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Chapt.2.波函数和薛定谔方程


Chapter 2. The wave function and Schr? dinger Equation







波函数与薛定谔方程
Wave Function and Schr? dinger Equation

1

学习内容

r />? 2.2 态叠加原理
Superposition principle

Chapter 2. The wave function and Schr? dinger Equation

? 2.1 波函数的统计解释 Wave function and its statistical explanation

? 2.3 薛定谔方程
Schr?dinger equation

? 2.4 粒子流密度和粒子数守恒定律 Current density of particles and conservation laws ? 2.5 定态薛定谔方程
Time-independent Schr?dinger equation

理 论 基 础

? 2.6 一维无限深势阱
One-dimensional infinite potential well

? 2.7 线性谐振子 Linear harmonic oscillator ? 2.8 势垒贯穿
Barrier penetration

实例

2

学习要求 1.理解微观粒子运动状态的描述 及其统计解释。

Chapter 2. The wave function and Schr? dinger Equation

波函数

2.通过对实验的分析,理解态叠加原理。
3.掌握微观粒子运动的动力学方程 波函 数随时间演化的规律 Schr? dinger方程。 4.掌握定态及其性质。 5.通过对三个实例的讨论,掌握定态Schr? dinger 方程的求解的基本思路与步骤。

3

§2.1 波函数的统计解释

Chapter 2. The wave function and Schr? dinger Equation

1.微观粒子状态的描述 微观粒子因具有波粒二象性,其运动状态的描 述必然有别于经典力学对粒子运动状态的描述,即 微观粒子的运动状态不能用坐标、速度、加速度等 物理量来描述。这就要求在描述微观粒子的运动时, 要有创新的概念和思想来统一波和粒子这样两个在 经典物理中截然不同的物理图像。

德布罗意指出:微观粒子的运动状态可用一个复 ? ? ? (r , t ) 来描述,函数 ? (r , t ) — 称为波函数。 函数
★ 描述自由粒子的波是具有确定能量和动量的平面波
4

§2.1 波函数的统计解释(续1)

Chapter 2. The wave function and Schr? dinger Equation

? ? ? P (r , t ) ? Ae

i ?? ( P?r ? Et ) ?

De Broglie 波
r U (r , t )

★如果粒子处于随时间和位置变化的力场

中 运动,他的动量和能量不再是常量(或不同时为常 量)粒子的状态显然就不能用平面波描写,必须用 ? 较复杂的波描写,一般记为 ? (r ,t) ? 三个问题?
(1) ? 是如何描述粒子的状态呢?
(2)
称为波函数,描写粒 子状态的波函数通常 是一个复函数。

?如何体现粒子的波粒二象性的?
5

(3) ? 描写的是什么样的波呢?

§2.1 波函数的统计解释(续2)

Chapter 2. The wave function and Schr? dinger Equation

2.波函数的统计解释
P
电子源

电子小孔衍射实验
P

O Q
X
感 光 屏

Q

v
a

P

?1

0 I

电子单缝衍射实验

6

§2.1 波函数的统计解释(续3)

Chapter 2. The wave function and Schr? dinger Equation

▲ 两种错误的看法 (1) 波由粒子组成 类似如水波,声波,由物质的分子密度疏密变化 而形成的一种分布。 这种看法与实验矛盾,它不能解释长时间单个电 子衍射实验: 电子一个一个的通过小孔,但只要时间足够长, 底片上仍可呈现出衍射花纹。这说明电子的波动性 并不是许多电子在空间聚集在一起时才有的现象, 单个电子就具有波动性。 事实上,正是由于单个电子具有波动性,才能 理解氢原子(只含一个电子!)中电子运动的稳定 性以及能量量子化这样一些量子现象。
7

§2.1 波函数的统计解释(续4)

Chapter 2. The wave function and Schr? dinger Equation

波由粒子组成的看法仅注意到了粒子性的一面,而 抹杀了粒子的波动性的一面,具有片面性。 (2) 粒子由波组成 ?电子是波包。把电子波看成是电子的某种实际的波 包结构,看成是三维空间中连续分布的某种物质波包。 因此呈现出干涉和衍射等波动现象。波包的大小即电 子的大小,波包的群速度即电子的运动速度。
?什么是波包?波包是各种波数(长)平面波的迭加。

平面波描写自由粒子,其特点是充满整个空间,这 是因为平面波振幅与位置无关。如果粒子由波组成, 那么自由粒子将充满整个空间,这是没有意义的,与 实验事实相矛盾。
8

§2.1 波函数的统计解释(续5)

Chapter 2. The wave function and Schr? dinger Equation

实验上观测到的电子,总是处于一个小区域内。 例如一个原子内的电子,其广延不会超过原子大小 0 ≈1 A 。
? ?电子究竟是什么东西呢?是粒子?还是波?

“ 电子既不是粒子也不是波 ”,既不是经典的粒 子也不是经典的波,但是我们也可以说,“ 电子既 是粒子也是波,它是粒子和波动二重性矛盾的统一。” 这个波不再是经典概念的波,粒子也不是经典概念 中的粒子。 经典概念 中粒子意 味着 1.有一定质量、电荷等“颗粒性”的属性; 2.有确定的运动轨道,每一时刻有一定 位置和速度。
9

§2.1 波函数的统计解释(续6)

Chapter 2. The wave function and Schr? dinger Equation

经典概 念中波 意味着

1.实在的物理量的空间分布作周期性的 变化; 2.干涉、衍射现象,即相干叠加性。

▲ 玻恩的解释: 我们再看一下电子的衍射实验
P
电子源

P

O
Q
感 光 屏

Q

衍射实验事实: (1)入射电子流强度小,开始显示电子的微粒 性,长时间亦显示衍射图样;
10

§2.1 波函数的统计解释(续7)

Chapter 2. The wave function and Schr? dinger Equation

(2) 入射电子流强度大,很快显示衍射图样.
波 动 观 点 粒 子 观 点

明纹处: 电子波强??(x,y,z,t)?2大 暗纹处: 电子波强??(x,y,z,t)?2小

电子出现的概率大 电子出现的概率小

? 2 可见,波函数模的平方 ? ? r , t ? 与粒子 t 时刻在 处附近出现的概率成正比。

? r

1926年,玻恩(M.Born)首先提出了波函数的统计解释: 波函数在空间中某一点的强度(波函数模的平 方)与粒子在该点出现的概率成比例。
11

§2.1 波函数的统计解释(续8)

Chapter 2. The wave function and Schr? dinger Equation

? 设粒子状态由波函数 ? (r , t ) 描述,波的强度是 ? 2 ? * ? ? (r , t ) ? ? (r , t )? ( r , t )
则微观粒子在t 时刻出现在 几率 ? ? 2 dW (r , t ) ? C ? (r , t ) d?

? 处体积元dτ内的 r

这表明描写粒子的波是几率波(概率波),反映微 ? 观客体运动的一种统计规律性,波函数 ? ? r , t ? 有时 也称为几率幅。 按Born提出的波函数的统计解释,粒子在空间中 ? 某一点 r 处出现的概率与粒子的波函数在该点模的 平方成比例
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§2.1 波函数的统计解释(续9)

Chapter 2. The wave function and Schr? dinger Equation

? dW (r , t ) ? ? 2 ? (r , t ) ? ? C ? (r , t ) d?
必 须 注 意
称为概率密度(几率密度)

(1)“微观粒子的运动状态用波函数描述,描写粒 子的波是概率波”,这是量子力学的一个基本假设 (基本原理)。 知道了描述微观粒子状态的波函数,就可知道粒 子在空间各点处出现的概率,以后的讨论进一步知道, 波函数给出体系的一切性质,因此说波函数描写粒子 的量子状态(简称状态或态) 称为波函数的 标准化条件 (2)波函数一般用复函数表示。 (3)波函数满足连续性、有限性、单值性。
13

§2.1 波函数的统计解释(续10)

Chapter 2. The wave function and Schr? dinger Equation

3.波函数的归一化条件 ? ? ? (r , t ) ? C? (r , t ) 令 ? ? t 时刻,在空间任意两点 r1 和 r2 处找到粒子的 相对概率是: 2 2 ? ? ? (r1 , t ) ? (r1 , t ) ? ? ? ? (r2 , t ) ? (r2 , t ) ? ? ? ? r , t ? 和 ? ? r , t ? 所描写状态的相对概率是相 同的,这里的 C 是常数。 以波函数有一常数因子不定性。

? ? ? ? r , t ? 和 ? ? r , t ? 描述的是同一概率波,所 可见,

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§2.1 波函数的统计解释(续11)

Chapter 2. The wave function and Schr? dinger Equation

非相对论量子力学仅研究低能粒子,实物粒子 不会产生与湮灭。这样,对一个粒子而言,它在全 空间出现的概率等于1,所以粒子在空间各点出现的 概率只取决于波函数在空间各点强度的相对比例, 而不取决于强度的绝对大小,因而,将波函数乘上 一个常数后,所描写的粒子状态不变,即 ? ? ? ? r , t ? 和 C? ? r , t ? 描述同一状态

这与经典波截然不同。对于经典波,当波幅增大 一倍(原来的 2 倍)时,则相应的波动能量将为原 来的 4 倍,因而代表完全不同的波动状态。经典波 无归一化问题。
为消除波函数有任一常数因子的这种不确定性,利 用粒子在全空间出现的概率等于1的特性,提出波函数 的归一化条件:
15

§2.1 波函数的统计解释(续12)

Chapter 2. The wave function and Schr? dinger Equation

? ? 2 ?? ?( r ,t )d? ? ?? ? ( r ,t ) d? ? 1 ? 满足此条件的波函数 ? ? r , t ? 称为归一化波函数。
又因

?

?

? 2 ? 2 2 ? (r , t ) d? ? C ? ? (r , t ) d? ? 1
?

其中

C?

?

?

1 ? 2 ? (r , t ) d?

称为归一化常数

? 2 ? (r , t ) ? ? 2 于是 ? (r , t ) ? ? (r , t ) ? ? 2 ? ? (r , t ) d?
?

归一化条件消除了波函数常数因子的一种不确定性。
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§2.1 波函数的统计解释(续13)

Chapter 2. The wave function and Schr? dinger Equation

已知一维粒子状态波函数为 ? ? 1 2 2 i ? ? (r , t ) ? A exp ?? a x ? ?t ? 2 ? ? 2 求归一化的波函数,粒子的概率分布,粒子在何处 出现的概率最大。 Ex.1 Solve:
?

(1).求归一化的波函数

2 ? ? a2 x2 2 ? 2 ? ?? ? (r , t ) d x ? A ? ?? e d x ? A

归一化常数

A ? a/ ?

?

?

? ?1 2 a
1 i ? a2 x2 ? ? t 2 2
17

1/ 2

? 归一化的波函数 ? (r , t ) ? a / ?

?

?

1/ 2

e

§2.1 波函数的统计解释(续14)

Chapter 2. The wave function and Schr? dinger Equation

(2)概率分布:? ( x, t ) ? ? ( x, t )

2

?

a

?

e

? a2 x2

(3)由概率密度的极值条件

d ? ( x, t ) a 2 ? a2 x2 ?? 2a xe ?0 dx ?
由于

x?0

d 2? ( x, t ) dx 2

?0
x ?0

故 x ? 0 处,粒子出现概率最大。

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§2.1 波函数的统计解释(续15)

Chapter 2. The wave function and Schr? dinger Equation





? (1)归一化后的波函数? (r , t ) 仍有一个模为一的因 子 ei? 不定性(δ为实函数)。 ? ? 若 ? ? r , t ? 是归一化波函数,那末, ? r , t ? e i? 也是 ? 归一化波函数,与前者描述同一概率波。

? 对空间绝对可积时,才 (2)只有当概率密度 ? (r , t ) ? 能按归一化条件 ? (r , t ) 2 d? ? 1 进行归一化。 ?
?

? ? 2 对空间非绝对可积时,需用所 若 ? (r , t ) ? ? (r , t )
谓δ函数归一化方法进行归一化。
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§2.1 波函数的统计解释(续16)

Chapter 2. The wave function and Schr? dinger Equation



例如 平面波的归一化问题 已知平面波 ? px ? Ae 常数 A

ex.2

i ? px ? x ?et ? ?

, 求归一化
??

Solve:

?

? ??

? Px ( x, t ) dx ? ? ? Px ( x, t )? P ? ( x, t )dx
* ??
x

2

1 利用 ? ? x ? x0 ? ? 2?
?

?e

?

i? ? x ? x0 ?

d?

?1 ? ? A e dx ? A 2?? ? ? ( Px ? Px?)? ?? ? ? 2 ? A 2? ?? ( Px ? Px?) ? ? ( Px ? Px?)
2

?

?

i ( Px ? Px ? ) x ?

2

A ? 1/ 2? ? i (P ? x ? Et ) 1/ 2 ? 归一化的一维平面波: ? P ? 1/ ? 2? ? ? e
归一化常数
x x
20

?

§2.1 波函数的统计解释(续17)

Chapter 2. The wave function and Schr? dinger Equation

归一化条件

?

? ??

? P ( x, t ) dx ? ? ( Px ? Px?)
x

2

? ? 同理,三维平面波:? P (r , t ) ?
归一化条件

1 e 3/ 2 (2? ?) ? ? ? 2 3 ??? ? P? (r , t ) d? ? ? ( P ? P?)
??

i ?? ( P?r ? Et ) ?

补充作业题
1. 下列一组波函数共描写粒子的几个不同状态? 并 指出哪几个波函数描写同一状态。

?1 ? e

i2x / ? i3x / ?

, ,

?2 ? e

?i 2 x / ?

, ,

? 3 ? 3e

? i (2 x ?? ? ) / ?

, .
21

?4 ? e

? 5 ? ?e

i2x / ?

? 6 ? (4 ? 2i)e

i2x / ?

§2.1 波函数的统计解释(续18)

Chapter 2. The wave function and Schr? dinger Equation

2.已知下列两个波函数

试判断: (1)波函数 ?1 ( x) 和 ? 2 ( x) 是否描述同一状态? (2)对?1 ( x) 取 n ? ? 2 两种情况,得到的两个波函 数是否等价?

n? ? ? A sin ( x ? a) ? 1 ( x) ? ? 2a ?0 ? n? ? ? A sin ( x ? a) ? 2 ( x) ? ? 2a ?0 ?

| x |? a | x |? a | x |? a | x |? a

n ? 1, 2,3,?

n ? 1, 2,3,?

22

§2.2 态叠加原理
1.电子双缝衍射实验
P1

Chapter 2. The wave function and Schr? dinger Equation

实 验 事 实
开1闭2,衍射花样(兰曲线)

S ?

1 D

?1
?2

P

?1 ? ? 1
?2 ? ? 2
2

2

开2闭1,衍射花样(紫红曲线)
2

2

P2

同时开1,2,衍射花样(黑曲线)

? ? ? ? ?1 ?? 2
显然 ? ? ? 1 ? ? 2
2 2

2

? ? ?1 ? ?2

表明几率不遵守迭加原则,而波函数(几率幅)遵 守迭加原则:

? ? ? 1 ?? 2

23

§2.2 态迭加原理(续1)

Chapter 2. The wave function and Schr? dinger Equation

物 理 意 义 当两个缝都开着时,电子既可能处在 ? 1 态,也 可能处在 ? 2 态,也可处在 ? 1 和 ? 2 的线性迭加态 ? ? ?1 ?? 2 。可见, 若 ? 1 和 ? 2 是电子的可能状态, ? 则 也是电子的可能状态。 反言之,电子经双缝衍射后处于 ? ? ?1 ?? 2 态,则 电子部分地既可处于 ?1 态,也可部分地处在 ? 2 态。 干涉项 迭加态的概率: 2 2 2 2 * ? ? ? ? ? 1 ? ? 2 ? ? 1 ? ? 2 ?? 1*? 2 ?? 1? 2
电子穿过狭缝1出现 在P点的几率密度 电子穿过狭缝2出现 在P点的几率密度
24

§2.2 态迭加原理(续2)

Chapter 2. The wave function and Schr? dinger Equation

当两个缝的几何参数或电子束相对位置不完全对 称时,迭加态 ? ? c1? 1 ? c2? 2 ,其概率为
? ? ? ? ? ? c1 ? 1 ? c2 ? 2 ? c1?c2? 1?? 2 ? c1 c2? 1? 2 2 2 2 2 2

干涉项 2.态迭加原理 1. 若 ?1 ,? 2 ,?,? n 是粒子的可能状态,则粒子 也可处在它们的线性迭加态

2.当体系处于 ? 态时,发现体系处于 ? k 态的几率 2 是 ck (k ? 1,2,?,?, n,) ,并且 n 2

? ? c1?1 ? c2? 2 ? ? ? cn? n

?c
k ?1

k

?1

态的迭加原理是量子力学的一个基本假设,它的 正确性也依赖于实验的证实。
25

§2.2 态迭加原理(续3)

Chapter 2. The wave function and Schr? dinger Equation

3.电子在晶体表面的衍射,动量空间的波函数 电子沿垂直方向射到 单晶表面,出射后将以各 种不同的动量运动,出射 后的电子为自由电子,其 状态波函数为平面波。
? ?P

?

?

d

? ? (r , t ) ? ?P

1 e 3/ 2 (2? ?)

i ?? ( P?r ? Et ) ?

? ψ P ? ? r ,t ? 态,也 ? 电子从晶体表面出射后,既可能处在 ? ? ?? ? 可能处在 ? P ?? ( r , t ) 、 P ??? ( r , t ),? 等状态,按态迭加原 ? ? 可表示成 P 理,在晶体表面反射后,电子的状态

取各种可能值的平面波的线性叠加,即
26

§2.2 态迭加原理(续4)

Chapter 2. The wave function and Schr? dinger Equation

? ? ? ? ? r ,t ? ? ? r ,t ? ? ? C P ? P ?

? ?

P

衍射图样正是这些平 面波叠加干涉的结果

考虑到电子的动量可以连续变化 i ? ? ? ( P,r? ? E t ) 3 ? ? ? ? ? ? 3 ?? 1 ? C ( P)e d P ? (r , t ) ? ? C( P)? P (r , t )d P 3 / 2 ? ?? ?? (2? ?) i ?? ? ? ? P?r 1 3 ? ? C ( P, t ) e d P 3 / 2 ? ?? (2? ?) i? ? ? P?r? 3 ? ? 1 ? (1) ? (r , t ) ? C ( P, t ) e d P 即 3/ 2 ? ?? (2? ?)

1 ? 3? ? (r , t ) e d r 而 (2) 3 / 2 ? ?? (2? ?) ? ? 显然,二式互为Fourer变换式,所以 ? (r , t ) 与 C ( P, t ) 一 一对应,是同一量子态的两种不同描述方式。
?
27

? C ( P, t ) ?

i?? ? P ,r ?

§2.2 态迭加原理(续5)

以坐标 以动量 P 为自变量的波函数, 坐标空间(坐标表象)波函 动量空间(动量表象)波函数 数 ? 2 ? 2 C ? P, t ? 给出t 时刻粒子动量 ? ? r , t ? 给出t 时刻粒子处在 ? ? 为 P的几率 位置 r 处的几率 二者描写同一量子状态 ? ? 若 ? ? r , t ? 归一化,则 C P, t 也是归一化的 ? ? ? ? ? ? ? Prove: C ( p, t ) ? ? ? P (r )? (r , t )dr

? r 为自变量的波函数,

? ? (r , t )

? C ( P, t )
?

Chapter 2. The wave function and Schr? dinger Equation

? ?

?

?

??

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? (r , t )? p (r ) d r ?? (r ', t )? p (r ') d r ' d p ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? r ? r?? ? ? ? ??? ? (r , t )? (r ', t ) ? ?? p (r )? P (r ')dp ? d r d r '
?
28

? ? ? ? 2 ? ? | C ( p, t ) | dp ? ? C ( p, t )C ( p, t )d p

??

?

??

?

§2.2 态迭加原理(续6)
?

Chapter 2. The wave function and Schr? dinger Equation

此显示出把平面波归一化为 ? 函数的目的 ? 一维情况下, ( x, t ) 与 C(Px , t ) 的Fourer变换关系: i Px ? 1 ? ? ( x, t ) ? C ( P, t )e d P 1/ 2 ? ?? (2? ?) i ? Px ? 1 C( P, t ) ? ? ( x, t )e ? d x 1/ 2 ? ?? (2? ?) 如果仅考虑某一给定时刻粒子的两表象波函数的关 系,可取t =0 i ? ? ? P,r? 3 ? ? 1 ? ? (r ) ? C ( P) e d P 3 / 2 ? ?? (2? ?) i ?? ? ? P,r ? 1 ? ? 3? C( P) ? ? (r ) e dr 3/ 2 ? ?? (2? ?)
29

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? (r , t )? (r ', t )? (r ? r ') d r d r ' ? ?? (r , t )? (r , t )d r ? 1

§2.3 薛定谔方程
本节研究量子力学的动力学 问题,建立量子力学的动力学 方程 —— Schr?dinger方程 1926年,薛定谔发明了非相 对论量子力学的动力学方程, 即薛定谔方程。1933年,与狄 拉克共享诺贝尔物理学奖。
1.微观粒子运动方程应具有的特点

Chapter 2. The wave function and Schr? dinger Equation

奥地利物理学家 薛定谔
?

(1)含有波函数对时 间的一阶导数 ? ?? ( r , t )
?t

t 因为, ? t0 时刻,初态由 ? (r , t0 ) 这样一个初始条件给定,所以,描 写粒子状态的波函数所满足的方程 ? 只能含 ? ? r .t ? 对时间的一阶导数。
30

§2.3 薛定谔方程(续1)

Chapter 2. The wave function and Schr? dinger Equation

(2)方程必为线性的
? ? C1?1 ? r , t ? ? C2? 2 ? r , t ? 也应是该方程的解。这就要求方程应 是线性的,也就是说方程中只能包含 ? 及 ? 对时间的一阶导 数和对坐标各阶导数的线性项,不能含它们的平方或开方项。
由态叠加原理,若 ? 1 ? r , t ? 和 ? 2 ? r , t ? 是方程的解,那末 ? ?

?

?

(3)质量为 ? 的非相对性粒子(即低速运动的粒子), 其总能为 ?2 P ? E? ? U (r , t ) 2?
方程不能包含 p, E 等状态参量,否则方程只能被粒子特定 的状态所满足,而不能为各种可能的状态所满足。
31

§2.3 薛定谔方程(续2)

Chapter 2. The wave function and Schr? dinger Equation

2.自由粒子的运动方程
? ? (r , t ) ?
? P

1 ?2 ? ? ? ?P ? ? 2 P ?P ?
2

? ?? P i ? ? ? E? P ?t ?

1 e 3/ 2 (2? ?)

i ? ? ( P , r ? Et ) ?



?2 P E? 2?

?2 2 2 ? ? ?? ? ? ? P ?P P ?2 P ? ? ? E? P ?P 2?

? ? E? ? i? ? P ?t
? P

(1) (2) (3)

将(1)和(2)式代入(3)式,得 ? ?? P (r , t ) ?2 2 ? ? i? ? ? ? ? P (r , t ) ?t 2?

(4)
32

§2.3 薛定谔方程(续3)

Chapter 2. The wave function and Schr? dinger Equation

满足运动方程应具有的三个特点,此即为自由粒子 的基本运动方程——自由粒子的Schr?dinger方程。

讨论
通过引出自由粒子波动方程的过程可以看出,如 ?2 果将能量关系式 E ? P 2? 写成如下方程形式: p2 (E ? )? ? 0 称为能量算符 2?

? E ? i? 再做算符替换: ?t ? p ? ?i??

(5)

称为动量算符

即得自由粒子的Schr?dinger方程(4)。
33

§2.3 薛定谔方程(续4)

Chapter 2. The wave function and Schr? dinger Equation

3.势场中运动粒子的Schr?dinger方程 ? ? 设势场 U (r , t ) 中运动粒子的状态波函数为? (r , t ) ?2 ? ? 用能量关系式 E ? P 2? ? U (r , t ) 乘以波函数 ? ? r , t ?

? ? 按(5)式,将能量 E 和动量 P 分别用能量算符 i? ?t 和动量算符? ?i?? ? 替代,即得Schr?dinger方程

?2 ?P ? ? ? ? E? (r , t ) ? ? ? U (r , t ) ?? (r , t ) ? 2? ?

? ?? (r , t ) ? ? 2 2 ? ? ? i? ? ?? ? ? U (r , t )?? (r , t ) ?t ? 2? ?
粒子的哈密顿函数

(6)

?2 P ? H? ? U (r , t ) 2?

34

§2.3 薛定谔方程(续5)

作动量算符替代


? ? P ? P ? ?i??

Chapter 2. The wave function and Schr? dinger Equation

?2 ? 2 ? ? ? ? P ? U (r , t ) ? ? ? ? 2 ? U (r , t ) H ?H 2? 2?

称为哈密顿算符 利用哈密顿算符,可将Schr?dinger方程(6)写成另 ? 一形式 ?? (r , t ) ?

i?

?t

? ? H? (r , t )

(7)

? 4.多粒子体系的Schr?dinger方程 P ? P ? ?i?? ? i i i ?2 N P ? ? ? i ? U (r1 , r2 ,?, rN , t ) 哈密顿函数 H ? ? i ?1 2?i
35

§2.3 薛定谔方程(续6)
N 2

Chapter 2. The wave function and Schr? dinger Equation

? ? ? ? ? ?? ? ?2 ? U (r , r ,?, r , t ) 哈密顿算符 H i 1 2 N i ?1 2?i
Schr?dinger方程

(8)

? ? ? ?? (r1 , r2 ,? , rN , t ) ? ? ? ? i? ? H? (r1 , r2 ,? , rN , t ) (9) ?t

注 意 (1)Schr?dinger作为一个基本假设提出来,它 的正确性已为非相对论量子力学在各方面的应用而 得到证实。 (2)Schr?dinger方程在非相对论量子力学中的 地位与牛顿方程在经典力学中的地位相仿,只要给 出粒子在初始时刻的波函数,由方程即可求得粒 子在以后任一时刻的波函数。
36

§2.4粒子流密度和粒子数守恒定律

Chapter 2. The wave function and Schr? dinger Equation

讨论粒子在一定空间区域内出现的几率将怎样随 时间变化

1.几率守恒定律 ? 设 ? (r , t ) 是粒子状态的归一化波函数 ? ? 2 ? * ? 则 ? (r , t ) ? ? (r , t ) ? ? ( r , t )? ( r , t )

?? ?? * ?? ? ? ? ? ?t ?t ?t
*

(1)

由Schr? dinger方程
?? ? i? 2 i ? ? ? ? ? U ?? ? t ? 2? ? ?

?? ? ?2 2 ? i? ? ? ? ? ? U ?? ?t ? 2? ?
取复共轭

?? * ? i? 2 i ? * ? ? ? ? ? U ?? ? t ? 2? ? ?
37

代入(1)式后,有

§2.4粒子流密度和粒子数守恒定律(续1)

Chapter 2. The wave function and Schr? dinger Equation

?? i? * 2 i? ?? ? ? ?? ?2? * ? ? ?? ?? *?? ?? ?? * ? (2) ? ? 2? ? ? ? t 2? ? ? i? J? ? ?? * ?? *?? ? 令 ? 称为几率流密度 2?

(2)

? ?? ? ? ? J ? 0 几率连续性方程 ?t

(3)

几率连续性方程与经典电动力学中的电荷守恒方 ? ? ?e 程 ? ?? J e ? 0 具有相同的形式。 ?t ? ?? (3)式对空间V作体积分 V d? ? V ?? Jd? ? 0 ?t ? ? d (4) ? V ?d? ? ? ? J ? d? ? dt S

?

?

38

§2.4粒子流密度和粒子数守恒定律(续2)

Chapter 2. The wave function and Schr? dinger Equation

(4)式表明:粒子单位时间在 V 内出现的几率的 增量等于单位时间内流入 V 内的几率(负号表示流 入) 。(3)式是几率守恒守律的积分形式。
当V ?? 时 (4)式
d dt

? ? d?
?

?0

表明粒子的总几率不 变,即几率守恒。 表明波函数归一化不 随时间改变,其物理 意义是粒子既未产生 也未消灭。



d dt

?

?

? d? ? 0
2

39

§2.4粒子流密度和粒子数守恒定律(续3)

Chapter 2. The wave function and Schr? dinger Equation

2.电荷守恒定律,粒子数守恒 设粒子的电荷为 e,质量为 ?

? ? ?e (r , t ) ? e?(r , t ) ——量子力学的电荷密度 ? ? ?? (r , t ) ? ??(r , t ) ——量子力学的质量密度 ? ? ? ? J e (r , t ) ? eJ (r , t ) ——量子力学的电流密度 ? ? ? ? J ? (r , t ) ? ? J (r , t ) ——量子力学的质量流密度 ? ??e ? ?J e ? 0 ——量子力学的电荷守恒律 ?t ? ??? ? ?J ? ? 0 ——量子力学的物质守恒律 ?t
40

§2.4粒子流密度和粒子数守恒定律(续4)

Chapter 2. The wave function and Schr? dinger Equation

3.波函数的标准条件
? ? 2 ? (1)根据Born统计解释, (r , t ) ? ? (r , t ) 是粒子在

? 时刻出现在 r 点的几率,这是一个确定的数,所以 ? ? 要求 ? (r , t ) 应是 (r , t ) 的单值函数且有限。

t

(2)根据粒子数守恒定律 : ? ? ? d i? ? ? ? ? ?(r , t )d? ? ? ?S J ? dS ? ? 2? ?S ?? ?? ?? ?? ? ? dS ? ? dt V 此式右边含有 ? 及其对坐标一阶导数的积分,由 于积分区域 V 是任意选取的,所以 S 是任意闭合面。 要是积分有意义,? 必须在变数的全部范围,即空 间任何一点都应是有限、连续且其一阶导数亦连续。 概括之,波函数在全空间每一点应满足单值、有 限、连续三个条件,该条件称为波函数的标准条件。
41

§2.5 定态薛定谔方程 1.定态,定态波函数
? ?? (r , t ) ? ? 2 2 ? ? ? i? ? ?? ? ? U (r , t )? ? (r , t ) ?t ? 2? ?

Chapter 2. The wave function and Schr? dinger Equation

(1)

? 若 U (r )与t无关,则可以分离变量,令

? ? ?(r , t ) ? ? (r ) f (t )
?

(2)

(2)代入(1) 式,两边同除 ? (r ) f (t ) ,得到 i? df 1 ? ?2 2 ?? ? ? ?? ? ? U (r ) ?? ? E f dt ? ? 2? ?

? ? 2 ?? ? ? ? ? 2? ? ? U (r ) ?? (r ) ? E? (r ) (3) ? ?
2

等式两边是相互无 关的物理量,故应 等于与 r、t 无关的 常数

df i? ? Ef (t ) dt

(4)
42

§2.5 定态薛定谔方程(续1)

Chapter 2. The wave function and Schr? dinger Equation

f (t ) ? Ce
(5)代入(2) 式,得到

i ? Et ?

(5)

定态波函数
i ? Et ?

? ? ?(r , t ) ? ? (r )e


(6) de Broglie能量式

? ? E/?

E =??

可见分离变量中引入的常数 E 为粒子的能量,当 粒子处在由波函数(6)所描述的状态时,粒子的能 量 E 有确定的值,这种状态称为定态;描述定态的 波函数(6)称为定态波函数。
43

§2.5 定态薛定谔方程(续2)

Chapter 2. The wave function and Schr? dinger Equation

2.定态Schr?dinger方程
当粒子处在定态中时,具有确定的能量,其空间 ? 波函数? (r ) 由方程(3),即由

? ?2 2 ?? ? ? ? ? 2 ? ? ? U ( r ) ? ? ( r ) ? E? ( r ) ? ?

(7)

在给定的定解条件下求出,方程(7)称为定态 Schr?dinger方程。

44

§2.5 定态薛定谔方程(续3)

Chapter 2. The wave function and Schr? dinger Equation

3.Hamilton算符和能量本征值方程 ? ? ? (r , t ) ? ? i? ? E ? (r , t ) ? 4? ?? (r ) ?t

(8)

? ?2 2 ?? ? ? ?3? ? f (t) ? ? 2? ? ? U (r ) ? ?(r , t ) ? E ?(r , t ) (9) ? ? ? 这两个方程都是以一个算符作用在定态波函数 ? (r , t )

上,得出定态能量乘以该定态波函数,因此算符
? i? ?t
(10)

? 2 ? ? ? ? U (r ) 2?

2

均称为能量算符
(11)
45

§2.5 定态薛定谔方程(续4)

Chapter 2. The wave function and Schr? dinger Equation

? ?2 2 ?? ? ? ? ? ? U (r )? 利用哈密顿算符(能量算符) H ? ? 2? ?

可将方程(9)和定态Schr?dinger方程(7)和分别写成

? ? ? ?(r , t ) ? E ?(r , t ) (12) H


? ? ? ? (r ) ? E? (r ) H

(13)

两式均称为哈密顿 算符(能量算符)的 本征方程
? ? (r , t ) 为本征波函数

? H的本征函数

能量本征值

当体系处在能量本征波函数所描写的状态(又称本 征态)中时,粒子的能量有确定的值。
46

§2.5 定态薛定谔方程(续5)

Chapter 2. The wave function and Schr? dinger Equation

讨论定态问题就是要求出体系可能有的定态波函数 及这些态中的能量 E ;解能量算符本征方程(12)求 定态波函数的问题又归结为解定态Schr?dinger方程 和定解条件构成的本征值问题:
? ?2 2 ?? ? ? ?? 2? ? ? U (r ) ?? (r ) ? E? (r ) ? ? 定解条件

? ? ? 本征函数系: ?1 (r ),? 2 (r ),?,? n (r ),?
本征能量值谱:E1 ,

E2 , ?,

En , ?

? ? ? ?i Ent 本征波函数 ?n ? r , t ? ? ? n ? r ? e i ? ? ? ? En t ? 任意状态 ?(r , t ) ? ? Cn ? n ? r , t ? ? ? Cn? n ? r ? e
n n
47

§2.5 定态薛定谔方程(续6)

Chapter 2. The wave function and Schr? dinger Equation

4.求解定态问题的步骤
?2 2 ? ? (1)列出定态Schrodinger方程 [? ? ? U ? r ?]? (r ) ? E? (r ) 2? (2)根据波函数三个 本征能量 E1 , E2 ,?, En ,? 标准条件求解能 量 E 的本征值问 本征函数 ? 1, ? 2 ,?, ? n ,? 题,得:
(3)写出定态波函数, 即得到对应第 n 个本 征值 En 的定态波函数

? ? ? n (r , t ) ? Cn? n (r ) e

?

i Ent ?

(4)通过归一化确定归一化系数 Cn

?

?

??

? 2 | Cn? n (r ) | d? ? 1

Cn ? ?
48

§2.5 定态薛定谔方程(续7)

Chapter 2. The wave function and Schr? dinger Equation

5.定态的性质 (1)处在定态中的粒子,其几率密度与时间无关 i ? Et ? ? n (r , t ) ? ? n (r )e ? ? ? 2 ? 2 ?n ( r , t ) ? ? n ( r , t ) ? ? n ( r ) 与 t 无关
n

(2)处在定态中的粒子,其几率流密度与时间无关
? i? ? ? ? ? J ? ?? n (r , t )?? n* (r , t ) ? ? n* (r , t )?? n (r , t ) ? ? 2? ? i? ? ? ? ? ?? n (r )?? n* (r ) ?? n* (r )?? n (r ) ? 与 ? ? 2? ?

t 无关

(1)能量是否为确定值 判别定态的方法: (2)几率与时间无关 (3)几率流密度与时间无关
49

思 考 题
E ix?i t ?
?i E1 t ?

Chapter 2. The wave function and Schr? dinger Equation

1.下列波函数所描述的状态是否为定态?为什么?

(1)

? 1 ( x) ? u( x)e

? v( x)e
? u( x)e
? u( x)e

i ?ix? Et ?
?i E2 t ?

(2) ? 2 ( x) ? u( x)e

(3) ? 3 ( x) ? u( x)e

E ?i t ?

E i t ?

2.如果一个粒子只有两个可能位置,在量子力 学中其状态波函数怎样? 意义又如何?

50

§2.6 一维无限深势阱

Chapter 2. The wave function and Schr? dinger Equation

在继续阐述量子力学基本原理之前,先用 Schrodinger 方程来处理一类简单的问题 —— 一维定态问题(一维无限深势阱,线性谐振子, 势垒贯穿)。 其好处主要有四: (1)有助于具体理解已学过的基本原理; (2)有助于进一步阐明其他基本原理; (3)处理一维问题,数学简单,从而能对结果进行 细致讨论,量子体系的许多特征都可以在这些一维问 题中展现出来; (4)一维问题还是处理各种复杂问题的基础。
51

§2.6 一维无限深势阱(续1)

Chapter 2. The wave function and Schr? dinger Equation

?0 考虑一维粒 ? 子的运动, U ( x) ? ? ?? 其势能为: ?

x ?a x ?a

U(x)

1.定态Schr?dinger方程 ?2 d 2 ? ? U ( x) 哈密顿算符 H ? ? 2 2? dx ? ?2 d 2 ? ? U ( x)?? ( x) ? E? ( x) ?? 2 ? 2? dx ?
? ?2 ?? 2? ? ? 2 ?? ? ? 2? ? d2 ? ( x) ? E? ( x) 2 dx d2 ? ( x) ? ?? ( x) ? E? ( x) 2 dx

-a

0

a

无限深势阱

x ? a (1) x ?a
(2)
52

§2.6 一维无限深势阱(续2)

Chapter 2. The wave function and Schr? dinger Equation

2.定态Schr?dinger方程的解 因? ( x) 及 E 有限,由(2) 令

? ( x) ? 0 x ? a (3)
从物理考虑,粒 (4) 子不能透过无穷 高的势壁。

?

2

2 ?E ? ?2
d 2? ? ? 2? ( x) ? 0 2 dx

(1)

其通解为: ? ( x) ? A sin ?x ? B cos?x

? x ? a ? (5)

利用 ? (x) 的连续性,由(3)和(5)得

? (a) ? A sin ? x ? B cos? a ? 0 ? ? ? (?a) ? ? A sin ? a ? B cos? a ? 0?
53

§2.6 一维无限深势阱(续3)

Chapter 2. The wave function and Schr? dinger Equation

当 A ? 0 B ? 0 ,有 sin ? a ? 0

n? ?n ? 2a
n? ?n ? 2a
(6)和(7)两式统一写成

(n为偶数)

(6)

当 A ? 0 B ? 0 ,有 cos ?a ? 0
(n为奇数)

(7)

n? ?n ? , 2a

2? E ? ? 2 ?
2

n ? 1,2,3,?

(8)

n2? 2 ?2 本征能量: En ? 8? a 2

(9)
54

§2.6 一维无限深势阱(续4)

Chapter 2. The wave function and Schr? dinger Equation

本 征 函 数

?0 ? (10)和(11)两式统一写成 ? ? n? ? A sin ( x ? a) 2a ? n ( x) ? ? ?0 ?

n? ? ? A sin 2 a x ? n ( x) ? ? ?0 ? n? ? ? B cos 2 a x ? n ( x) ? ?

(n 为偶数 )

x ?a x ?0

(10)

(n 为奇数 )

x ?a x ?0

(11)

x ?a x ?a

由归一化条件求得归一化常数 A? ? 1

a
55

§2.6 一维无限深势阱(续5)

Chapter 2. The wave function and Schr? dinger Equation

推导:

?

?

??

|? n ? x ? | dx ? ?
2
a 2

?a

??

|? n | dx ? ? |? n | dx ? ? |? n |2 dx
2 2 ?a a
2 a 2

a

?

? n? ? ?? ??a ?sin 2a ( x ? a)? dx ?a ? ? a 1? n? 2 ? ? ?1 ? cos ( x ? a) ? dx ? A?2 a ? 1 ?A ? ?a 2 a ? ? |? n | dx ? A?

? A? ? 1 a

(取实数)

n? ?1 归一化 ? sin ( x ? a ) 2a 的本征 ? n ( x ) ? ? a 函数 ?0 ?

x ?a
(12)

x ?a
56

§2.6 一维无限深势阱(续6)

Chapter 2. The wave function and Schr? dinger Equation

3.粒子的定态波函数

? n ( x, t ) ? ? ne
or

i ? Ent ?

1 n? ? sin ( x ? a)e a 2a

?

i Ent ?

? x ? a?

?n ( x, t ) ? C1e

i ? n? ? ? x?E n t ? ? ? ? 2a ?

? C2 e

?

i ? n? ? ? x? E n t ? ? ? ? 2a ?

? x ? a?

由此可见:粒子的每个定态波函数 ?n ( x, t ) 是由两 个沿相反方向传播的平面波叠加而成的驻波。

57

§2.6 一维无限深势阱(续7)

Chapter 2. The wave function and Schr? dinger Equation

4.几率幅与几率密度曲线图

58

§2.6 一维无限深势阱(续8)

Chapter 2. The wave function and Schr? dinger Equation

? ? ? (r , t ) ?? (?r , t ) ? ? ? (1)在空间反射下,如果有: (?r , t ) ? ?? (r , t )
则称波函数有确定的宇称。 ? ? ? (? r , t ) ? ?? (r , t ) 称波函数具有正宇称(或偶宇称) ? ? ? (? r , t ) ? ?? (r , t ) 称波函数具有负宇称(或奇宇称) ? ? (3)在空间反射下,如果 ? (? r , t ) ? ?? (r , t )

5.宇称 空间反射:空间矢量反向的操作。

? ? r ? ?r

则称波函数没有确定的宇称。
59

§2.6 一维无限深势阱(续9)

Chapter 2. The wave function and Schr? dinger Equation

讨 论
n2? 2 ?2 (1)能量 En ? 8? a 2 化的。
取分离谱,即能量是量子

? x 称为基态 (2)粒子能量最低的态 ? 1 ? A sin 2a ? 2 ?2 E1 ? 基态能量 8? a 2
与经典最低能量为零不同,这是微观粒子波动性的 表现,因为“静止的波”是没有意义的,亦即 n ? 0, E ? 0, ? ? 0 的态不存在,无意义。 (3) n 取负整数与正整数描写同一状态。
60

§2.6 一维无限深势阱(续10)

Chapter 2. The wave function and Schr? dinger Equation

(4)当 n 为偶数时, n (? x) ? ?? n ( x) ,即 ? n (x) ? 具有负宇称(奇宇称)。 当 n 为奇数时, ? n (? x) ? ? n ( x) ,即 ? n (x) 具有正宇称(偶宇称)。 本征函数具有确定宇称是由势能对原点对称:
U (? x) ? U ( x) 而导致的。

(5)束缚态——通常将在无穷远处取值为零

的波函数所描写的状态称为束缚态。

61

§2.7 线性谐振子

Chapter 2. The wave function and Schr? dinger Equation

引言

1.经典谐振子 在经典力学中,当质量为 ? 的粒子,受弹性力 F ? ? k x 作
d 2x ? 2 ? ?k x dt ? ?? ? ? 2 x ? 0 x

用,由牛顿第二定律可以写出运动方程为:

其解为 x ? Asin ?? t ? ? ? 。这种运动称为简谐振动,作这种 运动的粒子称为(线性)谐振子。
px 2 1 ? 谐振子哈密顿量: ? H ? ?? 2 x 2 2? 2

?? ?

k ?

?

? 谐振子能量:

1 E ? ? ? 2 A2 2
经典允许的振动范围
62

谐振子在运动中能量守恒。 其能量是振幅的连续函数。

§2.7 线性谐振子(续1)

Chapter 2. The wave function and Schr? dinger Equation

2.量子谐振子
中运动的质量为
1 2 2 量子力学中的线性谐振子是指在势场 V ( x) ? ?? x 2 ?

的粒子

自然界广泛碰到简谐振动,任何体系在平衡位置附近的小 振动,例如分子振动、晶格振动、原子核表面振动以及辐射 场的振动等往往都可以分解成若干彼此独立的一维简谐振动。 简谐振动往往还作为复杂运动的初步近似,所以对简谐振动 的研究,无论在理论上还是在应用上都是很重要的。 例如双原子分子,两原子间的势 V 是二者相对距离 x 的函 数,如图所示。 p2 1 2 H? ? kx 2? 2 x m1m2 ?? m1 ? m2
63

§2.7 线性谐振子(续2)

Chapter 2. The wave function and Schr? dinger Equation

在 x ? a 处,有一极小 值 V0 。在 x ? a 附近, 势可以展开成泰勒级数:
V (a) ? V0
?V ?x ?0
x?a

V(x) a 0
V0

x

1 ?V 1 ? 2V V ( x) ? V (a ) ? ( x ? a) ? 1! ?x x?a 2! ?x 2 1 ? V0 ? k ( x ? a ) 2 2

( x ? a) 2 ? ? ? ?
x?a



? 2V k? 2 ?x

x?a

若取 V0 ? 0 ,即平衡位置处于势 V0 ? 0 点;并记
k ? ?? 2 ,则

1 V ? x ? ? ?? 2 x 2 2
64

§2.7 线性谐振子(续3)

Chapter 2. The wave function and Schr? dinger Equation

1. Schr?dinger方程

?2 d 2 1 2 2 ? Hamilton operator H ? ? ? ?? x 2 2? dx 2 定态Schr?dinger方程:
? ?2 d 2 1 2 2 ? ? ?? x ?? ( x) ? E? ( x) ?? 2 ? 2? dx 2 ?

改写成


1 d 2? ? 2 E ?? 2 ? ?? ? x ?? ( x) ? 0 2 ?? dx ? ? ?? ? ?

(1)

2E ?? ??
?? ?? , ?

( ? 为待定常数)
? ? ?x

(2)
(3)
65

§2.7 线性谐振子(续4)

Chapter 2. The wave function and Schr? dinger Equation

于是方程(2)可写成

d 2? ? (? ? ? 2 )? ? 0 d? 2

(4)

2. 方程的求解
当 ? ? ? 时,方程(4)的渐近形式为
d 2? ? ? 2? d? 2
(5)
? 1 2 ? 2

方程(5)在 ? ? ? 处的有限解为? ( ? ) ~ e 令方程(4)的解 ? (? ) ? H (? )e
? 1 2 ? 2

(6)

代入方程(4)可得 H (? ) 满足的微分方程
66

§2.7 线性谐振子(续5)

Chapter 2. The wave function and Schr? dinger Equation

d 2 H (? ) dH (? ) ? 2? ? (? ? 1) H (? ) ? 0 (称为厄密方程) (7) 2 d? d?

H (? ) ? 有限值, (-? <? <?)

(8)

用常微分方程的幂级数解法求厄密方程(7)满 足有限性条件(8)的有限解,可得厄密方程本征 值问题的本征值:

? n? 2n ?1
本征函数:

(n ? 0,1,2,3, ??????)
称为厄密多项式
n?2

(9)

H n (? ) ? (2? ) ? n(n ? 1)(2? )
n

? ? ? (?1)

?n? ?2? ? ?

n! (2? ) ?n? ?2?! ? ?

?n? n?2 ? ? ?2?

67

§2.7 线性谐振子(续6)

Chapter 2. The wave function and Schr? dinger Equation

几个厄密多项式: H 0 ? 1 H1 ? 2? H 2 ? 4? 2 ? 2 H 3 ? 8? 3 ? 12? H 4 ? 16? 4 ? 48? 2 ? 12 H 5 ? 32? 5 ? 160? 3 ? 120? 厄密多项式的微分形式 H n (? ) ? (?1) n e? 厄密多项式的正交· 模方公式:
2

d n ?? 2 e n d?

?

? ??

e

?? 2

Hn(? )Hn?(? )d? ? 2 n! ?? nn?
n

(10)
68

§2.7 线性谐振子(续7)

Chapter 2. The wave function and Schr? dinger Equation

3. 线性谐振子的能量本征函数

? n (? ) ? Nn e

1 ? ?2 2

? ?? x

Hn (? )
?

? n ( x) ? N n
??
?

1 ? ? 2x 2 e 2 H

(? x) (11) n

? 并运用积分公式: ?
由归一化条件 求得归一化常数

* ? n ( x)? n ( x)dx ? 1

??

e

?? 2

H (? )d? ? 2 n! ?
2 n n
1 2

? ? ? Nn ? ? ? ? ? n ? ? 2 n! ?
1 1

(12)

? ? ? 2 ? 2? 2 x 2 归一化的本征函数 ? n ( x) ? ? ? e H n (?x) ? n ? ? ? 2 n! ?

(13)
69

§2.7 线性谐振子(续8)

Chapter 2. The wave function and Schr? dinger Equation

本征波函数

?n ( x, t ) ? ? n ( x) e
1 2

?

i En t ?

? ? ? ?? ? e n ? ? 2 n! ?

1 i ? ? 2 x 2 ? En t 2 ?

H n (? x)

(14)

4. 线性谐振子的本征能量
2E 由(2)和(9)式,即由? ? 和 ? n ? 2n ? 1 ??

得本征能量:

1? ? En ? ? n ? ??? 2? ?

(15)

(n ? 0,1, 2, 3, ???)
70

§2.7 线性谐振子(续9)

Chapter 2. The wave function and Schr? dinger Equation

1? ? 1 能量的本征值: En ? ? n ? 2 ??? ? ?

讨 论

(1)能量谱为分离谱,两能级的间隔为

? E ? En?1 ? En ? ??
(2)简并度:一能级对应的量子态数称 为该能级的简并度。 由于对应一维谐振子的一个能级只有 一个本征函数,即一个状态,所以一维谐 振子能级是非简并的,能级简并度为1 1 (3)基态能量: E 0 ? ?? (又称零点能) 2 零点能不等于零是量子力学中特有的,是微观粒子波粒二相 性的表现,能量为零的“静止的” 波是没有意义的,零点能是 量子效应,已被绝对零点情况下电子的晶体散射实验所证实 。
71

§2.7 线性谐振子(续10)

Chapter 2. The wave function and Schr? dinger Equation

2. 基态 x ?? 1/ 4 ( ? ??? 基态本征函数: ? 0 ( x) ? ( ? ? ) e 2 几率密度
? ? ? x2 ? ? 0 ? N0 exp ?? ? ? ? ?

2

)

由此看出,粒子在 x ? 0 处出现的几率最大;在 x ? a 范围内,粒子出现的几率不为零。对其它各能级状态 ?? x 下的波函数可作类似的分析。 V ? x? ?
2 2

基态能量: E0 ? ?? 2

2

x ? a ? ? ?1 处的势能: 在
1 1 2 2 V (a) ? ? ? a ? ?? ? E0 2 2

在 x ? a 范围内动能 T ? 0
72

§2.7 线性谐振子(续11)

Chapter 2. The wave function and Schr? dinger Equation

在经典情形下,粒子将被限制在 x ? a 范围中运动。 这是因为振子在 x ? ? a 处,其势能 V ? E0 ,即势能等 于总能量,动能为零,经典的粒子动能不可以小于零, ?a ? x ? a 因此粒子被限制在 内。 可见,量子与经典情况完全不同。

3. ? n 具有 n 宇称

? n (? ) ? Nn e

1 ? ? 2

2

Hn (? )

exp ?? ? 2 2? 是 ? 的偶函 上式谐振子波函数所包含的 数,所以 ? n 的宇称由厄密多项式 H n ?? ? 的宇称决定。
n

由于 H n ?? ? 的最高次项是 ? 2? ? 。当 n ? 偶数,则厄密 多项式只含ξ的偶次项(偶宇称); 当 n ? 奇数,则 厄密多项式只含ξ的奇次项(奇宇称) 。所以,? n 具 有 n 宇称

73

§2.7 线性谐振子(续12)

Chapter 2. The wave function and Schr? dinger Equation

4.本征函数与几率密度

? 0 ( x)

?0

2

?1 ( x)

?1

2

74

§2.7 线性谐振子(续13)

Chapter 2. The wave function and Schr? dinger Equation

? 2 ( x)

?2

2

? 3 ( x)

?3

2

75

§2.7 线性谐振子(续14)

Chapter 2. The wave function and Schr? dinger Equation

? 4 ( x)

?4

2

? 10

2

n=10时谐振子的几率密度

从以上本征函数与几率 密度曲线图看出,量子力 学的谐振子波函数 ? n 有n 个零点,在零点处找到粒 子的几率为零。而经典力 学的谐振子在 [-a, a] 区 间每一点上都能找到粒子 ,没有零点。
76

§2.7 线性谐振子(续15)

Chapter 2. The wave function and Schr? dinger Equation

在前几个量子数,量子谐振子的几率密度与经 典情况毫无相似之处,随着量子数 n 增加相似性 也随之增加。当 n ? 10 时,量子和经典的两种情 2 况在平均上已相当符合,差别仅在于 ? n ( x) 迅速 振荡。

77

§2.8 势垒贯穿

Chapter 2. The wave function and Schr? dinger Equation

势垒贯穿是能量为E的粒子入射被势场散射的问题

?U 0 U ( x) ? ? ?0

0? x?a 0 ? x, x ? a

方势垒是一 种典型势垒



Ⅱ 一维方势垒



78

§2.8 势垒贯穿(续1)

Chapter 2. The wave function and Schr? dinger Equation

1. 定态薜定谔方程

? d 2? 2 m ? 2 ? 2 E? ? 0 ? ?d x ? 2 ? d ? ? 2 m ( E ? U )? ? 0 0 ? d x 2 ?2 ?
(1)E>U0 情形

? 2m ? k1 ? ? 2 E ? ?? ?
1 2

( x ? 0, x ? a) (0 ? x ? a)

E
U0
1 2

U ( x)

? 2m ? k2 ? ? 2 ( E ? U 0 ) ? ?? ?

I

II

III

0

a
79

§2.8 势垒贯穿(续2)

Chapter 2. The wave function and Schr? dinger Equation

则方程变为

? d 2? ? k12? ? 0 ? 2 ? dx ? 2 ? d ? ? k 2? ? 0 2 ? dx2 ?
向右传播的 入射平面波
ik1x

( x ? 0, x ? a) (0 ? x ? a )
向左传播的 反射平面波

2. 方程的求解 分 区 取 解
Ⅰ? 1 Ⅱ? Ⅲ?
2

?e ?ik1x ? Ae ? A ?Be
ik2 x ik1 x

( x ? 0)

(1) (2) (3)

?e ?i k2 x (0 ? x ? a) ?B (x ? a )

?e ?i k1x ?C 3 ?C e

三式均 为两个 左右传 播的平 面波的 叠 加

由左向右的透射波

因Ⅲ区无由右向左传播 的平面波,故 C ? ? 0

80

§2.8 势垒贯穿(续3)

Chapter 2. The wave function and Schr? dinger Equation

由 波 函 数 的 连 续 性 条 件

(? 1 ) x ?0 ? (? 2 ) x ?0 ? d?1 ? ? d? 2 ? ? ? ?? ? ? d x ? x ?0 ? d x ? x ?0 (? 2 ) x ?a ? (? 3 ) x ?a ? d? 2 ? ? ? ? d x ? x ?a ? d? 3 ? ?? ? ? d x ? x ?a

A ? A? ? B ? B? k1 A ? k1 A? ? k2 B ? k2 B?

?e ?ik2a ? Ce i k1a Be ? B ik2a ?e?ik2a ? k1Ceik1a k2 Be ? k2 B
ik2a

联立这四个方程式, B? 消除 与 B

可得透射波振幅 C 及反射波振幅 A? 与入射波 振幅 A 间的关系

4 k1k2 e C? A 2 ? i k2 a 2 i k2 a (k1 ? k2 ) e ? (k1 ? k2 ) e

?i k1a

(4)
81

§2.8 势垒贯穿(续4)

Chapter 2. The wave function and Schr? dinger Equation

2 i(k ? k )sin k2 a A? ? A 2 ? i k2 a (k1 ? k2 ) e ? (k1 ? k2 ) e
2 1 2 i k2 a 2 2

(5)

? i? (??? * ? ? *?? ) 利用几率流密度公式: J ? 2m
求得入射波 的几率流密度 透射波

Aeik1 x
ik1 x

?k1 J? | A |2 m

Ce

的几率流密度 反射波

?k1 2 JD ? |C | m

?e ? ik1x A

的几率流密度

? k1 ? 2 JR ? ? |A | m
82

§2.8 势垒贯穿(续5)

Chapter 2. The wave function and Schr? dinger Equation

3. 透射系数和反射系数 为了定量描述入射粒子透射势垒的几率和被势垒 反射的几率,定义透射系数和反射系数。 2 2 J D | C |2 4 k1k 2 透射 D ? ? ? 2 2 2 2 (6) 2 2 2 系数 J | A | (k 1 ? k 2 ) sin a k2 ? 4 k 1 k 2
2 | J R | | A? |2 (k 1 ? k 2 ) 2 sin 2 a k2 反射 R ? ? ? 2 2 2 22 2 2 2 (7) 系数 J | A| (k 1 ? k 2 ) sin a k2 ? 4 k 1 k 2 可见即便 E ? U0 ,粒子也不是完全透过势垒,另有 一部分会被势垒反射回来,这是量子力学与经典物理 的差别。 表明粒子数守恒 D ? R ?1 但当 k2 a ? n? 时,透射份额 D ? 1 ,即完全贯穿 过去,这种现象称为共振贯穿(共振透射)。
83

§2.8 势垒贯穿(续6)

Chapter 2. The wave function and Schr? dinger Equation

D

1

k2 a

共振透射 共振透射时,粒子的能量:

共振透射效应 (共振隧道效应) 是一种无损耗透 射,这是量子力 学给出光电子器 件制造技术的一 重要技术原理。

n? ? En ? ? U0 称为共振能级 2 2? a
2 2 2
84

§2.8 势垒贯穿(续7)

Chapter 2. The wave function and Schr? dinger Equation

(2)E<U0情形
?2m ? k2 ? ? 2 ( E ? U 0 ) ? ?? ?
1 2

是虚数

1



k2 ? ik3





?2m ?2 其中 k 3 ? ? 2 (U 0 ? E )? 是实数 ?? ?
在(4)和(6)式中,把 k2 换为 ik3 ,得到

透射波振幅:

2 i k1k 3 e C? 2 A 2 (k1 ? k 3 ) ? sh ak 3 ? 2ik1k 3 ? ch ak 3

? ik1a

(8)
85

§2.8 势垒贯穿(续8)

Chapter 2. The wave function and Schr? dinger Equation

透射系数:

4k12 k32 D? 2 (k1 ? k32 )2 sh2 ak3 ? 4k12 k32

(9)

此结果表明,即使 E ? U 0 ,透射系数 D一般不等于零。
隧道效应 (tunnel effect) V(x)
入射波+反射波

粒子能够穿透比它 动能更高的势垒的现象 称为隧道效应.它是粒 子具有波动性的生动表 现。当然,这种现象只 在一定条件下才比较显 著。右图给出了势垒穿 透的波动图象。

V0
透射波

0

a

x

86

§2.8 势垒贯穿(续9)

Chapter 2. The wave function and Schr? dinger Equation

讨 论

1.低能粒子穿透

当 E 很小,或 U0 ? E ,而 a 又不太小时,有 ak3 ? 1 , 2 则 ka ? 1 k3 a ?k3 a ? 1 2k3 a ? k3a 2 3 e ?? e , sh k3 a ? ? e ? e ? ? 4e ?2 ? 因 k1 与 k3 同数量级, 4 D? 式(9)化成 k3 a ?? 1 则 e 2k3a ?? 4 1 ? k1 k3 ? 2 k a ? ? ?e ? 4 4 ? k3 k1 ? 故4可忽略

?

?

3

于是

D ? D0e
?2

?2 k3 a

? D0e

?

2a 2 m (U0 ? E ) ?

(10)

? k1 k3 ? 16 E ?U 0 ? E ? D0 ? 16 ? ? ? ? k3 k1 ? U 02 ?

表明 D随垒宽 a和 垒高 U 0 的增大而 成指数减小。
87

§2.8 势垒贯穿(续10)

Chapter 2. The wave function and Schr? dinger Equation

2.任意形状的势垒
V(x) E

可把任意形状的势垒分割成 许 多小势垒,这些小势垒可 以近 似用方势垒处理。

对每一小方势垒透射系数
x

D ? D0 e

2 ? ? 2 ? (V ( x ) ? E )dx

0 a

dx

b

则贯穿整个势垒的 透射系数等于贯穿这些小方 势垒透射系数之积,即

? D ? D0e

b 2 ?? a

2 ? (V ( x )? E )dx

此式的推导虽不太严 格,但该式与严格推 导的结果一致。
88

§2.8 势垒贯穿(续11)

Chapter 2. The wave function and Schr? dinger Equation

4.应用实例 1962年,Josephson发现了Josephson节。将两块超 导体用一绝缘层隔开,如果绝缘层较厚,电流则不易通 过绝缘层。但如果绝缘层很薄,则超导体中的也库珀 电子对按一定几率穿透绝缘层形成电流。Josephson 节是宏观量子隧道效应的一个典型例子 量子力学提出后,Gamow 首先用势垒穿透成功的 说明了放射性元素的α衰变现象。 隧道效应在固体物理学中得到广泛的应用,它已 经用来制造一些不同种类的电子器件。 扫描隧道显微镜就是利用穿透势垒的电流对于金属 探针尖端同待测物体表面的距离很敏感的关系,可以 ?11 m 探测到 10 量级高低起伏的样品表面的“地形图”
89

§2.8 势垒贯穿(续12)

Chapter 2. The wave function and Schr? dinger Equation

例1: 入射粒子为电子。 设 E=1eV, U0 = 2eV, a = 2× 10-8 cm = 2? , 算得 D ≈ 0.51。 若a=5× 10-8cm = 5 ? 则 D ≈ 0.024,可见 透射系数迅速减小。

例2: 入射粒子为质子。

质子与电子质量比 μp/μe ≈ 1840。 对于a = 2 ? 则 D ≈ 2 × 10-38。 可见透射系数明显的依赖 于 粒子的质量和势垒的宽 度。

由例1、2看出,只有粒子的质量和势垒宽度比 较小时,隧道效应才显著
90

第二章 小结
1.波函数及其统计解释

Chapter 2. The wave function and Schr? dinger Equation

(1)波函数又称为几率幅,它的模方给出粒子的几率。 几率幅无直接可测的意义,其模方才有直接可测的意义。
(2)坐标表象中的波函数: ? (r ? t ) ? 2 ? | ? (r ? t ) | 给出t 时刻粒子处在位置 r 处的几率 动量表象中的波函数:C ( P, t )
? C P, t

?

?

? ?

2

? 给出t 时刻粒子动量为 P的几率

? ? (r , t )
(3)

互为Fourer变换与逆变换

? C ( P, t )

波函数的归一化问题
91

2.态迭加原理及其实验基础

第二章 小结

Chapter 2. The wave function and Schr? dinger Equation

3.Schr?dinger方程及其建立的基本思路

? ? 动量算符 P ? ?i?? 的引入

4.定态Schr?dinger方程及定态的特征。




?2 ? 能量算符 H ? ? ? ? U 的引入。 2?

Hamilton(能量)算符及本征值方程。

★ 能量算符的本征值与本征波函数。 ★ 定态的判断。 5.几率流密度与守恒律。 6.三个典型实例(一维无限深势阱,一维线性谐振 子,一维势垒)的研究。
92

Chapter 2. The wave function and Schr? dinger Equation

掌握一维薛定谔方程求解。 对于求解一维薛定谔方程,应掌握边界条件的确定 和处理方法。关于一维定态问题要求如下: a.掌握一维无限深势阱的求解方法及其物理讨论;

b.掌握一维谐振子的能谱及其定态波函数的一般特 点;
c.了解势垒贯穿的讨论方法及其对隧道效应的解释。

93

作业
周世勋《量子力学教程》

Chapter 2. The wave function and Schr? dinger Equation

2.1, 2.2,

2.3,

2.5,

2.6,

2.7

94

Chapter 2. The wave function and Schr? dinger Equation

95


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