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河北省“五个一联盟”2016届高三上学期教学质量监测数学(理)试题


河北省“五个一名校联盟”2016 届高三教学 质量监测 数学试卷(理科)
(满分:150 分,测试时间:120 分钟)

第Ⅰ卷(60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 1.如图,已知 是实数集,集合

,则阴影部分表示的集合是( A.[0,1] B.[0,1) C.(0,1)

) D.(0,1]

2.函数

的图象按向量 平移得到

的图象,则 可以是( )

A.

B.

C.

D.

3.已知命题

: ) B.

;命题 :

,则下列命题为

真命题的是( A.

C.

D.

4.现有 16 张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各 4 张.从中任取 3 张,要求 这 3 张卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多 1 张.不同取法的种数为( ) A.232 B.252 C.472 D.484 5.向量 满足 ,则 与 的夹角为( )

A.30° B.45° C.60° D.90° 6.如图程序框图输出的结果是 S=720,则判断框内应填的是( ) A. 7.在二项式 B. C. D.

的展开式中,偶数项的二项式系数之和为 128, ) C.1120 项和为 ,且 ) D.1680 ,则过点 和

则展开式的中间项的系数为( A.-960 B.960 8. 已 知 等 差 数 列 { }的前

的直线的斜率是(

A.4

B.3

C.2

D.1

9.函数 A. B.

,则不等式 C.

的解集为( D.



10.已知点 两点,则 A.

的坐标 的最小值是( B.4 ) C.

过点

的直线 与圆

相交于



D.2 )

11.某四面体的三视图如图,则其四个面中最大的面积是 ( A. B. C. D.

12.若

,则

最小值为( )

A.

B.

C.

D.

第Ⅱ卷(90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.设复数 满足 14.在棱长为 1 的正方体 表面上运动,则总能使 与 (其中 为虚数单位) ,则 的模为_____. 中, 垂直的点 分别是 的中点,点 . , 以下列出了 在其

所构成的轨迹的周长等于 (

15.古希腊的数学家研究过各种多边形数.记第 个 边形数为 部分 边形数中第 个数的表达式:

三角形数 四边形数

五边形数 六边形数

…… 可以推测

的表达式,由此计算

的值为________.

16.设椭圆 第 二象 限内 的点 ,直线 是 . 三、解答题: 17.(本小题满分 12 分)已知锐角 ,且 交 于点

的右顶点为 , 若 直线

、右焦点为 平 分线段

为椭圆 ,则

上在

的 离 心率

中内角 .





的对边分别为 、 、 ,

(1)求角

的值; (2)设函数 ,求 的取值范围. 中,底面 与 交于点 是



图象上相

邻两最高点间的距离为

18.(本小题满分 12 分)如图,在四棱锥 ,其中

是梯形,

底面

边上的点,且

,已知 (1)求平面 与平面 所成锐二面角的正切值;

(2)若



上一点,且

平面

, 求

的值.

19. (本小题满分 12 分) 为了调查某高中学生每天的睡眠时间,现随机对 20 名男生和 20 名女 生进行问卷调查,结果如下: 睡眠时间(小时) 女生人数 男生人数 (1)现把睡眠时间不足 5 小时的定义为“严重睡眠不足”,从睡眠时间不足 6 小时的女生中 随机抽取 3 人,求此 3 人中恰有一人为“严重睡眠不足”的概率; (2)完成下面 2× 2 列联表,并回答是否有 90%的把握认为“睡眠时间与性别有关”? 睡眠时间少于 7 小时 男生 女生 合计 睡眠时间不少于 7 小时 合计 [4,5) [5,6) [6,7) [7,8) [8,9]



,其中



20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆

的右焦点为



,设短轴

的一个端点为 交于

,原点

到直线

的距离为

,过原点和 轴不重合的直线与椭圆 的方程; 且使得



两点,且

.

(1)求椭圆

(2) 是否存在过点

的直线 与椭圆

相交于不同的两点

成立?若存在,试求出直线 的方程;若不存在,请说明理由.

21.(本小题满分 12 分)已知函数 (1)若 在定义域内恒成立,求 的取值范围; 的最小值;



(2)当 取(1)中的最大值时,求函数

(3)证明不等式 请考生从第 22、23、24 题中任选一题作答,作答时请写清题号. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图⊙ 过平行四边形 ;(2) 的顶点 是 ,且与 相切,交 的延长线于点 ,求 . .



(1)求证:

的三等分点,且

22.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

在直角坐标系 极点,

中,圆

的参数方程为

, ( 为参数,

) .以



轴正半轴为极轴,并取相同的单位长度建立极坐标系,直线 的极坐标方程为

.写出圆心的极坐标,并求当 为何值时,圆 离为 3. 24.(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲

上的点到直线 的最大距

已知函数

. 的最小值 ; (2)若正实数 满足 ,

(1)求函数 求证: .

河北省“五个一名校联盟”2016 届高三教学质量监测 理科数学答案
四、选择题:DDCCC BCACB DD

五、填空题:13. ;

14.



15.2490;

16.

三、解答题: 18.(本小题满分 12 分) 解析: (1)因为 ,由余弦定理知

所以

又因为 ,

,则由正弦定理得:



所以

,又因为

所以

......

6分

(2)



由已知

,则

......

8分

因为

,

,由于

,所以

,...... 10 分

所以

,所以

的取值范围是 ,则 . , ,

..... 12 分 是平面 与平面 所成二

19.(本小题满分 12 分) 解析:(1)连接 并延长交 的延长线于 面角的棱,过 作 垂直 于 ,连接 ∵ 平面 ,∴ , 又 ∵ , , ∴ , 平面 面

平面 面

, ∴ ,

∴ ∵

是平面

与平面 ,

所成锐二面角的平面角…(3 分)

∴ 所以平面 (2)连接 ∵

,又 与平面

,∴

∴ 所成锐二面角的正切值为 于 面 ,连接 ,面 面

, …(6 分)

并延长交 ,

平面





中∵

,又

…(9 分)

在梯形

中,

,∵



,∴

…(12 分)

另解:向量法. 19.(本小题满分 12 分) 解析: (1) 设事件 A=“从睡眠不足 6 小时的女生中抽出 3 人,其中恰有一个为“严重睡眠

不足”.........1 分 . (2)

所以 睡眠少于 7 小时

......6 分 睡眠不少于 7 小时 8 6 14 合计 20 20 40

男生 女生 合计 ......8 分

12 14 26

......10 分 所以没有 的把握认为“睡眠时间与性别有关” .......12 分

20.(本小题满分 12 分) 解析: (1)由椭圆的对称性知: ,又原点 O 到直线 DF 的距离







故椭圆方程为 (2)当直线 与 代入椭圆方程得:

…………4 分 轴垂直时不满足条件……5 分,故可设直线 的方程为 ,

……7 分 因为 所以 ,即 即



解得

……10 分,



.所以存在满足条件的直线 ,且其方程为

……12 分

21.(本小题满分 12 分)

解析: (1) 当 ∴ 时,

的定义域是 ,

, 递减,当 时, ,故 的取值范围 , 递增 …3 分

依题意得,

(2)当

时,



的定义域是

, 令 由(1)知, 时, 的最小值是 , 递减, 递增,又

当 分 (3)由(2)得,

时,



递增,∴

7

时,





,则

…12 分 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 解析:(Ⅰ)证明:因为∠A=∠TCB,∠ATB=∠TCB,所以∠A=∠ATB,所以 AB=BT. 又 AT 2=AB*AD,所以 AT 2=BT*AD.......5 分 (Ⅱ)取 BC 中点 M,连接 DM,TM.由(Ⅰ)知 TC=TB,所以 TM⊥BC.因为 DE=DF, M 为 EF 的中点, 所以 DM⊥BC. 所以 M, D, T 三点共线, DT 为⊙O 的直径. 所以∠ABT =∠DBT=90°. 所以∠A=∠ATB=45°° . ...... 10 分 23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

解:由已知圆心 O 的直角坐标为

,所以圆心 O 的极坐标为

...2 分直线

的直角坐标方程为

, 圆心 O 到 的距离

, 圆 O 上的点到直线

的距离的最大值为

解得

......10 分

24.(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 解析: (1)∵ , . ......5 分





.

......10 分


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