 C1:x +y +4x﹣4y+4=0 与圆 C2:x +y ﹣4x﹣10y+13=0 相外切, 2 2 2 2 ∴圆 C1:x +y +4x+4y+4=0 与圆 C2:x +y ﹣4x﹣2y﹣4=0 公切线条数为 3 条. 故选:C. 点评: 本题考查两圆的公切线的条数的求法,是基础题,解题时要注意两圆位置关系的合 理运用. 7. (5 分)由函数 y=lg(1﹣2x)的图象得到函数 y=lg(3﹣2x)的图象,只需要() A.向左平移 1 个单位 B. 向右平移 1 个单位 C. 向左平移 2 个单位 D.向右平移 2 个单位 考点: 函数的图象与图象变化. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 直接利用函数的图象的平移变换,写出结果即可. 解答: 解:函数 y=lg(1﹣2x)的图象向右平 1 个单位可得函数 y=lg[1﹣2(x﹣1)]=lg(3 ﹣2x) . 故选:B. 点评: 本题考查函数的图象的平移变换,基本知识的考查. 8. (5 分)如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某多面体的三视图,则该多面

体的表面积是() A.42+6 考点: 专题: 分析: 积. 解答: B.30+6 C.66 D.44

由三视图求面积、体积;简单空间图形的三视图. 计算题;空间位置关系与距离. 由三视图可得多面体的底面是侧视图,高为 3 的四棱柱,即可求出该多面体的表面 解:由三视图可得多面体的底面是侧视图,高为 3 的四棱柱,

所以该多面体的表面积是

+2×3+4×3+3×

×2=42+6



故选:A. 点评: 本题考查三视图,考查学生的计算能力,比较基础.

9. (5 分)已知幂函数 f(x)=

(m∈Z)在区间(0,+∞)上是单调增函数,且 y=f

(x)的图象关于 y 轴对称,则 f(﹣2)的值为() A.16 B. 8 C.﹣16 考点: 幂函数的单调性、奇偶性及其应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用幂函数的奇偶性和单调性即可求出. 解答: 解:∵幂函数 f(x)= ∴函数 f(x)= 又∵幂函数 f(x)=
2 2

D.﹣8

(m∈Z)的图象关于 y 轴对称,

(m∈Z)是偶函数, (m∈Z)在(0,+∞)上为增函数,
*

∴﹣m +2m+3 是偶数且﹣m +2m+3>0,∵m∈N ,∴m=1, 4 ∴幂函数 f(x)=x , f(﹣2)=16. 故选:A. 点评: 熟练掌握幂函数的奇偶性和单调性是解题的关键. 10. (5 分)已知 m、n 是两条不同的直线,α、β 是两个不同的平面,则下列命题正确的是() A.若 m∥n,m∥α 且 n∥β,则 α∥β? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B. 若 m⊥n,m∥α 且 n∥β,则 α⊥β? C. 若 m∥α 且 n⊥m,则 n⊥α? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? D.若 m⊥n,m⊥α 且 n⊥β,则 α⊥β 考点: 平面与平面垂直的判定;直线与平面垂直的判定. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 根据线面平行和垂直,面面平行和垂直的判定定理和性质定理分别进行判断即可. 解答: 解:A.若 m∥n,m∥α 且 n∥β,则 α∥β 或 α 与 β 相交.故 A 错误, B.若 m⊥n,m∥α 且 n∥β,则 α⊥β 或 α 与 β 相交.故 B 错误, C.若 m∥α 且 n⊥m,则 n⊥α 或 n∥α 或 n?α,故 C 错误, D.若 m⊥n,m⊥α,则 n∥α 或 n?α,若 n⊥β,则 α⊥β,故 D 正确, 故选:D 点评: 本题主要考查空间直线和平面之间平行或垂直的判定,根据相应的判定定理是解决 本题的关键. 11. (5 分)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x +2x,若 f(2﹣a )>f (a) ,则实数 a 的取值范围是()
2 2

A.(﹣∞,﹣1)∪(2,+∞) (﹣∞,﹣2)∪(1,+∞)

B.(﹣2,1)

C. (﹣1,2)

D.

考点: 奇偶性与单调性的综合. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 2 2 分析: 由题意可先判断出 f(x)=x +2x=(x+1) ﹣1 在(0,+∞)上单调递增,根据奇函 2 数的对称区间上的单调性可知,f(x)在(﹣∞,0)上单调递增,从而可比较 2﹣a 与 a 的大 小,解不等式可求 a 的范围 2 2 解答: 解:∵f(x)=x +2x=(x+1) ﹣1 在(0,+∞)上单调递增 又∵f(x)是定义在 R 上的奇函数 根据奇函数的对称区间上的单调性可知,f(x)在(﹣∞,0)上单调递增 ∴f(x)在 R 上单调递增 ∵f(2﹣a )>f(a) 2 ∴2﹣a >a 解不等式可得,﹣2<a<1 故选 B 点评: 本题主要考查了奇函数在对称区间上的单调性相同(偶函数对称区间上的单调性相 反)的性质的应用,一元二次不等式的求解,属于基础试题 12. (5 分)对于平面直角坐标系中任意两点 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) ,我们将|x1﹣x2|+|y1﹣ y2|定义为 PQ 两点的“耿直距离”.已知 A(0,0) ,B(3,1) ,C(4,4) ,D(1,3) ,设 M(x, y)是平面直角坐标系中的一个动点.若使得点 M 到 A、B、C、D 的“耿直距离”之和取得最 小值,则点 M 应位于下列哪个图中的阴影区域之内. ()
2

A.

B.

C.

D. 考点: 两点间的距离公式. 专题: 简易逻辑. 分析: 通过所求图形,求出最小值,利用特殊点求解点 M 到 A、B、C、D 的“耿直距离”之 和判断即可. 解答: 解:由题意可知 M(2,2)满足椭圆,点 M 到 A、B、C、D 的“耿直距离”之和为: 12. 当 M(1,1)时,点 M 到 A、B、C、D 的“耿直距离”之和为 12.排除 C, 当 M(0,0)时,点 M 到 A、B、C、D 的“耿直距离”之和为 16.排除 A,

当 M(1,3)时,点 M 到 A、B、C、D 的“耿直距离”之和为 12.排除 D, 故选:B. 点评: 本题考查新定义的应用,特殊法求解选择题的方法,考查计算能力,分析问题解决 问题的能力. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题纸上) 13. (5 分)若 = ,则 x= .

考点: 对数的运算性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用指数与对数的运算性质即可得出. 解答: 解:∵ 故答案为: . = ,∴ =2 ,∴log3x=﹣3,∴x=3 =
﹣3 ﹣3



点评: 本题考查了指数与对数的运算性质,属于基础题. 14. (5 分)若直线(m+2)x+3my+1=0 与直线(m﹣2)x+(m+2)y﹣3=0 互相垂直,则 m 的值为 或﹣2. .

考点: 直线的一般式方程与直线的垂直关系. 专题: 直线与圆. 分析: 由垂直关系可得(m+2) (m﹣2)+3m(m+2)=0,解方程可得. 解答: 解:∵直线(m+2)x+3my+1=0 与直线(m﹣2)x+(m+2)y﹣3=0 互相垂直, ∴(m+2) (m﹣2)+3m(m+2)=0, 即(m+2) (m﹣2+3m)=0,解得 m= 或﹣2 故答案为: 或﹣2

点评: 本题考查直线的一般式方程与直线的垂直关系,属基础题. 15. (5 分)已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切,这个球的表面积是 4π, 则这个三棱柱的体积是 . 考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 如图所示,设球心为 O,上下底面的中心分别为 O1,O2,球 O 与三个侧面相切的切 2 点分别 A,B,C.设球的半径为 R,由球的表面积是 4π,可得 4πR =4π,R=1.可得 O1O2=2, 为三棱柱的高. 在等边三角形中, 由 OA=OB=OC=1, 可得 AB, 可得三棱柱的底面边长=2AB. 利 用等边三角形的面积计算公式可得三棱柱的底面面积 S,即可得出三棱柱的体积. 解答: 解:如图所示, 设球心为 O,上下底面的中心分别为 O1,O2,球 O 与三个侧面相切的切点分别 A,B,C.

设球的半径为 R,∵球的表面积是 4π,∴4πR =4π, 解得 R=1.∴O1O2=2,为三棱柱的高. 在等边三角形中,由 OA=OB=OC=1,可得 AB= 可得三棱柱的底面边长= ∴三棱柱的底面面积 S= ∴这个三棱柱的体积=S?O1O2=6 故答案为:6 . . . =3 . = ,

2

点评: 本题考查了正三棱柱及其内切球的性质、体积计算公式、等边三角形的性质,考查 了空间想象能力、推理能力与计算能力,属于中档题.

16. (5 分)已知 f(x)= 则实数 m 的取值范围为(1,3].

在区间(m ﹣4m,2m﹣2)上能取得最大值,

2

考点: 函数的最值及其几何意义. 专题: 计算题;作图题;函数的性质及应用. 分析: 作函数 f(x)= 的图象,结合图象及指数函数与二次函数的性

质可得

,从而解得.

解答: 解:作函数 f(x)=

的图象如下,

结合图象可知, ; 解得,1<m≤3; 故实数 m 的取值范围为(1,3]; 故答案为: (1,3]. 点评: 本题考查了基本初等函数的图象的作法及数形结合的应用,同时考查了函数的最值, 属于中档题. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (10 分)已知函数 f(x)= 的定义域为 A,B={y|y=( ) ,﹣4≤x≤0}.
x

(Ⅰ)求 A∩B; (Ⅱ)若 C={x|m﹣6≤x≤4m}且 B?C,求 m 的取值范围. 考点: 集合的包含关系判断及应用;函数的定义域及其求法. 专题: 计算题;函数的性质及应用;集合. 分析: (Ⅰ)由题意得 log2(x﹣1)≥0,从而解出集合 A,再化简集合 B,从而求交集; (Ⅱ)结合(I)知 C={x|m﹣6≤x≤4m},B=[1,16],且 B?C;从而可得 得. 解答: 解: (Ⅰ)由题意得,log2(x﹣1)≥0, 故 x≥2; 故 A=[2,+∞) , ∵﹣4≤x≤0, ∴1≤( ) ≤16, 故 B=[1,16], 故 A∩B=[2,16];
x

,从而解

(Ⅱ)∵C={x|m﹣6≤x≤4m},B=[1,16],且 B?C, ∴ ,

解得,4≤m≤7. 点评: 本题考查了函数的定义域与值域的求法及集合的运算与集合关系的应用,属于基础 题. 18. (12 分)已知直线 l:3x+4y+3=0 和圆 C:x +y ﹣2x﹣2y+1=0. (Ⅰ)判断直线 l 与圆 C 的位置关系; (Ⅱ)若 P 是直线 l 上的动点,PA 是圆 C 的一条切线,A 是切点,求三角形 PAC 的面积 S 的 最小值. 考点: 直线和圆的方程的应用. 专题: 计算题;直线与圆. 分析: (I)判断圆心 C(1,1)到直线 l:3x+4y+3=0 的距离为 d>r,即可判断; (II)由切线的性质可知,PA⊥AC,若使得 取得最小值,则只要 PA 取得最小
2 2

值,即可求解 2 2 2 2 解答: 解:圆 C:x +y ﹣2x﹣2y+1=0 化为标注方程为: (x﹣1) +(y﹣1) =1,圆心坐标 为 C(1,1) ,半径为 r=1 (I)∵圆心 C(1,1)到直线 l:3x+4y+3=0 的距离为 d= ∴直线 l 与圆相离; (II)由切线的性质可知,PA⊥AC,且 AC=1 ∴ 当 PC⊥l 时,PC 取得最小值 2 ∴PA 的最小值为 此时,△ PAC 面积取得最小值 S△ PAC= = = =2>r

点评: 本题主要考查直线与圆的位置关系,在求直线上点与已知点的距离的最小值时,常 转化为求点到直线的距离. 19. (12 分)如图,在三棱锥 A﹣BCD 中,AB=AC,BC=CD,∠BCD=60°. (Ⅰ)求证:AD⊥BC; (Ⅱ)再若 AB=CB=4,AD=2 ,求三棱锥 A﹣BCD 的体积.

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积;棱锥的结构特征. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (I)如图所示,取 BC 的中点 O,连接 OD,AD.利用等边三角形与等腰三角形的 性质可得:OD⊥BC,OA⊥BC.再利用线面垂直的判定与性质定理即可得出; (II)又 AB=CB=4,AB=AC,可得△ ABC 是正三角形,进而得到△ OAD 是正三角形,利用 三棱锥 A﹣BCD 的体积 V= 即可得出.

解答: (I)证明:如图所示,取 BC 的中点 O,连接 OD,AD. ∵BC=CD,∠BCD=60°.∴△BCD 是正三角形, ∴OD⊥BC, 又∵AB=AC,∴OA⊥BC. ∵OA∩OD=O, ∴BC⊥平面 OAD. ∴AD⊥BC. (II)解:又 AB=CB=4,AB=AC, ∴△ABC 是正三角形, ∵△BCD 是正三角形, ∴OA=OD=2 , ∴△OAD 是正三角形, ∴S△ OAD= =3 . = =4 .

∴三棱锥 A﹣BCD 的体积 V=

点评: 本题考查了等边三角形与等腰三角形的性质、线面垂直的判定与性质定理、三棱锥 的体积计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

20. (12 分)提高五爱隧道的车辆通行能力可改善附近路段高峰期间的交通状况,现将隧道内 的车流速度记作 υ(单位:千米/小时) ,车流密度记作 x(单位:辆/千米) .研究表明:当隧 道内的车流密度达到 180 辆/千米时,会造成该路段道路堵塞,此时车流速度为 0 千米/小时; 当车流密度不超过 30 辆/千米时,车流速度为 50 千米/小时;当 30≤x≤180 时,车流速度 υ 是 车流密度 x 的一次函数. (Ⅰ)当 0<x≤180 时,求函数 υ(x)的表达式; (Ⅱ)当车流密度 x 为多少时,车流量(单位时间内通过隧道内某观测点的车辆数,单位: 辆/小时)f(x)=x?υ(x)可以达到最大,并求出最大值. 考点: 函数模型的选择与应用;函数解析式的求解及常用方法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (I)根据题意,函数 v(x)表达式为分段函数的形式,关键在于求函数 v(x)在 30≤x≤180 时的表达式,根据一次函数表达式的形式,用待定系数法可求得; (II)由(Ⅰ)可知函数 f(x)的表达式,分段求最值,即可得出结论. 解答: 解: (Ⅰ)由题意知,当 0≤x≤30 时,v(x)=50; 当 30≤x≤180 时,设 v(x)=ax+b, 由已知可得 ,解得 .

所以函数 υ(x)=

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知 f(x)= 当 0≤x≤30 时,f(x)=50x 为增函数, ∴当 x=30 时,其最大值为 1500. 当 30≤x≤180 时,f(x)=﹣ x +60x=﹣ (x﹣90) +2700, 当 x=90 时,其最大值为 2700, 综上,当车流密度为 90 辆/千米时,车流量最大,最大值为 2700 辆. 点评: 本题给出车流密度的实际问题,求车流量的最大值及相应的车流密度,着重考查了 函数、最值等基础知识,同时考查运用数学知识解决实际问题的能力,属于中档题. 21. (12 分)如图所示,在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,D、M、N 分别是 AB、AA1、BC1 的 中点. (Ⅰ)求证:MN∥平面 ABC; (Ⅱ)再若 AC=BC,BB1= AB,试在 BB1 上找一点 F,使 A1B⊥平面 CDF,并证明你的结 论.
2 2

考点: 直线与平面垂直的性质;直线与平面平行的判定. 专题: 证明题;空间位置关系与距离. 分析: (Ⅰ) 连接 A1H (H 为 B1C1 的中点) , 由 M、 N 分别为 AA1、 BC1 的中点可得, MN∥A1H, 又 A1H?平面 A1B1C1,MN?平面 A1B1C1,即可证明 MN∥平面 ABC. (Ⅱ)作 DE⊥A1B 交 A1B 于 E,延长 DE 交 BB1 于 F,连接 CF,则 A1B⊥平面 CDF,点 F 即为所求, 根据 CD⊥平面 AA1BB, A1B?平面 AA1B1B, 则 CD⊥A1B, A1B⊥DF, DF∩CD=D, 满足线面垂直的判定定理,则 A1B⊥平面 CDF. 解答: 解: (Ⅰ)证明:连接 A1H(H 为 B1C1 的中点) ,由 M、N 分别为 AA1、BC1 的中点 可得, MN∥A1H,又∵A1H?平面 A1B1C1,MN?平面 A1B1C1, ∴MN∥平面 A1B1C1. ∴由 ABC﹣A1B1C1 是直三棱柱,从而有 MN∥平面 ABC; (Ⅱ)解:作 DE⊥A1B 交 A1B 于 E,延长 DE 交 BB1 于 F,连接 CF,则 A1B⊥平面 CDF, 点 F 即为所求. ∵CD⊥平面 AA1B1B,A1B?平面 AA1B1B, ∴CD⊥A1B.又 A1B⊥DF,DF∩CD=D, ∴A1B⊥平面 CDF. ∴此时点 F 为 B1B 的中点.

点评: 本题主要考查了直线与平面垂直的判定,考查了空间想象能力和推理论证能力,应 熟练记忆直线与平面垂直的判定定理,属于中档题. 22. (12 分)已知圆 M 的圆心在 x 轴上,半径为 1,直线 l:y=3x﹣1 被圆 M 所截得的弦长为 ,且圆心 M 在直线 l 的下方. (Ⅰ)求圆 M 的方程;

(Ⅱ)设 A(0,t) ,B(0,t+4) (﹣3≤t≤﹣1) ,过 A,B 两点分别做圆 M 的一条切线,相交 于点 C,求由此得到的△ ABC 的面积 S 的最大值和最小值. 考点: 圆的切线方程. 专题: 直线与圆. 分析: (Ⅰ)设圆心 M(a,0) ,利用 M 到 l:y=3x﹣1 的距离,结合直线 l 被圆 M 所截得 的弦长为 ,求出 M 坐标,然后求圆 M 的方程;

(Ⅱ)设出过 A,B 的切线方程,由相切的条件:d=r,求得直线 AC、直线 BC 的方程,进而 得到 C 的坐标,求出△ ABC 的面积 S 的表达式,由二次函数是最值求出面积的最值,从而得 解. 解答: 解: (Ⅰ)设 M(a,0)由题设知,M 到直线 l 的距离是 d= l 被圆 M 所截得的弦长为 由 = ,则 2 = ,解得 d= , ,

,解得 a=1 或﹣ ,

由圆心 M 在直线 l 的下方,则 a=1, 2 2 即所求圆 M 的方程为(x﹣1) +y =1; (Ⅱ)设过 A(0,t)的切线为 y=kx+t, 由直线和圆相切的条件:d=r=1, 可得 =1,解得 k= ,

即切线方程为 y=

x+t①

同理可得过 B 的切线方程为 y=

x+t+4②,

由①②解得交点 C(



) ,

由﹣3≤t≤﹣1,则 1≤4+t≤3,t+ +4∈[ ,2], 又|AB|=4+t﹣t=4, 则△ ABC 的面积为 S= |AB|? =4(1﹣ ) ,
2 2

=4

由﹣3≤t≤﹣1,可得 t +4t+1=(t+2) ﹣3∈[﹣3,﹣2], 则当 t=﹣2 时,△ ABC 的面积 S 取得最小值,且为 ;

当 t=﹣1 或﹣3 时,S 取得最大值,且为 6. 点评: 本题以圆的弦长为载体,考查直线与圆的位置关系:相切,三角形面积的最值的求 法,考查计算能力.


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