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北京2013届海淀上期末高三数学理


海淀区高三年级第一学期期末练习 数 学 (理科) 2013.1

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要 求的一项.
1. 复数

2 化简的结果为 1? i
B. ?1 ? i C. 1 ? i D. ?1 ? i

A. 1 ? i 2.已知直线 l : ? 坐标分别是 A. ,(1,0)

? x ? 2 ? t, ? x ? 2cos? ? 1, ( t 为参数)与圆 C : ? ( ? 为参数) ,则直线 l 的倾斜角及圆心 C 的直角 ? y ? ?2 ? t ? y ? 2sin ?
[来源:学科网 ZXXK]

π 3π 3π C. ,(1,0) D. ,( ?1,0) 4 4 4 3.向量 a ? (3,4), b ? ( x,2) , 若 a ? b ?| a | ,则实数 x 的值为 1 1 A. ?1 B. ? C. ? D. 1 2 3
B. ,( ?1,0) 4.某程序的框图如图所示, 执行该程序,若输入的 p 为 24 ,则输出 的 n , S 的值分别为 A. n ? 4, S ? 30 C. n ? 4, S ? 45 B. n ? 5, S ? 30 D. n ? 5, S ? 45

π 4

开始 输入 p

n ? 1,S ? 0
S?p
是 否

S = S + 3n n ? n ?1
C

输出 n ,S 结束

5.如图, PC 与圆 O 相切于点 C ,直线 PO 交圆 O 于 A, B 两点, 弦 CD 垂直 AB 于 E . 则下面结论中,错误的结论是 .. A. ?BEC ∽ ?DEA C. DE 2 ? OE ? EP B. ?ACE ? ?ACP D. PC 2 ? PA ? AB
*

B

O

E D

A

P

6.数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an?1 ? r ? an ? r ( n ? N , r ? R 且 r ? 0 ) , 则“ r ? 1 ”是“数列 ?an ? 成等差数列”的

A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C.充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 用数字 0,1, 2,3 组成数字可以重复的四位数, 其中有且只有一个数字出现两次的四位数的个数为 A. 144 B. 120 C. 108 D. 72

x2 y2 ? ? 1( a ? b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,若椭圆 C 上恰好有 6 个不同的点 P ,使得 ?F1 F2 P 为 a 2 b2 等腰三角形,则椭圆 C 的离心率的取值范围是 1 2 1 2 1 1 1 A. ( , ) B. ( ,1) C. ( ,1) D. ( , ) ? ( ,1) 3 3 2 3 3 2 2
8. 椭圆 C :

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.
9. 以 y ? ? x 为渐近线且经过点 (2, 0) 的双曲线方程为______.

2013 海淀高三上期末数学理科

第 1 页 共 9 页

10.数列 {an } 满足 a1 ? 2, 且对任意的 m, n ? N* ,都有

an ? m ? an ,则 a3 ? _____; {an } 的前 n 项和 Sn ? _____. am
D

11. 在 (

1 ? 3x 2 )6 的展开式中,常数项为______.(用数字作答) x
A C

12. 三棱锥 D ? ABC 及其三视图中的主视图和左视图 如图所示,则棱 BD 的长为_________.

B

? x ? 0, ? 13. 点 P ( x, y ) 在不等式组 ? x ? y ? 3, 表示的平面区域内, ? y ? x ?1 ?
若点 P ( x, y ) 到直线 y ? kx ? 1 的最大距离为 2 2 ,则 k ? ___.
2 主视图 2

4

2 3 左视图

14. 已 知 正 方 体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的 棱 长 为 1 , 动 点 P 在 正 方 体 ABCD ? A1 B1C1 D1 表 面 上 运 动 , 且 PA ? r
1 ( 0 ? r ? 3 ) 记点 P 的轨迹的长度为 f (r ) , f ( ) ? ______________;关于 r 的方程 f ( r ) ? k 的解的个数可以 , 则 2 为________.(填上所有可能的值).

三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.
15. (本小题满分 13 分)

x x x 1 已知函数 f ( x) ? 3sin cos ? cos2 ? , ?ABC 三个内角 A, B, C 的对边分别 2 2 2 2
为 a , b, c . (I)求 f ( x ) 的单调递增区间; (Ⅱ)若 f ( B ? C ) ? 1, a ? 3, b ? 1 ,求角 C 的大小. 16.(本小题满分 13 分) 汽车租赁公司为了调查 A,B 两种车型的出租情况,现随机抽取了这两种车型各 100 辆汽车,分别统计了每 辆 车某个星期内的出租天数,统计数据如下表: A 型车 出租天数 车辆数 出租天数 车辆数 1 5 1 14 2 10 2 20 3 30 3 20 B 型车 4 16 5 15 6 10 7 5 4 35 5 15 6 3 7 2

(I)从出租天数为 3 天的汽车(仅限 A,B 两种车型)中随机抽取一辆,估计这辆汽车恰好是 A 型车的概率; (Ⅱ)根据这个星期的统计数据,估计该公司一辆 A 型车,一辆 B 型车一周内合计出租天数恰好为 4 天的概率; (Ⅲ)如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同,该公司需要从 A,B 两种车型中购买一辆,请你根据所学 的统计知识,给出建议应该购买哪一种车型, 并说明你的理由. 17. (本小题满分 14 分)

2013 海淀高三上期末数学理科

第 2 页 共 9 页

如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, ?BAC ? 90? ,

A1

C1

AB ? AC ? AA1 ? 2, E 是 BC 中点.
B1

(I)求证: A1B / / 平面 AEC1 ; (II)若棱 AA1 上存在一点 M ,满足 B1M ? C1E ,求 AM 的长;
A C E B

(Ⅲ)求平面 AEC1 与平面 ABB1 A1 所成锐二面角的余弦值. 18. (本小题满分 13 分)

已知函数

e ax f ( x) ? . x ?1

(I) 当 a ? 1 时,求曲线 f ( x ) 在 (0, f (0)) 处的切线方程; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的单调区间. 19. (本小题满分 14 分) 已知 E ? 2,2 ? 是抛物线 C : y 2 ? 2 px 上一点,经过点 (2,0) 的直线 l 与抛物线 C 交于 A, B 两点(不同于点 E ) , 直线 EA, EB 分别交直线 x ? ?2 于点 M , N . (Ⅰ)求抛物线方程及其焦点坐标; (Ⅱ)已知 O 为原点,求证: ?MON 为定值. 20. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ??) ,若 y ? 若y?

f ( x) 在 (0, ??) 上为增函数,则称 f ( x ) 为“一阶比增函数” ; x

f ( x) 在 (0, ??) 上为增函数,则称 f ( x ) 为“二阶比增函数”. x2

我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为 ?1 ,所有“二阶比增函数”组成的集合记为 ? 2 . (Ⅰ)已知函数 f ( x) ? x ? 2hx ? hx ,若 f ( x) ??1 , 且 f ( x) ??2 ,求实数 h 的取值范围;
3 2

(Ⅱ)已知 0 ? a ? b ? c , f ( x) ??1 且 f ( x ) 的部分函数值由下表给出,

x
f ( x)
求证: d (2d ? t ? 4) ? 0 ;

a
d

b
d

c

a?b?c
4

t

(Ⅲ)定义集合 ? ? f ( x) | f ( x) ??2 , 且存在常数k , 使得任取x ? (0, ??),f ( x) ? k ,

?

?

请问:是否存在常数 M ,使得 ?f ( x) ? ? , ?x ? (0, ??) ,有 f ( x ) ? M 成立?若存在,求出 M 的最小值;若不存在,说明理由.

2013 海淀高三上期末数学理科

第 3 页 共 9 页

海淀区高三年级第一学期期末练习数

学 (理)

参考答案及评分标准 2013.1
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 题号 答案 1 A 2 C 3 A 4 B 5
[来源:学|科|网 Z|X|X|K]

6 A

7 C

8 D

D

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分, 有两空的小题,第一空 3 分,第二空 2 分,共 30 分)

9. x ? y ? 4 ;10. 8; 2
2 2

n?1

3 π; 0,2,3,4 ? 2 ;11. 135 ;12. 4 2 ;13. ?1 ;14. 4 .

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) 15. (本小题满分 13 分)

x x x 1 解: (I)因为 f ( x) ? 3sin cos ? cos2 ? 2 2 2 2 ? 3 sin x ? cos x ? 1 ? 1 ? 3 sin x ? 1 cos x 2 2 2 2 2

π ? sin( x ? ) 6 分 6

( 又 y ? sin x 的单调递增区间为 2kπ ?

π π , 2kπ ? ), ( k ? Z) 2 2

所以令 2kπ ?

π π π 2π π ? x ? ? 2kπ ? 解得 2kπ ? ? x ? 2kπ ? 2 6 2 3 3 2π π , 2 kπ ? ) , ( k ? Z ) 3 3
??????8 分

所以函数 f ( x ) 的单调增区间为 (2kπ ?

π π π 7π (Ⅱ) 因为 f ( B ? C ) ? 1, 所以 sin( B ? C ? ) ? 1 ,又 B ? C ? (0, π) , B ? C ? ? ( , ) 6 6 6 6 π π π 2π 所以 B ? C ? ? , B ? C ? ,所以 A ? ??????10 分 3 6 2 3 sin B sin A 1 ? 由正弦定理 把 a ? 3, b ? 1 代入,得到 sin B ? ??12 分 2 b a π π 又 b ? a , B ? A,所以 B ? ,所以 C ? ??????13 分 6 6 16.(本小题满分 13 分) 解: (I)这辆汽车是 A 型车的概率约为

出租天数为3天的A型车辆数 30 ? ? 0.6 这辆汽车是 A 型车的概率为 0.6???3 分 出租天数为3天的A,B型车辆数总和 30 ? 20
(II)设“事件 Ai 表示一辆A型车在一周内出租天数恰好为 i 天” , “事件 B j 表示一辆B型车在一周内出租天数恰好为 j 天” ,其中 i, j ? 1,2,3,...,7 则该公司一辆 A 型车,一辆 B 型车一周内合计出租天数恰好为 4 天的概率为

P( A1B3 ? A2 B2 ? A3B1 ) ? P( A1B3 ) ? P( A2 B2 ) ? P( A3B1 )
2013 海淀高三上期末数学理科 第 4 页 共 9 页

??????5 分

? P( A1 ) P( B3 ) ? P( A2 )P( B2 ) ? P( A3 )P( B1 )
? 5 2 0 1 0 2 0 3 0 1 4 9 ? ? ? ? ? ? 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 2 5

??????7 分

该公司一辆 A 型车,一辆 B 型车一周内合计出租天数恰好为 4 天的概率为 (Ⅲ)设 X 为 A 型车出租的天数,则 X 的分布列为 1 2 3 4 X

9 ??????9 分 125
7

5 0 .15 5 0.15

6 0.03 6 0.10

P

0.05

0.10

0.30

0.35 4 0.16

0.02 7

设 Y 为 B 型车出租的天数,则 Y 的分布列为 3 1 2 Y

[来源:学科网 ZXXK]

P

0.14

0.20

0.20

0.05

E ( X ) ? 1? 0.05 ? 2 ? 0.10 ? 3 ? 0.30 ? 4 ? 0.35 ? 5 ? 0.15 ? 6 ? 0.03 ? 7 ? 0.02=3.62

E (Y ) ? 1 ? 0.14 ? 2 ? 0.20 ? 3 ? 0.20 ? 4 ? 0.16 ? 5 ? 0.15 ? 6 ? 0.10 ? 7 ? 0.05 =3.48 ?????12 分
一辆 A 类型的出租车一个星期出租天数的平均值为 3.62 天,B 类车型一个星期出租天数的平均值为 3.48 天. 从 出租天数的数据来看,A 型车出租天数的方差小于 B 型车出租天数的方差,综合分析,选择 A 类型的出租车更加 合理 . ??????13 分 17.(本小题满分 14 分) (I) 连接 A1C 交 AC1 于点 O ,连接 EO .因为 ACC1 A1 为正方形,所以 O 为 A1C 中点, 又 E 为 CB 中点,所以 EO 为 ?A1BC 的中位线,所以 EO / / A1B ??????2 分

又 EO ? 平面 AEC1 , A1B ? 平面 AEC1 , 所以 A1B / / 平面 AEC1 ??????4 分 (Ⅱ)以 A 为原点, AB 为 x 轴, AC 为 y 轴, AA1 为 z 轴建立空间直角坐标系 所以 A(0,0,0), A1 (0,0,2), B(2,0,0), B1 (2,0,2), C(0,2,0), C1 (0,2,2), E (1,1,0), 设 M (0,0, m)(0 ? m ? 2) ,所以 B1M ? (?2,0, m ? 2), C1E ? (1, ?1, ?2) , 因为 B1M ? C1E ,所以 B1M ? C1E ? 0 ,解得 m ? 1 ,所以 AM ? 1

?????

???? ?

????? ???? ?

??????8 分

(Ⅲ)因为 AE ? (1,1,0), AC1 ? (0,2,2) ,设平面 AEC1 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,

??? ?

???? ?

?

??? ? ? ? AE ? n ? 0 ? ?x ? y ? 0 ? ? 则有 ? ???? ? ,得 ? ,令 y ? ?1, 则 x ? 1, z ? 1 ,所以可以取 n ? (1, ?1,1) ,???10 分 ? AC1 ? n ? 0 ?y ? z ? 0 ?
因为 AC ? 平面 ABB1 A1 ,取平面 ABB1 A1 的法向量为 AC ? (0,2,0)

??? ?

??????11 分

??? ? ? ??? ? ? AC ? n 3 ? 所以 cos ? AC , n ?? ??? ? ? ? 3 | AC || n |

??????13 分

平面 AEC1 与平面 ABB1 A1 所成锐二面角的余弦值为 18. (本小题满分 13 分)
2013 海淀高三上期末数学理科

3 3

??????14 分

第 5 页 共 9 页

解:当 a ? 1 时, f ( x ) ?

e x ( x ? 2) e ax , f '( x ) ? ( x ? 1)2 x ?1

??????2 分

又 f (0) ? ?1 , f '(0) ? ?2 ,所以 f ( x ) 在 (0, f (0)) 处的切线方程为 y ? ?2 x ? 1 ??????4 分 (II) f '( x ) ?

eax [ax ? (a ? 1)] ( x ? 1)2

当 a ? 0 时, f '( x ) ?

?1 ?0 ( x ? 1)2
??????6 分

又函数的定义域为 {x | x ? 1} 所以 f ( x ) 的单调递减区间为 ( ??,1),(1, ??) 当 a ? 0 时,令 f '( x) ? 0 ,即 ax ? (a ? 1) ? 0 ,解得 x ?

a ?1 a

??????7 分

当 a ? 0 时, x ?

a ?1 ? 1, a
[来源:学+科+网 Z+X+X+K]

所以 f ?( x) , f ( x) 随 x 的变化情况如下表:

x
f '( x) f ( x)

( ??,1)
?

1
无定义

(1,

a ?1 ) a
?

a ?1 a
0 极小值

(

a ?1 , ??) a
?
?

?

?

所以 f ( x) 的单调递减区间为 ( ??,1) , (1,

a ?1 a ?1 ) ,单调递增区间为 ( , ??) a a

????10 分

当 a ? 0 时, x ?

a ?1 ?1 a

所以 f ?( x) , f ( x) 随 x 的变化情况如下表:

x
f '( x) f ( x)

( ??,

a ?1 ) a

a ?1 a
0 极大值

(

a ?1 ,1) a
?

1
无定义

(

a ?1 , ??) a
?

?
?

?

?
????13 分

所以 f ( x) 的单调递增区间为 ( ??, 19. (本小题满分 14 分)

a ?1 a ?1 ) ,单调递减区间为 ( ,1) , (1, ??) a a

2 2 解: (Ⅰ)将 E ? 2, 2? 代入 y ? 2 px ,得 p ? 1 ,所以抛物线方程为 y ? 2 x ,焦点坐标为 ( ,0) ??3 分

1 2

2013 海淀高三上期末数学理科

第 6 页 共 9 页

(Ⅱ)设 A(

y2 y12 , y1 ) , B( 2 , y2 ) , M ( xM , yM ), N ( xN , yN ) , 2 2

法一:因为直线 l 不经过点 E ,所以直线 l 一定有斜率 设直线 l 方程为 y ? k ( x ? 2) 与抛物线方程联立得到 ?

? y ? k ( x ? 2)
2 ? y ? 2x

,消去 x ,得:

ky 2 ? 2 y ? 4k ? 0

则由韦达定理得: y1 y2 ? ?4, y1 ? y2 ?

2 k

??????6 分

直线 AE 的方程为: y ? 2 ?

2 y1 ? 2 ? x ? 2? ? 2 , ? x ? 2 ? ,即 y ? 2 y1 y1 ? 2 ?2 2
??????9 分

令 x ? ?2 ,得 yM ?

2 y1 ? 4 y1 ? 2

同理可得: y N ?

2 y2 ? 4 y2 ? 2 ????

??????10 分

又 OM ? ( ?2, ym ), ON ? ( ?2,

???? ?

???? ???? ? ?4 2 y ? 4 2 y2 ? 4 ) ,所以 OM ? ON ? 4 ? yM y N ? 4 ? 1 ? ym y1 ? 2 y2 ? 2

? 4?

4[ y1 y2 ? 2( y1 ? y2 ) ? 4] [ y1 y2 ? 2( y1 ? y2 ) ? 4]
π 2

4 ? 4) k ?0 ? 4? 4 4( ?4 ? ? 4) k 4( ?4 ?
??????14 分

??????13 分

所以 OM ? ON ,即 ? MON 为定值

法二:设直线 l 方程为 x ? my ? 2 与抛物线方程联立得到 ?

? x ? my ? 2
2 ? y ? 2x

,消去 x ,得:

y 2 ? 2my ? 4 ? 0 则由韦达定理得: y1 y2 ? ?4, y1 ? y2 ? 2m
直线 AE 的方程为: y ? 2 ?

??????6 分

2 y1 ? 2 ? x ? 2? ? 2 , ? x ? 2 ? ,即 y ? 2 y1 y1 ? 2 ?2 2
??????9 分

令 x ? ?2 ,得 yM ?

2 y1 ? 4 y1 ? 2

同理可得: y N ?

2 y2 ? 4 y2 ? 2 ????

??????10 分

又 OM ? ( ?2, ym ), ON ? ( ?2,

???? ?

???? ???? ? ?4 4( y1 ? 2)( y2 ? 2) ) , OM ? ON ? 4 ? yM y N ? 4 ? ym ( y1 ? 2)( y2 ? 2)

2013 海淀高三上期末数学理科

第 7 页 共 9 页

? 4?

4( ?4 ? 2m ? 4) 4[ y1 y2 ? 2( y1 ? y2 ) ? 4] ?0 ?4? 4( ?4 ? 2m ? 4) [ y1 y2 ? 2( y1 ? y2 ) ? 4]
π 2

??????12 分

所以 OM ? ON ,即 ? MON 为定值 20. (本小题满分 14 分) 解: (I)因为 f ( x) ??1 , 且 f ( x) ??2 , 即 g ( x) ?

??????13 分

f ( x) ? x 2 ? 2hx ? h 在 (0, ??) 是增函数,所以 h ? 0 x

??????1 分

而 h( x ) ?

f ( x) h h ? x ? ? 2h 在 (0, ??) 不是增函数,而 h '( x ) ? 1 ? 2 2 x x x

当 h( x ) 是增函数时,有 h ? 0 ,所以当 h( x ) 不是增函数时, h ? 0 综上,得 h ? 0 ??????4 分
[来源:学&科&网 Z&X&X&K]

(Ⅱ) 因为 f ( x) ??1 ,且 0 ? a ? b ? c ? a ? b ? c 所以

f (a ) f (a ? b ? c) 4 4a ? = ,所以 f ( a ) ? d ? , a a?b?c a?b?c a?b?c 4b 4c , f (c) ? t ? a?b?c a?b?c

同理可证 f (b) ? d ?

三式相加得 f (a ) ? f (b) ? f (c ) ? 2d ? t ?

4(a ? b ? c ) ? 4, 所以 2d ? t ? 4 ? 0 ????6 分 a?b?c

因为

d d b?a ? , 所以 d ( ) ? 0, 而 0 ? a ? b , 所以 d ? 0 a b ab
??????8 分

所以 d (2d ? t ? 4) ? 0

(Ⅲ) 因为集合 ? ? f ( x) | f ( x) ??2 , 且存在常数k , 使得任取x ? (0, ??),f ( x) ? k , 所以 ?f ( x) ? ? ,存在常数 k ,使得 f ( x ) ? k 对 x ? (0, ??) 成立 我们先证明 f ( x ) ? 0 对 x ? (0, ??) 成立 假设 ?x0 ? (0, ??), 使得 f ( x0 ) ? 0 ,记 因为 f ( x ) 是二阶比增函数,即
f ( x0 ) ?m?0 x0 2

?

?

f ( x ) f ( x0 ) f ( x) ? m ,所以 f ( x) ? mx 2 是增函数. 所以当 x ? x0 时, 2 ? 2 x x0 2 x

所以一定可以找到一个 x1 ? x0 ,使得 f ( x1 ) ? mx12 ? k 这与 f ( x ) ? k 对 x ? (0, ??) 成立矛盾???11 分
f ( x ) ? 0 对 x ? (0, ??) 成立

2013 海淀高三上期末数学理科

第 8 页 共 9 页

所以 ?f ( x) ? ? , f ( x ) ? 0 对 x ? (0, ??) 成立 下面我们证明 f ( x ) ? 0 在 (0, ??) 上无解 假设存在 x2 ? 0 ,使得 f ( x2 ) ? 0 ,则因为 f ( x ) 是二阶增函数,即 一定存在 x3 ? x2 ? 0 ,
f ( x) 是增函数 x2

f ( x3 ) f ( x2 ) ? ? 0 ,这与上面证明的结果矛盾 .所以 f ( x ) ? 0 在 (0, ??) 上无解 x32 x2 2

综上,我们得到 ?f ( x) ? ? , f ( x ) ? 0 对 x ? (0, ??) 成立 所以存在常数 M ? 0 ,使得 ?f ( x) ? ? , ?x ? (0, ??) ,有 f ( x ) ? M 成立

1 x f ( x) ?1 又有 2 ? 3 在 (0, ??) 上是增函数 ,所以 f ( x ) ? ? , x x 而任取常数 k ? 0 ,总可以找到一个 x0 ? 0 ,使得 x ? x0 时,有 f ( x ) ? k

又令 f ( x) ? ? ( x ? 0) ,则 f ( x ) ? 0 对 x ? (0, ??) 成立,

所以 M 的最小值 为 0

??????13 分

2013 海淀高三上期末数学理科

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