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大学物理学


习题八
8-1
电量都是 q 的三个点电荷,分别放在正三角形的三个顶点.试问:(1)在这

三角形的中心放一个什么样的电荷,就可以使这四个电荷都达到平衡(即每个电 荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零)?(2)这种平衡与三角形的边长有无关系? ? 解: 如题 8-1 图示 (1) 以 A 处点电荷为研究对象,由力平衡知: q? 为负电荷
2 1 q2 1 cos30? ? 4π? 0 a 2 4π? 0 qq ? ( 3 2 a) 3

解得 (2)与三角形边长无关.

q? ? ?

3 q 3

题 8-1 图

题 8-2 图

8-2

两小球的质量都是 m ,都用长为 l 的细绳挂在同一点,它们带有相同电量,

静止时两线夹角为2 ? 1,如题8-2图所示.设小球的半径和线的质量都可以忽略不 计,求每个小球所带的电量.? 解: 如题 8-2 图示

T cos? ? m g ? ? q2 ?T sin ? ? F ? 1 e ? 4π? 0 (2l sin ? ) 2 ?
解得 q

? 2l sin ? 4?? 0 mg tan?
q 4?? 0 r 2

8-3

根据点电荷场强公式 E ?

,当被考察的场点距源点电荷很近(r→0)

时,则场强→∞,这是没有物理意义的,对此应如何理解??

? 解: E ?

q 4π? 0 r
2

? r0 仅对点电荷成立,当 r ? 0 时,带电体不能再视为点电荷,再

用上式求场强是错误的, 实际带电体有一定形状大小,考虑电荷在带电体上的分 布求出的场强不会是无限大.

8-4

在真空中有 A , B 两平行板,相对距离为 d ,板面积为 S ,其带电量分别为

+ q 和- q .则这两板之间有相互作用力 f ,有人说 f =

q2 4?? 0 d 2

,又有人说,因为 f

= qE , E ?

q2 q ,所以 f = .试问这两种说法对吗?为什么? f 到底应等于多 ?0S ?0S

少?? 解: 题中的两种说法均不对. 第一种说法中把两带电板视为点电荷是不对的,第 二种说法把合场强 E ?
q 看成是一个带电板在另一带电板处的场强也是不对 ?0S

的.正确解答应为一个板的电场为 E ?

q 2? 0 S

,另一板受它的作用力

f ?q

q 2? 0 S

?

q2 ,这是两板间相互作用的电场力. 2? 0 S

8-5

? ? ? ? 一电偶极子的电矩为 p ? ql ,场点到偶极子中心O点的距离为 r ,矢量 r 与 l

的夹角为 ? ,(见题8-5图),且 r ?? l .试证P点的场强 E 在 r 方向上的分量 Er 和垂 直于 r 的分量 E? 分别为

Er =

p cos? p sin ? E? = 3 , 2?? 0 r 4?? 0 r 3

? ? ? 证: 如题 8-5 所示, p 分解为与 r 平行的分量 p sin ? 和垂直于 r 的分量 p sin ? . 将



r ?? l

∴ 场点 P 在 r 方向场强分量

Er ?

p cos? 2π? 0 r 3
p sin ? 4π? 0 r 3

垂直于 r 方向,即 ? 方向场强分量

E0 ?

题 8-5 图

题 8-6 图

8-6

长 l =15.0cm?的直导线AB上均匀地分布着线密度 ? =5.0x10-9C·m 的正

-1

电荷.试求:(1)在导线的延长线上与导线B端相距 a1 =5.0cm处 P 点的场强;(2) 在导线的垂直平分线上与导线中点相距 d 2 =5.0cm 处 Q 点的场强.? 解: 如题 8-6 图所示 (1)在带电直线上取线元 dx ,其上电量 dq 在 P 点产生场强为
dE P ? 1 ?dx 4π? 0 (a ? x) 2

EP ? ? dEP ?
?

? 4π? 0

?

l 2 l ? 2

dx ( a ? x) 2

? 1 1 [ ? ] l l 4π? 0 a? a?
2 2

?

?l
π? 0 (4a 2 ? l 2 )

用 l ? 15 cm , ? ? 5.0 ? 10?9 C ? m ?1 , a ? 12.5 cm 代入得

EP ? 6.74?102 N ? C ?1 方向水平向右
(2)同理? dEQ ?
1 ?dx 2 4π? 0 x ? d 2 2

方向如题 8-6 图所示

? 由于对称性 ? dE Qx ? 0 ,即 EQ 只有 y 分量,
l



dEQy

1 ?dx ? 4π? 0 x 2 ? d 2 2

d2 x2 ? d2 2

EQy ? ? dEQy
l

d ? ? 2 4π? 2

?

l 2 l ? 2

dx (x ? d )
2 2 2 3 2

?

?l
2 π? 0 l 2 ? 4d 2 2

以 ? ? 5.0 ? 10?9 C ? cm?1 , l ? 15 cm , d 2 ? 5 cm 代入得

EQ ? EQy ? 14.96?102 N ? C ?1 ,方向沿 y 轴正向

8-7

一个半径为 R 的均匀带电半圆环,电荷线密度为 ? ,求环心处 O 点的场强.

解: 如 8-7 图在圆上取 dl ? Rd?
dq ? ?dl ? R?d? ,它在 O 点产生场强大小为

dE ?

?Rd? 方向沿半径向外 4π? 0 R 2

则 dE x ? dE sin ? ? 题 8-7 图
dE y ? dE cos(? ? ? ) ?

? sin ?d? 4π? 0 R

?? cos?d? 4π? 0 R

积分

Ex ? ?
Ey ?


?

0

? ? sin ?d? ? 4π? 0 R 2π? 0 R
?? cos?d? ? 0 4π? 0 R
? ,方向沿 x 轴正向. 2π? 0 R

?

?

0

E ? Ex ?

8-8

均匀带电的细线弯成正方形,边长为 l ,总电量为 q .(1)求这正方形轴线上

离中心为 r 处的场强 E ;(2)证明:在 r ?? l 处,它相当于点电荷 q 产生的场强
E .?

解: 如 8-8 图示,正方形一条边上电荷
dE P ?

? q 在 P 点产生物强 dEP 方向如图,大小为 4

? ?cos? 1 ? cos? 2 ?
4π? 0 r 2 ? l2 4



cos? 1 ?

l 2 l2 r ? 2
2

cos? 2 ? ? cos?1

dE P ?

题 8-8 图
l l2 4 r2 ? l2 2

?
4π? 0 r 2 ?

? dEP 在垂直于平面上的分量 dE? ? dE P cos ?


dE ? ? 4π? 0

?l
l r ? 4
2 2

r l r ? 2
2 2

l2 r ? 4
2

由于对称性,P 点场强沿 OP 方向, 大小为

EP ? 4 ? dE? ?

4?lr 4π ? 0 (r 2 ? l2 l2 ) r2 ? 4 2



??
EP ? qr
2 l2 2 l 4π? 0 (r ? ) r ? 4 2 2

q 4l
方向沿 OP



8-9

(1)点电荷 q 位于一边长为a的立方体中心,试求在该点电荷电场中穿过立

方体的一个面的电通量;(2)如果该场源点电荷移动到该立方体的一个顶点上, 这时穿过立方体各面的电通量是多少?(3)如题8-9(3)图所示,在点电荷 q 的电场 中取半径为R的圆平面. q 在该平面轴线上的 A 点处,求:通过圆平面的电通 量.( ? ? arctan
R )? x

解: (1)由高斯定理

?

s

? ? q E ? dS ?

?0

立方体六个面,当 q 在立方体中心时,每个面上电通量相等 ∴ 各面电通量 ? e ?

q . 6? 0

(2)电荷在顶点时,将立方体延伸为边长 2a 的立方体,使 q 处于边长 2a 的立方体 中心,则边长 2a 的正方形上电通量 ? e ?

q 6? 0
q , 24? 0

对于边长 a 的正方形,如果它不包含 q 所在的顶点,则 ? e ?

如果它包含 q 所在顶点则 ? e 如题 8-9(a)图所示.

? 0.
题 8-9(3)图

题 8-9(a)图

题 8-9(b)图

题 8-9(c)图

(3)∵通过半径为 R 的圆平面的电通量等于通过半径为 R 2 ? x 2 的球冠面的电 通量,球冠面积*

S ? 2π( R 2 ? x 2 )[1 ?
q0 S
2 2

x R2 ? x2

]



??

? 0 4 π( R ? x )
?

?

x q [1 ? ] 2? 0 R2 ? x2

*关于球冠面积的计算:见题 8-9(c)图

S ? ? 2πr sin ? ? rd?
0

? 2πr 2 ? sin ? ? d?
0

?

? 2πr 2 (1 ? cos? )

8-10

均匀带电球壳内半径6cm,外半径10cm,电荷体密度为2× 10?5 C·m-3求距

球心5cm,8cm ,12cm 各点的场强. 解: 高斯定理 E ? dS ?
s

?

?

?

? q , E 4πr
?0

2

?

?q
?0

? 当 r ? 5 cm 时, ? q ? 0 , E ? 0

r ? 8 cm 时, ? q ? p

4π 3 3 (r ? r内 ) 3



E?

?

4π 3 2 r ? r内 3 ? 3.48? 104 N ? C ?1 , 方向沿半径向外. 4π? 0 r 2
4π 3 (r ? r 3) 3 外 内

?

?

r ? 12 cm 时, ? q ? ?



E?

?

4π 3 3 r外 ? r内 3 ? 4.10 ? 104 N ? C ?1 2 4π? 0 r

?

?

沿半径向外.

8-11

半径为 R1 和 R2 ( R2 > R1 )的两无限长同轴圆柱面,单位长度上分别带有

电量 ? 和- ? ,试求:(1) r < R1 ;(2) R1 < r < R2 ;(3) r > R2 处各点的场强. 解: 高斯定理 s E ? dS ?

?

?

?

?q
?0


取同轴圆柱形高斯面,侧面积 S ? 2 πrl 对(1) r ? R1

? E ? dS ? E 2πrl
S

?

?

?q ? 0, E ? 0 ?q ? l?
沿径向向外

(2) R1 ? r ? R2 ∴
E?

? 2π? 0 r

(3) ∴

r ? R2

?q ? 0
E?0

8-12
解:

两个无限大的平行平面都均匀带电,电荷的面密度分别为 ? 1 和 ? 2 ,试求 如题 8-12 图示,两带电平面均匀带电,电荷面密度分别为 ? 1 与 ? 2 ,

空间各处场强.?

? 1 ? 两面间, E ? (? 1 ? ? 2 )n 2? 0

? 1 面外, E ? ?
? 2 面外, E ?
?

?

1 ? (? 1 ? ? 2 )n 2? 0

1 ? (? 1 ? ? 2 )n 2? 0

? n :垂直于两平面由 ? 1 面指为 ? 2 面.

题 8-12 图

8-13

半径为 R 的均匀带电球体内的电荷体密度为 ? ,若在球内挖去一块半径

为 r < R 的小球体,如题8-13图所示.试求:两球心 O 与 O ? 点的场强,并证明小 球空腔内的电场是均匀的. 解: 将此带电体看作带正电 ? 的均匀球与带电 ? ? 的均匀小球的组合,见题

8-13 图(a).

(1)

πr 3 ? ? ? 3 OO' ? ? 球在 O 点产生电场 E10 ? 0 ,? ? 球在 O 点产生电场 E 20 ? 3 4π? 0 d


4

? r3? OO' ; O 点电场 E0 ? 3? 0 d 3

4 ?d 3 ? ? ? OO' , ? ? 球在 O ? 产生电场 E20? ? 0 (2) ? ? 在 O ? 产生电场 E10? ? 3 3 4π ? 0 d

∴ O ? 点电场

? ? E0? ? OO' 3? 0

题 8-13 图(a) 题 8-13 图(b) ? ? ? 的位矢为 r ? ,相对 O 点位矢为 r (如题 8-13(b)图) (3)设空腔任一点 P 相对 O 则

? ? ? ? ?r ? ?r E PO ? , E PO? ? ? 3? 0 3? 0



? ? ? ? ? ? ? ? ?d E P ? E PO ? E PO? ? (r ? r ?) ? OO' ? 3? 0 3? 0 3? 0
∴腔内场强是均匀的.

8-14

一电偶极子由 q =1.0×10-6C?的两个异号点电荷组成,两电荷距离

d=0.2cm,把这电偶极子放在1.0×105N·C-1?的外电场中,求外电场作用于电偶 极子上的最大力矩.?? ? ? ? ? ? 解: ∵ 电偶极子 p 在外场 E 中受力矩 M ? p ? E ∴ M max ? pE ? qlE 代入数字 M max ? 1.0 ?10?6 ? 2 ?10?3 ?1.0 ?105 ? 2.0 ?10?4 N ? m

8-15

两点电荷 q1 =1.5×10-8C, q2 =3.0×10-8C,相距 r1 =42cm,要把它们之间

的距离变为 r2 =25cm,需作多少功?? 解: A ?

?

r2

r1

? ? r2 q q dr qq F ?dr ? ? 1 2 2 ? 1 2 ( 1 ? 1 ) ? ?6.55?10?6 J r2 4π? r 4π? 0 r1 r2 0
外力需作的功 A? ? ? A ? ?6.55? 10?6 J

题 8-16 图

8-16

如题8-16图所示,在 A ,B 两点处放有电量分别为+ q ,- q 的点电荷, AB

间距离为2 R ,现将另一正试验点电荷 q0 从 O 点经过半圆弧移到 C 点,求移动过 程中电场力作的功.? 解: 如题 8-16 图示

UO ?

1 q q ( ? )?0 4π? 0 R R

Uc ?

1 q q q ( ? ) ?? 4π? 0 3R R 6π? 0 R
qo q 6π ? 0 R



A ? q0 (U O ? U C ) ?

8-17

如题8-17图所示的绝缘细线上均匀分布着线密度为 ? 的正电荷,两直导

线的长度和半圆环的半径都等于 R .试求环中心 O 点处的场强和电势.? 解: (1)由于电荷均匀分布与对称性, AB 和 CD 段电荷在 O 点产生的场强互相抵消,取 dl ? Rd? ? 则 dq ? ?Rd? 产生 O 点 dE 如图,由于对称性,O 点场强沿 y 轴负方向 E ? dE y ?
?

?

? ? 4π?
2 ? 2

?

?Rd?
0

R2

cos?

? ? ? [ sin( ? ) ? sin ] 2 2 4π? 0 R
?? 2π? 0 R

题 8-17 图

?

(2) AB 电荷在 O 点产生电势,以 U ?
U1 ? ?
A

?0

B

2 R ?dx ?dx ? ?? ? ln 2 R 4π? x 4π? 0 x 4π? 0 0

同理 CD 产生

U2 ?

? ln 2 , 半圆环产生 4π? 0

U3 ?

πR? ? ? 4π? 0 R 4? 0



U O ? U1 ? U 2 ? U 3 ?

? ? ln 2 ? 2π ? 0 4? 0

8-18

一电子绕一带均匀电荷的长直导线以2×10 m· 的匀速率作圆周运动. s 求

4

-1

带电直线上的线电荷密度. (电子质量 m0 =9.1×10-31kg, 电子电量 e =1.60×10-19C) 解: 设均匀带电直线电荷密度为 ? ,在电子轨道处场强 E ?

? 2π? 0 r

电子受力大小

Fe ? eE ?

e? 2π? 0 r



e? v2 ?m 2π? 0 r r
2π? 0 m v2 ? 12.5 ? 10?13 C ? m ?1 e



??

8-19

空气可以承受的场强的最大值为 E =30kV·cm ,超过这个数值时空气要

-1

发生火花放电.今有一高压平行板电容器,极板间距离为 d =0.5cm,求此电容器 可承受的最高电压.? 解: 平行板电容器内部近似为均匀电场,∴
U ? Ed ? 1.5 ? 104 V

8-20

? ? 根据场强 E 与电势 U 的关系 E ? ??U ,求下列电场的场强:(1)点电荷 q

的电场;(2)总电量为 q ,半径为 R 的均匀带电圆环轴上一点;*(3)偶极子 p ? ql 的 r ?? l 处(见题8-20图).? 解: (1)点电荷
U? q 4π? 0 r



? ?U ? q ? E?? r0 ? r0 ?r 4π? 0 r 2

? r0 为 r 方向单位矢量.

题 8-20 图

(2)总电量 q ,半径为 R 的均匀带电圆环轴上一点电势

U?

q 4π? 0 R 2 ? x 2



? ?U ? qx E?? i ? ?x 4π? 0 R 2 ? x 2

?

?

3/ 2

? i

? ? (3)偶极子 p ? ql 在 r ?? l 处的一点电势

U?

q [ 4π? 0

1 l (r ? cos? ) 2

?

1 l (1 ? cos? ) 2

]?

ql cos? 4π? 0 r 2



Er ? ? E? ? ?

?U p cos? ? ?r 2π? 0 r 3

1 ?U p sin ? ? r ?? 4π? 0 r 3

8-21

证明:对于两个无限大的平行平面带电导体板(题8-21图)来说,(1)相向

的两面上,电荷的面密度总是大小相等而符号相反;(2)相背的两面上,电荷的 面密度总是大小相等而符号相同.? 证: 如题 8-21 图所示,设两导体 A 、 B 的四个平面均 匀带电的电荷面密度依次为 ? 1 , ? 2 , ? 3 , ? 4 (1)则取与平面垂直且底面分别在 A 、B 内部的闭合柱 ? ? 面为高斯面时,有 ? E ? dS ? (? 2 ? ? 3 )?S ? 0
s



?2 ? ?3 ? 0

说明相向两面上电荷面密度大小相等、符号相反; 题 8-21 图 (2)在 A 内部任取一点 P ,则其场强为零,并且它是由四个均匀带电平面产生的 场强叠加而成的,即

?1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ?0 2? 0 2? 0 2? 0 2? 0
又∵ ∴

?2 ? ?3 ? 0

?1 ? ? 4

说明相背两面上电荷面密度总是大小相等,符号相同.

8-22

三个平行金属板 A ,B 和 C 的面积都是200cm2,A 和 B 相距4.0mm,A 与 C

相距2.0 mm. B , C 都接地,如题8-22图所示.如果使 A 板带正电3.0×10-7C, 略去边缘效应,问 B 板和 C 板上的感应电荷各是多少?以地的电势为零,则 A 板 的电势是多少? 解: 如题 8-22 图示,令 A 板左侧面电荷面密度为 ? 1 ,右侧面电荷面密度为 ? 2

(1)∵ ∴

U AC ? U AB ,∴ E AC d AC ? E ABd AB

? 1 E AC d AB ? ? ?2 ? 2 E AB d AC



?1 +? 2 ?

qA S


题 8-22 图

?2 ?

qA , 3S

?1 ?

2q A 3S



2 qC ? ?? 1 S ? ? q A ? ?2 ? 10 ?7 C 3

qB ? ?? 2 S ? ?1?10?7 C
(2)

U A ? E AC d AC ?

?1 d AC ? 2.3 ? 103 V ?0

8-23

两个半径分别为 R1 和 R2( R1 < R2 )的同心薄金属球

壳,现给内球壳带电+ q ,试计算:(1)外球壳上的电荷分布 及电势大小;(2)先把外球壳接地,然后断开接地线重新绝 缘,此时外球壳的电荷分布及电势;*(3)再使内球壳接地, 此时内球壳上的电荷以及外球壳上的电势的改变量.

题8-23图?

解: (1)内球带电 ? q ; 球壳内表面带电则为 ? q ,外表面带电为 ? q , 且均匀分布, 其电势
? ? ? ? U ? ? E ? dr ? ? R2

R2

qdr q ? 2 4π? 0 R 4π? 0 r

(2)外壳接地时,外表面电荷 ? q 入地,外表面不带电,内表面电荷仍为 ? q .所 以球壳电势由内球 ? q 与内表面 ? q 产生:
U? q 4π? 0 R2 ? q 4π? 0 R2 ?0

(3)设此时内球壳带电量为 q? ;则外壳内表面带电量为 ? q? ,外壳外表面带电量 为 ? q ? q? (电荷守恒),此时内球壳电势为零,且

UA ?

q' 4π? 0 R1

?

q' 4π? 0 R2

?

? q ? q' ?0 4π? 0 R2



q? ?

R1 q R2

外球壳上电势

UB ?

q' 4π? 0 R2

?

q' 4π? 0 R2

?

? q ? q' ?R1 ? R2 ?q ? 2 4π? 0 R2 4π? 0 R2

8-24

半径为 R 的金属球离地面很远,并用导线与地相联,在与球心相距为

d ? 3 R 处有一点电荷+ q ,试求:金属球上的感应电荷的电量.

解:

如题 8-24 图所示,设金属球感应电荷为 q? ,则

球接地时电势 U O ? 0 由电势叠加原理有: U O ?
q' q ? ?0 4π? 0 R 4π? 0 3R



q? ? ?

q 3

题 8-24 图

8-25

有三个大小相同的金属小球,小球1,2带有等量同号电荷,相距甚远,其

间的库仑力为 F0 .试求:(1)用带绝缘柄的不带电小球3先后分别接触1,2后移 去,小球1,2之间的库仑力;(2)小球3依次交替接触小球1,2很多次后移去,小 球1,2之间的库仑力.? 解: 由题意知

F0 ?

q2 4π? 0 r 2
q? ? q , 2

(1)小球 3 接触小球 1 后,小球 3 和小球 1 均带电

小球 3 再与小球 2 接触后,小球 2 与小球 3 均带电

q ?? ?

3 q 4

∴ 此时小球 1 与小球 2 间相互作用力

3 2 q q' q" 3 8 F1 ? ? ? F0 2 2 8 4 π? 0 r 4 π? 0 r

(2)小球 3 依次交替接触小球 1 、 2 很多次后,每个小球带电量均为

2q . 3

2 2 q q 3 3 ? 4F ∴ 小球 1 、 2 间的作用力 F2 ? 0 4π? 0 r 2 9

*8-26

如题8-26图所示,一平行板电容器两极板面积都是S,相距为 d ,分别维

持电势 U A = U , U B =0不变.现把一块带有电量 q 的导体薄片平行地放在两极板 正中间,片的面积也是S,片的厚度略去不计.求导体薄片的电势. 解:

? ? ? 依次设 A , C , B 从上到下的 6 个表面的面电荷密度分别为 ? 1 , 2 , 3 , 4 ,

? 5 , ? 6 如图所示.由静电平衡条件,电荷守恒定律及维持 U AB ? U 可得以下 6 个
? 0U qA 1 ? ?? 1 ? ? 2 ? S ? S C 0U ? d ? ?? ? ? ? q 4 ? 3 S ? ?U q 方程 ? ? ??6 ? B ? ? 0 ? 5 S d ?? ? ? ? 0 3 ? 2 ?? 4 ? ? 5 ? 0 ? ?? 1 ? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 5 ? ? 6 q ?1 ? ? 6 ? 解得 2S

题 8-26 图

? 2 ? ?? 3 ?
? 4 ? ?? 5 ?
所以 CB 间电场

? 0U
d

?
?

q 2S

? 0U
d

q 2S

E2 ?

?4 U q ? ? ? 0 d 2? 0 S
d 1 qd ? (U ? ) 2 2 2? 0 S

U C ? U CB ? E2

注意:因为 C 片带电,所以 U C ?

U U ,若 C 片不带电,显然 U C ? 2 2

8-27

在半径为 R1 的金属球之外包有一层外半径为 R2 的均匀电介质球壳,介质

相对介电常数为 ? r ,金属球带电 Q .试求:(1)电介质内、外的场强;(2)电介质 层内、外的电势;(3)金属球的电势. ? ? 解: 利用有介质时的高斯定理 ? D ? dS ? ? q
S

(1)介质内 ( R1 ? r ? R2 ) 场强 介质外 (r ? R2 ) 场强

? ? ? Qr ? Qr D? , E内 ? ; 4πr 3 4π? 0? r r 3

? ? Qr ? Qr D? , E外 ? 4πr 3 4π? 0 r 3
? ? ? U ? ? E外 ? d r ? r

(2)介质外 (r ? R2 ) 电势

Q 4π? 0 r

介质内 ( R1 ? r ? R2 ) 电势
? ? ? ?? ? U ? ? E内 ? dr ? ? E外 ? dr r r

?

Q 1 ? ?1 1 1 Q ? ( ? r ) ( ? )? 4π? 0? r r R2 4π? 0? r r R2 4π? 0 R2
q

R2 ? ? ? ? ? U ? ? E内 ? dr ? ? E外 ? dr (3)金属球的电势 R1 R2

??
?

R2

Qdr 4π? 0? r r 2

R

??

Qdr R2 4π? r 2 0

?

Q 1 ? ?1 ( ? r ) 4π? 0? r R1 R2

8-28

如题8-28图所示, 在平行板电容器的一半容积内充入相对介电常数为 ? r 的

电介质.试求:在有电介质部分和无电介质部分极板上自由电荷面密度的比值. ? ? 解: 如题 8-28 图所示,充满电介质部分场强为 E2 ,真空部分场强为 E1 ,自由电 荷面密度分别为 ? 2 与 ? 1

? ? 由 ? D ? dS ? ? q 0 得


D1 ? ? 1 , D2 ? ? 2

D1 ? ? 0 E1 , D2 ? ? 0? r E2

E1 ? E 2 ?

U d



? 2 D2 ? ? ?r ? 1 D1

题 8-28 图

题 8-29 图

8-29

两个同轴的圆柱面, 长度均为 l , 半径分别为 R1 和 R2 ( R2 > R1 ), l >> R2 且

- R1 , 两柱面之间充有介电常数 ? 的均匀电介质.当两圆柱面分别带等量异号电荷
Q 和- Q 时,求:(1)在半径 r 处( R1 < r < R2 =,厚度为dr,长为 l 的圆柱薄壳中

任一点的电场能量密度和整个薄壳中的电场能量;(2)电介质中的总电场能量; (3)圆柱形电容器的电容. 解: 取半径为 r 的同轴圆柱面 (S ) , 则 当 ( R1 ? r ? R2 ) 时, ? q ? Q (1)电场能量密度 ∴

? ? D ? dS ? 2πrlD ?
(S )

D?

Q 2 πrl

D2 Q2 w? ? 2? 8π 2 ?r 2 l 2

薄壳中 dW ? wd? ?

Q2 Q 2 dr 2π rdrl ? 8π 2?r 2l 2 4π ?rl

(2)电介质中总电场能量 W ? dW ?
V

?

?

R2

R1

R Q 2 dr Q2 ? ln 2 4π?rl 4π?l R1

(3)电容:∵ W ?

Q2 Q2 2π?l ∴ C? ? 2C 2W ln(R2 / R1 )

*8-30

金属球壳 A 和 B 的中心相距为 r , A 和 B 原来都不带电.现在 A 的中心

放一点电荷 q1 ,在 B 的中心放一点电荷 q2 ,如题8-30图所示.试求:

(1) q1 对 q2 作用的库仑力, q2 有无加速度; (2)去掉金属壳 B ,求 q1 作用在 q2 上的库仑力,此时 q2 有无加速度. 解: (1) q1 作用在 q2 的库仑力仍满足库仑定律,即 F ? 但 q2 处于金属球壳中心,它受合力为零,没有加速度. .. (2)去掉金属壳 B , q1 作用在 q2 上的库仑力仍是 F ? 力不为零,有加速度.

1 q1q 2 4π? 0 r 2

1 q1q 2 ,但此时 q2 受合 4π? 0 r 2

题 8-30 图

题 8-31 图

8-31

如题8-31图所示, C1 =0.25 ? F, C 2 =0.15 ? F, C3 =0.20 ? F . C1 上电压

为50V.求: U AB . 解: 电容 C1 上电量 Q1 ? C1U1 电容 C 2 与 C3 并联 C23 ? C2 ? C3 ,其上电荷 Q23 ? Q1 ∴

U2 ?

Q23 C1U 1 25? 50 ? ? C 23 C 23 35
25 ) ? 86 V 35

U AB ? U 1 ? U 2 ? 50(1 ?

8-32 C1 和 C 2 两电容器分别标明“200
解: (1) C1 与 C 2 串联后电容 C ? ?

pF、500 V”和“300 pF、900 V”,把它们串

联起来后等值电容是多少?如果两端加上1000 V的电压,是否会击穿?

C1C2 200? 300 ? ? 120 pF C1 ? C2 200 ? 300

(2)串联后电压比

U1 C2 3 ? ? ,而 U1 ?U 2 ? 1000 U 2 C1 2


U1 ? 600 V , U 2? 400 V

即电容 C1 电压超过耐压值会击穿,然后 C 2 也击穿.

8-33

将两个电容器 C1 和 C 2 充电到相等的电压 U 以后

切断电源, 再将每一电容器的正极板与另一电容器的负极 板相联.试求: (1)每个电容器的最终电荷; (2)电场能量的损失. 解: 如题 8-33 图所示, 设联接后两电容器带电分别为 q1 , q2
?q1 ? q 2 ? q10 ? q 20 ? C1U ? C 2U ? CU ?q 则? 1 ? 1 1 ? q 2 C 2U 2 ?U 1 ? U 2 ?

题 8-33 图

解得 (1) q1 ?

C1 (C1 ? C2 ) C (C ? C2 ) U , q2 ? 2 1 U C1 ? C2 C1 ? C2

2 2C1C 2 2 q12 q2 1 1 2 2 U (2)电场能量损失 ?W ? W0 ? W ? ( C1U ? C2U ) ? ( ? )? C1 ? C 2 2 2 2C1 2C2

8-34

半径为 R1 =2.0cm 的导体球,外套有一同心的导体球

壳,壳的内、外半径分别为 R2 =4.0cm和 R3 =5.0cm,当内球 带电荷 Q =3.0×10-8C?时,求: (1)整个电场储存的能量; (2)如果将导体壳接地,计算储存的能量; (3)此电容器的电容值. 题 8-34 图

解: 如图,内球带电 Q ,外球壳内表面带电 ? Q ,外表面带电 Q
? (1)在 r ? R1 和 R2 ? r ? R3 区域 E ? 0

在 R1 ? r ? R2 时
? E2 ?

? E1 ?

? Qr 4π? 0 r 3

在 r ? R3 时

? Qr 4π? 0 r 3
R2

∴在 R1 ? r ? R2 区域 W1 ? ?
?

R1

2 R2 Q dr Q2 1 1 1 Q ? ( ? ) ?0 ( ) 2 4πr 2 dr ? ? 2 2 R1 8π? r 2 8π? 0 R1 R2 4π? 0 r 0

1 Q Q2 1 2 2 ?0 ( ) 4πr dr ? 在 r ? R3 区域 W2 ? ? R3 2 8π? 0 R3 4π? 0 r 2
∴ 总能量

Q2 1 1 1 W ? W1 ? W2 ? ( ? ? ) ? 1.82 ? 10?4 J 8π? 0 R1 R2 R3
? Qr , W2 ? 0 4π? 0 r 3

? (2)导体壳接地时,只有 R1 ? r ? R2 时 E ?



W ? W1 ?

Q2 1 1 ( ? ) ? 1.01? 10?4 J 8π? 0 R1 R2

(3)电容器电容

C?

2W 1 1 ? 4π? 0 /( ? ) ? 4.49 ? 10?12 F R1 R2 Q2


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