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教案直线的倾斜角与斜率教案


3.1.1 直线的倾斜角与斜率教案
一、教学目标 (1)知识与技能:正确理解直线倾斜角和斜率的概念。理解直线倾 斜角的唯一性。理解直线斜率的存在性。斜率公式的推导过程,掌握 过两点的直线的斜率公式。 (2)过程与方法:经历用代数方法刻画直线斜率的过程,初步掌握 过已知两点的直线的斜率计算公式, 渗透几何问题代数化的解析几何 研究思想和数形结合思想。 (3)情感态度与价值

观:通过教学,使学生从生活中的坡度,自然 迁移到数学中直线的斜率,感受数学概念来源于实际生活,数学概念 的形成是自然的,从而渗透辩证唯物主义思想。 二、教学重点与难点 重点:直线倾斜角和斜率的概念以及过两点的直线的斜率公式。 难点:用代数方法推导斜率的过程。 三、教学方法 计算机辅助教学与发现法相结合。即在多媒体课件支持下,让学 生在教师引导下,积极探索,亲身经历概念的发现与形成过程,体验 公式的推导过程,主动建构自己的认知结构。 四、教学过程 (一)创设情境,揭示课题 问题 1、 (出示幻灯片)给出的两点相同吗?
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从形的角度看,它们有位置之分,但无大小与形状之分。 从数的角度看,如何区分两个点?(用坐标区分) 问题 2、过这两点可作什么图形?唯一吗?只经过其中一点可作多少 条直线?若只想定出其中的一条直线,除了再用一点外,还有其他方 法吗?可以增加一个什么样的几何量? 由此引导学生归纳,确定直线位置可有两种方式 (1)已知直线上两点 (2)已知直线上一点和直线的方向(倾斜角、倾斜程度) 问题 3、角的形成还需一条线,也就是说要有刻画倾斜程度的角,就 必须还有一条形成角的参照的直线。在平面直角坐标系下,以哪条轴 线为基准形成刻画倾斜程度的角?(学生可能回答 x 轴或 y 轴) 以 x 轴或 y 轴为基准都可以,习惯上我们用 x 轴。 选择哪个角来描述直线的倾斜程度, 就能保证坐标系下的任何一条直 线都有唯一的角与它对应呢? (教师引导学生选取不同的方向来描述角) 。 数学概念来刻画事物时,讲求统一美与简洁美,如何用数学语言 准确描述这个角呢?(揭示课题) 1、倾斜角的定义:在直角坐标系下,以 x 轴为基准,当直线 l 与 x 轴相交时, x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角 ? ,叫做直线 l 的 倾斜角。 教师引导学生练习画出过点 P 的各种倾斜角的直线。
y o

?

p

l
x

y o

l

y o p

y

?x
-2-

p

?

p x o

l x

l
(1) (2) (3) (4)

学生容易忽略与 x 轴平行的直线,补出图(4) ,问倾斜角在哪儿? 如何规定? 规定:当直线 l 与 x 轴平行或重合时,它的倾斜角为 0 ? 。自然有倾斜 角的范围是[0 ? ,180 ? ) 这样平面直角坐标系中每条直线都有唯一一个确定的倾斜角 ? 与它对应。倾斜程度相同的直线,其倾斜角相等,倾斜程度不同的直 线,其倾斜角不相等。 以上定义了一个从“形”的角度用倾斜角刻画平面直角坐标系内 一条直线的倾斜程度。 (二)巩固旧知,引入新知 生活中,我们都有过爬坡、爬梯的体验,对于斜坡的倾斜程度, 可以用什么量来反映?(坡角与坡度) 初中对坡度是如何定义的?
升高量 坡度(比)= 前进量

(即坡角 ? 的正切值)

当坡角 ? 增大时,坡度如何变化? 当坡角 ? =90 ? 与 0 ? 时, 升高量、 前进量分别是什么?坡度又分别 是什么? 坡角、坡度都能反映倾斜程度,迁移到数学中,坡角相当于直线 的倾斜角,而坡度则对应于直线的斜率。 2、斜率:倾斜角不是 90 ? 的直线,其倾斜角的正切值叫做这条
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直线的斜率。即 k ? tan?(? ? 90? ) 问题 4、当 ? 为钝角时,直线的斜率如何求?(转化到其补角 ? 上)
y

o?

?
x

? ? 180? ? ?(?是锐角) ? k ? tan? ? tan( 180? ? ?) ? ? tan?
如:倾斜角 ? ? 120 ,则斜率 k ? ? 3
?

问题 5、当 ? 在[0 ? ,180 ? )内变化时,斜率 k 如何变化?

y o

?

p

l
x

y p o

l

y o p

y

?x

?x

p

o

l x

l

0°<

?<

90°

?

= 90°

90°<

?

<180°

? = 0°
k=0

k >0

k不存在

k<0

问题 6、倾斜角与斜率都能刻画直线的倾斜程度,哪个量更优越呢? 倾斜角能从形的角度刻画倾斜程度, 而斜率是比值, 实质是数值, 它能从数的角度反映倾斜的程度,显然用斜率更细致入微些。 (三)尝试推导,深化认识 两点确定一条直线,可见由两点也就确定了直线的倾斜程度,即 倾斜角与斜率。 看来, 直线上两点与直线的斜率有着密不可分的联系。
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问题 7、在平面直角坐标系中,已知直线上两点 P1(x1,y1) ,P2(x2, y2)且 x1 ? x2,能否用 P1 、P2 的坐标来表示直线斜率 k? (学生活动) :随意在坐标系下画两点 P1 、P2 及直线 P1 P2,探究各种 图形并尝试推导,可以先特殊再一般,也可先一般再特殊地去分析。 教师可适当引导其将斜坡截面图迁移到坐标系中,类似升高量,前进 量, 用点的坐标表示线段长, 并请同学叙述各个图的推导过程与结果。
y P2(x2,y2)
Q (x2,y1)

y P2(x2,y2) P1(x1,y1) α Q (x2,y1) O y P1(x1,y1) P2(x2,y2) α x x

α

P1(x1,y1) O

x

y P1(x1,y1)
Q (x1,y2)

α

P2(x2,y2) O

x

Q (x1,y2)

O

解:设直线 P1 P2 倾斜角为 ? ( ? ? 90 ? )当直线 P1 P2 方向向上时,过 点 P1 作 x 轴的平行线,过点 P2 作 y 轴的平行线,两线交于点 Q,则点 Q 为(x2,y1) (1)当 ? 为锐角时, ? ? ?QP 1P 2 , x1 ? x 2 , y1 ? y 2 在 Rt?P1 P2 Q 中, tan? ? tan?QP1 P2 ?
QP2 P1Q ? y 2 ? y1 >0 x2 ? x1

(2)当 ? 为钝角时, ? ? 180? ? ? (设 ?QP , x1 ? x2 , y1 ? y 2 1P 2 =? )
180? ? ? ) ? ? tan? tan? = tan(
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在 Rt?P1 P2 Q 中, tan? ?
? tan? ?

QP2 QP 1

?

y 2 ? y1 y ? y1 ?? 2 x2 ? x1 x2 ? x1

y 2 ? y1 <0(可让学生分组推导) x2 ? x1

同 理 , 当 直 线 P2P1 方 向 向 上 时 , 无 论 ? 为 锐 角 或 钝 角 , 也 有
t an ??

y ?y y2 ? y1 ,即 k ? 2 1 x2 ? x1 x2 ? x1

思考:1、各种一般情形得出的结论一致吗?与 P1、P2 这两点坐标顺 序有关系吗? 2、当直线垂直于 x 轴或 y 轴时,上述结论适用吗? 3、斜率公式使用时应注意什么问题? (四)例题讲解、强化认知
例 1. 已知下列直线的倾斜角,求直线的斜率。 (1) α =45° (2) ? ? 30
0

(3) ? ? 120

0

(4)? ? 135

0

(5)? ? 150

0

例 2. 已知 A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1), 求直线 AB, BC, CA 的斜率, 并判断它们的倾 斜角是钝角还是锐角. 例 3. 在 平 面直 角 坐标系 中 , 画出 经 过原 点 且斜 率 分 别为 1 , -1 , 2 及 -3 的直 线 .

(五)巩固练习、内化知识
1. 如图,若图中直线 l1、l2、l3 的倾斜角和斜率分别是 ?1 , ? 2 , ? 3 和 k1、k2、k3 ,则( (A) (C) )

?1 ? ? 2 ? ? 3 , k3 ? k1 ? k 2
?1 ? ?3 ? ? 2 , k3 ? k2 ? k1

(B)

?1 ? ? 2 ? ? 3 , k2 ? k1 ? k3
(D)

?1 ? ?3 ? ? 2 , k1 ? k3 ? k2


2.若 A(3,-2) ,B(-9,4) ,C(x,0)三点共线,则 x 的值为( A .1 B.-1 C.0 D.7 3.若直线的斜率为 k ? ?

3 ,则倾斜角 ? ? 3

4.直线过点(2,2)和点 ( ?1,?1) ,直线倾斜角 ? = 5.已知直线斜率的绝对值等于 3 ,则直线的倾斜角为
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6.已知 A(x,-2),B(3,0), 且 k AB ?

1 ,求 x 的值。 2
(3)

7. 求经过下列两点直线的斜率,并判断其倾斜角是锐角还是钝角。 (1)C (18,8), D(4,?4) (2) P(0,0), Q(?1, 3)

A(1,2), B(0,2)

(六)反思小结,概括提炼(同学们这节课有何收获?) 1、明确了确定直线位置的几何要素。 2、理解了刻画倾斜程度的量(倾斜角与斜率) ,知道了求斜率的 两种方法(定义法、坐标法)

k ? tan ? ?

y ?y x ?x
2 2

1 1

3、 经历了代数方法刻画斜率的过程,感受了数形结合与分类讨论 的数学思想 (七)作业布置 (1)必做题:课本 89 页习题 3.1A 组 1、2、3、4

(2)选做题:课本 90 页习题 3.1B 组 5、6

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