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4、一元二次不等式的解法


初高中知识衔接第三课时

一元二次不等式 的解法
主备人:李俊标 议课时间:8月22日 授课时间:9月1日—4日

学习目标
① 会用数形结合的方法得出一元二次不等 式的解; ②能够归纳总结出一元二次不等式的一般 解法步骤; ③能够理解一元二次不等式的解法。

二次函数:y=ax2+bx+c(a>0)
y y y

O x 1

x2

x

O

b ? 2a

x

O

x

??0

??0

??0

二次函数:y=ax2+bx+c(a<0)
y y

??0
x

??0
x

y

??0

O x 1

x2

O

b ? 2a

O

x

问题探究
例1:解一元二次不等式x2-2x-3<0。

分析: 令y=x2-2x-3,得到二次函数。
求得x2-2x-3=0的两根为x1=-1,x2=3 所以二次函数y=x2-2x-3的图象如图:
y y=x2-2x-3

-1

o

3

x

研究二次函数y=x2-2x-3的图象,图像如下:
x= -1 或3 (1) 当x取 __________ -1<x<3 当x取 __________ 或 x>3 当x取 x<-1 __________

时,y=0? 时,y<0? 时,y>0?
y y=x2-2x-3 y>0 -1

(2) 由图象写出 不等式x2-2x-3 <0 的解为 ———————— 不等式x2-2x-3>0 的解为
-1<x<3

o

————————

x<-1或x>3

y<0 3

x

归纳与总结
先求根 (2)先画出对应函数的图像;
(1)

如何利用二次函数解二次不等式 ax2 ? bx ? c ? 0或ax2 ? bx ? c ? 0 呢?

(3)观察图像,确定不等式的解;
2 y ? ax ? bx ? c ax ? bx ? c ? 0 的解集就是确定函数
2

图像在X轴下方时,其x的取值范围; 2 2 y ? ax ? bx ? c ax ? bx ? c ? 0 的解集就是确定函数

图像在X轴上方时,其x的取值范围。

例2、解下列不等式
2 2 3 x ? 5 x ? 2 ? 0 (1) (2) ? 2 x ? x ? 1 ? 0

1 ?x | x ? 或x ? -2 3
(3)9 x
2

?

1 ?x | - ? x ? 1? 2

? 6 x ? 1 ? 0(4)x 2 ? 4 x ? 5 ? 0

1? ?x | x? ? 3?

无解

总结:
判别式 △=b2- 4ac y=ax2+bx+c 的图象 △>0 y x1 O
y>0

△=0
y
y>0

△<0
y
y>0

x2 x
y<0

(a>0)
ax2+bx+c=0 (a>0)的根 ax2+bx+c>0 (y>0)的解集 ax2+bx+c<0 (y<0)的解集

O x1

x

O 没有实根

x

有两相异实根 x1, x2 (x1<x2) {x|x<x1,或 x>x2}

有两相等实根 b x1=x2= ? 2a

b {x|x≠ ? } 2a

R Φ

{x|x1< x <x2 }

Φ

学习效果检测
1、解下列不等式 2 (1) x ? 5 x ? 6 ? 0

(2)? 2 x 2

? 5x ? 2 ? 0

?x | -6 ? x ? 1?
(3)2 x 2

1? ?x | x ? 2或x ? ? 2?
(4)?

? 3x ? 2 ? 0

x ? 4x ? 4 ? 0
2

全体实数

?x | x ? 2?

巩固提高
2 2 x ? ( 2 m ? 1 ) x ? m ?m?0 。 1、解关于x的不等式

?x | m ? x ? m ? 1?

2、已知不等式 ax2 求实数 a与b 的值.

? bx ? 1 ? 0 的解是 x ? 4或x ? 3
1 7 a ? ? ,b ? 12 12

2 ax ? (1 ? a) x ? 1 ? 0 对于x取任意实数均成立, 3、若不等式

求a的取值范围。

?a | 3 ? 2

2 ? a ? 3? 2 2

?


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