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2013届高考数学一轮复习讲义:专题五 直线与圆锥曲线


一轮复习讲义

直线与圆锥曲线

要点梳理

忆一忆知识要点

1.直线与圆锥曲线的位置关系 (1)从几何角度看,可分为三类:无公共点,仅有一个公 共点及有两个相异的公共点. (2)从代数角度看, 可通过将表示直线的方程代入二次曲 线的方程消元后所得一元二次方程解的情况来判断.设 直线 l 的方程为 Ax+By+C=0,圆锥曲线方程 f(x,y) =0. ?Ax+By+C=0 ? 由? ,消元 ?f?x,y?=0 ? 如消去 y 后得 ax2+bx+c=0.

要点梳理

忆一忆知识要点

①若 a=0,当圆锥曲线是双曲线时,直线 l 与双曲线的渐近 线平行或重合;当圆锥曲线是抛物线时,直线 l 与抛物线的 对称轴平行(或重合). ②若 a≠0,设 Δ=b2-4ac. a.Δ > 0 时,直线和圆锥曲线相交于不同两点; b.Δ = 0 时,直线和圆锥曲线相切于一点; c.Δ < 0 时,直线和圆锥曲线没有公共点.

要点梳理

忆一忆知识要点

2.直线与圆锥曲线相交时的弦长问题 (1)斜率为 k 的直线与圆锥曲线交于两点 P1(x1,1), 2(x2, y P
1 1+k2|x1-x2| 或 P1P2= 1+k2· y2),则所得弦长 P1P2=
|y1-y2| .

(2)当斜率 k 不存在时,可求出交点坐标,直接运算(利 用轴上两点间距离公式). (3)求经过圆锥曲线的焦点的弦的长度, 应用圆锥曲线的 定义, 转化为两个焦半径之和, 往往比用弦长公式简捷.

要点梳理

忆一忆知识要点

3.圆锥曲线的中点弦问题 遇到中点弦问题常用 “韦达定理”或“点差法 ”求 x2 y2 解.在椭圆 2+ 2=1 中,以 P(x0,y0)为中点的弦所在直 a b b2x0 x2 y2 线的斜率 k=- 2 ;在双曲线 2- 2=1 中,以 P(x0, a y0 a b b2x0 y0)为中点的弦所在直线的斜率 k= 2 ;在抛物线 y2= a y0 2px (p>0)中,以 P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率 k p = . y0

[难点正本

疑点清源]

1.直线与圆锥曲线的位置关系 直线与圆锥曲线的位置关系,从几何角度可分为三类: 无公共点,仅有一个公共点及有两个相异公共点. 还可通过代数方法即解方程组的办法来研究.因为直线 与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题,实际上 是研究它们的方程组成的方程是否有实数解或实数解 的个数问题,此时要注意用好分类讨论和数形结合的思 想方法.

2.直线与圆锥曲线的位置关系,主要涉及弦长、弦中点、 对称、参数的取值范围、求曲线方程等问题.解题中要 充分重视韦达定理和判别式的应用. 当直线与圆锥曲线相交时:涉及弦长问题,常用“韦达 定理法”设而不求计算弦长(即应用弦长公式);涉及弦 长的中点问题,常用“点差法”设而不求,将弦所在直 线的斜率、弦的中点坐标联系起来,相互转化.同时还 应充分挖掘题目中的隐含条件,寻找量与量间的关系灵 活转化,往往就能事半功倍. 解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点,韦达定 理求弦长,根的分布找范围,曲线定义不能忘” .

直线与圆锥曲线的位置关系
例 1 已知定圆 A:(x+1)2+y2=16,圆心为 A,动圆 M 过 点 B(1,0)且和圆 A 相切,动圆的圆心 M 的轨迹记为 C. (1)求曲线 C 的方程; (2)若点 P(x0,y0)为曲线 C 上一点,求证:直线 l:3x0x +4y0y-12=0 与曲线 C 有且只有一个交点.
对于第(1)问,利用“定义法”易得轨迹 C 的方程;对于 第(2)问,在消元过程中,应对斜率存在与否进行讨论, 即对 y0 进行分类讨论.

(1)解

圆 A 的圆心为 A(-1,0),半径 r1=4,设动圆 M 的圆心

M 为(x,y),半径为 r2,依题意有 r2=MB.由 AB=2,可知点 B 在圆 A 内,从而圆 M 内切于圆 A,故 MA=r1-r2,即 MA+ MB=4,所以点 M 的轨迹是以 A,B 为焦点的椭圆,设椭圆方 x2 y2 程为 2+ 2=1,由 2a=4,2c=2,可得 a2=4,b2=3. a b
x2 y2 故曲线 C 的方程为 + =1. 4 3
x2 y2 0 0 (2)证明 当 y0=0 时,由 + =1,可得 x0=± 2. 4 3
①当 x0=2,y0=0 时,直线 l 的方程为 x=2,此时直线 l 与曲线 C 有且只有一个交点(2,0).

②当 x0=-2,y0=0 时,直线 l 的方程为 x=-2,此时直线 l 与曲线 C 有且只有一个交点(-2,0).

12-3x0x 当 y0≠0 时,直线 l 的方程为 y= , 4y0 ? 12-3x0x ?y= 4y0 , 联立方程组,得? 2 2 ?x +y =1. ?4 3
2 消去 y,得(4y2+3x0)x2-24x0x+48-16y2=0.(*) 0 0 x2 y2 0 0 由点 P(x0,y0)为曲线 C 上一点,得 + =1. 4 3

于是方程(*)可化简为 x2-2x0x+x2=0,解得 x=x0, 0 12-3x0x 把 x=x0 代入方程 y= ,可得 y=y0. 4y0

故直线 l 与曲线 C 有且只有一个交点 P(x0,y0).
综上,直线 l 与曲线 C 有且只有一个交点,且交点为 P(x0,y0).

探究提高
将直线与圆锥曲线的两个方程联立成方程组,然后判断方程 组是否有解,有几个解,这是直线与圆锥曲线的位置关系的 判断方法中最常用的方法,注意:在没有给出直线方程时, 要对是否有斜率不存在的直线的情况进行讨论,避免漏解.

变式训练 1
在平面直角坐标系 xOy 中, 经过点(0, 2)且斜率为 k 的直线 x2 2 l 与椭圆 +y =1 有两个不同的交点 P 和 Q. 2 (1)求 k 的取值范围; (2)设椭圆与 x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为 A、B,是 → → → 否存在常数 k,使得向量OP+OQ与AB垂直?如果存在,求 k 值;如果不存在,请说明理由.
解 (1)由已知条件,直线 l 的方程为 y=kx+ 2, x2 代入椭圆方程得 +(kx+ 2)2=1, 2 ?1 ? 2 2 整理得?2+k ?x +2 2kx+1=0. ? ?



直线 l 与椭圆有两个不同的交点 P 和 Q 等价于①中 ?1 ? 2 2 Δ=8k -4?2+k ?=4k2-2>0, ? ? 2 2 解得 k<- 或 k> . 2 2 ? ? 2? ? 2 ? ? ? 即 k 的取值范围为?-∞,- ?∪? ,+∞?. ? 2? ?2 ? ?
(2)设 P(x1,y1),Q(x2,y2), → → 则OP+OQ=(x1+x2,y1+y2) 4 2k 由方程①得,x1+x2=- , 1+2k2 -4 2k2 y1+y2=k(x1+x2)+2 2= 2 +2 2. 1+2k

→ → → ∵(OP+OQ)⊥AB,∴(x1+x2)· 2)+y1+y2=0, (- 4 2k 4 2k2 即:- · 2)- (- +2 2=0. 1+2k2 1+2k2
2 2 1 解得:k=- ,由(1)知 k > ,与此相矛盾, 4 2 → → → 所以不存在常数 k 使OP+OQ与AB垂直.

圆锥曲线中的弦长问题
例 2 设点
? 3? F?0,2?,动圆 ? ?

3 P 经过点 F 且和直线 y=- 相切, 2

记动圆的圆心 P 的轨迹为曲线 W. (1)求曲线 W 的方程; (2)过点 F 作互相垂直的直线 l1,l2 分别交曲线 W 于 A, B 和 C,D.求四边形 ACBD 面积的最小值. 3 解 (1)过点 P 作 PN 垂直于直线 y=- 于点 N, 依题意得 PF 2 ? 3? 3 ?0, ?为焦点, =PN, 所以动点 P 的轨迹是以 F 直线 y=- 为 2? 2 ?
准线的抛物线,即曲线 W 的方程是 x2=6y.

(2)如图所示,依题意,直线 l1,l2 的斜率存 3 在且不为 0,设直线 l1 的方程为 y=kx+ , 2 由 l1⊥l2 1 3 得 l2 的方程为 y=-kx+ . 2 3 将 y=kx+ 代入 x2=6y,化简得 x2-6kx-9=0, 2
设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=6k,x1x2=-9, ∴AB= ?x1-x2?2+?y1-y2?2 = ?1+k2?[?x1+x2?2-4x1x2]=6(k2+1).

同理可得

?1 ? CD=6?k2+1?, ? ?

1 ∴四边形 ACBD 的面积 S= AB· CD 2 ?1 ? ? ? 1 2 2 =18(k +1)?k2+1?=18?k +k2+2?≥72. ? ? ? ?
1 当且仅当 k = 2,即 k=± 时,Smin=72, 1 k
2

故四边形 ACBD 面积的最小值是 72.

探究提高
由直线与圆锥曲线的方程联立解方程组是解决这类问题的通 法,而相关的最值的讨论求解往往需要建立目标函数,进一 步转化为函数法或不等式法来求解.

变式训练 2
y2 x2 设 A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆 2+ 2=1 (a>b>0)上的两点, a b ?x1 y1? ?x2 y2 ? 已知向量 m=? b , a ?,n=? b , a ?,若 m· n=0 且椭圆的离 ? ? ? ? 3 心率 e= ,短轴长为 2,O 为坐标原点. 2 (1)求椭圆的方程; (2)若直线 AB 的斜率存在且直线 AB 过椭圆的焦点 F(0, c)(c 为半焦距),求直线 AB 的斜率 k 的值; (3)试问:△AOB 的面积是否为定值?如果是,请给予证明; 如果不是,请说明理由.



(1)由题意知 2b=2,b=1, a2-b2 c 3 e=a= a = ,则 a=2,c= 3. 2

y2 2 故椭圆的方程为 +x =1. 4
(2)由题意,设直线 AB 的方程为 y=kx+ 3, ?y=kx+ 3 ? 2 由?y ,得(k2+4)x2+2 3kx-1=0, 2 ? 4 +x =1 ? -2 3k -1 ∴x1+x2= 2 ,x1x2= 2 . k +4 k +4

x1x2 y1y2 由 m· n=0,得: 2 + 2 b a 1 =x1x2+ (kx1+ 3)(kx2+ 3) 4 ? k2? 3k 3 ?1+ ?x1x2+ = (x +x2)+ 4? 4 1 4 ? 1 ? k2+4? 3k -2 3k 3 ? ? = ?-k2+4?+ 4 ·k2+4 +4=0, 4 ? ? 解得 k=± 2. (3)①当直线 AB 的斜率不存在时,
即 x1=x2,y1=-y2, y2 1 由 m· n=0,得 x2- =0,即 y2=4x2, 1 1 1 4 y2 1 又 A(x1,y1)在椭圆上,所以 x2+ =1, 1 4 2 所以|x1|= ,|y1|= 2, 2

1 所以 S△AOB= |x1|· 1-y2|=|x1|· 1|=1, |y |y 2 所以△AOB 的面积为定值.
②当直线 AB 的斜率存在时: 设直线 AB 的方程为 y=kx+b, ?y=kx+b ? 2 由?y ,得(k2+4)x2+2kbx+b2-4=0, 2 ? 4 +x =1 ? -2kb b2-4 则 x1+x2= 2 ,x1x2= 2 , k +4 k +4 ?kx1+b??kx2+b? y1y2 由 x1x2+ =0,得 x1x2+ =0, 4 4
整理得:2b2-k2=4,

1 |b| 所以 S△AOB= · · AB 2 1+k2 1 = |b| ?x1+x2?2-4x1x2 2 |b| 4k2-4b2+16 4b2 = = =1, 2|b| k2+4
所以△AOB 的面积为定值.

圆锥曲线中的定值或定点 问题
例 3 已知定点 C(-1,0)及椭圆 x2+3y2=5,过点 C 的动直 线与椭圆相交于 A,B 两点,在 x 轴上是否存在点 M,使 → → MA· 为常数?若存在,求出点 M 的坐标;若不存在, MB 请说明理由.

分斜率存在和不存在两种情况讨论,假设存在,那么数量积 → → MA· 应该与直线的方向无关. MB → → 解 假设在 x 轴上存在点 M(m,0), 使MA· 为常数. A(x1, MB 设
y1),B(x2,y2).

①当直线 AB 与 x 轴不垂直时,直线 AB 的斜率存在,设直 线 AB 的方程为 y=k(x+1),将 y=k(x+1)代入 x2+3y2=5,
消去 y 整理,得(3k2+1)x2+6k2x+3k2-5=0. ?Δ=36k4-4?3k2+1??3k2-5?>0, ? 6k2 ?x1+x2=- 2 , 3k +1 则? ? 3k2-5 ?x1·2= 2 x . 3k +1 ? → → 所以MA· =(x1-m)(x2-m)+y1y2=(x1-m)(x2-m)+k2(x1 MB +1)(x2+1)=(k2+1)x1x2+(k2-m)(x1+x2)+k2+m2.

→ → ?6m-1?k -5 整理,得MA· = MB +m2 2 3k +1 ? 1? 2 14 ?2m- ??3k +1?-2m- 3? 3 ? = +m2 3k2+1 1 6m+14 2 =m +2m- - . 3 3?3k2+1? → → 注意到MA· 是与 k 无关的常数,从而有 6m+14=0, MB 7 → → 4 m=- ,此时MA· = . MB 3 9 ②当直线 AB 与 x 轴垂直时,此时点 A,B 的坐标分别为 ? ? 2? 2? ? ? ? A?-1, ?、B?-1,- ?, 3? 3? ? ? ? 7 → → 4 当 m=- 时,亦有MA· = . MB 3 9 ? 7 ? → → ?- ,0?,使MA· 为常数. 综上,在 x 轴上存在定点 M 3 MB ? ?
2

探究提高
→ → 本题的难点是由MA· 的表达式,如何确定 m 值使其与直 MB 线的斜率无关,化解的方法就是对 k 进行集项,只有当 k 的 1 2 系数等于零时,式子的值才能与 k 无关,即在 m +2m- - 3 6m+14 中 6m+14=0.本题当然也可以先通过特殊位置确 3?3k2+1? 定数量积的值和 M 的坐标,再进行具体证明.

变式训练 3
椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,该椭圆经过点 ? 3? 1 ?1, ?且离心率为 . P 2? 2 ? (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若直线 l:y=kx+m 与椭圆 C 相交于 A,B 两点(A,B 不 是左右顶点), 且以 AB 为直径的圆过椭圆 C 的右顶点, 求证: 直线 l 过定点,并求出该定点的坐标. x2 y2 (1)解 设椭圆方程为 2+ 2=1 (a>b>0), a b c 1 由 e=a= ,得 a=2c, 2

∵a2=b2+c2,∴b2=3c2, x2 y2 则椭圆方程变为 2+ 2=1. 4c 3c
又椭圆过点
? 3? P?1,2?,将其代入求得 c2=1, ? ?

故 a2=4,b2=3,

x2 y2 即得椭圆的标准方程为 + =1. 4 3
(2)证明 设 A(x1,y1),B(x2,y2), ?y=kx+m, ? 2 2 联立?x y ? 4 + 3 =1, ? 得(3+4k2)x2+8mkx+4(m2-3)=0.

?Δ=64m2k2-16?3+4k2??m2-3?>0, ? ?x1+x2=- 8mk 2, 3+4k 则? ? 4?m2-3? ?x1·2= x 2 . 3+4k ?



又 y1y2 = (kx1 + m)(kx2 + m) = k2x1x2 + mk(x1 + x2) + m2 = 3?m2-4k2? . 3+4k2 ∵椭圆的右顶点为 A2(2,0),AA2⊥BA2,
∴(x1-2)(x2-2)+y1y2=0, ∴y1y2+x1x2-2(x1+x2)+4=0, 3?m2-4k2? 4?m2-3? 16mk ∴ + + +4=0, 3+4k2 3+4k2 3+4k2
2k ∴7m +16mk+4k =0,解得 m1=-2k,m2=- , 7
2 2

由①,得 3+4k2-m2>0,
当 m1=-2k 时,l 的方程为 y=k(x-2),直线过定点(2,0), 与已知矛盾.
? ?2 ? 2? 2k 当 m2=- 时,l 的方程为 y=k?x-7?,直线过定点?7,0?, 7 ? ? ? ? ?2 ? ∴直线 l 过定点,定点坐标为?7,0?. ? ?

圆锥曲线中的最值(或取 值范围)问题
x2 2 例 4 已知椭圆 +y =1 的左焦点为 F,O 为坐标原点. 2 (1)求过点 O、F,并且与直线 l:x=-2 相切的圆的 方程; (2)设过点 F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于 A,B 两 点,线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 G,求点 G 横 坐标的取值范围.
(1)求出圆心和半径,得出圆的标准方程; (2)设直线 AB 的点斜式方程, 由已知得出线段 AB 的垂直平分 线方程,利用求值域的方法求解.

(1)∵a2=2,b2=1,∴c=1,F(-1,0), 1 ∵圆过点 O,F,∴圆心 M 在直线 x=- 上. 2 ? 1 ? ?? 1? ? 3 设 M?-2,t?,则圆半径 r=??-2?-?-2??= , ? ? ?? ? ? 2 ? 1? 3 ?- ?2+t2= ,解得 t=± 2, 由 OM=r,得 2 ? 2? ? 1?2 9 ?x+ ? +(y± 2)2= . ∴所求圆的方程为 2? 4 ? 解
(2)设直线 AB 的方程为 y=k(x+1) (k≠0), x2 2 代入 +y =1, 2 整理得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0.

∵直线 AB 过椭圆的左焦点 F 且不垂直于 x 轴, ∴方程有两个不等实根.
记 A(x1,y1),B(x2,y2),AB 中点 N(x0,y0), 4k2 1 2k2 则 x1+x2=- 2 ,x0= (x1+x2)=- 2 , 2 2k +1 2k +1 k y0=k(x0+1)= 2 , 2k +1 ∴AB 的垂直平分线 NG 的方程为 1 y-y0=-k(x-x0). 2k2 k2 令 y=0,得 xG=x0+ky0=- 2 + 2k +1 2k2+1 k2 1 1 =- 2 =- + 2 , 2 4k +2 2k +1

1 ∵k≠0,∴- <xG<0, 2 ∴点 G
? 1 ? 横坐标的取值范围为?-2,0?. ? ?

探究提高
直线与圆锥曲线位置关系的判断、有关圆锥曲线弦的问题等 能很好地渗透对函数方程思想和数形结合思想的考查,一直 是高考考查的重点,特别是焦点弦和中点弦等问题,涉及中 点公式、根与系数的关系以及设而不求、整体代入的技巧和 方法,也是考查数学思想方法的热点题型.

变式训练 4

x2 y2 已知椭圆 C:2+ 2=1 (a>b>0)与直线 x+y-1=0 相交于 A, a b B 两点. (1)当椭圆的半焦距 c=1,且 a2,b2,c2 成等差数列时,求椭 圆的方程; (2)在(1)的条件下,求弦 AB 的长度; 3 2 (3)当椭圆的离心率 e 满足 ≤e≤ ,且以 AB 为直径的圆 3 2 经过坐标原点 O,求椭圆长轴长的取值范围.
解 (1)由已知,得 2b2=a2+c2=b2+2c2,

又因为 c=1,所以 b2=2,a2=3,

x2 y2 ∴椭圆的方程为 + =1. 3 2 (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2), ?x+y-1=0, ? 2 2 由?x y 得 5x2-6x-3=0, ? 3 + 2 =1. ? 6 3 ∴x1+x2= ,x1·2=- . x 5 5
∴AB= 2|x1-x2| 8 3 = 2· ?x1+x2? -4x1·2= x . 5 ?x+y-1=0, ? 2 2 (3)由?x y ?a2+b2=1. ?
2

得(a2+b2)x2-2a2x+a2(1-b2)=0,

由 Δ=4a2b2(a2+b2-1)>0,得 a2+b2>1. a2?1-b2? 2a2 此时 x1+x2= 2 2,x1·2= 2 2 , x a +b a +b ∵以 AB 为直径的圆经过坐标原点 O, → → ∴OA· =0,∴x1x2+y1y2=0, OB
∴2x1x2-(x1+x2)+1=0,即 a2+b2-2a2b2=0, 2 2 a2 c2 a -b 故 b2= 2 ,由 e2= 2= 2 , a a 2a -1 1 2 2 2 2 2 得 b =a -a e ,∴2a =1+ . 1-e2 3 2 5 2 3 由 ≤e≤ ,得 ≤a ≤ , 5≤2a≤ 6. 3 2 4 2

思想与方法
圆锥曲线中的函数思想
x2 y2 (14 分)已知椭圆 + =1 上的两个动点 P,Q,设 P(x1,y1), 4 2 Q(x2,y2)且 x1+x2=2. (1)求证:线段 PQ 的垂直平分线经过一个定点 A; (2)设点 A 关于原点 O 的对称点是 B,求 PB 的最小值及相应 的 P 点坐标.

审题视角
(1)引入参数 PQ 中点的纵坐标,先求 kPQ,利用直线 PQ 的方 程求解.(2)建立 PB 关于动点坐标的目标函数,利用函数的性 质求最值.

规范解答 (1)证明 ∵P(x1,y1),Q(x2,y2),
y1-y2 1 x1+x2 ,得 =- · . 2 y1+y2 x1-x2

且 x1+x2=2.

?x2+2y2=4 ? 1 1 ? 2 x1≠x2 时,由 ?x2+2y2=4 ? 2

y1-y2 1 设线段 PQ 的中点 N(1,n),∴kPQ= =- ,[4 分] 2n x1-x2 ∴线段 PQ 的垂直平分线方程为 y-n=2n(x-1),
∴(2x-1)n-y=0, 1 该直线恒过一个定点 A( ,0). [8 分] 2 1 当 x1=x2 时,线段 PQ 的中垂线也过定点 A( ,0). 2 1 综上,线段 PQ 的垂直平分线恒过定点 A( ,0). [10 分] 2

由于点 B 与点 A 关于原点 O 对称, 1 故点 B(- ,0). [11 分] 2 ∵-2≤x1≤2,-2≤x2≤2,∴x1=2-x2∈[0,2], 12 2 1 7 9 2 2 PB =(x1+ ) +y1= (x1+1) + ≥ , [13 分] 2 2 4 4 3 ∴当点 P 的坐标为(0,± 2)时,PBmin= . [14 分] 2 (2)解

批阅笔记

(1)本题是圆锥曲线中的综合问题,涉及到了定点问题以及最 (1)本题是圆锥曲线中的综合问题,涉及到了定点问题以及最 值问题. 求圆锥曲线的最值问题是高考考查的一个重要问题, 值问题. 求圆锥曲线的最值问题是高考考查的一个重要问题, 通常是先建立一个目标函数,然后利用函数的单调性、函数 通常是先建立一个目标函数,然后利用函数的单调性、函数 的图象、函数的有界性或重要不等式等求最值,本题是建立 的图象、函数的有界性或重要不等式等求最值,本题是建立 二次函数、利用二次函数的图象求最值. 二次函数、利用二次函数的图象求最值.PQ 的中垂线方程, (2)本题的第一个易错点是, 表达不出线段 (2)本题的第一个易错点是, 表达不出线段 PQ 的中垂线方程, 原因是想不到引入参数表示 PQ 的中点.第二个易错点是, 原因是想不到引入参数表示 PQ 的中点.第二个易错点是, 易忽视 P 点坐标的取值范围.实质上是忽视了椭圆的范围. 易忽视 P 点坐标的取值范围.实质上是忽视了椭圆的范围.

方法与技巧
1.解决直线与椭圆的位置关系问题,如果直线与椭圆有两 个不同交点,①若根据已知条件能求出两交点的坐标, 这不失为一种彻底有效的方法;②若两交点的坐标不好 x2 y2 表示,可将直线方程 y=kx+c 代入椭圆方程 2+ 2=1 a b 整理出关于 x(或 y)的一元二次方程 Ax2+Bx+C=0,Δ =B2-4AC >0,可利用根与系数之间的关系求弦长(弦长 2 Δ 为 1+k ); |A|

方法与技巧
2.弦的中点问题,以及交点与原点连线的垂直等问题.①求弦 长可注意弦是否过椭圆焦点;②弦的中点问题还可利用“点 → 差法”和“对称法”;③解决 AO⊥BO,可以利用向量AO → → → ⊥BO的充要条件即AO· =0. BO

失误与防范
在解决直线与抛物线的位置关系时,要特别注意直线与抛物 线的对称轴平行的特殊情况.


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