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食饵——捕食者数学模型论文1 精品


食饵——捕食者数学模型 摘要:在自然界不同种群之间存在一种既有依存,又相互制约的生存方式。种 群甲靠丰富的自然资源生存,种群乙靠捕食甲为生,形成食饵—捕食者系统。为 了分析他们之间数量的变化关系,以及它们之间数量达到平衡的情况。本文根据 它们之间的特殊关系与这种潜在的规律, 建立了具有自滞作用的食饵—捕食者模 型。我们利用 matlab 软件求微分方程的数值解,通过对数值结果和图形的观察 猜测解析构造,然后研究平衡点及相轨线的形状,验证猜测的正确性 关键词:自滞作用 数值解 matlab 平衡点 相轨线分析 稳定性 一、 问题重述 自然界不同种群之间存在一种既有依存,又相互制约的生存方式。种群甲靠丰富 的自然资源生存,种群乙靠捕食甲为生,形成食饵—捕食者系统。为了分析他们 之间数量的变化关系, 以及它们之间数量达到平衡的情况。解释平衡点稳定的实 际意义,对模型进行相轨线分析来验证理论分析的正确性,并用 matlab 软件画 出图形。 二,问题背景 一次世界大战期间地中海渔业的捕捞量下降(食用鱼和鲨鱼同时捕捞) ,但是 其中鲨鱼的比例却增加,这是为什么?Volterra 建立的模型回答了这个问题 三,问题分析 首先,在复杂的自然界中,存在着许多影响种群发展的因素。假如给食饵(食用 鱼)和捕食者(鲨鱼)一个理想的环境,它们是呈 J 形增长的。现实情况中,由 于受到环境的限制,种群增长一般符合阻滞增长的模型。我们利用软件 matlab 求出微分方程的数值解,并通过对数值和图形观察做出猜测,然后分析相轨线, 验证猜测的的正确性。最后对数学模型进行修改和确定。 四、基本假设 1,假设它们是处于封闭的自然条件下,人类活动对其生存不产生影响 2,假设食饵和捕食者在封闭的环境中可以正常生长,没有疾病等促使他们死亡 3,假设食饵和捕食者在各年龄段中的分布率不变,即年龄结构不变,并采用各 种措施一直维持这以结构 4,假设捕食者离开食饵无法生存 5,食饵和捕食者不会因为捕食关系导致物种灭绝 五,符号说明 X(t) :食饵(食用鱼)在时刻 t 的数量 Y(t) :捕食者(鲨鱼)在时刻 t 的数量 r1:食饵在独立生存时以指数规律增长, (相对增长率) r2:捕食者独立生存时以指数规律增长, (相对增长率) N1:食饵的最大容量 N2:捕食者的最大容量 ? 1:单位数量乙(相对于 N2)提供的供养甲的食物量为单位甲(相对于 N1) 消耗的供养甲食物量 ? 1 倍 ? 2:单位数量甲(相对于 N1)提供的供养甲的食物量为单位乙(相对于 N2) 消耗的供养甲食物量 ? 2 倍 d:捕食者离开时独立存在的死亡率 六,模型建立 食饵(甲)数量 x(t) ,捕食者(乙)数量 y(t) 甲独立生存的增长率 r . x =rx . 乙使甲的增长率减小,减小量与 y 成正比 x (t)=(r-ay)x=rx-axy (1) . a~捕食者掠取食饵的能力 乙独立生存的死亡率 d . y =-dy 甲使乙的死亡率减小,减小量与 x 成正比 y (t)= -(d-bx)y=-dy+bxy (2) b~食饵供养捕食者的能力 方程(1) , (2)无解析 6.1 模型建立 我们考虑自身的阻滞增长作用,建立以下模型 x 1(t)=r1x1(1. . x1 x2 -? 1 ) (3) N2 N1 x1 x 2 ) N1 N 2 (4) x 2(t)=r2x2(-1+ ? 2 6.2 模型求解 利用数学软件 matlab 分别求解(3) , (4)两个微分

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