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等比数列的前n项和教案跟学案


第四届学生教学技能竞赛教学设计

学 班

院: 级:

数学与计算机科学学院 数计(1)班 均值不等式 高中理科组 刘恺 李红 孟天碧 简浩淼 张明雪

课程名称: 参赛组别: 参赛组员:

贵州师范大学教务处制 2013 年 5 月 18 日

目录 1.教案………………………………………………….1~8 页 2.学案………………………………………………….8~11 页 3.选用教材封面复印件 ……………………………..12 页

【教案】等比数列的前 n 项和
一、教材分析
● 教学内容 《等比数列的前 n 项和》是选自人教版的普通高中课程标准实验教科书数学 第一册(上)第三章《数列》第五节的内容,教学大纲安排本节内容授课时间 为两课时,本节课作为第一课时,重在研究等比数列的前 n 项和公式的推导过 程及公式的简单应用。 ● 地位与作用 《等比数列的前 n 项和》是数列这一章中的一个重要内容,从教材的编写顺 序上来看,等比数列的前 n 项和是第三章“数列”第五节的内容,一方面它是 “等差数列的前 n 项和”与“等比数列”内容的延续、与前面学习的函数等知 识也有着密切的联系,另一方面它又为进一步学习“数列的极限”等内容作准 备。就知识的应用价值上来看,它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用,如 储蓄、分期付款的有关计算等等,而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、 分类讨论、整体变换和方程等思想方法,都是学生今后学习和工作中必备的数 学素养。就内容的人文价值上来看,等比数列的前 n 项和公式的探究与推导需 要学生观察、分析、归纳、猜想,有助于培养学生的创新思维和探索精神,是培 养学生应用意识和数学能力的良好载体,是学生以后学习工作中必备的数学素 养。 二、学情分析 ● 认知方面 学生已掌握等差数列和等比数列的通项和定义求及等差数列的前 n 项求和 公式等内容,很容易与等差数列的前 n 项求和公式的推导和特点类比, 这是认知 本节知识的有利因素。不利因素是本节等比数列求和公式的推导过程及所用到 的方法与等差数列求和公式的方法和过程有所不同,这对之前学生的定势思维 是一个突破。另外,对于 q ? 1 这一特殊情况,学生也往往容易忽略,尤其是在
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后面使用的过程中容易出错。 ● 认知水平与能力 高二学生已经初步具有解决问题和合作探究的能力,能在教师的引导下独 立 和合作地解决一些问题, 但在对知识的思维严密性和整合能力还需要加强。 ●感情方面 本节课的教学设计面对普通班学生,学生的学习兴趣差异较大,学生对数 学学习的信心也不同。 三、教学目标 基于以上分析, 按照 《教学大纲》 的要求以及学生的学情确定一下教学目标: ● 知识与技能 学会用错位相减法推导等比数列前 n 项和公式,掌握公式的特点,熟练运 用公式解决简单的等比数列求和问题。 ● 过程与方法 提高学生的建模意识及探究问题、分析问题与解决问题的能力,在公式推 导过程中渗透类比与转化、分类讨论、从特殊到一般的思想。培养学生抽象、 概括、逆向思维等逻辑思维能力,培养学生良好学习习惯和优化学生数学思维 的深刻性和广阔性等思维品质。 ● 情感、态度、价值观 通过对公式的推导和探索,激发学生的求知欲,给学生带来自信和成就感, 建立学生对数学学习的信心,并感受公式的简洁美和严谨美。 四、教学重点、难点 ● 重点:等比数列前 n 项和公式及其推导方法及公式的简单应用。 【突破重点方法】:课程围绕公式的推导、运用来教学。利用从特殊到一 般的方法得出等比数列前 n 项和公式。 ● 难点:错位相减法和分类讨论思想。 【难点突破方法】:情景创设激发学生兴趣,通过类比等差数列前 n 项和 公式转化得出错位相减法。 引导学生分类讨论。 五、教学方法与手段 本课采用探究式课堂学习模式,即在教学过程中,运用“小组合作”组织
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学生探究、发现与交流,以学生独立自主和合作交流为前提,老师进行启发引 导,为学生提供讨论、探究、表达问题的机会,在合作中增加知识,在探索中 创新。利用多媒体辅助教学,通过生动直观的情景引入激发学生学习兴趣。设 计思路如下: 创 设 情 境 提 出 问题 (3 min) 问 题 解决 感 知 方法 (6 min) 合 作 探 索 公 式 推导 (5 min) 合 作 探索 拓 展 思维 (10 min) 例 题 精 讲 巩 固 提高 (15 min) 总 结 归 纳 加 深 理解 (4 min) 分 层 作 业 强 化 知识 (2 min)

六、教学过程分析 教学过程 教学 环节 教师 学生 设计 活动 活动 意图 【情境引入】 (多媒体展示) 介 绍 学 生 情境引入,激 历 史 观 看 发了学生的 宰相西萨曾发明了象棋,国王十分高 故事 动 画 学习兴趣。 兴,决定重重的奖赏他。国王说; “无 并 思 论 你 说 出什 么要 求 ,我 都 想 法满 足 给 出 考 问 你。 ”他回答说; “我想请您在有 64 个 明 确 题 格子的棋盘的第 1 个给我 1 粒麦子, 的 情 在第 2 个格子上赐给我 2 粒,第 3 个 景 问 培养学生用数 格子上赐给我 4 粒,第 4 个格子上赐 题。 学的眼光观察 给我 8 粒,第 5 格 16 粒....照这样, 生活中的问 每一格是前面一格的 2 倍,赐给我满 64 题。 格的麦子 ,臣就心满意足了。 ”那么西 培养数学化的 萨一共可以得多少麦子呢? 素养。 【探究】 教 学 内 容 如何求和

( 一 ) 创 设 情 境 提 出 问 题

1 ? 2 ? 22 ? 23 ? ? ? 262 ? 263

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情景问题求解:

S64 ? 1 ? 2 ? 2 2 ? 2 3 ? ? ? 2 62 ? 2 63
【启发学生】 (1)这个式子各项之间有何特 点? (2)等式两边同时乘以 2,有何发 现? 错位相减法
2 62 63 ? ?S64 ? 1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2 ? 2 3 63 64 ? ?2S64 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2

(1 ? 2)S64 ? 1 ? 264

(1 ? 264 ) S64 ? ? 264 ? 1 ? 1.84?1019 1? 2
( 二 ) 问 题 解 决 感 知 方 法
而这么多粒小麦, 大约 7000 亿吨, 用这么多小麦能从地球到太阳铺设一 条宽 10 米、厚 8 米的大道,大约是全 世界一年粮食产量的 459 倍,显然国 王兑现不了他的承诺。

引 导 学 生 回 忆 等 差 数 列 求 和 的 倒 序 相 加 法 等,剖 析 公 差d其 本 质 特征. 能 否 类 比 转化, 发 现 等 比 数 列 公 比 的 本 质 特 征。从 而 解 决 问 题。

学 生 思考, 解 决 问题, 感 受 西 萨 所 要 小 麦 数量。

解 情 景 问题,学生通 过感受西萨 得到的小麦 数目的巨大, 感受数学的 奇妙无穷。激 发学生学习 兴趣。由简单 特殊的例子 给出求等比 数列前 n 项和 的方法。为错 位相减法做 铺垫。 思考题起过渡 作用,为将此 错位相减法推 广到一般等比 数列做铺垫。

培养学生类比 思想、转化思 想。

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引 导 学 生 观 察 数 学 表 达 式 的 (小组合作) 特征, 一般等比数列前 n 项和: S ? a ? a ? a ? ?? a ? a ? ? 学 生
n 1 2 3 n?1 n

培养学生发 现问题、分析 问题、解决问 题的能力。通 过分类讨论, 培养学生严 谨的思维方 式。从特殊到 一般的思想。



通 过
2 n?2 n?1

( 三 ) 合 作 探 索 公 式 推 导

前 面 根 据 老 师 【启发学生】 的 解 的 引 (1) 这个式子各项之间有何特 点? 决 方 导 发 现 等 (2)等式两边同时乘以 q,有何发 法 推 式 特 现? 错位相减法 广 到 点,据 此 观 2 n ?2 n ?1 ? ?S n ? a1 ? a1q ? a1q ? ? ? a1q ? a1q 一 般 察 探 ? 2 3 n ?1 n 等 比 究 获 ? ?qSn ? a1q ? a1q ? a1q ? ? ? a1q ? a1q 得 公 n 数 列 a (1 ? q ) 式, ? (1 ? q)Sn ? a1 ? a1q n ? 1 求和。 学生 1? q 对q能 这里的 q 能不能等于 1? 教 师 否等 在等比数列中的公比能不能为 1 ?公 强 调 于1讨 比为 1 时是什么数列?此时 Sn=? 论 ? a1 (1 ? q n ) “ 错

Sn ? a1 ? a1q ? a1q ? ? ? a1q ? a1q ? ?

? ? Sn ? ? 1 ? q ? na ? ? 1

q ?1

位 相 减 法” 。 启发、 引 导 发现 这 里 的q能 不 能 等 于 1?
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教师引导,学 生主体,小组 合作为学生 提供一个主 动思考、探 究、讨论的氛 围。

q ?1

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探究等比数列前 n 项和公式,还有其 它方法吗? 方法一:利用合比性质:
a a a2 a ? 3 ? 4 ?? n ? q a1 a2 a3 a n?1

根据等比数列的定义又有

a2 a3 a4 an = = = ?= = q ,故 a1 a2 a3 an-1

a 2 ? a3 ? ? ? ? ? a n
( 四 ) 合 作 探 究 拓 展 思 维

a1 ? a 2 ? ? ? ? ? a n?1

?q?

S n ? a1 S n ? an
a1 (1 ? q n ) 1? q

? (1 ? q)S n ? a1 ? a1q n ?

方法二:提取公比 q 我们知道,

Sn = a1 + a1q + a1q 2 + ? + a1q n-1 = a1 + q(a1 + a1q + ? + a1q n-2 )
那么我们能否利用这个关系而求出 Sn 呢?:

通过另外两 种方法的推 导,促进学生 的思维发展, 教 师 小 组 培养学生良 适 当 合 作 好学习习惯 和优化学生 引导。 探究, 数学思维的 深刻性和广 阔性等思维 品质

S n ? a1 ? a1q ? a1q 2 ? ?a1q n?2 ? a1q n?1
? a1 ? q(a1 ? a1q ? ?a1q n?2)
? a1 ? q(S n ? a1q n?1)
? (1 ? q)S n ? a1 ? a1q n
? (1 ? q)S n ? a1 ? a1q n ? a1 (1 ? q n ) 1? q

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教 师 适 度 引导, 【例题精讲】 巡 视 学 生 课 堂 做 题 采用变式教 学设计题组, 深化学生对 公式的认识 和理解, 通过 直接套用公 式、 变式运用 公式, 促进学 生新的数学 认知结构的 形成. 通过以 上形式, 让全 体学生都参 与教学, 以此 培养学生的 参与意识和 竞争意识.

( 五 ) 例 题 精 讲 巩 固 提 高

1 1 1 1 , , , ,? 求 等 比 数 列 做 个 练习 2 4 8 16
的 (1) 前 8 项和. (2) 第 5 项到第 10 项的和. 63 (3) 前多少项和是 . 64 (4) 前 n 项和. 别 指

导,请 选 用 个 别 公式 学 生 变 用 上 台 公式 讲 解 后 点 评 总 结

【问题】

教 学 提 问 学生, 培养学生归 待 学 学 生 纳概括能力, 进一步总结 生 回 思 考 知识,整合知 识。 答 完 总结 毕,点

( 六 ) 总 结 归 纳 加 深 理 解

你学到了什么? 1、 等比数列前 n 项和公式

? a1 (1 ? q n ) ? ? Sn ? ? 1 ? q ? na ? ? 1
2、 3、

q ?1 q ?1

错位相减法、提取公比法、合 评 总 比性质法 结 分类讨论思想、类比思想

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必做题有助于 【巩固作业】(必做题) 学生课后巩固 提高所学知 识,选做题注 意分层教学和 教 师 解 释 【趣味作业】(选做题): 2、“远望巍巍塔七层,红光点点倍加 增,共灯三百八十一,请问尖头几盏 灯?” 问题 学 生 思考 因材施教。 而巩固作业和 趣味作业两种 设计体现了不 同的人在数学 上得到不同的 发展的新课标 教学理念。 七、板书设计 等比数列的前 n 项和 一、情境问题解决 二、公式推导 四、其它公式推导方法

( 七 ) 分 层 作 业 强 化 知 识

1、课本 P143 习题 3.5 第 1、2、3、5 题

三、公式

五、小结

八、教学反思 (待授课后写)

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【学案】等比数列的前 n 项和

一、课前预习导学
【三维目标 】 ? 知识与技能: 理解等比数列的前 n 项和公式的推导方法; 掌握等比数列的前 n 项和公式并能运用公式解决一些简单问题; ? 过程与方法: 提高学生的建模意识, 体会公式探求过程中从特殊到一般的思 维方法,渗透分类讨论思想及类比思想; ? 情感态度与价值观:培养学生用数学眼光看生活的思维品质。 【教学重点】 :等比数列前 n 项和公式的理解、推导及应用. 【教学难点】 :错位相减法、分类讨论.

二、课堂自主导学 【复习回顾】 等差数列 定义 通项公式 等比数列

Sn

【情景创设】 宰相西萨曾发明了象棋,国王十分高兴,决定重重的奖赏他。 国王说; “无论你说出什么要求,我都想法满足你。 ”他回答说; “我 想请您在有 64 个格子的棋盘的第 1 个给我 1 粒麦子,在第 2 个格子 上赐给我 2 粒,第 3 个格子上赐给我 4 粒,第 4 个格子上赐给我 8 粒, 第 5 格 16 粒....照这样,每一格是前面一格的 2 倍,赐给我满 64 格的麦子,臣就心满意足了。 ”
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想一想:那么西萨一共可以得多少麦子呢? 1. S 64 ? 1 ? 2 ? 2 2 ? 2 3 ? ? ? 2 62 ? 2 63 ? ? 2. S n ? 1 ? 2 ? 2 2 ? ? ? 2 n?1 ? 2 n ? ? 【问题探究】 1、 Sn ? a1 ? a1q ? a1q2 ? ... ? a1qn?1,各项之间有何联系?

2、一般等比数列前 n 项和: S n ? a1 ? a 2 ? a3 ? ?? ? a n?1 ? a n ? ?

3、还可以通过什么方法推导出等比数列前 n 项和公式?

【公式形成】

? Sn ? ? ?

q ?1
q ?1

q ?1

三、知识运用导练
1:在公比为 q 的等比数列 {an } 中 若 a1 ? 2 , q ? 1 ,则 S n ? ________,若 a1 ? 1,q ? 1 ,则 S n ? ________
3 3

若 a1 =—15, a4 =96,求 q 及 S4 , 若 a3 ? 1 , S 3 ? 4
1 2 1 ,求 a1 及 q. 2

2:判断是非:
1 ? 2 ? 4 ? 8 ? ? ? (?2) n?1 ? 1? (1 ? 2 n ) ( 1? 2


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1 ? 2 ? 2 2 ? 23 ? ? ? 2 n ?

1? (1 ? 2 n ) 1? 2

( ) )

若 c ? 0 且 c ? 1,则
c2 ? c4 ? c6 ? ? ? c2n ? c 2 [1 ? (c 2 ) n ] ( 1 ? c2

4:求等比数列 1 , 1 , 1 , 1 ,? 的第 5 项到第 10 项的和.
2 4 8 16

变式 1:求的前 n 项和.

变式 2:前多少项和是

63 . 64

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