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2014年2月qt的高一上期末数学错题组卷


2014 年 2 月 qt 的高中数学组卷
一.填空题(共 3 小题) 1. (2007?安徽) 在四面体 O﹣ABC 中, (用 a,b,c 表示) , , , D 为 BC 的中点, E 为 AD 的中点, 则 = _________

2.已知函数 f(x)= 范围是 _________ .

,若存在 x1,x2∈R 且 x1≠x2,使得 f(x1)=f(x2)成立,则实数 a 的取值

3.已知 D 为三角形 ABC 的边 BC 的中点,点 P 满足

,则实数 λ 的值为 _________ .

二.解答题(共 4 小题) x 4.已知函数 f(x)=log2(4 +1)+kx(k∈R)是偶函数. (1)求 k 的值; (2)设函数 的取值范围. 5. (2010?静安区一模)已知函数 f(x)=x +(a+1)x+lg|a+2|(a∈R,且 a≠﹣2) . (1)写出一个奇函数 g(x)和一个偶函数 h(x) ,使 f(x)=g(x)+h(x) ; (2)对(1)中的 g(x) .命题 P:函数 f(x)在区间[(a+1) ,+∞)上是增函数;命题 Q:函数 g(x)是减函 数;如果命题 P、Q 有且仅有一个是真命题,求 a 的取值范围; (3)在(2)的条件下,求 f(2)的取值范围. 6. (2011?杭州一模)设函数 f(x)=x +(2a+1)x+a +3a(a∈R) . (I)若 f(x)在[0,2]上的最大值为 0,求 a 的值; (II)若 f(x)在闭区间[α,β]上单调,且{y|y=f(x) ,α≤x≤β}=[α,β],求 α 的取值范围. 7.设函数 f(x)=ax +bx+c(a>0) ,且 f(1)=﹣ . (1)求证:函数 f(x)有两个零点. (2)设 x1,x2 是函数 f(x)的两个零点,求|x1﹣x2|的范围. (3)求证:函数 f(x)的零点 x1,x2 至少有一个在区间(0,2)内.
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,其中 a>0.若函数 f(x)与 g(x)的图象有且只有一个交点,求 a

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2014 年 2 月 qt 的高中数学组卷
参考答案与试题解析
一.填空题(共 3 小题) 1. (2007?安徽) 在四面体 O﹣ABC 中, (用 a,b,c 表示) 考点: 空间向量的加减法;中点坐标公式. 专题: 计算题. 分析: 利用 D 为 BC 的中点,E 为 AD 的中点,
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, D 为 BC 的中点, E 为 AD 的中点, 则

=

= ( , +

+

) ,

= (

+

) ,化简可得结果.

解答:

解:在四面体 O﹣ABC 中, ∴ = ( + + )= + + . =

, + × (

,D 为 BC 的中点,E 为 AD 的中点, )= + ( + )= + + ,

故答案为:

点评: 本题考查向量中点公式的应用,以及两个向量的加减法的法则和几何意义.

2.已知函数 f(x)= 范围是 (﹣∞,4) . 考点: 专题: 分析: 解答:

,若存在 x1,x2∈R 且 x1≠x2,使得 f(x1)=f(x2)成立,则实数 a 的取值

函数单调性的性质. 计算题;函数的性质及应用. 由题意可得,在定义域内,f(x)不是单调的.考虑 x≤2 时,函数的单调性,即可求得结论. 解:依题意,即在定义域内,f(x)不是单调的. 分情况讨论:
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①x≤2 时,f(x)=﹣x +ax 不是单调的,对称轴为 x= ,则 <2,∴a<4 ②x>2 时,若 f(x)是单调的,此时 a≥4,此时,当 x>2 时 f(x)=ax﹣4 为单调递增,因此函数 f(x) 在 R 不单调,不满足条件. 综合得:a 的取值范围是(﹣∞,4) 故答案为: (﹣∞,4) 点评: 本题考查函数的单调性,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.

2

3.已知 D 为三角形 ABC 的边 BC 的中点,点 P 满足

,则实数 λ 的值为 ﹣2 .

考点: 平行向量与共线向量. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 将已知向量的等式变形,利用向量加法的平行四边形法则得到
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的关系,求出 λ

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www.jyeoo.com 解答: 解:∵ ∴ ∴ ∴ ∵



∴λ=﹣2 故答案为:﹣2 点评: 本题考查向量的运算法则:三角形法则、平行四边形法则. 二.解答题(共 4 小题) x 4.已知函数 f(x)=log2(4 +1)+kx(k∈R)是偶函数. (1)求 k 的值; (2)设函数 的取值范围. 考点: 函数与方程的综合运用;偶函数. 专题: 计算题. 分析: (1)由已知中函数 f(x)=log2(4x+1)+kx(k∈R)是偶函数.由偶函数的定义,构造一个关于 k 的方程, 解方程即可求出 k 的值;
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,其中 a>0.若函数 f(x)与 g(x)的图象有且只有一个交点,求 a

(2)函数 f(x)与 g(x)的图象有且只有一个交点,即方程 log2(4 +1)﹣x=

x





, +∞) 有且只有一解, 即方程



上只有一解, 利用换元法,

将方程转化为整式方程后,分类讨论后,即可得到 a 的取值范围.
x 解答: 解: (1)∵函数 f(x)=log2(4 +1)+kx(k∈R)是偶函数 ﹣x x ∴f(﹣x)=log2(4 +1)﹣kx=f(x)=log2(4 +1)+kx 恒成立 x x 即 log2(4 +1)﹣2x﹣kx=log2(4 +1)+kx 恒成立 解得 k=﹣1 (2)∵a>0

∴函数 即满足

的定义域为(

,+∞)

函数 f(x)与 g(x)的图象有且只有一个交点, ∴方程 log2(4 +1)﹣x=
x

在(

,+∞)有且只有一解

即:方程
x



上只有一解

令 2 =t,则

,因而等价于关于 t 的方程

(*)在

上只有一解

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www.jyeoo.com 当 a=1 时,解得 当 0<a<1 时,记 ∴函数 ∴方程(*)在 当 a>1 时,记 所以,只需 ,即 无解 ,其图象的对称轴 ,此恒成立 ,不合题意; ,其图象的对称轴 在(0,+∞)上递减,而 h(0)=﹣1

∴此时 a 的范围为 a>1 综上所述,所求 a 的取值范围为 a>1. 点评: 本题考查的知识点是函数与方程的综合运用,偶函数,其中根据偶函数的定义求出 k 值,进而得到函数 f (x)的解析式,是解答的关键. 5. (2010?静安区一模)已知函数 f(x)=x +(a+1)x+lg|a+2|(a∈R,且 a≠﹣2) . (1)写出一个奇函数 g(x)和一个偶函数 h(x) ,使 f(x)=g(x)+h(x) ; (2)对(1)中的 g(x) .命题 P:函数 f(x)在区间[(a+1) ,+∞)上是增函数;命题 Q:函数 g(x)是减函 数;如果命题 P、Q 有且仅有一个是真命题,求 a 的取值范围; (3)在(2)的条件下,求 f(2)的取值范围. 考点: 偶函数;函数单调性的性质;奇函数. 专题: 计算题. 2 分析: (1)由题意可得 h(x)=x +lg|a+2|; g(x)=(a+1)x.
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2

2

(2)由函数 f(x)在区间[(a+1) ,+∞)上是增函数得

2

,求出 a 的范围为集合 A,

由函数 g(x)是减函数得 a+1<0,求出 a 的范围为集合 B,则(A∩ )∪( ∩B)即为所求. (3)求出 f (2) ,由函数在
2 解答: 解: (1)由题意可得 h(x)=x +lg|a+2|; 2

上递增,可得 f (2)>f (﹣ g(x)=(a+1)x.

) ,从而得到所求.

(2)由二次函数 f(x) )=x +(a+1)x+lg|a+2|的图象是开口向上的抛物线,且的对称轴为 x= 在区间[(a+1) ,+∞)上是增函数,故有 由函数 g(x)是减函数得 a+1<0,解得 a<﹣1,a≠﹣2.
2



,解得

,因为 a≠﹣2.

当命题 P 真且命题 Q 假时,由

,解得 a≥﹣1.

当命题 P 假且命题 Q 真时,由

,即得﹣ <a<﹣1.

故当命题 P、Q 有且仅有一个是真命题,得 a 的取值范围是
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www.jyeoo.com . (3)f(2)=4+2a+2+lg|a+2|=6+2a+lg(a+2) ,因为在 所以, 上递增, ,即:f(2)∈(3﹣lg2,+∞) .

点评: 本题考查函数的奇偶性和单调性,不等式的解法,求两个集合的交集、并集和补集,准确运算是解题的难 点. 6. (2011?杭州一模)设函数 f(x)=x +(2a+1)x+a +3a(a∈R) . (I)若 f(x)在[0,2]上的最大值为 0,求 a 的值; (II)若 f(x)在闭区间[α,β]上单调,且{y|y=f(x) ,α≤x≤β}=[α,β],求 α 的取值范围. 考点: 一元二次方程的根的分布与系数的关系;二次函数的性质;二次函数在闭区间上的最值. 专题: 计算题. 分析: (Ⅰ)根据对称轴的位置,利用二次函数的单调性求出该二次函数在闭区间上的最大值,再由最大值为 0, 求出 a 的值.
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2

2

(Ⅱ) 若 f (x) 在[α, β]上递增, 则有 (1)

; (2)

, 即方程 f (x) =x 在



+∞)上有两个不相等的实根,由

求得 a 的取值范围.若 f(x)在[α,β]上递减,同

理求得 a 的取值范围.再把 a 的取值范围取并集,即得所求. 解答: 解: (Ⅰ) 当 ,即: 时, .

故 a=﹣6(舍去) ,或 a=﹣1; 当 ,即: 时, .

故 a=0(舍去)或 a=﹣3. 综上得:a 的取值为:a=﹣1 或 a=﹣3. (5 分) (Ⅱ) 若 f(x)在[α,β]上递增,则满足: (1) ; (2) ,

即方程 f(x)=x 在
2 2

,+∞)上有两个不相等的实根.
2 2

方程可化为 x +2ax+a +3a=0,设 g(x)=x +2ax+a +3a,



,解得:



(5 分)

若 f(x)在[α,β]上递减,则满足: (1) ; (2) .

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www.jyeoo.com 由 ﹣1. 即 β=﹣α﹣2a﹣2. ∴α +(2a+1)α+a +3a=﹣α﹣2a﹣2,即 α +(2a+2)α+a +5a+2=0. 2 2 同理:β +(2a+2)β+a +5a+2=0. 即方程 x +(2a+2)x+a +5a+2=0 在
2 2 2 2 2 2

得,两式相减得(α﹣β) (α+β)+(2a+1) (α﹣β)=β﹣α,即 α+β+2a+1=

上有两个不相等的实根.

设 h(x)=x +(2a+2)x+a +5a+2,则

2

2

,解得:



(5 分)

综上所述:



点评: 本题主要考查了一元二次方程的根的分布与系数的关系,二次函数的性质的应用,体现了分类讨论的数学 思想,属于中档题.
2

7.设函数 f(x)=ax +bx+c(a>0) ,且 f(1)=﹣ . (1)求证:函数 f(x)有两个零点. (2)设 x1,x2 是函数 f(x)的两个零点,求|x1﹣x2|的范围. (3)求证:函数 f(x)的零点 x1,x2 至少有一个在区间(0,2)内. 考点: 函数的零点与方程根的关系;函数零点的判定定理. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)由条件化简函数的解析式,求出函数的判别式,由判别式大于 0 恒成立得到函数 f(x)有两个零点.
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(2)设 x1,x2 是函数 f(x)的两个零点,则 x1,x2 是方程 f(x)=0 的两根,可求 x1+x2 及 x1?x2 的值, 将|x1﹣x2|变形,用 x1+x2 及 x1?x2 的值表示,配方求出最小值,由题意知,式子无最大值. (3)分 c>0 时和 c≤0 两种情况,判断函数值在区间端点处的函数值的符号,根据函数零点的判定定理 得出结论. 解答: 解: (1)证明:∵ ∴ , ,∴3a+2b+2c=0,∴ . =(2a+b) +2a ,
2 2

∵a>0,∴△>0 恒成立,故函数 f(x)有两个零点. (2)若 x1,x2 是函数 f(x)的两个零点,则 x1,x2 是方程 f(x)=0 的两根. ∴ .

∴ 故|x1﹣x2|的范围是[ ,+∞) . (3)根据 f(0)=c,f(2)=4a+2b+c,由(I)知 3a+2b+2c=0,∴f(2)=a﹣c. (i)当 c>0 时,有 f(0)>0,又∵a>0,∴ 零点,
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,故函数 f(x)在区间(0,1)内有一个

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www.jyeoo.com 故在区间(0,2)内至少有一个零点. (ii)当 c≤0 时,f(1)<0,f(0)=c≤0,f(2)=a﹣c>0,∴函数 f(x)在区间(1,2)内有一零点, 综合(i) (ii) ,可知函数 f(x)在区间(0,2)内至少有一个零点. 点评: 本题考查函数的零点与方程根的关系,函数的零点就是函数 f(x)=0 的根;零点的判定方法是,函数在区 间 端点的函数值异号,属于中档题.

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