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高一数学(必修2) 学业水平复习


第一章

空间几何体

棱柱

结构特征
有两个面互相平行,其 余各面都是四边形,并且 每相邻两个四边形的公共 边都互相平行,由这些面 围成的多面体。

E’ F’ A’

D’ B’

C’

底 面

E
侧棱

D
C B

F A
侧面

顶点

注意:有两个面互相平行,其余各面都是 平行四边形的几何体一定是棱柱吗?
答:不一定是.如图所示,不是棱柱.

棱柱的性质

1.侧棱都相等,侧面都是平 行四边形; 2.两个底面与平行于底面的 截面都是全等的多边形; 3.平行于侧棱的截面都是平 行四边形;

棱柱的分类
1、按侧棱是否和底面垂直分类: 棱柱 斜棱柱 2、按底面多边形边数分类: 三棱柱、四棱柱、 五棱柱、· · · · · ·

直棱柱

正棱柱 其它直棱柱

棱柱的分类
按 边 数 分

三棱柱
按侧 棱是 否与 底面 垂直 分

四棱柱

五棱柱

斜棱柱

直棱柱

正棱柱

几种六面体的关系:
底面变为 平行四边形 侧棱与底面 垂直

四棱柱

平行六面体

直平行六面体

底面是

底面为

侧棱与底面 边长相等

矩形

正方形

长方体

正四棱柱

正方体

棱锥

顶点 S

结构特征
有一个面是 多边形,其余各 面都是有一个公 共顶点的三角形。

侧面
C

D B

A

棱锥的分类
按底面多边形的边数,可以分为三棱锥、四棱 锥、五棱锥、……

S

A B D

C

正棱锥:底面是正多边形,并且顶点在底面内的 射影是底面中心的棱锥。

【知识梳理】 棱锥

1、定义: 有一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的 三角形,由这些面所围成的几何体叫棱锥。 如果一个棱锥的底面是正多边形,并且顶点在底面 的射影是底面中心,这样的棱锥叫做正棱锥。 2、性质 Ⅰ、正棱锥的性质 (1)各侧棱相等,各侧面都是全等的等腰三角形。 (2)棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直 角三角形;棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也 组成一个直角三角形。

2正棱锥性质

棱锥的高、斜高和斜高在 底面的射影组成一个直角 三角形。棱锥的高、侧棱 和侧棱在底面的射影组成 一个直角三角形
Rt⊿ SOH Rt⊿ SOB Rt⊿ SHB Rt⊿BHO

棱台由棱锥截得而成,所以在棱台中也有类 似的直角梯形。

棱台

结构特征
D’ C’ B’ C

用一个平行于棱锥 底面的平面去截棱锥,底 面与截面之间的部分是 棱台.

D A’

A

B

圆柱

结构特征
以矩形的一边所在直 线为旋转轴,其余三边旋转 形成的曲面所围成的几何 体叫做圆柱。
母 线

A’

O’

B’ B’

轴 侧 面

A

O B

底面

圆锥

顶点 S 母 线 轴 侧 面

结构特征
以直角三角形的一条 直角边所在直线为旋转轴, 其余两边旋转形成的曲面 所围成的几何体叫做圆锥。

A

O
B

底面

圆台

结构特征
用一个平行于圆 锥底面的平面去截圆 锥,底面与截面之间的 部分是圆台.
O’ O



结构特征
以半圆的直径所 在直线为旋转轴,半 圆面旋转一周形成的 旋转体.
半径 O 球心

空间几何体的表面积和体积 圆柱的侧面积: S ? 2? rl 圆锥的侧面积: S ? ? rl 面积 圆台的侧面积: S ? ? ( r ? ? r )l
球的表面积:

S ? 4? R
3

2

柱体的体积: V ? Sh 体积 锥体的体积: V ? 1 Sh 台体的体积:V ? 1 ( S ? ?
3 S ?S ? S ) h

球的体积:

V ? 4 ? R3 3

知识框架

二、空间几何体的三视图和直观图 中心投影 投影 平行投影 三视图 正视图 侧视图 俯视图

直观图

斜二测 画法

平行投影法 投影线相互平行的投影法. (1)斜投影法 投影线倾斜于投影面的平行投影法称为斜投影法. (2)正投影法 投影线垂直于投影面的平行投影法称为正投影法.
斜 投 影 法
a c b

A

C B

A C

B
a b

正 投 影 法

c

平行投影法

三视图的形成原理

正 投 影

有关概念
物体向投影面投影所得 到的图形称为视图。
如果物体向三个互相垂直 的投影面分别投影,所得到 的三个图形摊平在一个平面 上,则就是三视图。

三视图的形成
正视图 侧视图

俯视图

正 视 图



高 宽


长 宽

侧视图
?长对正,

展 开 图

?高平齐,

俯视图

?宽相等.

三视图的作图步骤
俯视图方向 1.确定视图方向 2.先画出能反映物体 真实形状的一个视图 侧视图方向
4.运用长对正、高平 齐、宽相等的原则画 出其它视图 5.检查,加深, 加粗。

正视图方向

总结

(1)一般几何体,投影各顶点,连接。

画三视图: (2)常见几何体,熟悉。

三视图中,
两个三角形, 一般为锥体 两个矩形, 一般为柱体 两个梯形, 一般为台体 两个圆, 一般为球

斜二测画法步骤是: (1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y 轴, 两轴相交于点O。画直观图时,把它们画成 对应的x’轴和y’轴,两轴交于点O’,且使 ∠x’O’y’=45°(或135 °),它们确定的 平面表示水平面。 (2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段, 在直观图中分别画成平行于x’轴或y’轴的线 段。 (3)已知图形中平行于x轴的线段,在直观 图中保持原长度不变,平行于y轴的线段, 长度为原来的一半。

山东学业水平测试题
C 圆 1.(08年2)若一个几何体的三视图都是三角形,则这个几何体是; 矩形

三角形 圆及圆心 B.四棱锥 C.三棱锥 D.三棱台 梯形 圆环 2、(09年4)某建筑物的三视图如图所示,则此建筑物结构的形状是 C A 圆锥 B 四棱柱 C 从上往下分别是圆锥和四棱柱 30 D 从上往下分别是圆锥和圆柱 A. 圆锥
0

3、(10年5)底面半径为2,高为4的圆柱, 它的侧面积是( B) A 8π B 16π C 20π D 24π
4.(11年20)一个圆锥的母线长是20cm,母线与轴的夹角300 则圆锥的 底面半径是 10 cm.

5.(13年16)如图是一个空间几何体的三视图,则这 个几何体侧面展开图的面积是( C )
? A. 4 ? B.

1 正(主)视图 侧(左)视图

C.

?

2

D.2?

1 俯视图

( 第 16 题 图 )

6.一平面图形的直观图如图所示,它原来的面积是 ( A)

A. 4

B.

4 2

C. 2
y’

2

D.8

B 2

o’

2

A

x’

练习7:

(1)如图是一个空间几何体
正视图
侧视图

的三视图,如果直角三角形的直角边 长均为1,那么几何体的体积为( C )

A .1

1 B. 2

C. 1

1 D. 6

俯视图

3

1 1 1 V ? S 底 h ? ? 1?1?1 ? 3 3 3

1 1

1

第二章 点、直线、平面之间的位置关系
? 四个公理
? 三类关系 直线与直线位置关系 直线与平面位置关系 平面与平面位置关系 线线角 线面角 二面角 线面平行的判定定理与性质定理 线面垂直的判定定理与性质定理 面面平行的判定定理与性质定理 面面垂直的判定定理与性质定理

? 三种角

? 八个定理

四个公理
? 公理1:如果一条直线上有两点在一个平面内,那么直线 在平面内.(常用于证明直线在平面内)

? 公理2:不共线的三点确定一个平面. (用于确定平面). 推论1:直线与直线外的一点确定一个平面. 推论2:两条相交直线确定一个平面. 推论3:两条平行直线确定一个平面. ? 公理3:如果两个平面有一个公共点,那么它们还有公共 点,这些公共点的集合是一条直线(两个平面的交线). ? 平行公理:平行于同一条直线的两条直线互相平行.

三类关系

异面直线: (1)定义:不同在任何一个平面内的两条直线——异面直线; (2)判定定理:连平面内的一点与平面外一点的直线与这个 平面内不过此点的直线是异面直线。

?共面:a b=A,a//b 1.线线关系: ? ?异面:a与b异面

异面直线所成的角: (1) 范围: ? ? ? 0?,90?? ; (2)作异面直线所成的角:平移法
?

a' a b

? b' O

三类关系
?l ? ? ? 2.线面关系 ?l ? ? ?l ? ? A ? ? ?l // ? ?
P

?

A

? O

直线与平面所成的角(简称线面角):若直线与平面斜交, 则平面的斜线与该斜线在平面内射影的夹角。

?平行:? //? 3.面面关系 ? ?斜交:? ? =a ? ?相交 ?垂直:? ? ? ? ?

①二面角: (1)定义: 【如图】 ;范围: ?AOB ?[0?,180?] OB ? l, OA ? l ? ?AOB是二面角?-l ? ? 的平面角 ②作二面角的平面角的方法: (1)定义法; (2)三垂线法(常用) ; (3)垂面法.

八个定理
1.线面平行: ①定义:直线与平面无公共点.

a // b ? ? ②判定定理: a ? ? ? ? a // ? (线线平行 ? 线面平行) b ??? ? ? ? ③性质定理: a ? ? ? ? a // b (线面平行 ? 线线平行) ? ? ? b? ? a // ?

八个定理
④判定或证明线面平行的依据: (i)定义法(反证) : l ? ? ? ? l // ? (用于判断) ;

a // b ? ? (ii)判定定理: a ? ? ? ? a // ? “线线平行 ? 面面平行” (用于证明) ; b ??? ?

? // ? ? (iii) (用于证明) ; ? ? a // ? “面面平行 ? 线面平行” a ???
b?a? ? (Ⅳ) b ? ? ? ? a // ? (用于判断) ; a ??? ?

八个定理
2.面面平行: ①定义: ?

? ? ? ? ? // ? ;

②判定定理:如果一个平面内的两条相交直线都平行于 另一个平面,那么两个平面互相平行; 符号表述: a, b ? ? , a

b ? O, a // ? , b // ? ? ? // ?

? // ? ? ? ③面面平行的性质定理: ? ? ? a ? ? a // b ? ? ? b? ?

八个定理
④判定与证明面面平行的依据: (1)定义法; (2)判定定理及结论 1; (3)结论 2. 结论 1:一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面的 两条直线,那么这两个平面互相平行 符号表述: a, b ? ? , a b ? O, a ', b ' ? ? , a // a ', b // b ' ? ? // ? 结论 2:垂直于同一条直线的两个平面互相平行. 符号表述: a ? ? , a ? ? ? ? // ? .【如右图】
? ? a

3.线面垂直 八个定理 ①定义:若一条直线垂直于平面内的任意一条直线, 则这条直线垂直于平面。 符号表述:若任意 a ? ? , 都有 l ? a ,且 l ? ? ,则 l ? ? .

a, b ? ? ? a b ? O? ? ? ②判定定理: l ? ? ? ? l ? ? (线线垂直 ? 线面垂直) ? l?a ? l ?b ? ? ③性质定理: a ? ? , b ? ? ? a // b (线面垂直 ? 线线平行) ;
另: l ? ? , a ? ? ? l ? a (线面垂直 ? 线线垂直) ;

八个定理
证明或判定线面垂直的依据: (1)定义(反证) ; (2)判定定理(常用) ;

a // b ? (3) ; ? ? b ? ? (较常用) a ???

? // ? ? (4) ??a ? ? ; a ???
??? ? a ? ? b? ? (5) ? ? a ? ? (面面垂直 ? 线面垂直) a ?? ?
a?b ? ?

4.面面垂直

八个定理

(1)定义:若二面角 ? ? l ? ? 的平面角为 90 ? ,则 ? ? ? ; (2)判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线, 那么这两个平面互相垂直.

? ?? ? ? a ? ? AB ? (3)性质定理: ; ? ? a ? ? (面面垂直 ?线面垂直) a ?? ? a ? AB ? ?

a ??? ? ? ? ? ? (线面垂直 ? 面面垂直) a???

基础知识网络:
平行与垂直关系可互相转化

平行关系
1. a ? ? , b ? ? ? a // b 2. a ? ? , a // b ? b ? ? 3. a ? ? , a ? ? ? ? // ? 4. ? // ? , a ? ? ? a ? ? 5. ? // ? , ? ? ? ? ? ? ?

垂直关系

平面几何知识

平面几何知识

线线平行 判定 判定推论 判定

线线垂直

性质 判定

性质

性质 判定

面面垂直定义 面面垂直

线面平行

面面平行

线面垂直

立体几何解题中的转化策略
位置关系的相互转化 大策略:空间 小策略: ① 平行转化:线线平行 ② 垂直转化:线线垂直 线面平行 线面垂直 面面平行 面面垂直 平面

③ 平行关系

垂直关系

山东学业水平测试题
1.(2009?山东)在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中, E,F分别是DC和CC1的中点. 求证:D1E⊥平面ADF.
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

证明:∵E、F分别是DC、CC1中点, ABCD﹣A1B1C1D1为正方体 ∴DE=CF,DD1=CC1,∠D1DE=∠DCC1=90° ∴△DD1E≌△CDF,∴∠FDC=∠DD1E ∴∠DD1E+∠D1ED=90° ∴∠CDF+∠D1ED=90° ∴D1E⊥DF ∵AD⊥面DCC1D1,D1E?面DCC1D1, ∴AD⊥D1E ∵AD∩DF=D, ∴D1E⊥面ADF

山东学业水平测试题
2.(13年27本小题满分8分) 已知:如图,在四棱锥 V-ABCD 中,底 面 ABCD是平行四边形,M为侧棱VC的中点. 求证: VA / / 平面BDM

一、直线与直线方程

直线的倾斜角和斜率

直线与直线方程

直线的方程

两直线的位置关系

1、直线的倾斜角
倾斜角的取值范围是

0 ? ? ? 180 .
? ?

2、直线的斜率
k ? tan? , (? ? 90? )

意义:斜率表示倾斜角不等于90 0的直线对于x轴的 倾斜程度。 直线的斜率计算公式:即 k ?

y ?y x ?x
2 2

1

1

直线方程的形式:
形式 点斜式 条件 过点( x0,y0), 斜率为k 方程 应用范围

y ? y 0 ? k ( x ? x0 )

k存在 k存在
k存在 且k ? 0
k存在且 ? 0 且不过原点 任何直线

斜截式 在y轴上的截距为b, 斜率为k
两点式 过P1(x1, y1), P2(x2, y2)

y ? kx ? b
y ? y1 x ? x1 ? y 2 ? y1 x2 ? x1

截距式 在y轴上的截距为b, 在x轴上的截距为a 一般式

x y ? ? 1. a b
Ax ? By ? C ? 0

两直线平行的判定:
方法: 1)若 l1 : y ? k1 x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2

l1 // l 2 ? k1 ? k 2 , b1 ? b2
2)若 l1 : A1x ? B1 y ? C1 ? 0, l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0

l1 // l 2 ? A1 B 2 ? A2 B1 , A1C 2 ? A2 C1

两直线相交的判定:
方法: 1)若 l1 : y ? k1 x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2
l1 , l2相交 ? k1 ? k 2

2)若 l1 : A1x ? B1 y ? C1 ? 0, l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0
l1 , l2相交? A1 B 2 ? A2 B1

两直线垂直的判定:
方法: 1)若 l1 : y ? k1 x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2

l1 ? l 2 ? k1 ? k 2 ? ? 1
2)若 l1 : A1x ? B1 y ? C1 ? 0, l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0

l1 ? l 2 ? A1 A2 ? B1 B 2 ? 0

4.点到直线的距离,平行线的距离
(1)点 P( x0 , y0 ) 到直线 Ax ? By ? C ? 0 距离:

d?

Ax0 ? By0 ? C A ?B
2 2

(2)直线 Ax ? By ? C1 ? 0到直线 Ax ? By ? C 2 ? 0 的距离:

d?

C 2 ? C1 A ?B
2 2

对称问题

1)中心对称(点关于点的对称点,直线关于点的对称直线) 解决方法中点坐标公式

2)轴对称(点关于直线的对称点,直线关于直线的对称直线) 解决方法(1)垂直(2)中点在对称轴上

山东学业水平测试题
1、(10年4)直线x-y+3=0的倾斜角是 A 300 B 450 C 600 D 900
2、(10年17)、若直线2ay-1=0与直线(3a-1)x+y-1=0平行, 则实数a等于_____

3.(08年22本小题满分6分)直线L过直线L1:x+y-1=0与 直线L2:x-y+1=0的交点,且与直线L3:3x+5y=7垂 直,求直线L的方程。
解:联立x+y-1=0与x-y+1=0, 得 x = 0, y = 1 . ∴直线l1与直线l2的交点是(0,1). 3 因为直线l3的斜率是k3= ?
5

, 且直线l⊥直线l3 . 5 所以,直线l的斜率是k = 3 . 因此,直线l的方程是5x – 3y + 3 = 0.

山东学业水平测试题
4、(11年6) 已知过点A(-2,m)和B(m,4)的直线 与直线2x+y-1=0平行,则m的值为( )。 A. -8 B. 0 C. 2 D. 10

5、(13年7).直线x-y=0与x+y-2=0的交点坐标是( ) A.(1,1) B.(-1,-1) C.(1,-1) D.(-1,1)

6、(13年23) 过点(0,1)且与直线2x-y=0垂直的直线方 程的一般式是_____.

二、圆的方程
求曲线方程 圆的标准方程 圆与圆方程 圆 的 方 程 圆的一般方程 圆的参数方程

直线与圆、圆与圆的位置关系

1.曲线与方程
(1)曲线上的点的坐标都是这个方程 的解;
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点,

2.求曲线方程
(1)建立适当的坐标系,用 (x,y) 表示曲线上任意一 点M的坐标; (2)用坐标x,y表示关系式,即列出方程f(x,y)=0; (3)化简方程 f(x,y)= 0;

(4)验证x、y的取值范围。

圆的标准方程
( x ? a) ? ( y ? b) ? r
2 2 2

圆的一般方程
x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0
2 2

圆的参数方程
? x ? a ? r cos ? ? ? ? y ? b ? r sin ?

1.(全国)圆心为(1,2)且与直线5x-12y7=0相切的圆的方程为 2.圆心在直线2x-y-7=0上的圆C与y轴交 于两点A(0,-4),B(0,-2),求圆C的方程. 3.△ABC的三个顶点的坐标分别是 A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),求它的外接 圆的方程.

直线与圆的位置关系:
位置关系

相离 相切 相交

判断方法 ?d ?r或??0
?d ?r 或??0 ?d ?r 或 ??0

d>R+r

d=R+r

|R-r|<d<R+r

d= |R-r|

d<|R-r|

归纳小结
几何性质法
化标准方程 圆心距d

外离
外切 内切 内含

d>R+r d=R+r

d=R-r 0≤d<R-r
R-r<d<R+r

相交
计算r1+r2 |r1-r2|

比较d和r1,r2的大小 ,下结论

结合图形记忆

山东学业水平测试题
1、(08年11)在知点P(5a+1,12a)在圆(x-1)2+y2=1的内部,则 实数a的取值范围是 ( ) 1 A. -1<a<1 B. a<
13 1 1 D. - <a< 1 13 5 13 2、(10年22) (6分)已知一个圆的圆心坐标为(-1,2), (2,-2),求这个圆的标准方程 3、(13年9).圆x2+y2-6=0的圆心坐标和半径分别是( ) A.(3,0).9 B.(3,0).3 C.(-3,0).9 D.(-3,0).3

C. -

1 5

<a<

且过点P

山东学业水平测试题
28.(本小题满分9分) (14年) 已知圆C : x 2 + y 2 = r 2 (r > 0)和点P(a,b).

(1)若点P在圆C上,求过点P且与圆C相切的直线方程; 当两条切线相交于点Q时,求点Q的轨迹方程.

(2)若点P在圆C内,过P作直线l交圆C与A,B两点,分别过A,B两点作圆C的切线,

(1)点P ( a, b)在圆C上,则a 2 + b 2 = r 2 当P在x轴上时,过点P圆C的切线为:x = a 当P不在x轴上时,过点P圆C的切线斜率为: 1 1 a k ===b kop b a 切线过点P ( a, b),所以直线方程为: a y- b=( x - a ), b 即 ax + by = r 2

(2)设A( x, y )、B( x, y )、Q(m, n),则 直线AQ方程为:x1 x + y1 y = r 2 直线BQ方程为:x2 x + y2 y = r 2 因为,Q为两直线交点,则 2 ì x m + y n = r ? 1 1 í 2 x m + y n = r ? ? 2 2 因此,A、B两点都在直线xm + yn = r 2上, 又P(a, b)在弦AB上,即 am + bn = r 2 所以Q点的轨迹方程为:ax + by = r 2


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