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导数与函数单调性导学案


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3.1.1 导数与函数的单调性 【学习目标】1.了解可导函数的单调性与其导数的关系。 2.能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间。 3.会求不超过三次的多项式函数的单调区间。 【重点】利用导数研究函数的单调性,会求不超过三次的多项式函数的单调区间。 【难点】利用导数研究函数的单调性,会求不超过三次的多项式函数的单调区间。 【使用说明与学法指导】 1.通过阅读教材,自主学习,思考,交流,讨论和概括,完成本节课的学习目标。 2.用红笔勾勒出疑点,合作学习后寻求解决方案。 3.带*号的为选做题。 【自主探究】 1.函数的单调性与导数的关系 在 某 个 区 间 ( a , b) 内 , 如 果 f ?( x) ? 0 , 那 么 函 数 y ? f (x) 在 这 个 区 间 内 _____________:如果 f ?( x) ? 0 ,那么函数 y ? f (x) 在这个区间内_____________。 说明:特别的,如果 f ?( x) ? 0 ,那么函数 y ? f (x) 在这个区间内是_____________。 2.函数 f (x) 的单调增区间,可通过解不等式_____________求得,而单调减区间可由不等 式_____________解得。 3.求可导函数 f (x) 单调区间的步骤 (1)____________________________ (2)____________________________ (3)____________________________ 【合作探究】 1. 求下列函数的单调区间.

(1) y ? x 4 ? 2 x 2 ? 6 ; (2) y ? ? ln x ? 2x 2 ;

2. 函数 f ( x) ? ax ? x 在 R 上为减函数,求 a 的取值范围.
3

3. 求证:函数 y ? 2x ? 3x ?12 x ? 1 在区间 ? ?2,1? 内是减函数.
3 2

4. 已知曲线 y ? x 3 ? 3x 2 ? 6 x ? 10 ,点 P( x, y) 在该曲线上移动,过点 P 的切线设为 l , (1)求证:此函数在 R 上单调递增;

(2)求 l 的斜率的范围.

【巩固提高】

1. 求下列函数的单调区间.
(1) f ( x) ? sin x ? x, x ? (0, ? ) ; (3) f ( x) ? x ln x . (2) f ( x) ? x ?

9 ; x

2. 已知函数 f ( x) ? kx3 ? 3(k ? 1) x 2 ? k 2 ? 1(k ? 0) ,若 f (x) 的单调减区间是 (0,4) ,求
k 的值.
3.已知函数 f ( x) ? 4 x ? ax ?
2

2 3 x 在区间 [?1,1] 上是增函数,求实数 a 的取值范围. 3

★4.若函数 f ( x) ? ax3 ? x (1)求实数 a 的取值范围,使 f (x) 在 R 上是增函数. (2)求实数 a 的取值范围,使 f (x) 恰好有三个单调区间.
★ 5.偶函数

且在 x ? 1 处的切线方程 f ( x) ? ax4 ? bx3 ? cx 2 ? dx ? e 的图像过点 P(0,1) ,

为 y ? x ? 2 ,求 f (x) 的解析式.


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